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2025年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1．（3分）（2025•河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2025•河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其
中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（ ）
A．70° B．100° C．110° D．130°
3．（3分）（2025•河北）计算：（√10+√6）（√10-√6）＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（3分）（2025•河北）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上
有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化
石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（ ）
A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm
5．（3分）（2025•河北）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为
（ ）
第1页（共37页）A． B． C． D．
6．（3分）（2025•河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点
（m，n）在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），
1 1
若向上一面出现数字1的概率为 ，出现数字2的概率为 ，则该木块不可能是（ ）
2 3
A． B． C． D．
a2+12a+36
8．（3分）（2025•河北）若a＝﹣3，则 =（ ）
a2+6a
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．6
9．（3分）（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，
N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（ ）
A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
4
10．（3分）（2025•河北）在反比例函数y= 中，若2＜y＜4，则（ ）
x
1
A． ＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8
2
11．（3分）（2025•河北）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．
将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（ ）
第2页（共37页）A．∠1＝45°﹣ B．∠1＝ C．∠2＝90°﹣ D．∠2＝2
12．（3分）（20α25•河北）在平面α直角坐标系中，横、纵坐标α都是整数的点称α为整点．如图，正方形
EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有
A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（ ）
7 11 8 23 3 3 9
A．( ， ) B．( ， ) C．( ，2) D．( ， )
5 5 5 10 2 2 4
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2025•河北）计算：2a2+4a2＝ ．
14．（3分）（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n
的值可以为 ．（写出一个即可）
1
15．（3分）（2025•河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的 与乙纸
3
2
条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝ ．
5
16．（3分）（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关
键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字 1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，
数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相
第3页（共37页）等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．
√6-√2 √6+√2
（参考数据：sin15°= ，sin75°= ）
4 4
眼肌运动训练图
使用方法：以0，1，2，
3，…的顺序沿着箭头方向
移动眼球．移动一圈后再回
到原点，反复进行．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）（2025•河北）（1）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式3﹣x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集；
{ 2x≤6
（3）直接写出不等式组 的解集．
3-x＜5
18．（8分）（2025•河北）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
1 2 5
计算：（﹣6）×（ + - ）．
2 3 6
1 2 5
解：（﹣6）×（ + - ）
2 3 6
1 2 5
＝﹣6× +6× -6× ⋯⋯第一步
2 3 6
＝﹣3+4﹣5……第二步
＝﹣4……第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
1 1
（2）计算：|2-√2|﹣（﹣2）2×（ - ）．
2 4
19．（8分）（2025•河北）如图，四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝
∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．
（1）求证：△ABC≌△AFD；
第4页（共37页）（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD．
20．（8分）（2025•河北）某工厂生产A，B，C，D四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部
分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工
厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．
下面是该工厂这四种产品的部分信息：
a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．
类别 A B C D
数据
产品
调整前单件成本/（元/件） 18 26 20 36
调整后单件成 方案甲 13 22 m 40
本/（元/件）
方案乙 16 n 18 32
说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求调整前A产品的年产量；
（2）直接写出m，n的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较
第5页（共37页）低．
21．（9分）（2025•河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线
BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF
的弧交线段OB于点M，记为^EMF．
（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；
（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
（3）当∠EOF＝150°时，求^EMF的长．
22．（9分）（2025•河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在 0
﹣100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为lm的铜棒、铁棒受热后，伸长量y（m）与温度的
增加量x（℃）之间的关系均为y＝alx，其中a为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系
数a ＝1.7×10﹣5（单位：/℃）；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8×10﹣3m．
Cu
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数a ；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8×10﹣4m，求该铁棒温度的增加量．
Fe
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的
高20℃，求该铁棒温度的增加量．
23．（11分）（2025•河北）综合与实践
[情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．
[模型]已知矩形ABCD（数据如图2所示）．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩
形ABCD分成周长相等的两部分．
[操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： 如图4，淇淇的方法如下：
①连接AC，BD交于点O； ①在边BC上截取BG＝AB，连接AG；
②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E， ②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M；
F；
③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN．
……
第6页（共37页）[探究]根据以上描述，解决下列问题．
（1）图2中，矩形ABCD的周长为 ；
（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求．
[拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
（4）如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B
作BH⊥PQ于点H，连接CH．
①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值；
②当∠BCH最大时，直接写出CH的长．
24．（12分）（2025•河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B
1
（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（ ，2）．两条抛物线在第一象限内
2
的部分分别记为L ，L ．
1 2
（1）求b，c的值及点P的坐标．
第7页（共37页）23
（2）点D在L 上，到x轴的距离为 ．判断L 能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理
1 4 2
由．
（3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L 于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一
1
半．
①若点E与点P重合，点M恰好落在L 上，求a的值；
2
②若点M为直线AE与L 的唯一公共点，请直接写出k的值．
2
第8页（共37页）2025年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B C A C A B D B D
题号 12
答案 A
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.）
1．（3分）（2025•河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】有理数的加法．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意列出算式﹣5+5，然后根据互为相反数的两个数相加得0计算即可判断．
【解答】解：根据题意得﹣5+5＝0（℃），
即温度计上显示0℃，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（3分）（2025•河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其
中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（ ）
A．70° B．100° C．110° D．130°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
第9页（共37页）【答案】C
【分析】由平行线的性质推出∠BAD+∠ABC＝180°，即可求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BCD＝110°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
3．（3分）（2025•河北）计算：（√10+√6）（√10-√6）＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（√10+√6）（√10-√6）
＝10﹣6
＝4，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）（2025•河北）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上
有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化
石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（ ）
A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点】比的应用．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意列出比例即可解答．
【解答】解：设该化石的实际长度为xcm，根据题意得：
第10页（共37页）14 x
= ，
7 4
解得x＝8，
所以该化石的实际长度为8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了比的应用，正确列出比例是解答本题的关键．
5．（3分）（2025•河北）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为
（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据主视图和俯视图，可判断左视图．
【解答】解：由俯视图中的正方形位于横向的对称轴的位置上，故选项A的左视图符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查三视图判断几何体，解题的关键是学会观察，灵活运用所学知识解决问题．
6．（3分）（2025•河北）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点
（m，n）在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】根与系数的关系；点的坐标．
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【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】先求出两根之和、两根之积，从而判断m，n的符号可以得解．
【解答】解：由方程x（x+2）﹣3＝0，
得到x2+2x﹣3＝0．
第11页（共37页）2
两根之和：- =-2，
1
-3
两根之积： =- 3．
1
∴m，n都为负数，
∴点（m，n）在第三象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系、点的坐标，解题时要熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
7．（3分）（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），
1 1
若向上一面出现数字1的概率为 ，出现数字2的概率为 ，则该木块不可能是（ ）
2 3
A． B． C． D．
【考点】概率的意义；概率公式．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】直接由概率公式求解即可．
1 1
【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为 ，出现数字2的概率为 ，
2 3
∴6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”，
∴只能有一个面标有“3”，
∴该木块不可能是选项A．
故选：A．
【点评】此题考查了概率公式以及概率的意义，概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是
解题的关键．
a2+12a+36
8．（3分）（2025•河北）若a＝﹣3，则 =（ ）
a2+6a
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．6
【考点】代数式求值．
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【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】B
第12页（共37页）【分析】先化简再求值即可．
a2+12a+36 (a+6) 2 a+6
【解答】解：原式= = =
a2+6a a(a+6) a
-3+6
当a＝﹣3时，原式= =-1．
-3
故选：B．
【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．
9．（3分）（2025•河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，
N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（ ）
A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3
【考点】相似三角形的判定．
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【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据平行线的性质得到∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，当添加∠B+∠4＝180°时，根据等
角的补角相等证明∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对A选项进
行判断；当添加CD∥AB时，根据平行线的性质得到∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，则根据相似
三角形的判定方法可对 B选项进行判断；当添加∠1＝∠4时，根据等角的补角相等证明∠DCN＝
∠MAE，则根据相似三角形的判定方法可对C选项进行判断；当添加∠2＝∠3时，根据等角的补角相
等证明∠AEM＝∠CDN＝∠CND，于是根据相似三角形的判定方法可对D选项进行判断．
【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，
当添加∠B+∠4＝180°时，
∵∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
第13页（共37页）∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意；
当添加CD∥AB时，
∴∠DCN＝∠B，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意；
当添加∠1＝∠4时，
∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°，
∴∠DCN＝∠MAE，
∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意；
当添加∠2＝∠3时，
∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°，
∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行线的性
质．
4
10．（3分）（2025•河北）在反比例函数y= 中，若2＜y＜4，则（ ）
x
1
A． ＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8
2
【考点】反比例函数的性质．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象的性质代入函数值的范围即可求出x的取值范围．
4
【解答】解：∵反比例函数y= ，k＝4＞0，
x
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
4 4
∴当2＜y＜4时， ＜x＜ ，
4 2
∴1＜x＜2．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11．（3分）（2025•河北）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．
第14页（共37页）将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠1＝45°﹣ B．∠1＝ C．∠2＝90°﹣ D．∠2＝2
【考点】翻折变α换（折叠问题）α；平行线的性质． α α
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【专题】展开与折叠．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质的可得AD∥BC，∠C＝90°，则∠ADB＝∠1，进而根据折叠的性质得出2∠1
＝90°﹣ ，∠2＝2 ，即可求解．
【解答】α解：∵四α边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠ADB＝∠1，
∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠ADB＝∠A'DB，
∴∠1＝∠A'DB，
∵∠DEC＝90°﹣ ，
即2∠1＝90°﹣ α，
α1
∴∠1=45°- α，故A不正确，
2
∵∠BDE≠∠CDE，
∴∠1≠ ，故B不正确，
∵将矩α形ABCD沿对角线ED折叠，
∴∠C'ED＝∠CED
∠2＝180°﹣2∠CED＝180°﹣2（90°﹣ ）＝2 ，故C不正确，D选项正确，
故选：D． α α
【点评】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的
性质是解题的关键．
12．（3分）（2025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形
第15页（共37页）EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有
A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（ ）
7 11 8 23 3 3 9
A．( ， ) B．( ， ) C．( ，2) D．( ， )
5 5 5 10 2 2 4
【考点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移．
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【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】待定系数法求得直线FG的解析式为y＝﹣2x﹣1，根据选项判断平移方式，结合题意，即可
求解．
【解答】解：设直线 FG的解析式为 y＝kx+b，代入（﹣1，1），（0，﹣1），
{1=-k+b {k=-2
∴ ，解得 ，
-1=b b=-1
∴直线FG的解析式为 y＝﹣2x﹣1，
∵E（1，2），
7 11 2 1
A．当E为( ， )时，平移方式为向右平移 个单位，向上平移 个单位，
5 5 5 5
2 1
∴直线FG平移后的解析式为y=-2(x- )-1+ =-2x，此时经过原点，对应的EH经过整点（2，
5 5
1），符合题意，
8 23 3 3
B．当E为( ， )时，平移方式为向右平移 个单位，向上平移 个单位，
5 10 5 10
3 3 1
∴直线FG平移后的解析式为y=-2(x- )-1+ =-2x+ ，此时原点在FG下方，对应的EH在
5 10 2
整点（2，1）上方，不符合题意，
3 1
C．当E为( ，2)时，平移方式为向右平移 个单位，
2 2
第16页（共37页）1
∴直线FG平移后的解析式为y=-2(x- )-1=-2x，此时点H在正方形内部，不符合题意，
2
3 9 1 1
D．当E为( ， )时，平移方式为向右平移 个单位，向上平移 个单位，
2 4 2 4
1 1 1
∴直线FG平移后的解析式为y＝﹣2（x- ）﹣1+ =-2x+ ，此时点E和（2，1）在EF边上，不
2 4 4
符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵
活运用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2025•河北）计算：2a2+4a2＝ 6 a 2 ．
【考点】合并同类项．
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【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】6a2．
【分析】合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
【解答】解：2a2+4a2＝（2+4）a2＝6a2．
故答案为：6a2．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．（3分）（2025•河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n
的值可以为 2 或 3 或 4 或 5 或 6 ．（写出一个即可）
【考点】平行四边形的性质．
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【专题】三角形；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】2或3或4或5或6．
【分析】由平行四边形两个邻边长分别为 3和4，根据三角形的三边关系，即可求得它的一条对角线
长n的取值范围．
【解答】解：如图，
∵平行四边形两个邻边长分别为3和4，
∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3，
第17页（共37页）即它的一条对角线长n的取值范围是：1＜n＜7．
∴n＝2或3或4或5或6．
故答案为：2或3或4或5或6．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握三角形三边
关系的应用．
1
15．（3分）（2025•河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的 与乙纸
3
2
条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝ 9 9 ．
5
【考点】二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】99．
1 2
【分析】根据将甲纸条的 与乙纸条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，列方程组即可得到结论．
3 5
1 2
{ a= b
3 5
【解答】解：根据题意得， ，
1
(1- )a+b=81
3
{a=54
解得 ，
b=45
∴a+b＝99，
故答案为：99．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组是解题的关键．
16．（3分）（2025•河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关
键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字 1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，
数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相
√6+√2
等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．
2
√6-√2 √6+√2
（参考数据：sin15°= ，sin75°= ）
4 4
第18页（共37页）眼肌运动训练图
使用方法：以0，1，2，
3，…的顺序沿着箭头方向
移动眼球．移动一圈后再回
到原点，反复进行．
【考点】解直角三角形的应用；规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型；解直角三角形及其应用．
√6+√2
【答案】 ．
2
【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，
√6+√2
首先得到线段AB的长与其他的都不相等，然后求出∠BOD＝75°，解直角三角形求出BD= ，
4
然后利用三线合一求解即可．
【解答】解：如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点
D，
眼肌运动训练图
使用方法：以0，1，2，
3，…的顺序沿着箭头方向
移动眼球．移动一圈后再回
到原点，反复进行．
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，
∵其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，
∴360°÷12＝30°，
第19页（共37页）∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°，
∴∠AOB＝30°×5＝150°，
1
∴∠OAB=∠OBA= (180°-∠AOB)=15°，
2
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝75°，
BD
∴sin∠BOD=sin75°= ，
OB
√6+√2 BD
即 = ，
4 1
√6+√2
∴BD= ，
4
∵OA＝OB，OD⊥AB，
√6+√2
∴AB=2BD= ，
2
√6+√2
∴这条线段的长为 ，
2
√6+√2
故答案为： ．
2
【点评】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握
以上知识点．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）（2025•河北）（1）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式3﹣x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集；
{ 2x≤6
（3）直接写出不等式组 的解集．
3-x＜5
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x≤3，数轴见解析过程；
（2）x＞﹣2，数轴见解析过程；
（3）﹣2＜x≤3．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来．
第20页（共37页）（2）根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，并将解集在数轴上表示出来．
（3）结合（1）（2），写出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）2x≤6，
x≤3，
数轴表示如下：
．
（2）3﹣x＜5，
﹣x＜2，
x＞﹣2，
数轴表示如上图．
（3）由（1）（2）知，
{ 2x≤6
不等式组 的解集为：﹣2＜x≤3．
3-x＜5
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式（组）及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不
等式（组）的步骤是解题的关键．
18．（8分）（2025•河北）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
1 2 5
计算：（﹣6）×（ + - ）．
2 3 6
1 2 5
解：（﹣6）×（ + - ）
2 3 6
1 2 5
＝﹣6× +6× -6× ⋯⋯第一步
2 3 6
＝﹣3+4﹣5……第二步
＝﹣4……第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
1 1
（2）计算：|2-√2|﹣（﹣2）2×（ - ）．
2 4
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）从第一步开始出现错误，正确的解答过程见解析；
（2）1-√2．
【分析】（1）根据题干中的解题步骤进行判断，并利用乘法分配律进行正确的计算即可；
第21页（共37页）（2）先去绝对值并进行有理数的乘方运算，然后利用乘法分配律计算，最后算加减即可．
【解答】解：（1）原解题步骤从第一步开始出现错误，正确解答过程如下：
1 2 5
原式＝（﹣6）× +（﹣6）× -（﹣6）×
2 3 6
＝﹣3﹣4+5
＝﹣2；
1 1
（2）原式＝2-√2-4×（ - ）
2 4
1 1
＝2-√2-（4× -4× ）
2 4
＝2-√2-（2﹣1）
＝2-√2-1
＝1-√2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．（8分）（2025•河北）如图，四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝
∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．
（1）求证：△ABC≌△AFD；
（2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，得∠ACB＝∠ADF，由∠BAF
＝∠EAD，推导出∠BAC＝∠FAD，而AC＝AD，即可根据“ASA”证明△ABC≌△AFD；
（2）由全等三角形的性质得AB＝AF，而BE＝FE，根据等腰三角形的“三线合一”得AC⊥BD．
【解答】证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，
第22页（共37页）∴∠ACB＝∠ADF，
∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF，
∴∠BAC＝∠FAD，
在△ABC和△AFD中，
{∠BAC=∠FAD
AC=AD ，
∠ACB=∠ADF
∴△ABC≌△AFD（ASA）．
（2）由（1）得△ABC≌△AFD，
∴AB＝AF，
∵BE＝FE，
∴AC⊥BF，即AC⊥BD．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，推导出∠BAC
＝∠FAD，进而证明△ABC≌△AFD是解题的关键．
20．（8分）（2025•河北）某工厂生产A，B，C，D四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部
分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工
厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．
下面是该工厂这四种产品的部分信息：
a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．
类别 A B C D
数据
产品
第23页（共37页）调整前单件成本/（元/件） 18 26 20 36
调整后单件成 方案甲 13 22 m 40
本/（元/件）
方案乙 16 n 18 32
说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求调整前A产品的年产量；
（2）直接写出m，n的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较
低．
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；扇形统计图．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）60万件；
（2）m＝25，n＝28；
（3）方案甲总成本较低．
【分析】（1）先根据调整前D产品产量及其所占百分比求出总产量，再用总产量乘C对应百分比求
出其产量，再根据四个产品的产量和等于总产量求出A产品的产量；
（2）根据平均数和中位数的定义求解即可；
（3）根据A产品年产量×单件成本+B产品年产量×单件成本+C产品年产量×单件成本+D产品年产量×
单件成本分别求出方案甲、乙的总成本，从而得出答案．
【解答】解：（1）调整前，总产量为40÷20%＝200（万件），
所以C产品的产量为200×15%＝30（万件），
则A产品的年产量为200﹣（70+30+40）＝60（万件）；
18+26+20+36 13+22+m+40
（2）由题意知， = ，
4 4
解得m＝25；
20+26
∵调整前单件成本的中位数为 = 23（元/件），
2
18+n
∴ =23，
2
解得n＝28；
（3）方案甲总成本为60×13+70×22+30×25+40×40＝4670（万元），
方案乙总成本为60×16+70×28+30×18+40×32＝4740（万元），
第24页（共37页）4670＜4740，
所以方案甲总成本较低．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．
21．（9分）（2025•河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线
BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF
的弧交线段OB于点M，记为^EMF．
（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；
（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
（3）当∠EOF＝150°时，求^EMF的长．
【考点】圆的综合题．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；解
直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
5 7
【答案】（1）45°；（2）√6；（3） π或 π．
3 3
【分析】（1）利用正方形的性质得到AD＝BC＝5，∠ADC＝90°，利用已知条件得到DE＝DF＝OE＝
OF＝2，再利用正方形的判定与性质得到四边形OEDF为正方形，最后利用圆周角定理解答即可；
（2）连接EF，交BD于点H，利用菱形的性质得到OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD，利用直角三角
形的边角关系定理和等腰直角三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：画出图形，利用弧长公式解答即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形，
∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°，
∵AE＝3，
∴DE＝2，
∵DE＝DF，
∴DE＝DF＝2．
第25页（共37页）∵OE＝OF＝2，
∴DE＝DF＝OE＝OF＝2，
∴四边形OEDF为正方形，
∴∠EOF＝90°，
1
∴∠EMF= ∠EOF＝45°；
2
（2）连接EF，交BD于点H，如图，
∵四边形OEMF为菱形，
∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD，
∵OM＝OE＝OF＝2，
∴△OEM，△OFM为等边三角形，
∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°，
√3
∴EH＝ME•sin60°＝2× =√3．
2
∵四边形ABCD为边长为5的正方形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝45°，
∴△EDH为等腰直角三角形，
∴DH＝EH=√3，
∴DE=√2DH=√6；
（3）当∠EOF＝150°时，即^EMF为劣弧时，如图，
150π×2 5π
∴^EMF的长= = ；
180 3
第26页（共37页）当∠EOF＝150°时，即^EMF为优弧时，如图，
210π×2 7π
∴^EMF的长= = ．
180 3
5 7
综上，当∠EOF＝150°时，^EMF的长为 π或 π．
3 3
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，正方形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性
质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，弧长公式，
分类讨论的思想方法，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
22．（9分）（2025•河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在 0
﹣100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为lm的铜棒、铁棒受热后，伸长量y（m）与温度的
增加量x（℃）之间的关系均为y＝alx，其中a为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系
数a ＝1.7×10﹣5（单位：/℃）；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8×10﹣3m．
Cu
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数a ；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8×10﹣4m，求该铁棒温度的增加量．
Fe
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的
高20℃，求该铁棒温度的增加量．
【考点】有理数的混合运算；科学记数法—表示较小的数．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）5.1×10﹣4m
（2）a ＝1.2×10﹣5；该铁棒温度的增加量为40℃；
Fe
（3）68℃．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意先求得a ，然后列式计算求得该铁棒温度的增加量即可；
Fe
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为（x+20）℃，设它们的长度均为l，根据题意列
得方程，解方程求得x的值后代入x+20中计算即可．
【解答】解：（1）1.7×10﹣5×0.6×50＝5.1×10﹣4（m），
即该铜棒的伸长量为5.1×10﹣4m；
第27页（共37页）1.8×10-3
（2）a = =1.2×10﹣5，
Fe 2.5×(80-20)
4.8×10﹣4÷（1.2×10﹣5×1）＝40（℃），
即该铁棒温度的增加量为40℃；
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为（x+20）℃，设它们的长度均为l，
由题意得1.7×10﹣5lx＝1.2×10﹣5l（x+20），
整理得：17x＝12x+240，
解得：x＝48，
则x+20＝48+20＝68，
即该铁棒温度的增加量为68℃．
【点评】本题考查有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，理解题意并列得正确的算式及方程
是解题的关键．
23．（11分）（2025•河北）综合与实践
[情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．
[模型]已知矩形ABCD（数据如图2所示）．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩
形ABCD分成周长相等的两部分．
[操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： 如图4，淇淇的方法如下：
①连接AC，BD交于点O； ①在边BC上截取BG＝AB，连接AG；
②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E， ②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M；
F；
③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN．
……
[探究]根据以上描述，解决下列问题．
（1）图2中，矩形ABCD的周长为 1 0 ；
（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求．
第28页（共37页）[拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
（4）如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B
作BH⊥PQ于点H，连接CH．
①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值；
②当∠BCH最大时，直接写出CH的长．
【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）10；
（2）见解析；
（3）见解析；
3
（4）① ；
13
②2√2．
【分析】（1）根据矩形的周长公式计算即可；
（2）以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M，延长MO交AD于点N，连接MN，由作图可知
△OME是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证∠NMC＝45°，根据矩形的性质可证
△AON≌△COM，根据全等三角形的性质可证AN＝CM，DN＝BM，从而可证直线MN把矩形分成了周
长相等的两部分，所以线段MN即为所求；
（3）根据矩形的性质可证四边形AGMN是平行四边形，根据平行四边形的性质可证∠NMG＝∠AGB
＝45°，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明出 AN＝CM，BM＝DN，所以可以证明
AN+AB+BM＝CM+CD+DN，所以直线MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，从而可证直线MN
第29页（共37页）符合要求；
（4）①过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O作OT⊥BC，根
据矩形的性质可得：AP＝CQ，PD＝BQ，AB＝DC＝PK＝1，根据勾股定理可以求出PQ=√2，利用
√2
AAS 可证△AOP≌△COQ，根据全等三角形的性质可得：PO=QO= OT＝QT＝2，从而可得：
2
5 3 3 13
CQ= ，BQ= ，根据等腰直角三角形的性质可得：HG= ，CG= ，根据正切的定义可以求出
2 2 4 4
∠BCH的正切；②连接AC交PQ于点O，PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，点O为AC和
√17
PQ的中点，利用勾股定理可以求出AC=√17LH= ，过点L作LT⊥BC，则△BLT∽△BDC，根据
4
1 145
相似三角形的性质可以求出¿= ，BT＝1，CT＝3，在Rt△CLT中，利用勾股定理可得：CL2= ，
4 16
在Rt△CLH中，利用勾股定理即可求出CH的长度．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝1，AD＝4，
∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝4，
∴矩形ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（1+4）＝10，
故答案为：10；
（2）解：如图所示，以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M，延长MO交AD于点N，线段MN
即为所求，
∵EF⊥BC，
∴∠BEF＝90°，
∵EM＝EO，
∴△EOM是等腰直角三角形，
∴∠OME＝45°，
第30页（共37页）∵矩形ABCD的对角线交于点O，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AON＝∠COM，
在△AON和△COM中，
{∠OAN=∠OCM
AO=CO ，
∠AON=∠COM
∴△AON≌△COM（ASA），
∴AN＝CM，
∴DN＝BM，
∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN，
∴直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分；
（3）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∵BG＝AB，
∴∠AGB＝45°，
∵AN＝MG，
∴四边形AGMN是平行四边形，
∴MN∥AG，
∴∠NMG＝∠AGB＝45°，
∵直线l是GC的垂直平分线，
∴GM＝CM，
∴GM＝CM＝AN，
∴BM＝BC﹣CM，DN＝AD﹣AN，
∴BM＝DN，
∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN，
∴MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，
∴直线MN符合要求；
（4）解：①如图所示，过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O
作OT⊥BC，
第31页（共37页）∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对
角线AC与BD的交点，
∴点O是AC的中点，
1
∴BT=CT= BC=2，
2
∴AP＝CQ，PD＝BQ，AB＝DC＝PK＝1，
∵∠PQC＝45°，
∴△PQK是等腰直角三角形，
∴PK＝QK＝1，
∴PQ=√PK2+QK2=√12+12=√2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APQ＝∠CQP＝45°，
在△AOP和△COQ中，
{∠AOP=∠COQ
∠APO=∠CQP，
AP=CQ
∴△AOP≌△COQ（AAS），
√2 1
∴PO=QO= ，OT＝QT = ，
2 2
1 5
∴CQ＝CT+QT＝2+ = ，
2 2
5 3
∴BQ＝BC﹣CQ＝4- = ，
2 2
∵BH⊥PQ于点H，∠BQH＝∠PQC＝45°，
∴∠BHQ＝90°，
∴△BHQ是等腰直角三角形，
第32页（共37页）1 1 3 3 5 3 13
∴HG＝GQ= BQ= × = ，CG=CQ+GQ= + = ，
2 2 2 4 2 4 4
3
HG 4 3
∴tan∠BCH= = = ；
CG 13 13
4
②如图所示，连接BD交PQ于点O，
∵PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分，
∴点O为BD和PQ的中点，
∵BH⊥PQ，
∴点H在以BO为直径的 L上，当CH与 L相切时，∠BCH最大，
∵AB＝1，AD＝4， ⊙ ⊙
∴BD=√12+42=√17，
1 √17
∴BO= AC= ，
2 2
√17
∴LH=BL=OL= ，
4
过点L作LT⊥BC，
∴∠BTL＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴TL∥CD，
则△BLT∽△BDC，
BL LT BT
∴ = = ，
BD CD BC
√17
∴ 4 LT BT，
= =
√17 1 4
第33页（共37页）1
∴¿= BT＝1，
4
∴CT＝BC﹣BT＝4﹣1＝3，
145
∴CL2=T L2+CT2=
，
16
∵CH是 L的切线，
∴∠CHL⊙＝90°，
√145 √17 √145 17
∴CH=√CL2-H L2= -( ) 2= - =√8=2√2．
16 4 16 16
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质、中心对称图形的性质、圆的基本性质、切
线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的综合性较强，难度较大，需要
综合运用矩形、圆、切线等图形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角
形的性质求解．
24．（12分）（2025•河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B
1
（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（ ，2）．两条抛物线在第一象限内
2
的部分分别记为L ，L ．
1 2
（1）求b，c的值及点P的坐标．
23
（2）点D在L 上，到x轴的距离为 ．判断L 能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理
1 4 2
由．
（3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L 于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一
1
半．
①若点E与点P重合，点M恰好落在L 上，求a的值；
2
②若点M为直线AE与L 的唯一公共点，请直接写出k的值．
2
第34页（共37页）【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数综合题；压轴题．
11
【答案】（1）b＝6，c＝3，P（3，12）；（2）不能，理由见解析；（3）①a=- ；②k=6-√15．
8
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
23 1 23 1 23
（2）根据题意得出 y = ，代入抛物线解析式得出D( ， )或( ， )，而 L 经过点
D 4 2 4 2 4 2
1 11
C( ，2)和( ，2)，即可得出结论；
2 2
3 15 1
（3）①先求得M( ， )和C( ，2)，代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
2 2 2
1
②根据题意得出直线AE的解析式为y＝kx+3，根据y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C( ，2)，得
2
25 11
出y=a(x-3) 2+2- a=ax2-6ax+ a+2，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关
4 4
6a+k 6ak+k2 6a+k 6a+k
系得出E( ， +3)，M( ， k+3)，将 E 代入 y＝﹣x2+6x+3，得出
a a 2a 2a
6ak+k2 (6a+k) 2 6a+k
+3=- +6× +3①，根据点 M 为直线 AE 与 L 的唯一公共点，得出
a a2 a 2
11a
Δ=(k+6a) 2-4×a×( -1)=0②，联立解得k的值，即可求解．
4
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P，
{ c=3
∴ ，
-36+6b+c=3
解得：b＝6，c＝3，
∴y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12，
∴P（3，12）；
23
（2）∵点D在L （第一象限）上，到x轴的距离为 ，
1 4
23
则y = ，
D 4
第35页（共37页）23 23
∴当y= 时， =-x2+6x+3，
4 4
1 11
解得：x= 或x= ，
2 2
1 23 11 23
∴D( ， )或( ， )，
2 4 2 4
1
∵抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C( ，2)，对称轴为直线x＝3，
2
1 11
∴L 经过点C( ，2)和( ，2)，
2 2 2
∴L 不能经过点D，
2
（3）①∵A（0，3），P（3，12），
当E，P重合时，则E（3，12），
∵M是AE的中点，
3 15
∴M( ， )，
2 2
3 15 1
∵点M( ， )恰好落在L 上，L 经过点C( ，2)，
2 2 2 2 2
1
{2=( -3) 2a+d
2
∴ ，
15 3
=( -3) 2+d
2 2
11
解得：a=- ；
8
②直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L 于点E，A（0，3），
1
∴n＝3，
∴直线AE的解析式为y＝kx+3，
1
∵y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C( ，2)，
2
25
∴2= a+d，
4
25
∴d=2- a，
4
25 11
∴y=a(x-3) 2+2- a=ax2-6ax+ a+2，
4 4
第36页（共37页）{ y=ax2-6ax+ 11 a+2
联立 4 ，
y=kx+3
11a
消去y得，ax2-kx-6ax+ -1=0，
4
6a+k
∴x =x = ，
1 2 2a
∵点M的横坐标是点E横坐标的一半，
6a+k 6a+k 6a+k 6ak+k2
∴M( ， k+3)，E( ， +3)，
2a 2a a a
将E代入y＝﹣x2+6x+3，
6ak+k2 (6a+k) 2 6a+k
∴ +3=- +6× +3①
a a2 a
∵点M为直线AE与L 的唯一公共点，
2
11a
∴Δ=(k+6a) 2-4×a×( -1)=0②，
4
{ a=-1 { a=-1
联立①②得： 或 ，
k=6-√15 k=6+√15
当k=6+√15时，唯一公共点不在第一象限，不符合题意，
∴k=6-√15．
【点评】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
第37页（共37页）
