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4.3 公式法
第1课时 平方差公式
教学内容 第1课时 平方差公式 课时 1
1. 经历通过整式乘法公式(a + b)(a−b) = a2 - b2，的逆向变形得出公式法因
式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力.
核心素养
2. 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想.
目标
3. 通过对运用平方差公式进行因式分解的探究学习，逐步养成用数学语言表
达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；
知识目标 2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解
因式.
教学重点 理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点.
教学难点 掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解
因式.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 如图，在边长为 x (x＞5) 米的正方形上剪掉一个 设计意图：让学生借助已
边长为 5 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长 有的几何知识抽象问题中
方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ 的数量关系，与前面学习
的整式的乘法几何解释相
结合，从而激发对本节知
识的学习兴趣.
x2 - 52 = (x + 5)(x - 5)
同理，根据此图形变换，你能得到什么公式？
9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y)
师生活动：学生举手回答问题.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：用平方差公式进行因式分解
观察下面两个等式，它们有什么共同特征?
设计意图：这是对平方差
1预设1：是两数的平方差的形式. 公式的再认识，通过整式
乘法的逆向变形得到进行
因式分解的方法，让学生
进一步感受整式乘法与因
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它
式分解是互为逆变形的关
分解因式吗？
系，
师生活动：学生独立思考并回答问题，教师顺势
引出本课知识点的探究.
设计意图：先从观察多
项式x2 - 52，9x2 - y2人
定义总结：
手，
将乘法公式 (a + b)(a − b) = a2 - b2 反过来， 体验这些多项式所具有的
就得到运用平方差公式因式分解 平方差的特征，再对比乘
运算法则：a2 - b2 = (a + b)(a − b) 法公式，得到因式分解的
文字说明：两个数的平方差，等于这两个数的和 平方差公式 a2 - b2 = (a
与这两个数的差的乘积. + b)(a − b).在这一过程
中让学生再次感受因式分
解与整式乘法的关系.
辨一辨
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什
么？
(1) x2 + y2 × (2) x2 − y2 √
(2) −x2 − y2 × (4) −x2 + y2 √
(5) x2 − 25y2 √ (6) 9m2 − 1 √
师生活动：学生独立思考并作答，教师放映正确
设计意图：让学生充分交
答案并引导学生总结：符合平方差的形式的多项
流，加深对这种方法的理
式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 (
解，用平方差公式因式分
)2 - ( )2 的形式.
解的关键在于学生能否正
确地把多项式看成两个数
或式的平方差.
典例精析
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2.
解：(1) 原式＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)
(2) 原式＝(3a)2－ (b)2
＝ (3a +b )(3a－b )
例2 分解因式：
(1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) (a＋b)2－4a2.
解：(1) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2 设计意图：通过例1、例
＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) 2由简单到复杂地学习运
＝(2m＋4n)(4m＋2n) 用平方差公式进行因式分
＝4(m＋2n)(2m＋n)． 解的方法.
(2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
师生活动：学生独立完成计算，学生代表发言.
教师适时提示学生：检查是否还有能继续分解的
因式，若有，继续分解. 先提公因式，再套用公
式分解.
方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项
式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成
设计意图：进一步让学生
平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
理解平方差公式中的字母
a, b不仅可以表示具体的
数，而且可以表示其他代
2例3 把下列各式因式分解： 数式，如一个单项式或一
(1) 2x3－8x； (2) a3b－ab. 个多项式等，在这里，平
方差公式中的字母a，b
师生活动：学生独立完成计算，学生代表板书. 都表示一个二项式. 这个
解：(1) 原式＝2x(x2－4) 多项式是两个二项式的平
＝2x( x + 2 )( x－2) 方差，分解后的两个因式
(2) 原式＝ab(a2－1)＝ab(a + 1)(a－1). 往往需要进行去括号、合
并同类项等化简整理的过
程.
练一练
1.把下列各式分解因式：
(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.
师生活动：学生独立完成计算，学生代表板书.
解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4) 设计意图：引导学生体会
＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) 因式分解的基本步骤：多
项式中若含有公因式，就
＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
要先提出公因式；然后再
(2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b)
进一步分解，直至不能再
＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
分解为止.
＝ (a＋2b)(a－2b－1).
2.已知 x2－y2＝－2，x＋y＝1，求 x－y，x，y 的
值.
师生活动：学生独立完成计算，学生代表发言，
设计意图：加强学生对平
教师引导并整理板书
方差公式分解因式和提公
解：∵x2－y2 ＝ (x＋y)(x－y)＝ －2，
因式法的结合.
x＋y ＝ 1①，
∴ x－y ＝ －2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
三、当堂
练习，巩
固所学
三、当堂练习，巩固所学
设计意图：加强学生对平
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 ( 方差公式分解因式和二元
) 一次方程的结合.
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
2. 把下列各式分解因式：
(1) 16a2－9b2 = _________________ ；
(2) (a + b)2－(a－b)2 = _____；
(3) 9xy3－36x3y =_________________；
(4) －a4 + 16 =_________________ .
3. 已知 4m + n = 40，2m－3n = 5，求(m + 2n)2
－(3m－n)2的值．
34. 如图，在边长为 6.8 cm 正方形钢板上，挖去
4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的
面积．
设计意图：考查学生对平
方差公式分解因式的运
5. (1) 992－1 能被 100 整除吗？ 用.
(2) n为整数，(2n + 1)2－25 能否被 4 整除？
设计意图：考查学生对平
方差公式分解因式的实际
运用.
4.3.1平方差公式
运用平方差公式因式分解
运算法则：a2 - b2 = (a + b)(a − b)
板书设计
文字说明：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
课后小结
运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征. 分析多项式的次
数和项数，然后再确定公式. 如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公
教学反思 式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻
底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都
要分解彻底.
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