文档内容
2025年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项.本
大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2025•长沙）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之
间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为 149600000km，用科学记数法将数据
149600000表示为（ ）
A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×107
2．（3分）（2025•长沙）如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2025•长沙）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走 80米
记作+80米，那么向西走60米记作（ ）
A．﹣60米 B．﹣80米 C．+90米 D．+60米
4．（3分）（2025•长沙）下列运算正确的是（ ）
A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b
C．（ab）7＝a7b7 D．√19-√6=√13
5．（3分）（2025•长沙）2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中
和”倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足
迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：
76，78，77，79，78，75，78，80，则这组数据的众数是（ ）
A．77 B．78 C．79 D．80
6．（3分）（2025•长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采
摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（
）
A．6m B．m+10 C．60m D．10m
第1页（共29页）7．（3分）（2025•长沙）如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线
CD交于点G．若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
8．（3分）（2025•长沙）如图，AC，BC为 O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝
30°，则∠BCO的度数为（ ） ⊙
A．40° B．45° C．50° D．55°
9．（3分）（2025•长沙）如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB＝4，
BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．7
10．（3分）（2025•长沙）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与
国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元．
附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表
国家 GDP总量（单位： 国家 GDP总量（单位：
万亿美元） 万亿美元）
德国 4.59 巴西 2.33
印度 3.93 俄罗斯 2.05
英国 3.49 韩国 1.76
法国 3.13 瑞士 0.93
预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：
2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（ ）
第2页（共29页）A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2025•长沙）分解因式：mx﹣2my＝ ．
12．（3分）（2025•长沙）为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体
3600名学生中，随机调查了100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此
估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有 名．
3 2
13．（3分）（2025•长沙）分式方程 = 的解为 ．
x+1 2x-1
14．（3分）（2025•长沙）如图，AB为 O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝
3，则OA的长为 ． ⊙
15．（3分）（2025•长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝
．
16．（3分）（2025•长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走
正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：
下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b＝﹣c．那么2＝1．
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有a+b＝﹣c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a＝2a﹣a，b＝2b﹣b，c＝2c﹣c；②
第三步：把②代入①，可得（2a﹣a）+（2b﹣b）＝﹣（2c﹣c）；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2（a+b+c）＝（a+b+c）；④
第五步：把④两边同时除以（a+b+c），得2＝1．⑤
第3页（共29页）请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则．
二、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题
每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1 -1
17．（6分）（2025•长沙）计算：|2√2-1|+( ) -(√3) 2-（ ﹣2028）0．
5
π
{1+2x＞x-6
18．（6分）（2025•长沙）解不等式组： ．
4x≤3x+2
19．（6分）（2025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，
1
交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半径作弧，两弧相交于
2
点P，作射线CP交AB于点D．
（1）求∠BCD的度数；
（2）若BC＝2.5，求AD的长．
20．（8分）（2025•长沙）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚
焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知
识竞赛，竞赛成绩以等第形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善
的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）
等第 频数 频率
A 20 m
B 30 0.30
C n 0.44
D 6 0.06
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 名学生的成绩；表中m＝ ，n＝ ；
（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为 度；
（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2
名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的 2名
第4页（共29页）学生恰好来自同一个班级的概率．
21．（8分）（2025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．
22．（9分）（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精
加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成 A，B两种等级的农产品对外销售，已
知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B
等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗）
（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
（2）若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于
16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
23．（9分）（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，
景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路 b上又开发了风景优美的景点D．
经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的
南偏西45°方向上．已知AB＝800m．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
第5页（共29页）24．（10分）（2025•长沙）我们约定：当x ，y ，x ，y 满足（x +y ）2+（x +y ）2＝0，且x +y ≠0时，
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1
称点（x ，y ）与点（x ，y ）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该
1 1 2 2
函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）；
k
①函数y= （k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；
x
②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”；
③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”．
（2）若关于x的一次函数y＝k x+b 与y＝k x+b （b ，b 都是常数，且b •b ＜0）均是“对偶函数”，
1 1 2 2 1 2 1 2
求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
（3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围．
25．（10分）（2025•长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，
C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC．
（1）求证：CD与该半圆相切；
2 2 a b
（2）当半径r=√2时，令AD＝a，BC＝b，m= + ，n= + ，比较m与n的大小，并
2+a 2+b 1+a 1+b
说明理由；
（3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点
4 1
G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x， + +CD＝y，求y关于x的函
AE⋅BE FG
数解析式．（不考虑自变量x的取值范围）
第6页（共29页）第7页（共29页）2025年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B． A A． C B D B C D B
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项.本
大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2025•长沙）人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之
间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为 149600000km，用科学记数法将数据
149600000表示为（ ）
A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：149600000＝1.496×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）（2025•长沙）如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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第8页（共29页）【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】A
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（3分）（2025•长沙）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走 80米
记作+80米，那么向西走60米记作（ ）
A．﹣60米 B．﹣80米 C．+90米 D．+60米
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】A．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作﹣60
米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对
具有相反意义的量．
4．（3分）（2025•长沙）下列运算正确的是（ ）
A．2a+a2＝2a3 B．6a2b÷a＝6b
C．（ab）7＝a7b7 D．√19-√6=√13
【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用二次根式的加减法，合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式法则逐项判断即可．
【解答】解：2a与a2不是同类项，无法合并，则A不符合题意，
6a2b÷a＝6ab，则B不符合题意，
（ab）7＝a7b7，则C符合题意，
√19与√6不是同类二次根式，无法合并，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的加减法，合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握相关运
第9页（共29页）算法则是解题的关键．
5．（3分）（2025•长沙）2020年，我国承诺，力争于2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中
和”倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足
迹”的情况，收集了本组8名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为：
76，78，77，79，78，75，78，80，则这组数据的众数是（ ）
A．77 B．78 C．79 D．80
【考点】众数．
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【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据众数的定义即可得出答案．
【解答】解：这组数据中78出现的次数最多，故众数是78．
故选：B．
【点评】此题考查了众数，给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
6．（3分）（2025•长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采
摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（
）
A．6m B．m+10 C．60m D．10m
【考点】列代数式．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据每个机械手摘的数量乘机械手的数量，即可求出m（m＞1）个机械手平均每分钟可以采
摘的苹果数．
【解答】解：m（m＞1）个机械手每分钟采摘苹果：10m，
故选：D．
【点评】本题考查了代数式，解题的关键是理解题意，根据数量关系列代数式．
7．（3分）（2025•长沙）如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线
CD交于点G．若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
第10页（共29页）【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠GFE＝∠1＝70°．
又∵∠EGF＝∠2＝50°，
∴∠GEF＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
8．（3分）（2025•长沙）如图，AC，BC为 O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝
30°，则∠BCO的度数为（ ） ⊙
A．40° B．45° C．50° D．55°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
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【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
1
【分析】根据圆周角和圆心角的关系得∠ACB= ∠AOB＝20°，再根据∠OCA＝30°即可得出∠BCO的
2
度数．
【解答】解：∵∠AOB＝40°，
1
∴∠ACB= ∠AOB＝20°，
2
∵∠OCA＝30°，
∴∠BCO＝∠OCA+∠ACB＝50°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、
弦的关系是解决问题的关键．
9．（3分）（2025•长沙）如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB＝4，
第11页（共29页）BC＝5，AC＝6，则△CDE的周长为（ ）
A．5 B．6 C．6.5 D．7
【考点】翻折变换（折叠问题）．
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【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由折叠性质得AE＝AB＝4，DE＝BD，进而得CE＝AC﹣AE＝2，CD+DE＝BC＝5，由此即可
得出△CDE的周长．
【解答】解：∵AB＝4，BC＝5，AC＝6，
∴由折叠的性质得：AE＝AB＝4，DE＝BD，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣4＝2，CD+DE＝CD+BD＝BC＝5，
∴△CDE的周长为：CE+CD+DE＝2+5＝7．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，熟练掌握图形的折叠变换及其性质是解决问题的
关键．
10．（3分）（2025•长沙）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与
国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为18.53万亿美元．
附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表
国家 GDP总量（单位： 国家 GDP总量（单位：
万亿美元） 万亿美元）
德国 4.59 巴西 2.33
印度 3.93 俄罗斯 2.05
英国 3.49 韩国 1.76
法国 3.13 瑞士 0.93
预计2025年中国GDP总量的增长率为5%左右，请你根据以上信息估算：
2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（ ）
A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国
【考点】百分数的应用．
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【专题】实数；运算能力．
第12页（共29页）【答案】B
【分析】求出2025年中国GDP的增长量，即可得出结论．
【解答】解：由题意可知，18.53×5%＝0.9265（万亿美元），
即2025年中国GDP的增长量与瑞士2024年GDP总量最接近，
故选：B．
【点评】本题考查了百分数的应用，正确列式计算是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2025•长沙）分解因式：mx﹣2my＝ m （ x ﹣2 y ） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】m（x﹣2y）．
【分析】提取公因式m进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝m•x﹣m•2y
＝m（x﹣2y），
故答案为：m（x﹣2y）．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
12．（3分）（2025•长沙）为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体
3600名学生中，随机调查了100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此
估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有 10 8 名．
【考点】用样本估计总体．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】108．
【分析】用总人数乘样本中“未使用该平台辅助学习”的人数所占比例即可得．
3
【解答】解：估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有：3600× =108（名）．
100
故答案为：108．
【点评】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键．
3 2
13．（3分）（2025•长沙）分式方程 = 的解为 x ＝ 1.25 ．
x+1 2x-1
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝1.25．
第13页（共29页）【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：6x﹣3＝2x+2，
解得：x＝1.25，
经检验，x＝1.25是分式方程的解，
故答案为：x＝1.25．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
14．（3分）（2025•长沙）如图，AB为 O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝
3，则OA的长为 6 ． ⊙
【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】6．
【分析】由垂径定理得到AB＝2AC＝6，即可得到OA的长．
【解答】解：∵OC⊥AB于点C，
∴AB＝2AC＝2×3＝6，
∴OA＝AB＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查垂径定理，关键是由垂径定理推出AB＝2AC．
15．（3分）（2025•长沙）如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A+∠E＝
205° ．
【考点】多边形内角与外角．
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【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】205°．
第14页（共29页）【分析】先根据五边形的内角和定理求出五边形的内角和，从而得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，再根据已
知条件求出答案即可．
【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，
∵∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，
∴∠A+∠E＝540°﹣120°﹣110°﹣105°＝205°，
故答案为：205°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理．
16．（3分）（2025•长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走
正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：
下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b＝﹣c．那么2＝1．
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有a+b＝﹣c；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a＝2a﹣a，b＝2b﹣b，c＝2c﹣c；②
第三步：把②代入①，可得（2a﹣a）+（2b﹣b）＝﹣（2c﹣c）；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2（a+b+c）＝（a+b+c）；④
第五步：把④两边同时除以（a+b+c），得2＝1．⑤
请你判断上述推理过程中，第 ⑤ 步是错误的，它违背了数学的基本法则．
【考点】推理与论证；实数的运算；整式的混合运算；等式的性质；一次函数的应用；命题与定理．
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【专题】推理填空题．
【答案】⑤．
【分析】根据等式的性质，逐步分析即可．
【解答】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然
成立．
∴对于等式2（a+b+c）＝（a+b+c），
当a+b+c＝0 时，该等式恒成立，
当a+b+c≠0，两边同时除以（a+b+c），得2＝1，
∵a+b＝﹣c，
∴a+b+c＝0，
∴上述推理过程中，第⑤步是错误的；
第15页（共29页）故答案为：⑤．
【点评】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可．
二、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题
每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1 -1
17．（6分）（2025•长沙）计算：|2√2-1|+( ) -(√3) 2-（ ﹣2028）0．
5
π
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】2√2．
【分析】利用绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可．
【解答】解：原式=2√2-1+5-3-1
=2√2．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
{1+2x＞x-6
18．（6分）（2025•长沙）解不等式组： ．
4x≤3x+2
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣7＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣7，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为﹣7＜x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（6分）（2025•长沙）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点C为圆心，适当长为半径作弧，
1
交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长度为半径作弧，两弧相交于
2
点P，作射线CP交AB于点D．
（1）求∠BCD的度数；
（2）若BC＝2.5，求AD的长．
第16页（共29页）【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
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【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）36°；
（2）2.5．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线定义即可解决问题；
（2）根据三角形内角和定理证明∠A＝∠ACD，得AD＝CD．进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
由作图可知：CD是∠ACB的角平分线，
1
∴∠BCD=∠ACD= ∠ACB=36°；
2
（2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°，
∴∠BDC＝∠B，
∴CD＝CB，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AD＝BC＝2.5．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本
作图方法．
20．（8分）（2025•长沙）2025年5月18日，湖南省第三届大中小学阅读教育论坛在长沙举行．论坛聚
焦美育与阅读融合．为探索美育与阅读融合的新路径，某校举行了以“美育与阅读融合”为主题的知
识竞赛，竞赛成绩以等第形式呈现，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行统计，得到如下两幅待完善
的统计图表．（A代表优秀、B代表良好、C代表一般、D代表合格．）
等第 频数 频率
A 20 m
第17页（共29页）B 30 0.30
C n 0.44
D 6 0.06
根据图表中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了 10 0 名学生的成绩；表中m＝ 0. 2 ，n＝ 4 4 ；
（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为 7 2 度；
（3）若该校八年级一班和二班恰好各有2名学生的参赛成绩是“A等”，从这4名学生中随机抽取2
名学生参加以“美育与阅读融合”为主题的校级阅读分享活动，请用列表法或树状图法求选出的 2名
学生恰好来自同一个班级的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由A等频数及频率求解即可得出被调查的总人数，再根据频率＝频数÷总数求解即可得
出m、n的值；
（2）用360°乘A等频率即可；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷0.3＝100（名），
m＝20÷100＝0.2，n＝100×0.44＝44，
故答案为：100，0.2，44；
（2）在扇形统计图中，“A等”所对应的扇形的圆心角为360°×0.2＝72°，
故答案为：72；
（3）记“选出的2名学生恰好来自同一个班级”为事件A，设一班的2名学生为甲和乙，二班的2名
学生为丙和丁，
画出树状图如下：
第18页（共29页）一共有12种等可能的结果，其中事件A包含4种可能的结果．
4 1
∴P(A)= = ．
12 3
【点评】本题考查频数分布表，频数、频率的计算，列表法和树状图法求等可能事件的概率，熟悉频
数、频率的关系，掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
21．（8分）（2025•长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接EF，若BC＝12，BE＝5，求EF的长．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
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【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）2√37．
【分析】（1）根据正方形性质得AB＝CD，AB∥CD，再根据BE＝DF得AE＝CF，由此根据平行四边
形的判定即可得出结论；
（2）过点E作EH⊥CD于点H，证明四边形EBCH是矩形得EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，进而得DH
＝7，再根据BE＝DF＝5得HF＝2，然后在Rt△EFH中，由勾股定理即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝DF，
∴AB﹣BE＝CD﹣DF，
∴AE＝CF，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示：
第19页（共29页）∴∠EHC＝∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，BC＝12，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，
∴四边形EBCH是矩形，
∴EH＝BC＝12，CH＝BE＝5，
∴DH＝CD﹣CH＝12﹣5＝7，
∵BE＝DF＝5，
∴HF＝DH﹣DF＝7﹣5＝2，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：EF=√EH2+H F2=√122+22=2√37．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握平行四边
形的判定，勾股定理是解决问题的关键．
22．（9分）（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精
加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成 A，B两种等级的农产品对外销售，已
知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B
等级农产品共收入68元．（不考虑加工损耗）
（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
（2）若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于
16000元，则至少需加工A等级农产品多少千克？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单价为10元；
（2）至少需加工A等级农产品2000千克．
【分析】（1）设每千克A等级农产品的销售单价为x元，每千克B等级农产品的销售单价为y元，根
据销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B
等级农产品共收入68元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品（6000﹣m）千克，根据总利润不低于
第20页（共29页）16000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每千克A等级农产品的销售单价为x元，每千克B等级农产品的销售单价为y元，
{6x+4 y=112
由题意得： ，
4x+2y=68
{x=12
解得： ，
y=10
答：每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品的销售单价为10元；
（2）设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品（6000﹣m）千克，
由题意得：（12﹣8）m+（10﹣8）（6000﹣m）≥16000，
解得：m≥2000，
答：至少需加工A等级农产品2000千克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（9分）（2025•长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，
景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路 b上又开发了风景优美的景点D．
经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的
南偏西45°方向上．已知AB＝800m．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）30°；
（2）景点C与景点D之间的距离为（1200-400√3）m．
【分析】（1）由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，进而可
以解决问题；
第21页（共29页）（2）根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向
上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上，
∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM，
∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°，
∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°；
（2）方法一：
∵∠CBE＝60°，
∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
由（1）得∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵AB＝800m，
∴AB＝AC＝800m，
AM CM
在Rt△ACM中，sin∠ACM= ，cos∠ACM= ，
AC AC
1
∴AM=AC⋅sin∠ACM=800×sin30°=800× =400（m），
2
√3
CM=AC⋅cos∠ACM=800×cos30°=800× =400√3（m），
2
∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），
∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，
∴DM＝BM＝1200m，
∴DC=DM-CM=1200-400√3(m)，
∴景点C与景点D之间的距离为(1200-400√3)m．
方法二：
∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM，
第22页（共29页）∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°．
设AM＝xm，
∴AC＝2xm，
∴CM=√3AM=√3x（m），
在Rt△BCM中，
BM 800+x
tan∠BCM= = ，
CM √3x
800+x
即√3= ，
√3x
解得x＝400，
经检验得x＝400是原方程的解，
∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m），
∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，
∴BM＝DM＝1200m，
∴DC=DM-CM=1200-400√3(m)．
∴景点C与景点D之间的距离为（1200-400√3）m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
24．（10分）（2025•长沙）我们约定：当x ，y ，x ，y 满足（x +y ）2+（x +y ）2＝0，且x +y ≠0时，
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1
称点（x ，y ）与点（x ，y ）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该
1 1 2 2
函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“✓”，错误的打“×”）；
k
①函数y= （k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”； ✓
x
②函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”； ✓
③函数y＝x2+x﹣1的图象上至少存在两对“对偶点”． ×
（2）若关于x的一次函数y＝k x+b 与y＝k x+b （b ，b 都是常数，且b •b ＜0）均是“对偶函数”，
1 1 2 2 1 2 1 2
求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
（3）若关于x的二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，求实数a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】新定义；函数的综合应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①✓；②✓；③×；
1 1
（2）S= b2+ b2 ；
2 1 2 2
第23页（共29页）3
（3）a＞ ．
8
【分析】（1）①根据“对偶点”判断即可；
②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”，可得得n＝1，此时n+
（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义，即可判断；
③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”，故（﹣t2﹣t+1）
2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，解得t的值可知（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，判断函数y＝
x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”；
（2）由题意可求出两个一次函数为y＝x+b ，y＝x+b ，画出图象由三角形面积公式可得答案；
1 2
1
（3）由题意可得a≠0，且x ≠﹣y 时，可得2ax2-x + -1＝0，当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，可得x +y
1 1 1 1 2a 1 1
＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；故必有Δ＝﹣3+8a＞0，即可解得答案．
k k k k
【解答】解：（1）①设函数y= 图象上任意一点（m， ），可知（- ，﹣m）也在函数y= 图
x m m x
象上，
k k
而（m， ）与（- ，﹣m）是“对偶点”，
m m
k
∴函数y= （k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；
x
故答案为：✓；
②设（n，﹣2n+1）和（2n﹣1，﹣n）是y＝﹣2x+1图象上一对“对偶点”，
∴﹣n＝﹣2（2n﹣1）+1，
解得n＝1，
此时n+（﹣2n+1）＝0，不符合“对偶点”定义，
∴函数y＝﹣2x+1一定不是“对偶函数”，
故答案为：✓；
③设（t，t2+t﹣1）和（﹣t2﹣t+1，﹣t）是函数y＝x2+x﹣1的图象上的“对偶点”，
∴（﹣t2﹣t+1）2+（﹣t2﹣t+1）﹣1＝﹣t，
变形整理得：（t+1）（t﹣1）（t2+2t﹣1）＝0，
解得t ＝﹣1，t ＝1，t =√2-1，t =-√2-1，
1 2 3 4
当t ＝﹣1或t ＝1时，（1，1）和（﹣1，﹣1）是一对“对偶点”，符合题意；
1 2
当t =√2-1，t =-√2-1时，t+（t2+t﹣1）＝0，不符合“对偶点”定义；
3 4
∴函数y＝x2+x﹣1的图象上只有一对“对偶点”，
第24页（共29页）故答案为：×；
（2）由题意可得：x ＝﹣y ，y ＝﹣x ，则点（x ，y ）与点（﹣y ，﹣x ）在x ≠﹣y 是一对“对偶
2 1 2 1 1 1 1 1 1 1
点”，
∵y＝k x+b 是“对偶函数”，
1 1
{ y =k x +b
1 1 1 1
∴其图象上必存在一对“对偶点”，有 ，两式相减可得k ＝1，
-x =-k y +b 1
1 1 1 1
同理可得k ＝1，
2
∴两个一次函数为y＝x+b ，y＝x+b ，
1 2
∵b ，b 都是常数，且b •b ＜0，
1 2 1 2
∴两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两
个等腰直角三角形，如图：
1 1
∴其面积之和S= b2+ b2 ；
2 1 2 2
{ y =2ax2-1 ①
（3）由题意可得a≠0，且x ≠﹣y 时，有 1 1 ，
1 1 -x =2a(- y ) 2-1 ②
1 1
1
两式相减可得x - y = ，
1 1 2a
1
∴y =x - ，
1 1 2a
1
代入①整理可得2ax2-x + -1＝0，
1 1 2a
∵二次函数y＝2ax2﹣1是“对偶函数”，
1
∴关于x 的一元二次方程2ax2-x + -1＝0必有实数根，
1 1 1 2a
1
而Δ＝1﹣8a（ -1）＝8a﹣3，
2a
3 3 13 2
当Δ＝0，即8a﹣3＝0时，a= ，由 x2-x - =0可得x = ，
8 4 1 1 16 1 3
第25页（共29页）3 2 2
∴y = ×（ ）2﹣1=- ，
1 4 3 3
∴x +y ＝0，此时不符合题意，这种情况舍去；
1 1
∴必有Δ＝﹣3+8a＞0，
3
解得a＞ ．
8
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“对偶函数”，
“对偶点”的意义．
25．（10分）（2025•长沙）如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，
C，D均为直径AB上方的动点，连接CD，且始终满足CD＝AD+BC．
（1）求证：CD与该半圆相切；
2 2 a b
（2）当半径r=√2时，令AD＝a，BC＝b，m= + ，n= + ，比较m与n的大小，并
2+a 2+b 1+a 1+b
说明理由；
（3）在（1）的条件下，如图2，当半径r＝1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点
4 1
G，连接EG并延长交AB于点F，连接AE，BE，令EG＝x， + +CD＝y，求y关于x的函
AE⋅BE FG
数解析式．（不考虑自变量x的取值范围）
【考点】圆的综合题．
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【专题】几何综合题；压轴题．
3
【答案】（1）证明见解析；（2）m＝n，理由见解析；（3）y= ．
x
【分析】（1）如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E，根据AD与
BC 均为该半圆的切线，得出 AD⊥AB，BC⊥AB，则 AD∥BC，可得∠M＝∠OCB．证明
△OAM≌△OBC，得出AM＝BC，根据CD＝AD+BC，得出CD＝AD+AM＝DM，则∠M＝∠OCE，可得
∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD．又OE⊥CD，OB⊥CB，得出OE＝OB，即可证明CD与该半圆相
切；
第26页（共29页）（2）如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M，在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2，根
据 CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r，列等式得出 r2＝AD•BC＝ab＝2，代入可得
2 2 ab ab b a
m= + = + = + =n；
2+a 2+b ab+a ab+b 1+b 1+a
（3）如图，根据CD，AD，BC均为该半圆的切线，则DA＝DE，CB＝CE，证明△DAG∽△BCG，得
CG CB CE CG CE
出 = = ，从而得出 = ，证明△ACD∽△GCE，得出∠ADC＝∠GEC，得出
GA AD ED CA CD
FG AF FG BF FG FG 1 1 1
EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC，得出 = ， = ，则 + =1，即可得 + = ，
BC AB AD AB BC AD BC AD FG
1 1 1
同理可得 + = ，得出 FG＝EG＝x，由（2）可知 r2＝AD•BC＝DE•EC＝1，得出
BC AD EG
1 1 1 1 1 1 1 1
+ = + = =DC= ，又在 Rt△ABE 中， AE⋅BE= (2x)(2r)=2x，得出
DE CE BC AD EG x 2 2
4 1 4 1 1 1 1 3
AE•BE＝4x，即可得 = ，从而得出y= + +DC= + + = ．
AE⋅BE x AE⋅BE FG x x x x
【解答】（1）证明：如图，连接CO，并延长交DA的延长线于点M，过点O作OE⊥CD于点E，
∵AD与BC均为该半圆的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠OCB，
∵O为AB的中点，
∴OA＝OB，
在△OAM与△OBC 中，
第27页（共29页）{
∠M=∠OCB
∠OAM=∠OBC=90°，
OA=OB
∴△OAM≌△OBC（AAS），
∴AM＝BC，
∵CD＝AD+BC，
∴CD＝AD+AM＝DM，
∴∠M＝∠OCE，
∴∠OCB＝∠OCE，即CO平分∠BCD，
又∵OE⊥CD，OB⊥CB，
∴OE＝OB，
∴CD与该半圆相切；
（2）解：m＝n．理由如下：
如图，过点C作CM⊥AD，交AD于点M，
在△CDM中，由勾股定理可得CD2＝DM2+CM2，
∵CD＝AD+BC＝a+b，DM＝|a﹣b|，CM＝2r，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4r2，
2 2 ab ab b a
∴r2＝AD•BC＝ab＝2，代入可得m= + = + = + =n；
2+a 2+b ab+a ab+b 1+b 1+a
（3）解：∵CD，AD，BC均为该半圆的切线，
∴DA＝DE，CB＝CE，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC，
∴△DAG∽△BCG，
CG CB CE
∴ = = ，
GA AD ED
CG CE
∴ = ，
CA CD
∵∠ACD＝∠GCE，
第28页（共29页）∴△ACD∽△GCE，
∴∠ADC＝∠GEC．
∴EG∥AD∥BC，FG∥AD∥BC，
FG AF FG BF
∴ = ， = ，
BC AB AD AB
FG FG
∴ + =1，
BC AD
1 1 1
∴ + = ，
BC AD FG
1 1 1
同理可得 + = ，
BC AD EG
∴FG＝EG＝x，
由（2）可知r2＝AD•BC＝DE•EC＝1，
1 1 1 1 1 DE+CE 1
∴ + = + = = =DC= ，
DE CE BC AD EG DE⋅CE x
又在Rt△ABE 中，
1 1
∵ AE⋅BE= (2x)(2r)=2x，
2 2
∴AE•BE＝4x，
4 1
∴ = ，
AE⋅BF x
4 1 1 1 1 3
∴y= + +DC= + + = ．
AE⋅BE FG x x x x
【点评】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，
全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上
知识点．
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