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第三讲：复数
【考点梳理】
1、复数的有关概念
（1）形如 ( )的数叫做复数，其中 分别是复数的实部和虚部．若 ，则
为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数．
(2)复数相等： ( )．
(3) 的共轭复数为 ( )．
(4)复数 ( )与复平面的点 一一对应．
(5)复数 ( )的模
注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
2、复平面及复数的几何意义
（1）.复平面
（2）复数的几何意义
①复数 ( ) 复平面内的点 .
②复数 ( ) 平面向量 .
（3）复数的模：①定义：向量 的模叫做复数 ( )的模或绝对值.
②记法：复数 i的模记为 或 ③公式：
（3）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于
0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
2.表示： 的共轭复数用 表示，即若 ( )，则
3、复数加法与减法的运算法则
（1）设 ， ( )是任意两个复数，则
① ；②
（2）对任意 ，有
① ；② .4、复数加减法的几何意义
如图，设复数 ， 对应向量分别为 ， ，四边形 为平行四边形，向量 与复数
对应，向量Z2Z1与复数 对应.
5、复数乘法的运算法则和运算律
（1）复数的乘法法则
设 ， ( )是任意两个复数，则
.
2.复数乘法的运算律
对任意复数 ，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
6、复数除法的法则
设 ， ( ，且 )是任意两个复数，
则
7、方程的虚数根
对所有的实系数一元二次方程 ，若 ，则此方程没有实根，但有两
个虚根，且两根 ，故实系数方程的虚根成对出现．
8、常用结论
① ② ③
【典型题型讲解】
考点一：复数的相关概念
【典例例题】例1.已知 为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
①若 ，则 ； ②若 ，则 ；
③若 ，则 ； ④若 是虚数，则 都是虚数.
A．①④ B．② C．②③ D．①②③
【答案】C
【解析】 为复数，
①若 ，因为 没有大小（虚部为0，即为实数时除外），故 是错误的，
②若 ，设 ，则 ，由 ，得 ，所以 ，正确，
③若 ，则 ，正确，
④若 是虚数， 不一定都是虚数，比如 ，而 是虚数，故错误，
故②③正确，
故选：C.
例2.已知 ，（ ， 为虚数单位），则实数 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】
， ，
， ， .
故选：C.
【方法技巧与总结】
复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题
时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
【变式训练】
1.已知复数 和 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】 ， 复数 和 是实数， 成立，
当 时，例如 ，推不出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
2.已知 ，若复数 是纯虚数，则 （ ）
A．0 B．2 C．0或 D．
【答案】D
【解析】由复数 为纯虚数，
得 ，解得 .
故选：D.
3.若 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】
若 ，则 ，
所以则 是 的充要条件.
故选：C
考点二：复数的运算
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）下面是关于复数 （ 为虚数单位）的命题，其中真命题为
（ ）
A． B．
C． 的共轭复数为 D． 的虚部为【答案】ABD
【详解】由复数 ，
则 ，所以A正确；
因为 ，所以B正确；
根据共轭复数的概念，可得复数 的共轭复数为 ，所以C不正确；
根据复数的基本概念可得，复数 的虚部为 ，所以D正确.
故选：ABD.
例2．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数 ， 是 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】．ABC
【详解】对于A：
若 ，则 ，故 ，
所以A正确；
对于B：
若 ，则 ，
所以B正确；
对于C：
设 ，
则 ，故 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若 ， ，则 ， ，故 ，所以D错误.
故选：ABC
【方法技巧与总结】
设 ，则
（1） （2）
（3）
【变式训练】
1．（2022·广东汕尾·高三期末）若复数z满足 其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：D．
2．（2022·广东清远·高三期末）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ．
故选：B
3．（2021·广东汕头·高三期末）已知i为虚数单位，复数z满足：z(1-i)=4-3i，则z=（ ）
A． B． C． D．
【答案】．A
【详解】由题意可得： ．
故选：A
4.复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，因此， .
故选：C.
5.已知复数 （ 为虚数单位）为实系数方程 的一根，则 （ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】C
【解析】因为 是方程 的根，所以 ，
， 且 ，
故选：C
6．若 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A
7．若复数 的虚部小于0， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，因为 ，所以 .
又z的虚部小于0，所以 ， .
故选：C
考点三：复数的几何意义
【典例例题】
例1.复数满足 ，则复数 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】设 ,则 ,
, ,
所以复数 在复平面内所对应的点为 ,在第二象限.
故选:B
例2．（2022·全国·模拟预测）如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则 对应的
点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由复数的几何意义知： ，
则 ，
对应的点的坐标为 ，位于第三象限，
故选：C.
【方法技巧与总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究
复数几何意义的最重要的出发点．
【变式训练】
1．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为 ，
所以复数 在复平面对应的点为 ，故A，C，D错误.
故选：B.
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
【答案】D
【解析】 ，故 位于第四象限，故选:D.
3．若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 （ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
由题意可得z为实数，
所以 ，所以 ．
故选：C.
4．已知复数 ，则 的共轭复数 在复平面中对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【解析】由题意得 ，
所以 ， 在复平面中对应的点为 ，在第一象限.
故选：A.
5．在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵复数 对应的点的坐标为 ，
∴ ，∴ ，
故选：A
6．已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为 ，
在复平面内对应的点在第三象限，
，解得 .
故选：A.
7．已知复数z满足 ，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题， ，故 ，解得 ，
故选：A.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以， 的虚部为 .
故选：C2．已知复数 ，则 的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，即 的共轭复数的虚部为 .
故选：C.
3．已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以由 可得 ，解得 ，
所以 ，
故选：C
4．复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ， ，则 .
故选：C.
5．已知 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】 ，
复数 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限．
故选：C．
6．已知复数z满足 ，则 （ ）．
A．5 B． C．22 D．2
【答案】A
【解析】 ， ， .
故选：A
7．已知复数 满足 ，若 为纯虚数，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】因为 为纯虚数，所以设 ，
则由 ，得 ，
即 ，所以 ，解得 .
故选：C.
8．复平面内表示复数 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】 ，
所以 .故选：A
9．欧拉公式 （其中 ， 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式
建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据
欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A． 的实部为 B． 在复平面内对应的点在第一象限
C． D． 的共轭复数为
【答案】C
【解析】对于A， ，则实部为 ，A错误；
对于B， 对应的点为 ，
， ， 对应的点位于第二象限，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D， ，则其共轭复数为 ，D错误.
故选：C.
二、多选题
10．（2022·河北·高三阶段练习）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则Z在复平面内的轨迹为圆
C．若 ，满足 ，则 的取值范围为
D．若 ，则 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，若 ，则 ， ， ，依次循环，
所以 ，故A正确；对于B，设 ， ，则有 ，
可知 在复平面内的轨迹为圆，故B正确；
对于C，因为复数z满足 ，所以点 的轨迹为以 为圆心，以1为半径的圆，
设 ，即 ，当此直线与圆相切时有 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，故C不正确；
对于D，设 ， ，若 ，则有 ，
令
，
则 .
令 ，可得 ，
所以 ，于是得 ，故D正确.
故选：ABD
11．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数 在复平面内对应的点在第四象限 B．复数 的虚部为
C．复数 的共轭复数 D．复数 的模
【答案】BCD
【解析】 ，
，所以复数 在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；
虚部为 ，故B正确；
复数 的共轭复数 ，故C正确；复数 的模 ，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
12．己知 ， 则 ___________．
【答案】-1
【解析】 ，所以 ， ， .
故答案为：-1.
13．若复数 为纯虚数，则 ___________.
【答案】
【解析】由题可知 为纯虚数，
所以 ，故 .
故答案为： .
14．如图，在复平面内，复数 对应的向量分别是 ，若 ，则复数 ___________.
【答案】 【解析】根据复数的几何意义可得 ，
又 ， .
故答案为：15．设 为实数，复数 ，（其中i为虚数单位），若 为纯虚数，则 的值为
_______.
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∵ 为纯虚数，
∴ ，解得 .
故答案为：
