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第三课时 最值、范围问题
题型一 最值问题
角度1 基本不等式法求最值
例1 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，
直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方
程.
解 (1)设F(c，0)，由条件知＝，
得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意；
设l：y＝kx－2，P(x ，y )，Q(x ，y )，
1 1 2 2
将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，
即k2>时，x ＋x ＝，
1 2
x ·x ＝.
1 2
从而|PQ|＝|x －x |
1 2
＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积S ＝d·|PQ|＝.
△OPQ
设＝t，则t>0，S ＝＝≤1，
△OPQ
当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为
y＝x－2或y＝－x－2.
角度2 函数法求最值
例2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F ，F ，交y轴于点
1 2
B ，B ，以B ，B 为顶点，F ，F 分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.
1 2 1 2 1 2(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F MN的面积的最大
2
值.
解 (1)由题意，得椭圆E的焦点在x轴上.
设椭圆E的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，
∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
∵椭圆E经过点，
∴＋＝1，解得b2＝1，
∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵点(－2，0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2).
设M(x ，y )，N(x ，y ).
1 1 2 2
由消去y，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
∴x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2
Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，
解得0≤k2＜，
∴|MN|＝|x －x |
1 2
＝2.
∵点F (1，0)到直线l的距离d＝，
2
∴△F MN的面积为
2
S＝|MN|·d＝3.
令1＋2k2＝t，t∈[1，2)，得k2＝.
∴S＝3＝3
＝3＝3，
当＝，即t＝时，S有最大值，S ＝，此时k＝±.
max
∴△F MN的面积的最大值是.
2
感悟提升 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一
是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质
等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个
(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
训练1 (2022·长沙模拟)已知抛物线C ：y2＝4x和C ：x2＝2py(p＞0)的焦点分别为
1 2
F ，F ，点P(－1，－1)且F F ⊥OP(O为坐标原点).
1 2 1 2(1)求抛物线C 的方程；
2
(2)过点O的直线交C 的下半部分于点M，交C 的左半部分于点N，求△PMN面
1 2
积的最小值.
解 (1)∵F (1，0)，F ，∴F1F2＝，F1F2·OP＝·(－1，－1)＝1－＝0，
1 2
∴p＝2，∴抛物线C 的方程为x2＝4y.
2
(2)设过点O的直线MN的方程为
y＝kx(k＜0)，
联立得(kx)2＝4x，
解得M，
联立得N(4k，4k2)，
从而|MN|＝
＝.
点P到直线MN的距离d＝，
所以S ＝··
△PMN
＝＝
＝2.
令t＝k＋(t≤－2).
则S ＝2(t－2)(t＋1)，
△PMN
当t＝－2，即k＝－1时，S 取得最小值，最小值为8，
△PMN
即当过原点的直线方程为y＝－x时，
△PMN的面积取得最小值8.
题型二 范围问题
例3 设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交
圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆
1 1
A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
(1)证明 因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|
ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝
1(y≠0).
(2)解 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x ，y )，N(x ，y ).由得(4k2
1 1 2 2
＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2
所以|MN|＝|x －x |＝.
1 2
过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积
S＝|MN||PQ|＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8).
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8).
感悟提升 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之
间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确
定参数的取值范围.
训练2 (2021·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成
的四边形面积为4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交
y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围.
解 (1)因为椭圆E过点A(0，－2)，
所以b＝2.
以四个顶点围成的四边形面积为4，
故·2a·2b＝2ab＝4.
由解得
故椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可得，直线l的斜率存在，且直线l的方程为y＝kx－3，
设B(x ，y )，C(x ，y )，
1 1 2 2
联立
消去y整理得(5k2＋4)x2－30kx＋25＝0，Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25
＝400(k2－1)>0，
故k>1或k<－1.由根与系数的关系，得
x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2
进而可得y ＋y ＝k(x ＋x )－6
1 2 1 2
＝－，
y y ＝(kx －3)(kx －3)＝k2x x －3k(x ＋x )＋9＝.
1 2 1 2 1 2 1 2
直线AB的方程为y＋2＝x，
令y＝－3，则x＝－，
故点M.
直线AC的方程为y＋2＝x，
令y＝－3，则x＝－，
故点N.
|PM|＋|PN|＝＋
＝
＝
＝
＝＝|5k|≤15，
即|k|≤3，解得－3≤k≤3.
综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].
1.(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ＝9QF，求直线OQ斜率的最大
值.
解 (1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程
为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，
设P(x ，y )，Q(x ，y )，
1 1 2 2
则PQ＝(x －x ，y －y )，QF＝(1－x ，－y ).
2 1 2 1 2 2
因为PQ＝9QF，所以可得
又点P在抛物线C上，所以y＝4x ，
1
即(10y )2＝4(10x －9)，
2 2
化简得y＝x －，
2
则点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取
最大.
联立y＝kx与y2＝x－消y，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为.
2.(2021·湖北部分重点中学联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，点F为抛物线C
的焦点，点A(1，m)(m＞0)在抛物线C上，且|FA|＝2，过点F作斜率为k的直线l与
抛物线C交于P，Q两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求△APQ面积的取值范围.
解 (1)由抛物线的定义可得
|FA|＝x ＋＝1＋＝2，所以p＝2，
A
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x ，y )，Q(x ，y )，
1 1 2 2
联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＞0恒成立，
由根与系数的关系得
x ＋x ＝，x x ＝1，
1 2 1 2
因为AF⊥x轴，所以S ＝×|AF|×|x －x |＝|x －x |＝
△APQ 1 2 1 2
＝4＝4.
因为≤k≤2，令t＝，
所以S ＝4，
△APQ
所以≤S ≤8，
△APQ
所以△APQ的面积的取值范围为[，8].
3.如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F
是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
解 (1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则AP＝(x＋6，y)，FP＝(x－4，y).
∵PA⊥PF，∴AP·FP＝0，
则
可得2x2＋9x－18＝0，得x＝或x＝－6.
由于y＞0，故x＝，于是y＝.
∴点P的坐标是.
(2)由(1)可得直线AP的方程是x－y＋6＝0，点B(6，0).
设点M的坐标是(m，0).
则点M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.
由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15，
由于－6≤x≤6，
由f(x)＝＋15的图象可知，
当x＝时，d取最小值，且最小值为.
4.(2022·济南模拟)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率
为，且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于
A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.
解 (1)由题意知＋＝1.
又＝，解得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
(ⅰ)设P(x ，y )，＝λ，
0 0
由题意知Q(－λx ，－λy ).
0 0
因为＋y＝1，
又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.
(ⅱ)设A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①
则有x ＋x ＝－，
1 2
x x ＝.
1 2
所以|x －x |＝.
1 2
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积
S＝|m||x －x |＝
1 2
＝
＝2.
设＝t，
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0＜t≤1，
因此S＝2＝2，
故S≤2，
当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.
由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，
所以△ABQ面积的最大值为6.
