文档内容
专题 10 菱形的性质与判定八类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用菱形的性质求解
类型二、利用菱形的性质求解折叠问题
类型三、利用菱形的性质求解动点问题
类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题
类型五、利用菱形的判定与性质求解
类型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题
类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题
类型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）
压轴专练
类型一、利用菱形的性质求解
方法总结
1. 性质对应：明确菱形的四边相等、对角线互相垂直平分且平分对角。
2. 方程求解：利用上述性质，结合勾股定理或三角函数，建立关于线段或角度的方程求解。
解题技巧
1. 对角线分直角：菱形的对角线将其分割为四个全等的直角三角形，是常用的解题模型。
2. 等边转化：利用“四边相等”进行线段等量代换，常与对角线垂直产生的垂直关系结合使用。
例1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在菱形 中， 与 交于点 ，点 为 的中点，连
接 ，若 ，则 的度数为 °．
【变式1-1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形 是菱形，点 ， 分别在边 ， 上，
且 是等边三角形．若 ，则 的度数为 ．【变式1-2】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，菱形 的边长为10，对角线 的长为16，点
， 分别是边 ， 的中点，连接 并延长与 的延长线相交于点 ，则 的长为 ．
【变式1-3】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形 中， ，边长 为8，点M是
边上一点，点N是 边上一点，将 沿 翻折，点A的对应点 恰好落在菱形 的一条
边上，若 ，则 的长为 ．
类型二、利用菱形的性质求解折叠问题
方法总结
1. 抓住折叠本质：折叠即轴对称，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。
2. 结合菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找全等或直角三角形。
解题技巧
1. 标注等量：在图上清晰标出折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系。
2. 设元勾股：常在菱形折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。
例2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，把菱形 沿 折叠，点 落在 边上的 处，若
，则 的大小为 ．【变式2-1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将菱形纸片 折叠，使得点B恰好落在边
的中点 处，折痕为 ．若菱形 的边长为 ， ，则 ．
【变式2-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在菱形 中， ．折叠该菱形，使点A落在边
上的点M处，折痕分别与 ， 交于点E，F．在点M的位置变化的过程中，当 最大时，
的值为 ．
【变式2-3】（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，四边形 是菱形， ， ，点
是射线 上一动点，把 沿 折叠，其中点 的对应点为 ，连接 ，若 为等边三角形，
则 的长为 ．
类型三、利用菱形的性质求解动点问题
方法总结1. 分类画图：根据动点位置（如在线段上、延长线上），画出所有可能的菱形示意图。
2. 性质建方程：利用菱形四边相等或对角线垂直平分的性质，建立关于动点坐标或时间的方程。
解题技巧
1. 参照系固定：以已知定点为参照，用含t的代数式表示动点的坐标或相关线段长。
2. 检验合理性：解方程后，检验结果是否满足动点的运动范围（如在线段上）及图形的构成条件。
例3．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，在菱形 中，点 是对角线 上一动点，点 是边
上一动点，连接 ， ．若 ， ，则 的最小值为 ．
【变式3-1】（24-25八年级下·贵州毕节·月考）如图，四边形 是边长为8的菱形， ，M
是对角线 上的一个动点．
（1）若N是 边上一点， ，连结 ，则 的最小值为 ；
（2）变式：若 N是 边上一个动点，连结 ，则 的最小值为 ．
【变式3-2】（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，在四边形 中， ， ，
， ， ，动点 从点 出发沿 边以 的速度向点 匀速运动，同时
动点 从点 出发沿 边以 的速度向点 匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随
之停止运动．设运动的时间为 ．
(1)用含有 的代数式表示： ______， ______， ______；
(2)当 为何值时，四边形 是矩形？
(3)四边形 是否能成为菱形？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
【变式3-3】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形 的边长为 ， ，动点 从点
出发，沿着线路 做匀速运动，动点 从点 同时出发，沿着线路 做匀速运动．(1) ______；
(2)已知动点 、 运动的速度分别为 、 ．经过12秒后， 、 分别到达 、 两点，试判断
的形状，并说明理由，同时求出 的面积；
(3)设问题（2）中的动点 、 分别从 、 同时沿原路返回，动点 的速度不变，动点 的速度改变为
，经过3秒后， 、 分别到达 、 两点，若 为直角三角形，试求 的值．
类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题
方法总结
1. 性质选择：根据所求结论，选用菱形对应性质（如四边相等、对角线垂直平分且平分对角）。
2. 数形转化：将几何关系转化为代数方程（如用勾股定理），或转化为三角形全等、相似的证明问
题。
解题技巧
1. 对角线模型：连接对角线，构造出直角三角形，是运用勾股定理和三角函数的关键。
2. 等量代换：灵活运用“四边相等”进行线段等量代换，并结合“对角线互相垂直”产生的垂直关
系。
例4．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形 中， ，垂足为 ， ，垂
足为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，则 的度数为__________．
【变式4-1】（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点作 ，且 ，连接 、 ， 交 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求 的长．
【变式4-2】（25-26八年级上·重庆·月考）如图，四边形 是菱形，连接 、 交于点 ，点 为
上方一点，且满足 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， ，求 的
面积．
【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形 中，对角线 交于点O，过点A
作 的垂线，垂足为点E，延长 到点F，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，
①求 的长；
②求 的长．类型五、利用菱形的判定与性质求解
方法总结
1. 先判后性：先依据一组邻边相等或对角线垂直等条件，判定四边形为菱形。
2. 再性求解：再利用菱形的性质（四边相等、对角线垂直平分等）求解角度、线段或证明。
解题技巧
1. 判定优选：优先选择“四边相等的四边形”或“对角线垂直平分的四边形”等直接判定。
2. 转化化归：将菱形问题常转化为等腰三角形或直角三角形问题，运用勾股定理、等边对等角求解。
例5．（2026九年级·吉林·专题练习）按如下步骤作四边形 ：①画 ；②以点 为圆心，1个
单位长度为半径画弧，分别交 于点 ；③分别以点 和点 为圆心，1个单位长度为半径画弧，
两弧交于点 ；④连接 ．若 ，则 的度数是 ．
【变式5-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，
， ，若 ，则 的长为 ．
【变式5-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图， 是边长为1的等边三角形，取 边中点 ，
作 ， ，得到四边形 ，它的周长记作 ；取 中点 ，作 ．
，得到四边形 ，它的周长记作 ，…，照此规律作下去，则 ．【变式5-3】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形
，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积
为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为 ．则图1中的
的长度为 ；四边形 的面积为 ．
类型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题
方法总结
1. 逐项分析：对每个结论单独推理，判断其是否可由已知条件结合菱形判定与性质必然推出。
2. 构造反例：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊菱形（如内角非90°的菱形）进行验证。
解题技巧
1. 性质链梳理：系统梳理菱形的判定条件与性质（边、对角线、角），形成完整推理链条。
2. 图形直观法：画出一般菱形（非正方形）示意图，结合图形测量快速排除明显错误结论。
例6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形 中， ， 、 分别是射线
和 上的两个点， ，以下结论：① ；② 是等边三角形；③ ；
④ ， ，若 ，则 面积的最大值为 ．其中正确的个数有（ ）A． B． C． D．
【变式6-1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，有一张矩形纸片 ， ， ，点 ，
分别在矩形的边 ， 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点 落在矩形的边 上，记为点 ，点
落在 处，连接 ，交 于点 ，连接 ．下列结论：① ；②四边形 是菱形；③
， 重合时， ；④ 的面积的最小值为1．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知菱形 的边长为 分别是 上
的动点，且 ．下列结论正确的个数是（ ）
① ；② 为等边三角形；③ ；④ 为等边三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形 中， ， ，对角线
相交于点O，点E、F分别在边 上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点
A向点D运动， 与 交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（ ）
①菱形的面积是 ；② 始终为等边三角形；③线段 长的最小值为 ；④点G所走过的路径长
为1．A．4 B．3 C．2 D．1
类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题
方法总结
1. 判性结合：先依据条件判定菱形，再运用其性质（四边相等、对角线垂直平分）推导新结论或求值。
2. 数形互化：将几何关系转化为方程求解（如勾股定理），或将代数条件还原为几何特征进行判定。
解题技巧
1. 对角线模型：连接对角线构造直角三角形，是运用勾股定理和三角函数的核心模型。
2. 等量转化：灵活利用“四边相等”进行线段等量代换，常与“对角线垂直”产生的垂直关系结合。
例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形 中， ， ，对角线 ，
交于点 ， 平分 ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，求 的长．
【变式7-1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，矩形 中，点 在边 上，将 沿 折
叠，点 落在 边上的点 处，过点 作 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
【变式7-2】（25-26九年级上·重庆南岸·期末）在四边形 中， ，E为射线 上
的一点，四边形 为平行四边形．(1)如图1，连接 ， ，若 ，求证：四边形 是矩形；
(2)如图2，连接 ， ， ， 交 于点 ．若 ，求 的周长的最小
值；
(3)如图3，连接 ， ， 交 于点 ．若 ，当 是等腰三角形时，直
接写出 的值．
【变式7-3】（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线
所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形 中，E是 的中点，连接 ， ，则
折线 叫做菱形 的折中线，折线 的长叫做折中线的长．
已知，在菱形 中， ，E是 的中点，连接 ， ．
(1)如图1，已知折中线 将菱形的面积分为了三部分， 、 、 的面积之比为 ；
(2)如图2，若 ， ，求折中线 的长；
(3)若 ，且折中线 中的 或 与菱形 的一条对角线相等，求折中线的长．
类型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）
方法总结
1. 依性作图：根据菱形“四边相等”、“对角线垂直平分”的性质，利用圆规截等长、作中垂线。
2. 依判构形：以满足菱形判定条件（如“邻边相等的平行四边形”）为目标，设计作图步骤。
解题技巧
1. 先定一边：通常先作出一条边，再以此边为半径画弧确定等长的邻边或对角线的交点。
2. 巧用对角线：利用“对角线互相垂直平分”，通过作已知线段的中垂线来定位顶点。
例8．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在菱形 的边 上有一点 （不与点 ， 重合），请
仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中的菱形 的边上找一点 ，作线段 ，使 ．
(2)在图②中的菱形 的边上找点 ， ，使 ，并作出等腰三角形 ．
【变式8-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，四边形 是菱形， 是 边上的高，请仅用
无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作 边上的高 ；
(2)在图2中，作 边上的高 ．
【变式8-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，四边形 中， ， ，
于点 ．
(1)尺规作图：在 上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接 ，使四边形 为菱形，并说
明理由；
(2) 与 相交于点O，连接 ，若 ，求 长．
【变式8-3】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不
写作法）．(1)如图 ，点 是菱形 边 上一点，连接 ．求作 ，使 ，且点 在 边
上；
(2)如图 ，点 是菱形 边 上的一点．求作 边上的点 ，使 ；
(3)如图3，四边形 中， ， ， 平分线交边 于点 ，求作线段
的中点 ．
一、单选题
1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形 中，连接 ， ，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级下·全国·周测）如图， ， 是 的对角线，过点 作 ，交 的延
长线于点 ，则添加下列条件，不能使 为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形 中，连接 ，分别以点 ， 为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点 ， ，作直线 分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ，若
，则 的大小为（ ）A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，菱形 的对角线交于点O，过点C作 ，交
的延长线于点E，连接 ．若 ， ，则菱形 的面积为（ ）
A． B． C． D．9
5．（24-25九年级下·河北沧州·月考）如图，现有一张矩形纸片 ， ， ，点 ， 分别
在矩形的边 ， 上，将矩形纸片沿直线 折叠，使点 落在 边上点 处，点 落在点 处，连
接 ，交 于点 ，连接 ．下列结论：
① ；
②四边形 是菱形；
③ ， 重合时， ；
④点 、 、 三点共线．
其中正确的结论有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题6．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知菱形花坛 ，沿着菱形花坛 的对角线修建两
条小路 和 ， 、 相交于点O，若 ，则 的度数为 °．
7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 上，
，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形 是菱形．
8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在 的两边上分别截取 ，使 ，分别以
点A，B为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点C，连接 ．若 ，四边形
的面积为 ，则 的长为 ．
9．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和
深厚的文化底蕴．如图，小红家有一个菱形中国结装饰，对角线 ， 相交于点 ，测得 ，
，过点 作 于点 ，则 的长是 ．
10．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形 中， ，边长 为8，点M是 边上一
点，点N是 边上一点，将 沿 翻折，点A的对应点 恰好落在菱形 的一条边上，若
，则 的长为 ．三、解答题
11．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图， 是菱形 的对角线， ．
(1)请用尺规作图法，在 上找点 ，使 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）条件下，连接 ,求 的度数．
12．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形 的对角线 、 交于点O，延长 至点
E，使得 ，连接 交 边于点F，点D、F分别是 、 的中点， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
13．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形 中， 平分 交 于点E，F为 边
上的点，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；(2)连接 ，若 ， ， ，求 的长．
14．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，菱形 及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作
图．
(1)如图1，若点P在 上，请在 上作出点Q，使 ．
(2)如图2，若点P在菱形 外，请在菱形外作点Q，使 ．
15．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形 的对角线 与 相交于点O，且 ，
．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
16．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形 中， ， ，点E为 上一
动点，延长 到点 ，使 ，且 分别交 ， 于点 和点 ．
(1)将 沿 对折，使点E落在 处，若 ，求 的度数；
(2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形 是平行四边形？若存在，请说出E点位
置，并证明四边形 是平行四边形，若不存在，请说明理由．(3)若 ，探究 是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由．
