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第 3 节 平面向量的数量积及其应用
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量
积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积
的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂
直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简
单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB
＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 | a | | b |
cos__θ 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ | a | | b |cos __θ.规定：零
向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线
ON的垂线，垂足为M ，则OM1就是向量a在向量b上的投影向
1
量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系
为OM1＝|a|cos θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x x ＋y y .
1 2 1 2
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x x ＋y y |≤ ·.
⇔ 1 2 1 2
3.平面向量数量积的运算律
⇔
(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝
角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不
能约去同一个向量.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(
)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相
等.
2.(2021·湖州二模)在边长为3的等边三角形ABC中，BM＝MC，则BA·BM＝(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵BM＝MC，∴BM＝BC，
∴BA·BM＝BA·BC＝|BA||BC|cos ＝×3×3×＝.3.(多选)(2021·青岛统检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b
的夹角为θ，则( )
A.|a|＝|b| B.a⊥c
C.b∥c D.θ＝135°
答案 BD
解析 由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝，|b|＝2，
故A不正确；
a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；
不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；
cos θ＝＝＝－，所以θ＝135°，故D正确.综上知选BD.
4.(2021·衡阳一模)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为，|b|＝4，则c在
a上的投影向量的长度为( )
A.2 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 由a·b＝a·c，
可得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，
因为|a|≠0，
所以|c|cos〈a，c〉＝|b|cos〈a，b〉＝4×cos ＝2，
所以c在a上的投影向量的长度为
||c|cos〈a，c〉|＝2.
5.(易错题)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若
a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐
角”的必要不充分条件，故选B.
6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案解析 法一 a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
∵(a－λb)⊥b，
∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
法二 由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.
考点一 数量积的计算
例1 (1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的
延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________.
答案 －1
解析 如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝
2.
则BD·AE＝(AD－AB)·(AB＋BE)
＝AD·AB＋AD·BE－AB2－AB·BE
＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°
＝15－10－12＋6＝－1.
(2)(2020·北京卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足AP＝，则|PD|＝
__________；PB·PD＝__________.
答案 －1
解析 法一 ∵AP＝(AB＋AC)，
∴P为BC的中点.
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，
2)，D(0，2)，P(2，1)，
∴|PD|＝＝.
易得PB＝(0，－1)，PD＝(－2，1).
∴PB·PD＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
法二 如图，在正方形ABCD中，由AP＝(AB＋AC)得点P为BC
的中点，
∴|PD|＝＝.PB·PD＝PB·(PC＋CD)＝PB·PC＋PB·CD＝－PB2＋0＝－1.
感悟提升 平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中
的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，
可利用坐标法求解.
训练1 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一
点，则AP·AB的取值范围是( )
A.(－2，6) B.(－6，2)
C.(－2，4) D.(－4，6)
答案 A
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角
坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).设P(x，y)，则AP＝(x，
y)，AB＝(2，0)，且－1＜x＜3.
所以AP·AB＝(x，y)·(2，0)
＝2x∈(－2，6).
(2)(2022·石家庄调研)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内
的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值为________.
答案 13
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B，C(0，t)，
AB＝，AC＝(0，t)，
AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，
PB·PC＝·(－1，t－4)
＝17－≤17－2＝13，
当且仅当t＝时等号成立.
∴PB·PC的最大值等于13.
考点二 数量积的应用
角度1 夹角与垂直
例2 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈 a，a＋
b〉＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 D
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.
(2)(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋
AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为( )
A. B. C.6 D.
答案 A
解析 因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，
所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AB·AC＝(λ－
1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ
＝.
角度2 平面向量的模
例3 (1)如果|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( )
A.24 B.2 C.－24 D.－2
答案 B
解析 由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，
得|a－2b|＝
＝
＝＝2.
(2)(2021·衡水联考)若向量a，b满足a＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取
值范围为________.
答案 [0，4]
解析 设a与b的夹角为α，则(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝8－8cos α，因为α∈[0，
π]，所以0≤8－8cos α≤16，所以0≤|2a－b|≤4.
(3)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是
________.
答案 ＋1
解析 法一 由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作OA＝a，OB＝b，作OC＝a＋b，则四边形
OACB是边长为1的正方形，所以|OC|＝.
作OP＝c，则|c－a－b|＝|OP－OC|＝|CP|＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，|OP|取得最大值＋1.故|c|的
1
最大值是＋1.
法二 由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1).
设c＝OC＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.
所以|c| ＝＋1.
max
法三 易知|a＋b|＝，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，
由已知得||c|－|≤1，
所以|c|≤1＋，故|c| ＝＋1.
max
感悟提升 (1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cos θ＝(夹角
公式)，a⊥b a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问
题.
⇔
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利
用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法
利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向
量，再利用余弦定理等方法求解.
训练2 (1)(多选)(2022·湖南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则
( )
A.|a＋b|＝2 B.a与b垂直
C.a与a－b的夹角为 D.|a－b|＝1
答案 BC
解析 |a＋b|＝＝，故A错误；
因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂
直，故B正确；
|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错误；
cos〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确.
(2)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，
AB与AC的夹角为60°，则|MA|＝________.
答案
解析 ∵M为BC的中点，∴AM＝(AB＋AC)，
∴|MA|2＝(AB＋AC)2
＝(|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC)
＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
∴|MA|＝.
(3)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|CD|＝
1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________.
答案 1＋
解析 设D(x，y)，由|CD|＝1，得(x－3)2＋y2＝1，
向量OA＋OB＋OD＝(x－1，y＋)，
故|OA＋OB＋OD|＝的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－)距离的最大
值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3，0)到点(1，－)的距离加上圆的半径，即
＋1＝1＋.
考点三 平面向量的综合应用
例4 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝
0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，所以CB·(AB＋AC)＝0，即CB⊥(AB
＋AC)，所以△ABC的中线和底边垂直，所以△ABC是等腰三角形.
(2)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD＝
λBC，AD·AB＝－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC
上的动点，且|MN|＝1，则DM·DN的最小值为________.
答案
解析 因为AD＝λBC， 所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以AD·AB＝|AD|·|AB|·cos 120°＝－，解得|AD|＝1.
因为AD，BC同向，且BC＝6，
所以AD＝BC，即λ＝.
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°
＝.
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a＋1，0)，且－≤a≤.
又D，所以DM＝，
DN＝，
所以DM·DN＝a2－a＋
＝＋.
所以当a＝时，DM·DN取得最小值.
(3)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
①求角C的大小；
②若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求c.
解 ①m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，0
