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专题 03 函数及其性质（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
函数及其性质近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第16题,5分 函数的奇偶性 无
2022年全国甲（文科），第12题,5分 指数函数、对数函数的单调性 不等式比较大小
2023年全国甲（文科），第11题,5分 指数函数、二次函数的单调性 不等式比较大小
2023年全国甲（理科），第13题,5分 函数的奇偶性 三角函数的奇偶性
2023年全国乙（文科），第5题,5分 函数的奇偶性 无
2023年全国乙（理科），第16题,5分 函数的单调性 解一元二次不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，考查函数的奇偶性和单调性；
2.比较大小的题居多，也有通过函数的性质求参数的取值范围；
【备考策略】1.掌握基本初等函数的性质，会判断函数的奇偶性；
2.会使用函数的单调性比较大小；
3.掌握奇、偶函数比较大小的两种常见模型；
4.会求函数的解析式、定义域、值域；
5.会解函数不等式（通过函数单调性）。
【命题预测】1.通过函数的奇偶性求参数；
2.使用函数的单调性及奇偶性比较大小；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1知识讲解
一、函数的概念
一般地,设A,B是两个非空的实数集,如果对于集合A中的 任意 一个数x,按照某种确定的对应关系f,
在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作
y=f(x),x∈A.
二、函数的有关概念
1.函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫作函数
值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的 值域 .显然,值域是集合B的子集.
2.函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应关系 .
3.相等函数:如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致,那么这两个函数相等,这是判断两个函数
相等的依据.
4.函数的表示法
表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 、列表法.
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合.
(2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是使真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合.
(4)若f(x)=x0,则其定义域为{x|x≠0}.
(5)f(x)为指数式时,函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合.
{ π }
x|x≠kπ+ ,k∈Z
2
(6)正切函数y=tan x的定义域为 .
三、分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应关系 ,这样的函数通常叫作分
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.分段函数虽由几
个部分组成,但它表示的是一个函数.
(1)函数的定义中要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以
“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
(2)构成函数的三要素中,若定义域和对应关系相同,则值域一定相同.
四、函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数 减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x,x
定 1 2
当xf(x),那么就说函数f(x)在区
义 1 2 1 2 1 2 1 2
间I上是 增 函数 间I上是 减 函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫
作函数y=f(x)的单调区间.
五、函数的最值
前提 函数y=f(x)的定义域为D,存在实数M
①对于任意的x∈D,都有f(x)≤M; ①对于任意的x∈D,都有f(x)≥M;
条件
②存在x∈D,使得f(x)=M ②存在x∈D,使得f(x)=M
0 0 0 0
结论 M为函数y=f(x)的最 大 值 M为函数y=f(x)的最 小 值
1.函数单调性的两种等价形式
x ,x ∈[a,b]且x ≠x
设任意 1 2 1 2，
f(x )−f(x ) f(x )−f(x )
1 2 1 2
x −x 0⇒f(x)在[a,b] x −x 0⇒f(x)在[a,b]
(1) 1 2 > 上是增函数； 1 2 > 上是减函数.
(2)(x-x )[f(x)-f(x)]>0 f(x)在[a,b]上是增函数;(x-x )[f(x)-f(x)]<0 f(x)在[a,b]上是减函数.
1 2 1 2 1 2 1 2
2.五条常用结论
⇒ ⇒
a
(1)对勾函数y=x+ (a>0)的单调递增区间为(-∞,-√a]和[√a,+∞),单调递减区间为[-√a,0)和(0,√a].
x
(2)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(3)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u),u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.
(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3求简单函数单调区间的常用方法
六、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f ( - 关于y轴
偶函数
x ) =f ( x ) ,那么函数f(x)就叫作偶函数 对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f ( - 关于原点
奇函数
x ) =-f ( x ) ,那么函数f(x)就叫作奇函数 对称
函数奇偶性的几个重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数
集.
(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调
性.
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原
点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
(6)设f(x),g(x)的定义域分别是D,D,那么在它们的公共定义域上:奇+奇= 奇 ,奇×奇= 偶 ,偶+偶=
1 2
偶 ,偶×偶= 偶 ,奇×偶= 奇 .
(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”.
提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.
②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明f(-x)与f(x)的关系,只有当各段上的x都满足相同关系
时,才能判断其奇偶性.
七、周期性
1.周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 f ( x+ T ) = f ( x ) ,
那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
2.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的 最小
正周期 .
八、对称性
a+b
1.若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 y=f(x)的图象关于 直线 x= 对称.特别地,当 a=b=0 时,
2
f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称,此时函数y=f(x)是偶函数.
2.若函数y=f(x)满足 f ( x ) = 2 b- f ( 2 a- x ) ,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当a=0,b=0时,f(x)=-f(-
x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称,此时函数f(x)是奇函数.
函数图象的对称性
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即 f ( a- x ) = f ( a+ x ) ,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4(2)若对于R上的任意x都有 f ( 2 a- x ) = f ( x ) 或 f ( - x ) = f ( 2 a+ x ) ,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即 f ( -x+ b ) + f ( x+ b ) = 0 ,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
考点一、函数的定义域
含约束条件求定义域：
1．（2023年温州市合格考试模拟）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得 且 ，
所以 的定义域为 .
含约束条件求定义域+解不等式：
2．（2023年宁德市名校模拟）集合 ， ，若 ，
则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】解出集合A中的函数定义域和集合B中分式不等式，得到这两个集合，由 ，求
的值．
【详解】函数 有意义，则 ，解得 或 ，
则 或 .不等式 解得 ，则 .
由 ，则有 ，得 .
复合函数+含约束条件求定义域：
3．（2023年辽宁省名校联盟联考试题）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5【分析】根据题意先求得函数 的定义域为 ，然后结合抽象函数定义域与 求解即可；
【详解】由题意可知 ，所以 ，要使函数 有意义，则 解
得 .
1．集合 ， ， ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质，求得 和 ，求得
C B={x|x≥1}
，结合
R
A∩C B
，即可求解.
R
【详解】由 ，可化为 ，解得 ，
所以集合 ，
由 ，解得 ，所以集合 ，
可得
C B={x|x≥1}
，则图中阴影部分所表示的集合是
A∩C B={x|1≤x<2}
.
R R
2．已知集合 ， ，则 ______.
【答案】
【分析】先求函数 的值域，即可化简集合 ，再求函数 的定义域，即可化简集
合 ，最后由集合的交集运算即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 为函数 的值域，
因为 ，所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6因为 ，所以 为函数 的定义域，
由 得 ，即 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
3．已知函数 的定义域为 则 的定义域为_________________
【答案】
【分析】抽象函数定义域求解， 需整体在 范围内，从而 解出 的范围，同时注意需保证
，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知， 的定义域为 ，所以对于
需满足 ,解得
故答案为： .
考点二、函数的解析式
待定系数法：
f (x) f（f(x)）=4x−1 f (x)
1．已知 是一次函数,且 ,则 的解析式为( ).
1
A．
f(x)=2x− 或f(x)=−2x+1
B．
3 f(x)=2x+1或f(x)=−2x−1
1
C．
f(x)=2x−1或f(x)=−2x+
D．
3 f(x)=2x+1或f(x)=2x−1
【答案】A
【详解】设f(x)=kx+b(k≠0)，则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=4x−1,
即k2x+kb+b=4x−1对任意的x恒成立，
{ k=2
{ k2 =4 {k=−2
所以 ，解得 1或
b=− b=1
b(k+1)=−1 3
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 71
所以 的解析式为f(x)=2x− 或f(x)=−2x+1.
f (x) 3
换元法：
2．已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法即可得解.
【详解】令 ，则 ，
又 ，所以 ，则 .
列方程组法：
3．已知 ，求 的解析式 .
【答案】
【分析】用方程组的方法求解即可.
【详解】因为 ，
用 替换 得 ，
消去 ，解得 ，即 .
1．若二次函数 满足 ，且 ，则 的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ，根据 得到 ，再根据 得到 ，
，从而得到函数的解析式.
【详解】设 ， ，
∵ ，则 ， 又∵ ，
令 ，则 ，∴ ，即 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8令 ，则 ， ，即 ， ，
∴ ， ， .
2．已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法令 ，运算求解即可.
【详解】令 ，则 ，且 ，则 ，可得 ，
所以 .
3．若函数 满足方程 且 ，则：（1） ___________；（2）
___________．
【答案】（1） （2）
【分析】令 可得 ；用 替换 ，再解方程组可得答案.
【详解】令 可得： ，所以 ；
由 ①得， ②，
联立①②可得： .
故答案为：① ；② .
考点三、函数的值域
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 91．（河南省创新发展联盟大联考2023届高三预测数学（理科）试题）已知全集 ，
集合 ，则下列区间不是C A的子集的是（ ）
U
A． B． C． D．
【答案】C
C A
【分析】由函数的值域及单调性分别解集合U、A，再根据补集计算 ，最后由子集的定义判断选项即
U
可.
【详解】 ，即 ，
又 在R上单调递增，∴ ，即 ，
所以
C A=[1,+∞)，显然
不是
C A
的子集.
U U
2．（河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题）已知集合
，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合 ，再由交集的定义求解即可.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
2
因为y=(x+2) −1，且 ∈[-3，1]，所以 ，
所以B=[-1，8]，所以A∩B=[-1，1]．
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科试题）若函数 （ 且 ）的
值域是 ，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【详解】试题分析：由于函数 的值域是 ，故当 时，满足
，当 时，由 ，所以 ，所以 ，所以实
数 的取值范围 .
考点：对数函数的性质及函数的值域.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数
的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，
本题的解答中，当 时，由 ，得 ，即 ，即可求解实数 的取值范围.
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据根式的性质求出集合 ，最后根据交集的定义计算可
得.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，由 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
2．函数 的值域是______．
【答案】
【分析】对目标函数分离常数，利用不等式性质，即可求得结果.
【详解】当 时， ；
当 时， ，又 ，则 ， ， ，
综上所述，故函数 的值域为： .
3．已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数 的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11由图可知，当 或 时，两图象相交，
若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；
同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .
考点四、分段函数
1．（2023年重庆市名校模拟）已知函数 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.
【详解】由题意可得 .
2．己知函数 满足对任意 ，且 ，都有 成立，则实
数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意可得 在 上单调递减，列不等式组求解即可.
【详解】因为对任意 ，且 ，都有 成立，
所以 在 上单调递减.所以 ，解得 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 123．（2023年江苏名校模拟）若函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果．
【详解】函数 ,当 时， ，
当 时， ，函数图像的对称轴为 ，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、
C；
当 时， ，
当 时， ，函数图像的对称轴为 ，函数不是单调函数，排除D.
1．已知函数f(x)= (a∈R)，若 ，则a=（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】先求出 的值，再求 的值，然后列方程可求得答案
【详解】解：由题意得 ，
所以 ，解得a= .
2．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】函数 在 上为减函数，
函数 的图像开口向下，对称轴为 ，
所以函数 在区间 上为减函数，且 .
所以函数 在 上为减函数.
由 得 .解得 .
3．已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数 的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：
由图可知，当 或 时，两图象相交，
若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .
故选：B
考点五、函数单调性
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．记
，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
2．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 153．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
1．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性易得当 时， ，进而可得 ，根据题意对任意的
，都有 恒成立，结合函数单调性可解得 的取值范围.
【详解】 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，
当 时， ，所以 ，
所以对任意的 ，有 恒成立，
因为 在 上单调递增， ，即 恒成立，
，解得 .
2．函数 ( ，且 )在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件令 ，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨论作答.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16【详解】令 ，则原函数转化为 ，其图象的对称轴为直线 ，
若 ，则 在 上单调递增，且 ，因为原函数在区间 上单调递增，
于是得 ，解得 ，与 矛盾，
若 ，则 在 上单调递减，且 ，因为原函数在区间 上单调递增，
于是得 ，解得 或 ，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
3．已知 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增.若实数 满足 ，则
的取值范围是______.
【答案】
【详解】由题意 在 上单调递减，又 是偶函数，
则不等式 可化为 ，则 ， ，解得 ．
考点六、函数奇偶性
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 172．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
3．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，所以 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
1．已知函数 是奇函数，当 时， ，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】 函数 是奇函数，当 时， ，
.
2．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，故 ，其它三个选项未知.
3．设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】由题意可得： ，
而 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
【基础过关】
1
f(x)=1n(4x−x2
)+
1．函数
x−2
的定义域为( ).
（0,4） [0,2)∪(2,4] (0,2)∪(2,4) (−∞，0)∪(4，+∞)
A． B． C． D．
【答案】C
{4x−x2 >0,
x−2≠0, 00, y>0
．
考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．
6．函数 的值域是( ).
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由于 ，所以 .即值域为 .
考点：值域.
7．（2022年黑龙江省部分名校模拟）设 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21【分析】根据分段函数的解析式，先计算 的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案.
【详解】 ，
故 .
8．（2023年北京市部分名校模拟）已知函数 ，若 ，且 ，则 的
最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出函数图象，可得 的范围，得到 ，令 ，
再由导数求最小值即可．
【详解】已知函数 ，作出函数图象如图：
当 时， ．
由 ，得 ，则 ．
令 ，则 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
，即 的最小值为 ．
9．（2019年北京市高考数学试卷（文科））下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
【答案】A
【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.
【详解】函数 ，
在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，故选A.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴
含数形结合思想，属于容易题.
10．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且
f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
{g(x),x<0,
f(x)=
2x −3,x>0 f(g(−1))=
11．(2023·厦门模拟)若函数 为奇函数,则 .
【答案】-1
【详解】∵f (x)为奇函数，且f(−1)=g(−1),∴f(−1)=−f(1)=−(−1)=1,∴g(−1)=1,
∴f(g(−1))=f(1)=−1.
k−2x
f (x)=
12．(2023·北京模拟)若函数
1+k⋅2x
在定义域上为奇函数,则实数
k=
.
【答案】±1
k−2x
【详解】因为函数f (x)= 在定义域上为奇函数，所以 ，
1+k⋅2x f(−x)=−f(x)
k−2−x k−2x
即 = ，化简得 ，
1+k⋅2−x 1+k⋅2x (k2 −1)(22x +1)=0
即k2 −1=0，解得k≠±1，经检验，当k=±1时,函数f (x)为奇函数.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23【能力提升】
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简集合 与集合 ，再根据交集的定义即可求解.
【详解】令 ，即 ，解得 ，所以 .
令 ，解得 ，所以 .
所以 ．
2．（2023年江西省部分名校模拟）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.
【详解】因为 的定义域是 ，所以 ，根据抽象函数定义域求法，
在函数 中， ，解得 或 .
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用二倍角公式化简求出 ，再利用二倍角变形即可求得 .
【详解】
， .
4．若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知，函数 是函数 的反函数，求出 ，进而可得答案．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24【详解】函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，
所以函数 是函数 的反函数，
由 得 ，∴ ，把 互换得： ，即 ，
因为 ，所以 ．
y=1+x−√1−2x
5．函数 的值域为( ).
( 3) 3 (3 ) 3
−∞， (−∞， ] ，+∞ [ ，+∞)
2 2 2 2
A． B． C． D．
【答案】B
1−t2 1−t2 1 1
【详解】设 ,则t≥0,x= ，所以y=1+ −t= (−t2 −2t+3)=− (t+1) 2 +2，因
√1−2x=t 2 2 2 2
3 3
为 ，所以y≤ ，所以函数 的值域为(−∞， ]，
t≥0 2 y=1+x−√1−2x 2
x2 −x+2
y= (x>1)
6．函数
x−1
的值域是 .
【答案】[2√2+1，+∞)
【详解】 令t=x−1,∴t>0,x=t+1,
(t+1) 2 −(t+1)+2 t2 +t+2 2
∴y= = =t+ +1≥2√2+1，
t t t
2
当且仅当t= ，即 时取等号，∴函数的值域为 ，
t t=√2 [2√2+1，+∞)
7．（2023年陕西省部分名校模拟）已知函数 ,若 ，且 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出 的图象，得到 ，问题转化为 ，换元
后进行求解，得到答案.
【详解】作出 的图象，如图所示：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25由 ，可得 ，
则 ，
令 ，
则 ，
故 ．
8．（2023江西省部分名校模拟）函数 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】C
【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.
【详解】因为 ，所以 .
9．（2020年新高考全国Ⅰ卷（山东））若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
10．设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可.
【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为 ；
因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，
对于A， ，故 是奇函数，即A错误；
对于B， ，故 是偶函数，即B错误；
对于C， ，故 是奇函数，即C正确；
对于D， ，故 是偶函数，即D错误；
11．（【全国百强校】河北省武邑中学模拟）函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则
满足 的 的取值范围是．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 是奇函数，故 ；又 是增函数， ，即
则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为 ，从而求得正解.
12．（2022吉林省部分名校模拟）若函数 （ 且 ）在区间 内单调递增，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分 和 分析函数内外层的单调性，列不等式求解
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27【详解】函数 在区间 内有意义，
1 3 1
( ) 1
则 − + a>0 ,∴a> ，设 则 ，
2 2 4
( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数 在区间 内单调递增，
需使 在区间 内内单调递增，
则需使 ，对任意 恒成立 , 即 对任意 恒成立；
因为 时， 所以 与 矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当 时， 是减函数，
要使函数 在区间 内单调递增，
需使 在区间 内内单调递减，
则需使 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
3 3
因为 ，∴a≥ ，又 ，∴ ≤a<1 .
4 4
综上， 的取值范围是 .
【真题感知】
1．（2021年浙江省高考数学试题）已知 ，函数 若 ，则
___________.
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于 的方程，解方程可得 的值.
【详解】 ，故 ，
2．（2008年高考江西卷理科数学试题）若函数 的值域是 ，则函数 的值域
是
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：设 =t,则 ,从而 的值域就是函数 的值域，由“勾函
数”的图象可知， ，故选B．
考点：函数的值域．
3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意.
5．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且 且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得 ，
由 得， ， ，
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31
