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第 3 节 平面向量的数量积及其应用
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量
积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积
的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂
直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简
单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB
＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 | a | | b |
cos__θ 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ | a | | b |cos __θ.规定：零
向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线
ON的垂线，垂足为M ，则OM1就是向量a在向量b上的投影向
1
量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系
为OM1＝|a|cos θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x x ＋y y .
1 2 1 2
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x x ＋y y |≤ ·.
⇔ 1 2 1 2
3.平面向量数量积的运算律
⇔
(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝
角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不
能约去同一个向量.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(
)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相
等.
2.(2021·湖州二模)在边长为3的等边三角形ABC中，BM＝MC，则BA·BM＝(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵BM＝MC，∴BM＝BC，
∴BA·BM＝BA·BC＝|BA||BC|cos ＝×3×3×＝.3.(多选)(2021·青岛统检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b
的夹角为θ，则( )
A.|a|＝|b| B.a⊥c
C.b∥c D.θ＝135°
答案 BD
解析 由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝，|b|＝2，
故A不正确；
a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；
不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；
cos θ＝＝＝－，所以θ＝135°，故D正确.综上知选BD.
4.(2021·衡阳一模)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为，|b|＝4，则c在
a上的投影向量的长度为( )
A.2 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 由a·b＝a·c，
可得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，
因为|a|≠0，
所以|c|cos〈a，c〉＝|b|cos〈a，b〉＝4×cos ＝2，
所以c在a上的投影向量的长度为
||c|cos〈a，c〉|＝2.
5.(易错题)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若
a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐
角”的必要不充分条件，故选B.
6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案解析 法一 a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
∵(a－λb)⊥b，
∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
法二 由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.
考点一 数量积的计算
例1 (1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的
延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________.
答案 －1
解析 如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝
2.
则BD·AE＝(AD－AB)·(AB＋BE)
＝AD·AB＋AD·BE－AB2－AB·BE
＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°
＝15－10－12＋6＝－1.
(2)(2020·北京卷)已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足AP＝，则|PD|＝
__________；PB·PD＝__________.
答案 －1
解析 法一 ∵AP＝(AB＋AC)，
∴P为BC的中点.
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，
2)，D(0，2)，P(2，1)，
∴|PD|＝＝.
易得PB＝(0，－1)，PD＝(－2，1).
∴PB·PD＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.
法二 如图，在正方形ABCD中，由AP＝(AB＋AC)得点P为BC
的中点，
∴|PD|＝＝.PB·PD＝PB·(PC＋CD)＝PB·PC＋PB·CD＝－PB2＋0＝－1.
感悟提升 平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中
的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，
可利用坐标法求解.
训练1 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一
点，则AP·AB的取值范围是( )
A.(－2，6) B.(－6，2)
C.(－2，4) D.(－4，6)
答案 A
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角
坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).设P(x，y)，则AP＝(x，
y)，AB＝(2，0)，且－1＜x＜3.
所以AP·AB＝(x，y)·(2，0)
＝2x∈(－2，6).
(2)(2022·石家庄调研)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内
的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值为________.
答案 13
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B，C(0，t)，
AB＝，AC＝(0，t)，
AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，
PB·PC＝·(－1，t－4)
＝17－≤17－2＝13，
当且仅当t＝时等号成立.
∴PB·PC的最大值等于13.
考点二 数量积的应用
角度1 夹角与垂直
例2 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈 a，a＋
b〉＝( )
A.－ B.－ C. D.
答案 D
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.
(2)(2021·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋
AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为( )
A. B. C.6 D.
答案 A
解析 因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，
所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AB·AC＝(λ－
1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ
＝.
角度2 平面向量的模
例3 (1)如果|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的值是( )
A.24 B.2 C.－24 D.－2
答案 B
解析 由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，
得|a－2b|＝
＝
＝＝2.
(2)(2021·衡水联考)若向量a，b满足a＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取
值范围为________.
答案 [0，4]
解析 设a与b的夹角为α，则(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝8－8cos α，因为α∈[0，
π]，所以0≤8－8cos α≤16，所以0≤|2a－b|≤4.
(3)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是
________.
答案 ＋1
解析 法一 由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作OA＝a，OB＝b，作OC＝a＋b，则四边形
OACB是边长为1的正方形，所以|OC|＝.
作OP＝c，则|c－a－b|＝|OP－OC|＝|CP|＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P 处时，|OP|取得最大值＋1.故|c|的
1
最大值是＋1.
法二 由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1).
设c＝OC＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.
所以|c| ＝＋1.
max
法三 易知|a＋b|＝，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，
由已知得||c|－|≤1，
所以|c|≤1＋，故|c| ＝＋1.
max
感悟提升 (1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cos θ＝(夹角
公式)，a⊥b a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问
题.
⇔
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利
用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法
利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向
量，再利用余弦定理等方法求解.
训练2 (1)(多选)(2022·湖南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则
( )
A.|a＋b|＝2 B.a与b垂直
C.a与a－b的夹角为 D.|a－b|＝1
答案 BC
解析 |a＋b|＝＝，故A错误；
因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂
直，故B正确；
|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错误；
cos〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确.
(2)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，
AB与AC的夹角为60°，则|MA|＝________.
答案
解析 ∵M为BC的中点，∴AM＝(AB＋AC)，
∴|MA|2＝(AB＋AC)2
＝(|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC)
＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，
∴|MA|＝.
(3)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|CD|＝
1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________.
答案 1＋
解析 设D(x，y)，由|CD|＝1，得(x－3)2＋y2＝1，
向量OA＋OB＋OD＝(x－1，y＋)，
故|OA＋OB＋OD|＝的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－)距离的最大
值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3，0)到点(1，－)的距离加上圆的半径，即
＋1＝1＋.
考点三 平面向量的综合应用
例4 (1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝
0，则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，所以CB·(AB＋AC)＝0，即CB⊥(AB
＋AC)，所以△ABC的中线和底边垂直，所以△ABC是等腰三角形.
(2)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD＝
λBC，AD·AB＝－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC
上的动点，且|MN|＝1，则DM·DN的最小值为________.
答案
解析 因为AD＝λBC， 所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以AD·AB＝|AD|·|AB|·cos 120°＝－，解得|AD|＝1.
因为AD，BC同向，且BC＝6，
所以AD＝BC，即λ＝.
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°
＝.
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a＋1，0)，且－≤a≤.
又D，所以DM＝，
DN＝，
所以DM·DN＝a2－a＋
＝＋.
所以当a＝时，DM·DN取得最小值.
(3)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
①求角C的大小；
②若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求c.
解 ①m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C，0<C<π，
所以sin(A＋B)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cos C＝.
又因为C∈(0，π)，故C＝.
②由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
因为CA·(AB－AC)＝18，
所以CA·CB＝18，
即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.
感悟提升 向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标
这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于
设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规
的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定
理等知识的应用.
训练3 (1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A.1 B.2 C. D.
答案 C
解析 因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，
(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cos θ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的
夹角，
所以|c|＝|a＋b|cos θ＝cos θ≤，
所以|c|的最大值是.
(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)
的最小值是( )
A.－2 B.－ C.－ D.－1
答案 B
解析 以BC中点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，
∴A(0，)，B(－1，0)，C(1，0).
设P(x，y)，PA＝(－x，－y)，
PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，
∴PA·(PB＋PC)＝2x2－2y＋2y2
＝2，
则其最小值为2×＝－，此时x＝0，y＝.
(3)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值
是________.
答案 4 2
解析 由题意，不妨设b＝(2，0)，
a＝(cos θ，sin θ)，
则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，
a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令y＝|a＋b|＋|a－b|
＝
＋＝＋，
则y2＝10＋2∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|) ＝＝2，
max
(|a＋b|＋|a－b|) ＝＝4，
min
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
极化恒等式
极化恒等式的证明过程与几何意义
证明过程：如图，设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，DB＝a－b.
|AC|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，
|DB|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
两式相减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]，此即极化恒等式.
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角
线长”与“差对角线长”平方差的.
例 (1)如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE值为________.
答案
解析 设DC＝a，DF＝b，BA·CA＝|AD|2－|BD|2＝9b2－a2＝4，
BF·CF＝|FD|2－|BD|2＝b2－a2＝－1，解得b2＝，a2＝，
∴BE·CE＝|ED|2－|BD|2
＝4b2－a2＝.
(2)已知点A，B，C均在半径为的圆上，若|AB|＝2，则AC·BC的最大值为( )
A.3＋2 B.2＋2
C.4 D.
答案 B
解析 设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D，
故AC·BC＝CA·CB＝CD2－AB2＝CD2－1，
因为A，B，C三点在圆上，所以CD长度最大为r＋d，
其中d为圆心O到弦AB的距离，
故最大值为1＋，所以CD2－1的最大值为(1＋)2－1＝2＋2.1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A.－ B.0 C.3 D.
答案 C
解析 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝
0，解得k＝3.
2.(2021·盐城二模)已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c
＝b·c＝2，则c的模为( )
A.1 B. C.2 D.2
答案 D
解析 由题意知a，b是相互垂直的单位向量，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝
(x，y)，由a·c＝b·c＝2，可得x＝y＝2，即c＝(2，2)，则|c|＝＝2.
3.(多选)(2022·南京一模)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是( )
A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B.(a·b)·c＝a·(b·c)
C.a·b≤|a|·|b|
D.|a－b|≤|a|＋|b|
答案 ACD
解析 根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；
|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故
D正确.
4.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.
由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，
故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，
设向量a＋b与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，
又0≤θ≤π，所以θ＝.
5.(多选)(2021·武汉调研)如图，点A，B在圆C上，则AB·AC的值(
)
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
答案 BC
解析 如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB
的中点，故AB·AC＝|AB|·|AC|·cos∠CAD＝|AB|·|AC|·＝|AB|2，故
AB·AC的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关，故选
BC.
6.(2021·德州二模)在平行四边形ABCD中，已知DE＝EC，BF＝FC，|AE|＝，|AF|
＝，则AC·BD＝( )
A.－9 B.－ C.－7 D.－
答案 B
解析 ∵DE＝EC，BF＝FC，
∴AE＝AD＋DE＝AD＋AB，AF＝AB＋BF＝AB＋AD，
又|AE|＝，|AF|＝，
∴＝，＝，
∴AD2＋AD·AB＋AB2＝2，AD2＋AD·AB＋AB2＝6，
两式相减得AD2－AB2＝－4，
∴AD2－AB2＝－.
∴AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝AD2－AB2＝－，故选B.
7.(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
答案 3
解析 由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32
－2×1＋|b|2＝25，所以|b|2＝18，|b|＝3.
8.(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝
________.
答案 －解析 由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋
c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－.
9.(2022·湖州质检)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线
BD上，则CP·BP的最小值为________.
答案 －
解析 依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直
线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，
因为P点在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以CP＝(t，2－
t)，BP＝(t，－t)，
所以CP·BP＝t2－t·(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，CP·BP取得最小值－.
10.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，
b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0，于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)BA·BC＝cCB·CA.
(1)求角B的大小；
(2)若|BA－BC|＝，求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|BA－BC|＝，所以|CA|＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得 6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c
时取等号)，
即ac≤3(2＋).
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
12.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P (cos α，sin α)，P (cos β，－
1 2
sin β)，P (cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则( )
3
A.|OP1|＝|OP2|
B.|AP1|＝|AP2|
C.OA·OP3＝OP1·OP2
D.OA·OP1＝OP2·OP3
答案 AC
解析 由题意可知，|OP1|＝＝1，|OP2|＝＝1，所以|OP1|＝|OP2|，故A正确；
取α＝，则P ，
1
取β＝，则P ，
2
则|AP1|≠|AP2|，故B错误；
因为OA·OP3＝cos(α＋β)，OP1·OP2＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以
OA·OP3＝OP1·OP2，故C正确；
因为OA·OP1＝cos α，OP2·OP3＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取
α＝，β＝，则OA·OP1＝，OP2·OP3＝cos ＝－，所以OA·OP1≠OP2·OP3，故D错误.
13.(2022·广州模拟)已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝
2，M是AB边上的动点，则|MC＋MD|的最小值为________.
答案 3
解析 以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立如图
所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，M(0，b)，且0≤b≤a，由于
BC＝2，AD＝1.
∴C(2，0)，D(1，a).
则MC＝(2，－b)，MD＝(1，a－b)，∴MC＋MD＝(3，a－2b).
因此|MC＋MD|＝，
∴当且仅当a＝2b时，|MC＋MD|取得最小值3.
14.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1，0)和点
B(－1，0)，|OC|＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点.
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|OC＋OD|的最小
值；
(2)若θ∈，向量m＝BC，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ
值.
解 (1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以OC＋OD＝，
所以|OC＋OD|2＝＋，
所以t＝时，|OC＋OD|最小，
最小值为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，
m＝BC＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，
即θ＝时，sin取得最大值1，
即m·n取得最小值1－.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
