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考点 01 练 集合及其应用
1．（2022·河北·模拟预测）已知集合 中所含元素的个数为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据题意利用列举法写出集合 ，即可得出答案.
【详解】解：因为 ，
所以 中含6个元素．
故选：C.
2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．M＝N
【答案】B
【分析】利用集合间的基本关系来进行运算即可.
【详解】集合M表示函数 的定义域，由2x－1>0，解得 .
集合N表示函数 的值域，值域为 ，
故选：B.
3．（2022·全国·高考真题（理））设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意， ，所以 ,
所以 .
故选：D.
4.定义集合 ,若集合 ,集合 ,则集合 的子集个数为______.
【答案】4
【分析】由题意可得 ，从而可得答案．
【详解】解：由题意得集合 为所有奇数组成的集合，
∴ ，∴ 的子集个数为 ，故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查集合的新定义问题，考查子集个数问题，属于基础题．
5．（2022·全国·高三专题练习）集合 满足 ，则集合 的个数有
________个.
【答案】3
【分析】根据题意求出所有的集合 ，即可解出.
【详解】因为 ，即 ，所以 ，
， ，即集合 的个数有3个.
故答案为：3.
6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知集合 ， ，则满足条
件的集合C的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据题意可得 ， ，可知集合C必包含 ，可能有 ，列举或
根据子集理解．
【详解】由 知 ．又 ，则集合 ．又 ，则满足条件的
集合C可以为 ， ， ， ，共4个，
故选：C．
7．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））设全集 ，集合 ， ，
若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得集合 ，结合韦恩图得到 是 的真子集，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，且 ，
根据给定的韦恩图，可得 是 的真子集，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
8．（2022·全国·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合 后可求 .
【详解】 ，故 ，
故选：B.
9.（2022·全国·高三专题练习）设集合 ， 或 ，若 ，
则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】解不等式求出集合 ，由集合 求出 ，再根据 列不等式组，解不等式组即可求
解.
【详解】 或 ，
因为 或 ，所以 ，
若 ，则 ，解得 .
所以 的取值范围是 ，故答案为： .
10．（2020·全国·高三专题练习）如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”.已
知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.
【答案】{0，6}
【分析】根据题意有－2x＝x2＋x，求解方程，再根据集合元素的互异性分类讨论确定集合A，然后与集合
B取交集.
【详解】由题意可知－2x＝x2＋x，解得x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去.
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}.
故答案为：{0，6}
【点睛】
本题考查集合新定义、集合元素的互异性，属于基础题.
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，则集合 元素的个数有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】根据分段函数 解析式，结合集合元素要满足的性质 ，通过分类讨论求所有满足
条件的 的值，进而确定集合中元素的个数．
【详解】当 时， ，解得 ，
当 时，若 ，解得 ，
当 时，若 ，解得 ，
当 时，若 ，则 ，解得 或 .
又∵
∴ 或
∴ 或 或 或 或 .
∴集合 元素的个数有5个.
故选：D．12．（2022·全国·高三专题练习（理））设 ， ，若 ，则实
数 的值不可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据题意可以得到 ，进而讨论 和 两种情况，最后得到答案.
【详解】由题意， ，因为 ，所以 ，若 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，因为 ，所以 或 ，则 或 .
综上： 或 或 .
故选：D.
13．（2022·浙江温州·三模）设集合 ，定义：集合
，集合 ，集合 ，分别用
， 表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对A、B：不妨设 ，可得 ，根据集合
的定义可得Y中至少有以上5个元素，不妨设 ，
则集合S中至少有7个元素，排除选项A，若 ，则集合Y中至多有6个元素，所以
，排除选项B；对C：对 ，则 与 一定成对出现，根据集合 的定义
可判断选项C；对D：取 ，则 ，根据集合 的定义可判断选项D.
【详解】解：不妨设 ，则 的值为 ，
显然， ，所以集合Y中至少有以上5个元素，
不妨设 ，
则显然 ，则集合S中至少有7个元素，所以 不可能，故排除A选项；
其次，若 ，则集合Y中至多有6个元素，则 ，故排除B项；
对于集合T，取 ，则 ，此时 ，
，故D项正确；
对于C选项而言， ，则 与 一定成对出现， ，所以 一定是偶数，
故C项错误.
故选：D.
14.（2022·全国·高三专题练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治
这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的
有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少
有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.
【答案】9
【分析】根据题意，设学生54人看成集合 ，选择物理的人组成集合 ，选择化学的人组成集合 ，选择
生物的人组成集合 ，选择物理与化学但未选生物的人组成集合 ，结合Venn图可知，要使区域 的人
数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.
【详解】把学生54人看成集合 ，选择物理的人组成集合 ，选择化学的人组成集合 ，选择生物的人组
成集合 ，选择物理与化学但未选生物的人组成集合 .
要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他
区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选
择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.
故答案为：9.
15．（2022·全国·高三专题练习）设x，y∈R，集合A＝{ |ax+by+1＝0}，B＝{ |x2+y2＝1}，且A∩B
是一个单元素集合，若对所有的 ∈{ |a＜0，b＜0}，则集合C＝{ | }所表
示的图形的面积等于___．
【答案】2π【分析】先根据A∩B是一个单元素集合，得到直线和圆相切，即a2+b2＝1，结合图象得到集合C的面积＝
半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的 ，问题得以解决．
【详解】集合A＝{ |ax+by+1＝0}，B＝{ |x2+y2＝1}，且A∩B是一个单元素集合，
∴直线和圆相切，
∴ ，即a2+b2＝1，
∵ ∈{ |a＜0，b＜0}，集合C＝{ | }，
∴圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分（第三象限 圆弧上）
∴集合C中圆的边界的移动是如图所示的区域，
∴集合C的面积＝半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的 ，
∴集合C的面积＝π+π＝2π，
故答案为：2π．
