文档内容
第二课时 定值问题
题型一 长度或距离为定值
例1 (2020·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4
于点P，Q，求的值.
解 (1)由椭圆过点A(－2，－1)，
得＋＝1.
又a＝2b，∴＋＝1，解得b2＝2，
∴a2＝4b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意.
设直线l：y＝k(x＋4)，
由得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0.
由Δ＞0，得－＜k＜.
设M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，x x ＝.
1 2 1 2
又∵直线AM：y＋1＝(x＋2)，
令x＝－4，得y ＝－1.
P
将y ＝k(x ＋4)代入，
1 1
得y ＝.
P
同理y ＝.
Q
∴y ＋y ＝－(2k＋1)
P Q
＝－(2k＋1)·
＝－(2k＋1)·
＝－(2k＋1)×
＝0.
∴|PB|＝|BQ|，∴＝1.
感悟提升 探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用
弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化
简可得弦长为定值.
训练1 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线
C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.
(1)若p＝2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程.
(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值.
(1)解 由题意知直线l的斜率存在且不为0，
故设直线l的方程为x－1＝t(y－1)
即x＝ty＋1－t，设A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
由得y2－4ty－4＋4t＝0，
∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)＞0，
y ＋y ＝4t，
1 2
∴4t＝2，即t＝.
∴直线l的方程为2x－y－1＝0.
(2)证明 ∵抛物线C：y2＝2px(p＞0)，
∴焦点F的坐标为.
由题意知直线l的斜率存在且不为0，
∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋(t≠0)，设A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
由得y2－2pty－p2＝0，
∴y ＋y ＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2＞0.
1 2
∴x ＋x ＝t(y ＋y )＋p＝2pt2＋p，
1 2 1 2
∴M.
∴MN的方程为y－pt＝－t.
令y＝0，解得x＝pt2＋，N，
∴|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋－＝pt2＋p，
∴＝＝2p，为定值.
题型二 斜率或其表达式为定值
例2 (12分)(2022·衡水模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝6上运动，点P在x轴上的
投影为Q，动点M满足(1－)OQ＝OP－OM.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)过点(2，0)的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，
使得DA·AB＋DA2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，
请说明理由.[规范答题]
解 (1)设M(x，y)，P(x ，y )，
0 0
由(1－)OQ＝OP－OM，
得OQ－OP＝OQ－OM，
即PQ＝MQ，……………………2分
∴又点P(x ，y )在圆O：x2＋y2＝6上，
0 0
∴x＋y＝6，∴x2＋3y2＝6，
∴轨迹E的方程为＋＝1. ……………………4分
(2)当直线l的斜率存在时，
设l：y＝k(x－2)，
由消去y得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
∴x ＋x ＝，x ·x ＝，……………………6分
1 2 1 2
根据题意，假设x轴上存在定点D(m，0)，
使得DA·AB＋DA2＝DA·(AB－AD)＝DA·DB为定值，
则有DA·DB＝(x －m，y )·(x －m，y )＝(x －m)(x －m)＋y y
1 1 2 2 1 2 1 2
＝(x －m)(x －m)＋k2(x －2)(x －2)
1 2 1 2
＝(k2＋1)x x －(2k2＋m)(x ＋x )＋(4k2＋m2)＝(k2＋1)×－(2k2＋m)·＋(4k2＋m2)
1 2 1 2
＝，……………………10分
要使上式为定值，即与k无关，则3m2－12m＋10＝3(m2－6)，
即m＝，此时DA·DB＝m2－6＝－为常数，定点D的坐标为.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，易求得直线l与椭圆C的两个交
点坐标分别为，，
此时DA·DB＝·
＝－.……………………11分
综上所述，存在定点D，使得DA·AB＋DA2为定值－.………………12分
第一步 求圆锥曲线的方程
第二步 特殊情况分类讨论
第三步 联立直线和圆锥曲线的方程
第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标
第五步 根据相关条件计算推证
第六步 明确结论训练2 (2022·长沙调研)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，
证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
(1)解 由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)证明 由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，
由已知Δ>0，设P(x ，y )，Q(x ，y )，
1 1 2 2
x x ≠0，则x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2 1 2
从而直线AP，AQ的斜率之和为
k ＋k ＝＋
AP AQ
＝＋
＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)
＝2k－2(k－1)＝2(即为定值).
题型三 几何图形的面积为定值
例3 (2022·重庆诊断)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e，点(1，e)在椭圆E上
点A(a，0)，B(0，b)，△AOB的面积为，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l交椭圆E于M，N两点，直线OM的斜率为k ，直线ON的斜率为k ，
1 2
且k k ＝－，证明：△OMN的面积是定值，并求此定值.
1 2
解 (1)由得b＝1.
又S ＝ab＝，得a＝3.
△AOB
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，
设直线l：x＝t(－30，
x ＋x ＝－，x x ＝，
1 2 1 2
k k ＝·＝
1 2
＝＝－，
化简得9k2＋1＝2m2，满足Δ>0.
|MN|＝|x －x |
1 2
＝·
＝·
＝.
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S ＝·|MN|·d
△OMN
＝·
＝＝.
综上可知，△OMN的面积为定值.
感悟提升 探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即
可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求
解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的
面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式
中，化简即可.
训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x ，y )，Q(x ，y )是椭
1 1 2 2
圆C上的两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k ，k ，若m＝，n＝，m·n＝0.
1 2
(1)求证：k ·k ＝－；
1 2
(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值，并说明理由.
(1)证明 ∵k ，k 存在，∴x x ≠0，
1 2 1 2
∵m·n＝0，∴＋y y ＝0，
1 2
∴k ·k ＝＝－.
1 2(2)解 是.理由：当直线PQ的斜率不存在，即x ＝x ，y ＝－y 时，由＝－，得－y
1 2 1 2
＝0，
由P(x ，y )在椭圆C上，得＋y＝1，
1 1
∴|x |＝，|y |＝，
1 1
∴S ＝|x |·|y －y |＝1.
△OPQ 1 1 2
当直线PQ的斜率存在时，易知直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0).
由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
x ＋x ＝，x x ＝.
1 2 1 2
∵＋y y ＝0，∴＋(kx ＋b)(kx ＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，
1 2 1 2
满足Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)
＝16(4k2＋1－b2)＞0，
∴S ＝·|PQ|
△OPQ
＝|b|
＝2|b|·＝1.
∴△OPQ的面积S为定值.
圆锥曲线中的“伴侣点”问题
在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A(m，0)和B，这一对点总是同
时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这一对特殊点形象
地称作圆锥曲线的“伴侣点”.已知M(m，0)，N(n，0)(mn＝a2)是双曲线－＝1(a＞
0，b＞0)的一对“伴侣点”，过点M作与坐标轴不平行的直线与双曲线相交于A，
B两点，则直线AN和BN与x轴成等角.
可得到圆锥曲线的一个统一和谐性质如下：
已知M，N是圆锥曲线的一对“伴侣点”，
过点M作与坐标轴不平行的直线与曲线相交于A，B两点，则直线AN和BN与x
轴成等角.
例1 已知点M(m，0)，N(－m，0)(m≠0)是抛物线y2＝2px的一对“伴侣点”，过点
M作与x轴不平行的直线交抛物线于A，B两点，证明：直线AN和BN与x轴成等
角.证明 因直线AB过点M(m，0)，故可设直线AB的方程为x＝m＋ny，
将其代入抛物线方程得，
y2－2pny－2pm＝0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则y ＋y ＝2pn，y y ＝－2pm，
1 2 1 2
又点A，B在直线AB上，所以x ＝m＋ny ，x ＝m＋ny ，
1 1 2 2
所以k ＋k ＝＋
AN BN
＝，
又y x ＋y x ＋m(y ＋y )＝y (m＋ny )＋y (m＋ny )＋m(y ＋y )＝2ny y ＋2m(y ＋y )
1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
＝2n·(－2pm)＋2m·2pn＝0，
所以k ＋k ＝0，即直线AN和BN关于x轴对称，
AN BN
所以直线AN和BN与x轴成等角.
例2 设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的
坐标为(2，0).
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
(1)解 由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
把x＝1代入椭圆方程＋y2＝1，可得点A的坐标为或.又M(2，0)，
所以AM的方程为
y＝－x＋或y＝x－.
(2)证明 当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x <，x <，直线MA，MB的斜率之和为k ＋k ＝＋.
1 2 MA MB
由y ＝kx －k，y ＝kx －k得
1 1 2 2
k ＋k ＝.
MA MB
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
所以x ＋x ＝，x x ＝.
1 2 1 2
则2kx x －3k(x ＋x )＋4k
1 2 1 2
＝＝0.
从而k ＋k ＝0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB.
MA MB
综上，∠OMA＝∠OMB.
1.(2021·杭州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，
0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证
|AN|·|BM|为定值.
(1)解 由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)知，A(2，0)，B(0，1).
设椭圆上一点P(x ，y )，则＋y ＝1.
0 0 0
当x ＝0时，y ＝－1，
0 0
|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
当x ≠0时，直线PA方程为
0
y＝(x－2)，
令x＝0得y ＝.
M
从而|BM|＝|1－y |＝.
M
直线PB方程为y＝x＋1.
令y＝0得x ＝.
N
∴|AN|＝|2－x |＝.
N
∴|AN|·|BM|
＝·
＝·
＝＝＝4.
故|AN|·|BM|为定值.
2.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点
且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，当m＝0时，PA·PB＝－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：|PA|2＋|PB|2为定值.
(1)解 易知＝.
当m＝0时，P(0，0)，直线l的方程为y＝x，
代入＋＝1并整理得x2＝.
设A(x ，y )，则B(－x ，－y )，
0 0 0 0
PA·PB＝－x－y＝－x＝－·.
又因为PA·PB＝－，
所以a2＝25，b2＝16，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明 l的方程为x＝y＋m，
代入＋＝1，
并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y ).
1 1 2 2
则y ＋y ＝－，y y ＝，
1 2 1 2
则|PA|2＝(x －m)2＋y＝y，
1
同理|PB|2＝y.
则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)
＝[(y ＋y )2－2y y ]
1 2 1 2
＝·＝41.
所以|PA|2＋|PB|2为定值.
3.(2022·长沙模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、
右顶点分别为A、B，已知|AB|＝4，且点在椭圆上，其中e是椭圆
的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上异于A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交
直线AP、BP于点M、N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.
(1)解 ∵|AB|＝4，∴2a＝4，∴a＝2，
又点在椭圆上，∴＋＝1.又b2＋c2＝a2＝4，联立方程组解得b2＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)证明 设点P的坐标为(s，t)，点M，N的横坐标为m(m≠±2)，
则直线AP的方程为y＝(x＋2)，
故M，故直线BM的斜率k ＝，
1
同理可得直线AN的斜率
k ＝，
2
故k k ＝·＝.
1 2
又点P在椭圆上，∴＋＝1，
∴t2＝－(s2－4)，
∴k k ＝＝－.
1 2
即直线AN与直线BM的斜率之积为定值.
4.已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个
不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值.
(1)解 因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，
所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得k<0或0
