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2025年浙江省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要
求的，不选、多选、错选均不得分）
3
1．（3分）（2025•浙江） 的相反数是（ ）
4
3 3 4 4
A．- B． C．- D．
4 4 3 3
2．（3分）（2025•浙江）如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则（ ）
A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91°
3．（3分）（2025•浙江）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主
要政策减税降费及退税达 26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数
2629300000000用科学记数法表示为（ ）
A．26.293×1011 B．2.6293×1012
C．0.26293×1013 D．2.6293×1013
4．（3分）（2025•浙江）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
-7
5．（3分）（2025•浙江）已知反比例函数y= .下列选项正确的是（ ）
x
A．函数图象在第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限
第1页（共31页）D．y随x的增大而增大
6．（3分）（2025•浙江）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已
知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（ ）
7 9
A． B．4 C． D．5
2 2
7．（3分）（2025•浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手
工艺品材料用量如表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品 A有x
个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
{5x+3 y=17 {5x+3 y=10
A． B．
2x+ y=10 2x+ y=17
{5x+2y=17 {5x+2y=10
C． D．
3x+ y=10 3x+ y=17
8．（3分）（2025•浙江）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
第2页（共31页）A．科技类图书销售了60册
B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比30%
D．其他类图书销售占比18%
9．（3分）（2025•浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，
CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则^DE的长为（ ）
1 2 11 7
A． B． C． D．
9 9 36 18
π π π π
10．（3分）（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．
如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为
x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最
低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（ ）
A．m＝12
B．n＝24
C．点C的纵坐标为240
D．点（15，85）在该函数图象上
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2025•浙江）|﹣5|+√3 -27= ．
{ x≥-2
12．（3分）（2025•浙江）不等式组 的解集是 ．
2x-3＜5
13．（3分）（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实
第3页（共31页）践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探
测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰
角为 ，cos ＝0.98，则A处到B处的距离为 m．
α α
14．（3分）（2025•浙江）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的
卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大
的概率是 ．
15．（3分）（2025•浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式
的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
【应用体验】
已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 ．
16．（3分）（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于 O，E是^AD上一点，连接EB，EC分别交AD于点
F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则 O的直径为 ⊙ ．
⊙
第4页（共31页）三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．
3 1
18．（8分）（2025•浙江）解分式方程： - =0．
x+1 x-1
19．（8分）（2025•浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD
上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
20．（8分）（2025•浙江）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高
自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名
选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如表．
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
数
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求该班获奖选手
成绩的众数与中位数．
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
21．（8分）（2025•浙江）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
第5页（共31页）（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求√67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜√67＜9，
则√67可以设成以下两种形式：
①√67=8+s，其中0＜s＜1；
②√67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求√67的近似值的过程如表．
因为√67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
67-64 3
得s≈ = ，
16 16
3
故√67≈8+ ≈8.19．
16
【尝试探究】
（1）请用②的形式求√67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的√67的近似值的精确度更高，请说明理由．
22．（10分）（2025•浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半
径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．
（1）求证：OD⊥OE．
（2）若AB＝BC，OB=√3，求四边形ODCE的面积．
第6页（共31页）23．（10分）（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l ，l 之间．若
1 2
直线l ，l 之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
1 2
24．（12分）（2025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．
（1）如图1，求sin∠BAC的值．
（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线
AC于点P，连接BP．
①当EF⊥AC时，求AE的长．
②求PA﹣PB的最小值．
第7页（共31页）2025年浙江省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． B B． A C C C D B D
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要
求的，不选、多选、错选均不得分）
3
1．（3分）（2025•浙江） 的相反数是（ ）
4
3 3 4 4
A．- B． C．- D．
4 4 3 3
【考点】相反数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】A．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
3 3
【解答】解： 的相反数是- ．
4 4
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（3分）（2025•浙江）如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则（ ）
A．∠2＝91° B．∠3＝91° C．∠4＝91° D．∠5＝91°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等；对顶角相等；邻补角互补即可求解．
【解答】解：∵a∥b，
第8页（共31页）∴∠3＝∠1＝91°，
由邻补角互补得∠4＝180°﹣∠3＝89°，
由对顶角相等得∠5＝∠4＝89°，
由邻补角互补得∠2＝180°﹣∠1＝89°，
故正确的是B选项．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
3．（3分）（2025•浙江）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主
要政策减税降费及退税达 26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数
2629300000000用科学记数法表示为（ ）
A．26.293×1011 B．2.6293×1012
C．0.26293×1013 D．2.6293×1013
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2629300000000＝2.6293×1012．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2025•浙江）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
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第9页（共31页）【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．
【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项A中的图形符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
-7
5．（3分）（2025•浙江）已知反比例函数y= .下列选项正确的是（ ）
x
A．函数图象在第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限
D．y随x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
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【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象和性质判断即可．
-7
【解答】解：∵反比例函数y= ，k＝﹣7＜0，
x
∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
故选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的图象是解题的关键．
6．（3分）（2025•浙江）如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已
知点A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若DE的长为3，则D′E′的长为（ ）
7 9
A． B．4 C． D．5
2 2
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
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第10页（共31页）【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
OA OE OD 2
【分析】根据位似图形的性质得到 = = = ，证明△DOE∽△D'OE'，即可求解．
OA' OE' OD' 3
【解答】解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，A'的坐标分
别为（2，0），（3，0），
OA OE OD 2
∴ = = = ，
OA' OE' OD' 3
∵∠DOE＝∠DOE，
∴△DOE∽△D'OE'，
DE OE 2
∴ = = ，
D'E' OE' 3
∵DE＝3，
9
∴D'E'= ，
2
故选：C．
【点评】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三
角形的判定与性质是解题的关键．
7．（3分）（2025•浙江）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手
工艺品材料用量如表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品 A有x
个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
{5x+3 y=17 {5x+3 y=10
A． B．
2x+ y=10 2x+ y=17
{5x+2y=17 {5x+2y=10
C． D．
3x+ y=10 3x+ y=17
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“一共用了17张彩色纸和10捆细木条，”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此
第11页（共31页）题得解．
{5x+2y=17
【解答】解：根据题意可列方程组 ．
3x+ y=10
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
8．（3分）（2025•浙江）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册
B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比30%
D．其他类图书销售占比18%
【考点】条形统计图；扇形统计图．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】先由教育类书籍数量及其所占百分比求出总册数，再乘科技类对应百分比求得其人数即可判
断A选项；根据四个类别数量之和等于总册数可求得文艺类数量，即可判断 B选项；用文艺类、其他
类人数除以总数量，从而判断C、D选项．
【解答】解：A．总数量＝150÷37.5%＝400（册），则科技类图书销售了400×15%＝60（册），此选
项正确，不符合题意；
B．文艺类图书销售了400﹣（150+60+70）＝120（册），此选项正确，不符合题意；
120
C．文艺类图书销售占比 ×100%＝30%，此选项正确，不符合题意；
400
第12页（共31页）70
D．其他类图书销售占比 ×100%＝17.5%，此选项错误，符合题意；
400
故选：D．
【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部
分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个
圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
9．（3分）（2025•浙江）如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，
CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB＝2，则^DE的长为（ ）
1 2 11 7
A． B． C． D．
9 9 36 18
π π π π
【考点】直角三角形斜边上的中线．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出CD＝AD，得到∠ACD＝∠A＝35°，由三角形的外角性质
求出∠CDE＝70°，由等腰三角形的性质推出∠CED＝∠CDE＝70°，由三角形内角和定理求出∠DCE
1
＝40°，求出CD= ×2＝1，由弧长公式即可求出^DE的长．
2
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
1
∴CD= AB，
2
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝35°，
∴∠CDE＝∠A+∠ACD＝70°，
由题意知：CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE＝70°，
∴∠DCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵AB＝2，
第13页（共31页）1
∴CD= ×2＝1，
2
40π×1 2
∴^DE的长= = ．
180 9
π
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，弧长的计算，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出CD
＝AD，掌握弧长公式．
10．（3分）（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．
如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为
x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最
低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（ ）
A．m＝12
B．n＝24
C．点C的纵坐标为240
D．点（15，85）在该函数图象上
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】依据题意，作PG⊥AB，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2＝225当点Q运动
到点G的时候，PQ2最小为81，HG＝m﹣1，勾股定理求出m的值，判断A；当x＝m时，点Q运动到
点B，根据三线合一，得到BG＝HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，
第14页（共31页）确定C的纵坐标，判断C；依据题意，求出x＝15时，可得点Q的位置，再利用勾股定理求出PK2判
断D．
【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知
PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12．
在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2，
∴m＝13．
∴A错误．
∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12．
当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2，
∴PB＝PH，
∵PG⊥AB，
∴BG＝HG＝12，
∴AB＝13+12＝25，
∴选项B错误．
∴当x＝0，即点Q在A点时，
∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250．
∴点C的纵坐标为250．
∴选项C错误．
当x＝15时，点Q运动到点K，
∴AK＝15．
∴GK＝AK﹣AG＝2．
∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85．
∴点（15，85）在该函数图象上．
∴选项D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了动点的函数图象、勾股定理、垂线段最短、等腰三角形的性质，解题时要熟
练掌握并能从函数图象中有效的获取信息，确定点Q的位置是关键．
第15页（共31页）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2025•浙江）|﹣5|+√3 -27= 2 ．
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】利用绝对值的性质，立方根的定义计算后再算加法即可．
【解答】解：原式＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
{ x≥-2
12．（3分）（2025•浙江）不等式组 的解集是 ﹣ 2≤ x ＜ 4 ．
2x-3＜5
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2≤x＜4．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式2x﹣3＜5得，x＜4，
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜4．
故答案为：﹣2≤x＜4．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
13．（3分）（2025•浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实
践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探
测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰
角为 ，cos ＝0.98，则A处到B处的距离为 49 0 m．
α α
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
第16页（共31页）【答案】490．
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABP中，∵∠B＝90°，AP＝500m，∠A＝ ，
∴AB＝AP•cos ＝500×0.98＝490（m）， α
答：A处到Bα处的距离为490m．
故答案为：490．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
14．（3分）（2025•浙江）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的
卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大
4
的概率是 ．
9
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
4
【答案】 ．
9
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲出的卡片数字比乙大的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【解答】解：列表如下：
2 3 6
1 （1，2） （1，3） （1，6）
4 （4，2） （4，3） （4，6）
5 （5，2） （5，3） （5，6）
共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：（4，2），（4，3），（5，2），
（5，3），共4种，
4
∴甲出的卡片数字比乙大的概率为 ．
9
4
故答案为： ．
9
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
15．（3分）（2025•浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式
第17页（共31页）的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
【应用体验】
已知（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，则m的值为 8 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】猜想归纳；运算能力．
【答案】8．
【分析】根据题干中所得系数规律得到关于m的方程，解得m的值即可．
【解答】解：∵（x+2）4＝x4+mx3+24x2+32x+16，
∴mx3＝4x3×2，
∴m＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查数式规律问题，理解题意并得出规律是解题的关键．
16．（3分）（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于 O，E是^AD上一点，连接EB，EC分别交AD于点
F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则 O的直径为 ⊙ 2√14 ．
⊙
第18页（共31页）【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；图形的
相似；运算能力；推理能力．
【答案】2√14．
【分析】由矩形的性质得∠D＝∠BAD＝90°，由EG＝FG，得∠BEC＝∠GFE＝∠AFB＝∠BAC，推导
出∠ALB＝∠BAD＝90°，则∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，而∠ABE＝∠ACG，AF＝1，EG＝FG＝
DG CG
3，所以∠GAC＝∠ACG，则CG＝AG＝4，可证明△CDG∽△AEG，得 = =1，则DG＝EG＝
EG AG
3，求得AD＝7，CD=√7，则 O的直径AC=√AD2+CD2=2√14．
⊙
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于 O，
∴∠D＝∠BAD＝90°， ⊙
∴AC是 O的直径，
∵AF＝1⊙，EG＝FG＝3，
∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB，
∵∠BEC＝∠BAC，
∴∠AFB＝∠BAC，
∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，
∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，
∵∠ABE＝∠ACG，
∴∠GAC＝∠ACG，
∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4，
∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE，
∴△CDG∽△AEG，
DG CG
∴ = =1，
EG AG
∴DG＝EG＝3，
∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD=√CG2-DG2=√42-32=√7，
∴AC=√AD2+CD2=√72+(√7) 2=2√14，
第19页（共31页）∴ O的直径为2√14，
故⊙答案为：2√14．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、90°的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的
判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】13．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项进行化简，最后将数值代入求出结
果．
【解答】解：x（5﹣x）+x2+3
＝5x﹣x2+x2+3
＝5x+3，
当x＝2时，
原式＝5×2+3＝13．
【点评】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算．
3 1
18．（8分）（2025•浙江）解分式方程： - =0．
x+1 x-1
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝2．
【分析】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
3 1
【解答】解： - =0，
x+1 x-1
方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
第20页（共31页）去括号，得3x﹣3﹣x﹣1＝0，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
19．（8分）（2025•浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD
上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）22.5°．
【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，据此可利用SAS证明△ABE≌△CBE；
（2）由正方形的性质可得∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出
∠DAE的度数即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA，
第21页（共31页）∴∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝22.5°．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知
相关知识是解题的关键．
20．（8分）（2025•浙江）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高
自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名
选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如表．
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
数
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求该班获奖选手
成绩的众数与中位数．
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
【考点】众数；用样本估计总体；中位数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）中位数为88；众数为83；
（2）840人．
【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求解；
（2）用样本估计总体即可求解．
【解答】解：①班获奖选手的成绩从小到大排列为：83，83，83，88，90，91，91，
排在中间的数是88，故该班获奖选手成绩的中位数为88；
83出现的次数最多，故该班获奖选手成绩的众数为83；
1
（2）随机抽取的10个班级获奖人数的平均数为： ×（7+8+6+8+6+6+9+7+8+5）＝7（人），
10
120×7＝840（人），
答：估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为840人．
【点评】本题考查众数、中位数的意义和样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关
键．
21．（8分）（2025•浙江）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
第22页（共31页）近似计算算术平方根的方法．
例如求√67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜√67＜9，
则√67可以设成以下两种形式：
①√67=8+s，其中0＜s＜1；
②√67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求√67的近似值的过程如表．
因为√67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
67-64 3
得s≈ = ，
16 16
3
故√67≈8+ ≈8.19．
16
【尝试探究】
（1）请用②的形式求√67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的√67的近似值的精确度更高，请说明理由．
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；推理能力．
【答案】（1）8.22；
（2）用①的形式得出的√67的近似值的精确度更高，理由见解析．
【分析】（1）设√67=9-t，其中0＜t＜1，则仿照题意可得67＝81﹣18t+t2，t2比较小，将t2忽略不
7 7
计，则67≈81﹣18t，据此可得t≈ ，则√67≈9- ≈8.22；
9 9
（2）可求出8.18＜√67＜8.19＜8.22，据此可得结论．
【解答】解：（1）设√67=9-t，其中0＜t＜1，
第23页（共31页）∴(√67) 2=(9-t) 2，
∴67＝81﹣18t+t2，
∵t2比较小，将t2忽略不计，
∴67≈81﹣18t，
81-67 7
∴t≈ = ，
18 9
7
∴√67≈9- ≈8.22；
9
（2）用①的形式得出的√67的近似值的精确度更高，理由如下：
∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，√66.9124＜√67＜√67.0761，
∴8.18＜√67＜8.19＜8.22，
∴用①的形式得出的√67的近似值的精确度更高．
【点评】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
22．（10分）（2025•浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半
径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE．
（1）求证：OD⊥OE．
（2）若AB＝BC，OB=√3，求四边形ODCE的面积．
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质．
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【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
√3
（2）3+ ．
2
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，∠B＝∠ODB，得到∠ODB＝∠C，证明
OD∥AC，根据切线的性质得到OE⊥AC，根据平行线的性质证明；
（2）根据等边三角形的性质求出∠A＝60°，解直角三角形求出EC，再根据梯形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
第24页（共31页）∴∠B＝∠C，
由作图可知：OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴OD⊥OE；
（2）解：∵AB＝AC，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB=√3，
OE √3
= = = OE √3
则OA sinA √3 2，AE= = =1，
tanA √3
2
∴AB＝2+√3，
∴EC＝AC﹣AE＝2+√3-1＝1+√3，
1 √3
则四边形ODCE的面积为： ×（√3+√3+1）×√3=3+ ．
2 2
【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径
是解题的关键．
23．（10分）（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l ，l 之间．若
1 2
直线l ，l 之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
1 2
【考点】二次函数综合题．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）6；
（2）﹣3；
（3）8．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
第25页（共31页）（2）先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到x ＝
C
x +x 3
2x ，对称性得到 B C = x =3，求出x ，再代入函数解析式求出t的值即可；
B 2 2 B B
（3）根据题意，易得要使n﹣m最大，则m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和 x＝n关于对称
轴对称，根据直线l ，l 之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣
1 2
4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，令x2﹣6x+5＝12，求出
x的值，进而确定m，n的值，进行求解即可．
【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5，
得：1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5，
-6
∴对称轴为直线x=- =3，
2×1
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xc＝2xB，
x +x 3
∴ B C = x =3，
2 2 B
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，
得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l ，l 之间时，m，n为直线与抛
1 2
物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l ，l 之间的距离为16，为定值，
1 2
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析
式为y＝16﹣4＝12，如图：
第26页（共31页）∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x ＝7，x ＝﹣1，
1 2
即n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是
解题的关键．
24．（12分）（2025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．
（1）如图1，求sin∠BAC的值．
（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线
AC于点P，连接BP．
①当EF⊥AC时，求AE的长．
②求PA﹣PB的最小值．
第27页（共31页）【考点】四边形综合题．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
3
【答案】（1） ；
5
3√39-4
（2）①11；② ．
5
1
【分析】（1）先根据菱形的性质可得AC⊥BD，OA= AC=4，再根据勾股定理可得OB＝3，然后根
2
据正弦的定义求解即可得；
（2）①连接BD，设AC，BD交于点O，同理求出OB＝3，则BD＝6；证明EF∥BD，得到∠DBE＝
∠FEB，由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，则∠DEB＝∠DBE，据此可得DE＝DB＝6，即可得到
AE＝AD+DE＝11；
② 由 勾 股 定 理 得 PB=√OB2+OP2=√OP2+9， 根 据 PA ＝ OA+OP ＝ 4+OP ， 可 求 出
9 9
PA-PB=4- ，根据 ＞0，可推出当OP有最小值时，OP+√OP2+9
OP+√OP2+9 OP+√OP2+9
9
有最小值，即此时 有最大值，即当 OP有最小值时，PA﹣PB有最小值；过点 B作
OP+√OP2+9
24 24
BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，由等面积法可得BH= ，则由轴对称的性质可得BT=BH= ，由勾
5 5
24
股定理得OP=√PB2-32，则当PB有最小值时，OP有最小值，由垂线段最短可知BP≥BT= ，故
5
第28页（共31页）24
当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为 ，据此求解即可．
5
【解答】解：（1）如图，设AC，BD交于点O，
∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，
1
∴AC⊥BD，OA= AC=4，
2
∴OB=√AB2-OA2=3，
OB 3
∴sin∠BAC= = ；
AB 5
（2）①如图，设AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
1
∴AC⊥BD，OA= AC=4，BD＝2OB，AD＝AB＝5，
2
∴OB=√AB2-OA2=√52-42=3，
∴BD＝6；
∵EF⊥AC，AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴∠DBE＝∠FEB，
由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB＝6，
∴AE＝AD+DE＝11；
第29页（共31页）②在 Rt△BOP中，由勾股定理得PB=√OB2+OP2=√OP2+9，
∵PA＝OA+OP＝4+OP，
∴PA﹣PB＝4+OP-√OP2+9
(OP-√OP2+9)(OP+√OP2+9)
=4+
OP+√OP2+9
OP2-OP2-9
=4+
OP+√OP2+9
9
=4-
，
OP+√OP2+9
9
∵ ＞0，
OP+√OP2+9
9
∴要使 PA﹣PB的值最小，则 要最大，
OP+√OP2+9
∴OP+√OP2+9要有最小值，
又∵√OP2+9的值随着OP的值增大而增大，
∴OP+√OP2+9的值随着OP的值增大而增大，
9
∴当OP有最小值时，OP+√OP2+9有最小值，即此时 有最大值，
OP+√OP2+9
∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值；
如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，
第30页（共31页）1
∵S = AC⋅BD=AD⋅BH，
菱形ABCD 2
1 1
AC⋅BD ×6×8
∴ 2 2 24，
BH= = =
AD 5 5
24
∴由轴对称的性质可得BT=BH= ，
5
在Rt△POB中，由勾股定理得OP=√PB2-OB2=√PB2-32，
∴当PB有最小值时，OP有最小值，
24
由垂线段最短可知BP≥BT= ，
5
24
∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为 ，
5
√ 24 3√39
∴OP = ( ) 2-32= ，
最小值 5 5
9 3√39-4
(PA-PB) =4- =
∴ 最小值 3√39 24 5 ．
+
5 5
【点评】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等
等，解（2）的关键在于把求出 PA﹣PB的最小值转换成求出OP的最小值，进而转换成求出PB的最
小值．
第31页（共31页）
