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第 1 节 函数的概念及其表示
考试要求 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景
中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了
解简单的分段函数，并能简单应用.
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意
一个数 x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一
概念
确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B
的一个函数
三 对应关系 y＝f(x)，x∈A
要 定义域 x 的取值范围
素 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子
来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值
域的并集.1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.( )
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域
不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域可以为B的子集.
(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函
数.
2.(易错题)下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为
值域的函数的图象是( )
答案 C
解析 A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的
定义可知C正确.3.(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是__________.
答案 (0，＋∞)
解析 要使函数有意义，需满足
即x＞0且x≠－1，所以函数的定义域为(0，＋∞).
4.(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________.
答案 2
解析 因为>2，所以f()＝6－4＝2，
所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.
5.(易错题)已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
答案 x2－1(x≥0)
解析 令t＝，则t≥0，故x＝t2，
则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0).
6.函数f(x)＝x－在区间[2，4]上的值域为________.
答案
解析 f(x)＝x－在区间[2，4]上单调递增，
又f(2)＝，f(4)＝，
故f(x)的值域为.
考点一 函数的概念
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是( )
答案 C
解析 根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.
2.(多选)下列各组函数是同一函数的为( )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x
答案 AC
解析 同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是
函数的是________.(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
答案 ③
解析 ③中，f：x→y＝x，x∈[0，4]时，y＝x∈Q,故不满足函数的定义.
感悟提升 （1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中
有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能
存在与A中元素不对应的元素.
（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同
考点二 求函数的定义域
1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为( )
A.(0，4)
B.[0，2)∪(2，4]
C.(0，2)∪(2，4)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 C
解析 要使函数有意义，
则
解得0＜x＜4且x≠2.
2.函数f(x)＝ ·lg的定义域是( )
A.[1，2] B.[2，＋∞)
C.[1，2) D.(1，2]
答案 C
解析 根据函数f(x)的解析式，
有解得1≤x＜2，
所以函数f(x)的定义域为[1，2).3.已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A.[0，1] B.(0，1)
C.[0，1) D.(0，1]
答案 B
解析 由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，
解得0≤x≤1.又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函数
g(x)的定义域为(0，1).
4.已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A. B.(－12，0]
C.(－12，0) D.
答案 B
解析 因为函数f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.
当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实
数a的取值范围为－12<a≤0.
感悟提升 1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意
义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有
意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f[g(x)]的定义域可由不等式
a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值
域.
考点三 求函数的解析式
例1 求下列函数的解析式：
(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
解 (1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t.
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
(2)(配凑法)∵f＝x2＋
＝－2，
∴f(x)＝x2－2，
x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]
＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，
得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
感悟提升 函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以
x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值
范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另
外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
训练1 (1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________.
答案 x2－4x＋3(x≥1)
解析 令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，
代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3(t≥1)，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
(2)已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为
________.
答案 f(x)＝3x－2解析 ∵f(x)是一次函数，
∴设f(x)＝kx＋b，k≠0，
则f(2)＝2k＋b，f(1)＝k＋b，
f(0)＝b，f(－1)＝－k＋b.
∵
∴
解得k＝3，b＝－2，∴f(x)＝3x－2.
(3)已知f(x)满足f(x)－2f＝2x，则f(x)＝________.
答案 －－
解析 ∵f(x)－2f＝2x，①
以代替①中的x，得f－2f(x)＝，②
①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，
∴f(x)＝－－.
考点四 分段函数
角度1 分段函数求值
例2 (1)(2021·枣庄二模)已知函数f(x)＝则f(2 021)＝( )
A. B.2e C. D.2e2
答案 A
解析 由f(x)＝f(x－3)得f(x＋3)＝f(x)，
因而f(2 021)＝f(3×673＋2)＝f(2)＝f(2－3)
＝f(－1)＝e－1＋ln 2＝.
(2)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 D
解析 由f(x)的定义域，知a>0.
当0<a<1时，由f(a)＝f(a－1)，
即2a＝，
解得a＝，则f＝f(4)＝8；
当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，
得2a＝2(a－1)，无解.
综上可知，f＝8.
角度2 分段函数与方程、不等式问题
例3 (1)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )A.－3 B.－1 C.1 D.3
答案 A
解析 ∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，
∴f(a)＝－2，
当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，
当a＞0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________.
答案
解析 由题意得：当x>时，2x＋2x－>1恒成立，即x>；当0<x≤时，2x＋x－＋1>1恒
成立，即0<x≤；当x≤0时，x＋1＋x－＋1>1，∴x>－，即－<x≤0.综上x的取值范
围是.
感悟提升 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间
其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式
分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值
范围.
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.
训练2 (1)(2021·肇庆二模)设函数f(x)＝若f＝4，则a＝________.
答案 －
解析 ∵＜1，∴f＝2×－a＝－a.
当－a＜1，即a＞－时，f＝f＝2×－a＝1－3a＝4，解得a＝－1，与a＞－矛盾，舍
去；
当－a≥1，即a≤－时，f＝f＝2－a＝4，则－a＝2，即a＝－，满足a≤－.所以a＝
－.
(2)(2022·长沙调研)已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为________.
答案
解析 当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)，
等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－<x≤0，
当0<x≤1时，x＋1>1，
此时f(x)＝x2－1≤0，
f(x＋1)＝log (x＋1)>0，
2
∴0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)，
当x>1时，f(x)<f(x＋1)log x<log (x＋1)恒成立，
2 2
综上知，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为.
⇔
函数的值域
求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)
数形结合法；(8)导数法.
例 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
(2)y＝；
(3)y＝2x－；
(4)y＝＋.
解 (1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，
可得函数的值域为[2，6).
(2)(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(3)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，
且t≥0，
∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
(4)函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数，
∴当x＝1时，y ＝，即函数的值域为[，＋∞).
min1.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A.f(x)＝eln x，g(x)＝x
B.f(x)＝，g(x)＝x－2
C.f(x)＝，g(x)＝sin x
D.f(x)＝|x|，g(x)＝
答案 D
解析 A中f(x)的定义域是(0，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；
B中f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个
函数；
C中f(x)的定义域是，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；
D中的函数是同一个函数.
2.(多选)下列所给图象可以是函数图象的是( )
答案 CD
解析 图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象B中x 对应2个
0
y，所以A，B均不是函数图象；图象C，D可以是函数图象.
3.函数y＝log (2x－4)＋的定义域是( )
2
A.(2，3) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 由得x＞2且x≠3，故函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
4.函数y＝1＋x－的值域为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设＝t，则t≥0，x＝，
所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2.
因为t≥0，所以y≤.
所以函数y＝1＋x－的值域为.
5.已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A.(－1，0) B.(－2，0)
C.(0，1) D.
答案 C
解析 函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，即函数y＝f(x＋1)中的x满足－2＜x＜0，
此时－1＜x＋1＜1，记t＝x＋1，则－1＜t＜1，则f(t)的定义域为(－1，1)，也就是
f(x)的定义域是(－1，1).
要求f(2x－1)的定义域，则－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1，
∴f(2x－1)的定义域为(0，1).
6.(2022·福州第一中学期中)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(
)
A.(－1，0)∪(0，1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(0，1)
答案 C
解析 当a＞0时，－a＜0，
由f(a)＞f(－a)得log a＞loga，
2
所以2log a＞0，解得a＞1；
2
当a＜0时，－a＞0，由f(a)＞f(－a)得log(－a)＞log (－a)，
2
所以2log (－a)＜0，可得0＜－a＜1，
2
即－1＜a＜0.
综上，a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).
7.已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________.
答案
解析 令x＝2，可得f＋f(－2)＝4，①
令x＝－，可得f(－2)－2f＝－1，②
联立①②解得f(－2)＝.8.已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)
＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
9.函数y＝(x＞1)的值域是________.
答案 [2＋1，＋∞)
解析 令t＝x－1，∴t＞0，x＝t＋1，
∴y＝＝＝t＋＋1≥2＋1，
当且仅当t＝即t＝时取等号，
∴函数的值域为[2＋1，＋∞).
10.已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
解 (1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴f＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图.
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.11.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前
滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某
种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽车的车
速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘
制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
解 (1)由题意及函数图象，
得解得m＝，n＝0，
∴y＝＋(x≥0).
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.
12.(多选)(2022·重庆质检)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，
则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－
1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是
( )
A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B.y＝x＋
C.y＝－log x
3
D.y＝
答案 AD
解析 根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其
对应.
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.
对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同
一函数值，故A可以构造“同值函数”；
对于B，y＝x＋，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函
数”；
对于C，y＝－log x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值
3
函数”；对于D，y＝，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D
可以构造“同值函数”.
所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.
13.已知函数f(x)＝log x，g(x)＝2x＋a，若存在x ，x ∈，使得f(x )＝g(x )，则a的取
2 1 2 1 2
值范围是________.
答案 [－5，0]
解析 依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，
x∈时，f(x)∈[－1，1]，
x∈时，g(x)∈[a＋1，a＋4]，
故或
解得－5≤a≤0.
14.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号
用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y
＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，求函数y＝
[f(x)]的值域.
解 f(x)＝＝＝1＋，
∵2x＞0，∴1＋2x＞1，0＜＜1，
则0＜＜2，1＜1＋＜3，
即1＜f(x)＜3.
当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，
当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}.
