文档内容
第 3 节 不等关系与不等式性质
考试要求 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
⇔
(3)同向可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
⇒
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
⇔ ⇒
(5)可乘方性：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
⇒ ⇒ ⇒
(6)可开方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
⇒
⇒
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b <.
⇔
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b ac2＞bc2.( )
(2)a＝b ac＝bc.( )
⇔
(3)若>1，则a>b.( )
⇔
(4)01，但ay，则下列不等式成立的是( )
A.<1 B.2－x<2－y
C.lg(x－y)>0 D.x2>y2
答案 B
解析 由x>y，得－x<－y，所以2－x<2－y，故选B.
5.(多选)(2022·湖北七市联考)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等
式正确的是( )
A.c2＜cd B.a－c＜b－d
C.ac＞bd D.－＞0
答案 AD
解析 对于A，c2－cd＝c(c－d)＜0，所以A正确；
对于B，a－c－(b－d)＝(a－b)－(c－d)，无法判断与0的大小关系，所以B错误；
对于C，不妨设a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，所以C错误；
对于D，－＝＞＝＞0，所以D正确.故选AD.
6.比较两数的大小：＋________＋.
答案 ＞
解析 (＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，∴(＋)2＞(＋)2，∴＋＞＋.
考点一 比较数(式)的大小1.若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B
答案 B
解析 由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.
2.若a＝，b＝，c＝，则( )
A.ab；＝＝log 1 024>1，
81 625
所以b>c.即c0，得0e.
∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
3.已知等比数列{a }中，a >0，q>0，前n项和为S ，则与的大小关系为________.
n 1 n
答案 <
解析 当q＝1时，＝3，＝5，
所以<；
当q>0且q≠1时，
－＝－
＝＝<0，
所以<.综上可知<.
4.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.
答案 eπ·πe＜ee·ππ
解析 ＝＝，
又0＜＜1，0＜π－e＜1，
∴＜1，即＜1，
即eπ·πe＜ee·ππ.
感悟提升 1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变
形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两
个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单
调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
考点二 不等式的基本性质
例1 (1)(多选)(2021·长沙调研)若＜＜0，则下列不等式中正确的是( )
A.＜ B.|a|＋b＞0
C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2
答案 AC
解析 由＜＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，
即A正确；
B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.
故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误；
C中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；
D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x
在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故D错误.由以上分析，知A，C
正确.
(2)(多选)(2021·石家庄模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(
)
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x|y|＞|y|z
答案 ACD
解析 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.
对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；
对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；
对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；
对于D，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误.
感悟提升 解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时
要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值法排除错误答案；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数
对数、幂函数等函数的单调性进行判断.训练1 (1)若2m＞2n，则下列结论一定成立的是( )
A.＞ B.m|m|＞n|n|
C.ln(m－n)＞0 D.πm－n＜1
答案 B
解析 ∵2m＞2n，
∴可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立.
(2)(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A.a＜b B.－c＞－c
C.＞ D.ac2＜bc2
答案 ABC
解析 ∵y＝x在(0，＋∞)上是增函数，
∴a＜b.
∵y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，
∴－c＞－c.
∵－＝＞0，∴＞.
当c＝0时，ac2＝bc2，∴D不成立.故选ABC.
考点三 不等式性质的综合应用
例2 (1)已知－1b>c，则的取值范围是________.
答案
解析 因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c).
又因为a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，
所以1>－>，即1>－1－>，
所以解得－2<<－.
即的取值范围为.
14.若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.
(1)求证：b＋c＞0.
(2)求证：＜.
(3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出
该代数式；若不能，请说明理由.
(1)证明 因为|b|＞|c|，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0.
(2)证明 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0，
所以0＜＜①.
因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0②.
①②相乘得＜.
(3)解 因为a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，
所以＜＜或＜＜.
所以，均为所求代数式.(只要写出一个即可)
