文档内容
2025年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案。
1．（3分）（2025•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美
术字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2025•武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有 1到6的数字．下
列事件是必然事件的是（ ）
A．向上两面的数字和为5
B．向上两面的数字和大于1
C．向上两面的数字和大于12
D．向上两面的数字和为偶数
3．（3分）（2025•武汉）如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2025•武汉）2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆．据文化和旅游部数据中心统计，国
内旅游消费超过1800亿元（1亿＝108），同比增长8%．将数据1800亿用科学记数法表示是（ ）
A．0.18×1012 B．1.8×1011 C．18×1010 D．1.8×1012
5．（3分）（2025•武汉）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a8÷a2＝a4
6．（3分）（2025•武汉）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下
的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度 y（单位：cm）随漏
水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48cm变化到
42cm所用的时间是（ ）
第1页（共31页）A．3h B．4h C．6h D．12h
7．（3分）（2025•武汉）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有 10元、
20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
8．（3分）（2025•武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，
点B的对应点E恰好落在边AC上．若∠A＝34°，则∠ADE的大小是（ ）
A．35° B．37° C．39° D．41°
9．（3分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD内接于 O，^AB=2C^D．若AB＝6，CD=√13，则 O的
半径是（ ） ⊙ ⊙
13 7 9
A． B． C． D．5
4 2 2
10．（3分）（2025•武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，
BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如
图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（ ）
第2页（共31页）116 120 112 116
A． B． C． D．
17 17 15 15
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2025•武汉）在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是
．
物质 铁 酒精 液态氧 水
凝固点（单位： 1535 ﹣117 ﹣218 0
℃）
k
12．（3分）（2025•武汉）在平面直角坐标系中，某反比例函数y= 的图象分别位于第一、第三象限．
x
写出一个满足条件的k的值是 ．
1 4
13．（3分）（2025•武汉）方程 = 的解是 ．
x-1 x2-1
14．（3分）（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，
将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的
距离是 m．（tan22°取0.4）
15．（3分）（2025•武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝2√10，点D在边AC上，CD＝3．
若点E在边AB上，满足CE＝BD，则AE的长是 ．
第3页（共31页）16．（3分）（2025•武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：
①该函数图象经过点（﹣1，0）；
②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
{3x-5≤1 ①
17．（8分）（2025•武汉）解不等式组 ．
2x+1＞x ②
18．（8分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC．若______，则AD＝CB．
从①OA＝OC，②∠ABC＝∠CDA，③AB＝CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并
说明理由．
19．（8分）（2025•武汉）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为 5分．为了解本次
竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整
的统计图．
第4页（共31页）根据以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 ．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
20．（8分）（2025•武汉）如图，点A，B，C，D在 O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作
CE∥BD交AB的延长线于点E． ⊙
（1）求证：CE是 O的切线．
（2）若BD＝4，ta⊙n∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积．
21．（8分）（2025•武汉）如图是由小正方形组成的 3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形
ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得
超过五条．
（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，
使直线FG平分矩形ABCD的面积．
（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD．
第5页（共31页）22．（10分）（2025•武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．研究背景
羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
收集数据 某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表
（不考虑空气阻力）．
水平距离 0 2 3 5 6 …
x/m
高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞
行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分．
建立模型 求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由．
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为 y＝
ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且
球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围．
23．（10分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，
DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H．
（1）求证：DH＝GH．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE≌△DCF）
（2）求证：AG•EH＝EG•GH．
GE DH
（3）若 = n，直接写出 的值（用含n的式子表示）．
EH DF
第6页（共31页）1
24．（12分）（2025•武汉）抛物线y= x2-3与直线y＝x交于A，B两点（A在B的左边）．
4
（1）求A，B两点的坐标．
（2）如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，过点P作y
轴的平行线交线段AB于点N，满足PM＝PN，求点P的横坐标．
（3）如图2，经过原点O的直线CD交抛物线于C，D两点（点C在第二象限），连接AC，BD分别
3
交x轴于E，F两点．若S = S ，求直线CD的解析式．
△DOF 4 △COE
第7页（共31页）2025年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B． C A C C A B
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案。
1．（3分）（2025•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美
术字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C的美术字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所
以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）（2025•武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有 1到6的数字．下
列事件是必然事件的是（ ）
A．向上两面的数字和为5
B．向上两面的数字和大于1
C．向上两面的数字和大于12
D．向上两面的数字和为偶数
【考点】随机事件．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
第8页（共31页）【答案】B
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可
能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随
机事件；据此进行判断即可．
【解答】解：掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字，
向上两面的数字和为5是随机事件，则A不符合题意，
向上两面的数字和大于1是必然事件，则B符合题意，
向上两面的数字和大于12是不可能事件，则C不符合题意，
向上两面的数字和为偶数是随机事件，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查随机事件，熟练掌握相关定义是解题的关键．
3．（3分）（2025•武汉）如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得底层是两个正方形，上层是两个正方形，类似于应该“田”字．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（3分）（2025•武汉）2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆．据文化和旅游部数据中心统计，国
内旅游消费超过1800亿元（1亿＝108），同比增长8%．将数据1800亿用科学记数法表示是（ ）
A．0.18×1012 B．1.8×1011 C．18×1010 D．1.8×1012
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
第9页（共31页）【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1800亿＝180000000000＝1.8×1011．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2025•武汉）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a8÷a2＝a4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a2与a3不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
a2•a3＝a5，则B不符合题意，
（﹣a3）2＝a6，则C符合题意，
a8÷a2＝a6，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关
键．
6．（3分）（2025•武汉）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下
的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度 y（单位：cm）随漏
水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48cm变化到
42cm所用的时间是（ ）
A．3h B．4h C．6h D．12h
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
第10页（共31页）【答案】A
【分析】根据题意求出“漏壶”的漏水速度，即可求出水面高度从48cm变化到42cm所用的时间．
48
【解答】解：“漏壶”的漏水速度为： = 2（cm/h），
24
48-42
∴水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是 =3（h），
2
故选：A．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）（2025•武汉）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有 10元、
20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】用树状图表示从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出
现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两个小球，所有等可能出现的结果
如下：
共有6种等可能出现的结果，其中两球上金额的和为50元的有2种，
2 1
所以两球上金额的和为50元的概率是 = ．
6 3
故选：C．
【点评】本题考查列表法和树状图法，列举出从标有10元、20元、30元的三个小球中，随机摸出两
个小球，所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
8．（3分）（2025•武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，
点B的对应点E恰好落在边AC上．若∠A＝34°，则∠ADE的大小是（ ）
第11页（共31页）A．35° B．37° C．39° D．41°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，而∠A＝34°，则2∠ACB+34°＝180°，求得∠B＝∠ACB＝73°，
由折叠得∠CED＝∠B＝73°，则∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝141°，所以∠ADE＝180°﹣
∠BDE＝39°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°，且∠A＝34°，
∴2∠ACB+34°＝180°，
∴∠B＝∠ACB＝73°，
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上，
∴∠CED＝∠B＝73°，
∴∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝360°﹣3×73°＝141°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDE＝180°﹣141°＝39°，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等
于360°等知识，求得∠B＝∠ACB＝73°是解题的关键．
9．（3分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD内接于 O，^AB=2C^D．若AB＝6，CD=√13，则 O的
半径是（ ） ⊙ ⊙
13 7 9
A． B． C． D．5
4 2 2
第12页（共31页）【考点】弧长的计算．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理
能力．
【答案】A
【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为F，交 O于点E，连接OA，AE，则^AE=^BE，AF＝
⊙
1
BF= AB＝3，
2
∵^AB=2C^D，
∴^ AE=C^D，
∴AE＝CD=√13，
在Rt△AEF中，AE=√13，AF＝3，
∴EF=√AE2-AF2=2，
设半径为R，
在Rt△AOF中，OA＝R，OF＝R﹣2，AF＝3，由勾股定理得，
OA2＝OF2+AF2，
即R2＝（R﹣2）2+32，
13
解得R= ．
4
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、
弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．
10．（3分）（2025•武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，
BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如
图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（ ）
第13页（共31页）116 120 112 116
A． B． C． D．
17 17 15 15
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】几何动点问题；运算能力．
【答案】B
【分析】由图2可知AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点N的纵坐标表示点D到BC的距离，
再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到BC的距离即可．
【解答】解：根据图2，AD＝20，CD＝8，BD＝15，点D到AB的距离DE＝12，点N的纵坐标表示点
D到BC的距离DF．如图：
在Rt△ADE中利用勾股定理，得AE=√AD2-DE2=√202-122=16，
在Rt△BDE中利用勾股定理，得BE=√BD2-DE2=√152-122=9，
则AB＝AE+BE＝16+9＝25，
∵AD2+BD2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△BCD中利用勾股定理，得BC=√BD2+CD2=√152+82=17，
1 1
则 BD•CD = BC•DF，
2 2
第14页（共31页）BD⋅CD 15×8 120
解得DF= = = ，
BC 17 17
120
∴点N的纵坐标是 ．
17
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点
N的纵坐标表示点D到BC的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2025•武汉）在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是
液态氧 ．
物质 铁 酒精 液态氧 水
凝固点（单位： 1535 ﹣117 ﹣218 0
℃）
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；数感．
【答案】液态氧．
【分析】根据正数和负数的实际意义得出最小的数即可．
【解答】解：由题意可得最小的数为﹣218，
则凝固点最低的物质为液态氧，
故答案为：液态氧．
【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键．
k
12．（3分）（2025•武汉）在平面直角坐标系中，某反比例函数y= 的图象分别位于第一、第三象限．
x
写出一个满足条件的k的值是 1 （答案不唯一） ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
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【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】1（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数图象分布确定k的取值范围，在k的取值范围内选取一个数即可．
k
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象分别位于第一、第三象限，
x
∴k＞0，
不妨令k＝1．
故答案为：1（答案不唯一）．
第15页（共31页）【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
1 4
13．（3分）（2025•武汉）方程 = 的解是 x ＝ 3 ．
x-1 x2-1
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝3．
【分析】将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：x+1＝4，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x＝3，
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
14．（3分）（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，
将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的
距离是 18 0 m．（tan22°取0.4）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】180．
【分析】根据题意可得：PD∥CB，从而可得∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，然后分别在
Rt△PAC和Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
第16页（共31页）由题意得：PD∥CB，
∴∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°，
在Rt△PAC中，PC＝120m，
PC
∴AC= =120（m），
tan45°
在Rt△PBC中，∠PBC＝22°，
PC 120
∴BC= ≈ =300（m），
tan22° 0.4
∴AB＝BC﹣AC＝300﹣120＝180（m），
∴A，B之间的距离约是180m，
故答案为：180．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析
添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（3分）（2025•武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝2√10，点D在边AC上，CD＝3．
若点E在边AB上，满足CE＝BD，则AE的长是 7 或 9 ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的面积．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】7或9．
1
【分析】过A作AM⊥BC于M，过C作CH⊥AB于H，由等腰三角形的性质得到BM= BC=√10，由
2
勾股定理求出AM＝3√10，由三角形的面积公式求出CH＝6由勾股定理求出BH＝2，如果E在H的上
面，求出AE＝AB﹣BE＝10﹣3＝7；如果E在H的下面，求出AE′＝AH+E′H＝8+1＝9，于是得到答案．
第17页（共31页）【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过C作CH⊥AB于H，
∵AB＝AC＝10，
1 1
∴BM= BC= ×2√10=√10，
2 2
∴AM=√AB2-BM2=3√10，
1 1
∵△ABC的面积= AB•CH= BC•AM，
2 2
∴10×CH＝2√10×3√10，
∴CH＝6，
∴BH=√BC2-CH2=2，
如果E在H的上面，
当BE＝CD＝3时，CE＝BD，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣3＝7；
如果E在H的下面，
∵CE′＝CE，CH⊥EE′，
∴HE′＝HE，
∵EH＝BE﹣BH＝3﹣2＝1，
∴AE′＝AH+E′H＝8+1＝9，
综上所述：AE的长是7或9．
故答案为：7或9．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是要分两种情况讨论．
16．（3分）（2025•武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：
①该函数图象经过点（﹣1，0）；
②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
第18页（共31页）④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．
其中正确的是 ①②④⑤ （填写序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点
的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】①②④⑤．
【分析】把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝0，即可判断①；
3
当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，求出对称轴为直线 x=- ，则可根据增减性判断②；利用判别
2
式的值可直接判断③；
由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，设另一个根为x ，由韦达定理可知x
2 2
2 2
= ，当a＞2时，有0＜ ＜1，进而可判断④；
a a
1 1
⑤当a＞2时，对称轴为直线x= - ＜0，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，
a 2
将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，令y
＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，其中只有一个最右侧交点横坐标为正，
其余都为负，即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，即判断⑤．
【解答】解：把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝a+2﹣a﹣2＝0，
故该函数图象经过点（﹣1，0），故①正确；
当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，
b a-2 3
对称轴为直线x=- =- =- ，
2a 2a 2
3
故当x＞- 时，y随x的增大而减小，
2
因此当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2+8a＝（a+2）2≥0，
∴该函数图象与x轴有两个不同公共点或只有一个公共点，故③错误；
由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，
2
设另一个根为x ，由韦达定理可知-1⋅x =- ，
2 2 a
第19页（共31页）2
∴x = ，
2 a
2
当a＞2时，有0＜ ＜1，
a
即关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1，故④正确；
2-a 1 1
当a＞2时，对称轴为直线x= = - ＜0，
2a a 2
则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，
将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，
令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，
其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，
即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查了二次函数的图象、增减性质、对称性质、根的判别式、韦达定理、二次函数图象
的轴对称变换、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握以上内容并能数形结合分析题意是解题关
键．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
{3x-5≤1 ①
17．（8分）（2025•武汉）解不等式组 ．
2x+1＞x ②
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤2．
【分析】解各不等式得到对应的解集后求得它们的公共部分即可．
第20页（共31页）【解答】解：解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣1，
故原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
18．（8分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC．若______，则AD＝CB．
从①OA＝OC，②∠ABC＝∠CDA，③AB＝CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并
说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】选择①OA＝OC，理由见解答．（答案不唯一）
【分析】由AD∥BC，得∠ODA＝∠OBC，∠ACB＝∠CAD，若选择①OA＝OC，可根据“AAS”证明
△AOD≌△COB，得AD＝CB；若选择②∠ABC＝∠CDA，可证明△ABC≌△CDA，得AD＝CB．
【解答】解：选择①OA＝OC，
理由：∵AD∥BC，
∴∠ODA＝∠OBC，
在△AOD和△COB中，
{∠AOD=∠COB
∠ODA=∠OBC，
OA=OC
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴AD＝CB．
注：答案不唯一．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定
定理证明△AOD≌△COB（或△ABC≌△CDA）是解题的关键．
19．（8分）（2025•武汉）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为 5分．为了解本次
竞赛的情况，从该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整
的统计图．
第21页（共31页）根据以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 10 0 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 72 ° ．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
【考点】条形统计图；中位数；众数；统计量的选择；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总
体；扇形统计图．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）100，72°；
（2）520人；
（3）样本的众数中位数为4分，说明大部分学生成绩达到或超过3分．（答案不唯一）．
【分析】（1）用“3分”的人数以及它所占百分比可得m的值；用360°乘“5分”所占百分比可得扇
形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）利用中位数、众数的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100，
“5分”的人数为：100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20，
20
扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是：360°× =72°，
100
故答案为：100，72°；
32+20
（2）1000× =520（人），
100
答：估计成绩超过3分的学生人数为520人；
（3）样本的众数中位数为4分，说明大部分学生成绩达到或超过3分．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及中位数、众数等统计基础知识，
明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．
第22页（共31页）20．（8分）（2025•武汉）如图，点A，B，C，D在 O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作
CE∥BD交AB的延长线于点E． ⊙
（1）求证：CE是 O的切线．
（2）若BD＝4，ta⊙n∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念
及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）阴影部分的面积为5﹣ ．
【分析】（1）连接OC，由π∠BAC＝45°，得∠BOC＝2∠BAC＝90°，因为CE∥BD，所以∠OCE＝180°
﹣∠BOC＝90°，即可证明CE是 O的切线；
（2）作BF⊥CE于点F，由BD⊙是 O的直径，且BD＝4，求得OC＝OB＝2，可证明四边形BOCF是
⊙
BF 1
正方形，则BF＝OB＝2，因为∠E＝∠ABD，所以 =tanE＝tan∠ABD＝2，则EF= BF＝1，即可由
EF 2
S阴影 ＝S
△BEF
+S正方形BOCF ﹣S扇形BOC 求得S阴影 ＝5﹣ ．
【解答】（1）证明：连接OC， π
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵CE∥BD，
∴∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°，
∵OC是 O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解⊙：作BF⊥CE于点F，则∠BFE＝∠BFC＝90°，
∵∠BFC＝∠OCF＝∠BOC＝90°，
∴四边形BOCF是矩形，
∵BD是 O的直径，且BD＝4，
⊙ 1
∴OC＝OB= AB＝2，
2
第23页（共31页）∴四边形BOCF是正方形，
∴BF＝OB＝2，
∵∠E＝∠ABD，tan∠ABD＝2，
BF
∴ =tanE＝tan∠ABD＝2，
EF
1
∴EF= BF＝1，
2
1 90π×22
∴S阴影 ＝S
△BEF
+S正方形BOCF ﹣S扇形BOC =
2
×1×2+22-
360
=5﹣ ，
π
∴阴影部分的面积为5﹣ ．
π
【点评】此题重点考查平行线的性质、圆周角定理、切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角
形、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
21．（8分）（2025•武汉）如图是由小正方形组成的 3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形
ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得
超过五条．
（1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，
使直线FG平分矩形ABCD的面积．
（2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD．
【考点】作图﹣旋转变换；平行线的判定；作图﹣轴对称变换．
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【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
第24页（共31页）【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点E的对应点F即可，连接AC交网格线于点O，作直线FO
交AB于点G即可；
（2）取格点J，K，连接AK，CJ交于点M，连接KJ交网格线于点P，取格点W，连接PW，延长PW
交BD于点N，作直线MN即可．
【解答】解：（1）如图1中，点F，直线FG即为所求；
（2）如图，点M，直线MN即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
22．（10分）（2025•武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．研究背景
羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
收集数据 某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表
（不考虑空气阻力）．
水平距离 0 2 3 5 6 …
x/m
高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞
行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分．
建立模型 求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）．
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由．
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为 y＝
ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且
球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围．
第25页（共31页）【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m，理由见解析；
（2）k的取值范围为0.7＜k＜1．
【分析】（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1，用待定系数法求出函数解析式，再根据
函数的性质求出最大值与2.8比较即可；
（2）根据题意知，当x＝5时，y＞2.1，当x＝11时，y＜0，解不等式组求出k的取值范围．
【解答】解：（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1得：
{4a+2b+1.1=1.2
，
9a+3b+1.1=2.6
{a=-0.1
解得 ，
b=0.8
∴y＝﹣0.1x2+0.8x+1.1＝﹣0.1（x﹣4）2+2.7，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝4时，y有最大值，最大值为2.7，
∵2.8＞2.7，
∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m；
（2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，
∴a＝﹣0.1，
∴解析式为y＝﹣0.1x2+kx+1.1，
当x＝5时，y＝﹣0.1×52+5k+1.1＞2.1，
解得k＞0.7；
∵球的落地点与球网的水平距离小于6，
∴当x＝11时，y＝﹣0.1×112+11k+1.1＜0，
解得k＜1，
第26页（共31页）∴k的取值范围为0.7＜k＜1．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（10分）（2025•武汉）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，
DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H．
（1）求证：DH＝GH．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE≌△DCF）
（2）求证：AG•EH＝EG•GH．
GE DH
（3）若 = n，直接写出 的值（用含n的式子表示）．
EH DF
【考点】相似形综合题．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及
其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）证明过程详见解答；
n+1
（3） ．
n2+2n
【分析】（1）可证得△ADE≌△DCF，从而∠DAE＝∠CDF，进而证得∠HDG＝∠DGH，从而DH＝
GH；
（2）作HW⊥DF，交DC的延长线于W，根据△ADE≌△DCF，GH＝DH，从而的粗∠AED＝∠F，可
证得∠W＝∠F，∠W＝∠HEW，进而得出 HW＝EH，可证得△ABG∽△EDG，进而证得
AG AB AD GH DH AG GH
= = =tan∠AED， = =tanW，从而得出 = ，进一步得出结果；
EG DE DE EH HW EG EH
（3）由（1）知△ADE≌△DCF，DH＝GH，从而得出DF＝AE，由（2）知，AG•EH＝EG•GH，从而得
GE AG GE AG n GE AG n
出 = =n，根据比例的性质得出 = = ，从而得出 = = ，设
EH GH ¿+EH AG+GH n+1 GH AH n+1
GE＝na，DH＝GH＝（n+1）a，AG＝nb，AH＝（n+1）b，则EH＝GH﹣GE＝a，AE＝AG+GE＝
na+nb，可计算得出AH﹣AG＝GH＝（n+1）b﹣bn＝b，从而b＝（n+1）a，进一步得出结果．
第27页（共31页）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∠ADB＝∠BDC＝45°，
∵DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠HDG＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，
∠DGH＝∠DAE+∠ADB＝∠CDF+45°，
∴∠HDG＝∠DGH，
∴DH＝GH；
（2）证明：如图，
作HW⊥DF，交DC的延长线于W，
由（1）知，
△ADE≌△DCF，GH＝DH，
∴∠AED＝∠F，
∵∠WHF＝∠OCW＝90°，∠FOH＝∠COW，
∴∠W＝∠F，
∵∠HEW＝∠AED，
∴∠W＝∠HEW，
∴HW＝EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝AD，
∴△ABG∽△EDG，
AG AB AD
∴ = = =tan∠AED，
EG DE DE
GH DH
∵ = =tanW，
EH HW
第28页（共31页）AG GH
∴ = ，
EG EH
∴AG•EH＝EG•GH；
（3）解：由（1）知，
△ADE≌△DCF，DH＝GH，
∴DF＝AE，∠CDF＝∠DAE，
由（2）知，
AG•EH＝EG•GH，
GE AG
∴ = =n，
EH GH
GE AG n
∴ = = ，
¿+EH AG+GH n+1
GE AG n
∴ = = ，
GH AH n+1
设GE＝na，DH＝GH＝（n+1）a，AG＝nb，AH＝（n+1）b，
∴EH＝GH﹣GE＝a，AE＝AG+GE＝na+nb，
∵AH﹣AG＝GH＝（n+1）b﹣bn＝b，
∴b＝（n+1）a，
DH GH (n+1)a (n+1)a n+1
∴ = = = = ．
DF AE na+nb na+n(n+1)a n2+2n
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角
函数的定义，比例的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量之间的关系．
1
24．（12分）（2025•武汉）抛物线y= x2-3与直线y＝x交于A，B两点（A在B的左边）．
4
（1）求A，B两点的坐标．
（2）如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，过点P作y
轴的平行线交线段AB于点N，满足PM＝PN，求点P的横坐标．
（3）如图2，经过原点O的直线CD交抛物线于C，D两点（点C在第二象限），连接AC，BD分别
3
交x轴于E，F两点．若S = S ，求直线CD的解析式．
△DOF 4 △COE
第29页（共31页）【考点】二次函数综合题．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）A（﹣2，﹣2），B（6，6）；
（2）2或6﹣4√3；
1
（3）y=- x．
4
1
【分析】（1）当x= x2-3时，求解方程，即可得到A、B点坐标；
4
1 1 1
（2）设P（t，
t2-3），则M（﹣t， t2-3），N（t，t），由PM＝PN，可得|2t|＝t- t2+3，即可
4 4 4
求出P点横坐标为2或6﹣4√3（舍）；
1 1 1 1 1
（3）设C（c， c2-3），D（d， d2-3），直线CD的解析式为y＝（ c+ d）x- cd﹣3，由题
4 4 4 4 4
1 1 1 1 3
可知cd＝﹣12，同理直线AC的解析式为y＝（ c- ）x+ c﹣3，直线BD的解析式为y＝（ d+ ）
4 2 2 4 2
3 12-2c 12-2c 3
x- d﹣3，分别求出E（ ，0），F（ ，0），则OF＝OE，再由S = S ，可得
2 c-2 c-2 △DOF 4 △COE
c，d的关系，可求C点坐标，即可求直线CD的解析式．
1
【解答】解：（1）当x= x2-3时，解得x＝﹣2或x＝6，
4
∴A（﹣2，﹣2），B（6，6）；
1 1
（2）设P（t，
t2-3），则M（﹣t， t2-3），N（t，t），
4 4
1
∴PM＝|2t|，PN＝t- t2+3，
4
∵PM＝PN，
第30页（共31页）1
∴|2t|＝t- t2+3，
4
解得t＝2或t＝6﹣4√3，
∴P点横坐标为2或6﹣4√3；
1 1
（3）设C（c，
c2-3），D（d， d2-3），
4 4
1 1 1
直线CD的解析式为y＝（ c+ d）x- cd﹣3，
4 4 4
∵CD经过原点，
1
∴- cd﹣3＝0，
4
解得cd＝﹣12，
1 1 1 1 3 3
同理直线AC的解析式为y＝（ c- ）x+ c﹣3，直线BD的解析式为y＝（ d+ ）x- d﹣3，
4 2 2 4 2 2
6d+12 12-2c
∴F（ ，0），E（ ，0），
d+6 c-2
∵cd＝﹣12，
2c-12
∴F（ ，0），
c-2
∴OF＝OE，
3
∵S = S ，
△DOF 4 △COE
1 3 1
∴ ×OF×|y |= × ×OE×|y |，
2 d 4 2 c
1
d2-3
4 3
∴| |= ，
1 4
c2-3
4
解得：c＝﹣4，d＝3，
∴C（﹣4，1），
1
∴直线CD的解析式为y=- x．
4
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析
式是解题的关键．
第31页（共31页）
