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第 1 节 函数的概念及其表示
考试要求 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景
中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了
解简单的分段函数，并能简单应用.
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意
一个数 x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一
概念
确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B
的一个函数
三 对应关系 y＝f(x)，x∈A
要 定义域 x 的取值范围
素 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子
来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值
域的并集.1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域
不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域可以为B的子集.
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函
数.
2.(易错题)下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为
值域的函数的图象是( )
答案 C
解析 A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的
定义可知C正确.3.(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是__________.
答案 (0，＋∞)
解析 要使函数有意义，需满足
即x＞0且x≠－1，所以函数的定义域为(0，＋∞).
4.(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________.
答案 2
解析 因为>2，所以f()＝6－4＝2，
所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.
5.(易错题)已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
答案 x2－1(x≥0)
解析 令t＝，则t≥0，故x＝t2，
则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0).
6.函数f(x)＝x－在区间[2，4]上的值域为________.
答案
解析 f(x)＝x－在区间[2，4]上单调递增，
又f(2)＝，f(4)＝，
故f(x)的值域为.
考点一 函数的概念
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
答案 C
解析 根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.
2.(多选)下列各组函数是同一函数的为( )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x
答案 AC
解析 同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是
函数的是________.(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
答案 ③
解析 ③中，f：x→y＝x，x∈[0，4]时，y＝x∈Q,故不满足函数的定义.
感悟提升 （1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中
有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能
存在与A中元素不对应的元素.
（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同
考点二 求函数的定义域
1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为( )
A.(0，4)
B.[0，2)∪(2，4]
C.(0，2)∪(2，4)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 C
解析 要使函数有意义，
则
解得0＜x＜4且x≠2.
2.函数f(x)＝ ·lg的定义域是( )
A.[1，2] B.[2，＋∞)
C.[1，2) D.(1，2]
答案 C
解析 根据函数f(x)的解析式，
有解得1≤x＜2，
所以函数f(x)的定义域为[1，2).3.已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A.[0，1] B.(0，1)
C.[0，1) D.(0，1]
答案 B
解析 由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，
解得0≤x≤1.又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函数
g(x)的定义域为(0，1).
4.已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A. B.(－12，0]
C.(－12，0) D.
答案 B
解析 因为函数f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.
当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－120.
当01的x的取值范围是________.
答案
解析 由题意得：当x>时，2x＋2x－>1恒成立，即x>；当01恒
成立，即01，∴x>－，即－1，
此时f(x)＝x2－1≤0，
f(x＋1)＝log (x＋1)>0，
2
∴01时，f(x)0时，每一个x对应2个y，图象B中x 对应2个
0
y，所以A，B均不是函数图象；图象C，D可以是函数图象.
3.函数y＝log (2x－4)＋的定义域是( )
2
A.(2，3) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 由得x＞2且x≠3，故函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
4.函数y＝1＋x－的值域为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设＝t，则t≥0，x＝，
所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2.
因为t≥0，所以y≤.
所以函数y＝1＋x－的值域为.
5.已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A.(－1，0) B.(－2，0)
C.(0，1) D.
答案 C
解析 函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，即函数y＝f(x＋1)中的x满足－2＜x＜0，
此时－1＜x＋1＜1，记t＝x＋1，则－1＜t＜1，则f(t)的定义域为(－1，1)，也就是
f(x)的定义域是(－1，1).
要求f(2x－1)的定义域，则－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1，
∴f(2x－1)的定义域为(0，1).
6.(2022·福州第一中学期中)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(
)
A.(－1，0)∪(0，1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(0，1)
答案 C
解析 当a＞0时，－a＜0，
由f(a)＞f(－a)得log a＞loga，
2
所以2log a＞0，解得a＞1；
2
当a＜0时，－a＞0，由f(a)＞f(－a)得log(－a)＞log (－a)，
2
所以2log (－a)＜0，可得0＜－a＜1，
2
即－1＜a＜0.
综上，a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).
7.已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________.
答案
解析 令x＝2，可得f＋f(－2)＝4，①
令x＝－，可得f(－2)－2f＝－1，②
联立①②解得f(－2)＝.8.已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)
＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
9.函数y＝(x＞1)的值域是________.
答案 [2＋1，＋∞)
解析 令t＝x－1，∴t＞0，x＝t＋1，
∴y＝＝＝t＋＋1≥2＋1，
当且仅当t＝即t＝时取等号，
∴函数的值域为[2＋1，＋∞).
10.已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
解 (1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴f＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图.
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.11.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前
滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某
种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽车的车
速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘
制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
解 (1)由题意及函数图象，
得解得m＝，n＝0，
∴y＝＋(x≥0).
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.
12.(多选)(2022·重庆质检)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，
则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－
1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是
( )
A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B.y＝x＋
C.y＝－log x
3
D.y＝
答案 AD
解析 根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其
对应.
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.
对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同
一函数值，故A可以构造“同值函数”；
对于B，y＝x＋，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函
数”；
对于C，y＝－log x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值
3
函数”；对于D，y＝，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D
可以构造“同值函数”.
所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.
13.已知函数f(x)＝log x，g(x)＝2x＋a，若存在x ，x ∈，使得f(x )＝g(x )，则a的取
2 1 2 1 2
值范围是________.
答案 [－5，0]
解析 依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，
x∈时，f(x)∈[－1，1]，
x∈时，g(x)∈[a＋1，a＋4]，
故或
解得－5≤a≤0.
14.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号
用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y
＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，求函数y＝
[f(x)]的值域.
解 f(x)＝＝＝1＋，
∵2x＞0，∴1＋2x＞1，0＜＜1，
则0＜＜2，1＜1＋＜3，
即1＜f(x)＜3.
当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，
当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}.
