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八年级华师大版数学（下）
第 16 章 分式
§16.1 分式及基本性质
一、分式的概念
1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做
分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：
（1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除
号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母
一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件
（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：
当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使 =0的条件是：
A=0，B≠0。
5、有理式
整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。
分类：有理式
单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；
多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质
1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的
整式，分式的值不变。
用式子表示为：= = ，其中M（M≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分
1式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：
（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字
母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分
母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、
不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分
式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分
母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如
果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约
分；（3）约分一定要把公因式约完。
三、分式的符号法则：
（1）= =－；（2）=；（3）－ =
§16.2 分式的运算
一、分式的乘除法
1、法则：
（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分
母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。
用式子表示：
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式
相乘。
用式子表示：
2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则
相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分
母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最
简的形式。
二、分式的乘方
21、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母
分别乘方，然后再相除。
用式子表示：（其 中n为正整数，a≠0）
2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含
有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；
（3）最后结果要化到最简。
三、分式的加减法
（一）同分母分式的加减法
1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示：
2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分
子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省
略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法
1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表
示： 。
2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分
式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其
分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分
离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。
四、分式的混合运算
1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加
减。遇到括号时，要先算括号里面的。
2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺
序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分
式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
§16.3 可化为一元一次方程的分式方程
3一、分式方程基本概念
1、定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、理解分式方程要明确两点：（1）方程中含有分式；（2）分式的分母含有未知
数。
分式方程与整式方程最大区别就在于分母中是否含有未知数。
二、分式方程的解法
1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。途径：“去分母”。
方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求
解。
2、解分式方程的一般步骤：
（1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分
式方程化为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于
0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必须舍去。
这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一种验根方
法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解方程过程
中有无计算错误。
3、分式方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程
的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因
此，解分式方程必须验根。
三、分式方程的应用
1、意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它和列一元一次方程解
应用题的方法、步骤、解题思路基本相同，不同的是，因为有了分式概念，所列代
数式的关系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知数，解出方
程的解后还要进行检验。
2、列分式方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量；
（2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法
4两种；
（3）找出题目中的等量关系，写出等式；
（4）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程；
（5）解方程。求出未知数的值；
（6）检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数
的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。
§16.4 零指数幂与负整数指数幂
一、零指数幂
1、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于1，即a0=1（a≠0）。
2、特别注意：零的零次幂无意义。即00无意义。若问当x=_____时，(x-2)0有意
义。答案是：x≠2。
（2）按照定义分为：
二、负整数指数幂
1、定义：任何不等于的数的-n（n为正整数）次幂，都等于这个数的n次幂的
倒数，
即a-n= （a≠0，n为正整数）
2、注意事项：
（1）负整数指数幂成立的条件是底数不为0；
（2）正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂，即指数幂的运算
可以扩大到整数指数幂范围；
（3）要避免像5-2=-2×5=-10的错误，正确算法是：。
三、用科学计数法表示绝对值小于1的数
1、规则：绝对值小于1的数，利用10的负整式指数幂，把它表示成a×10-（n n为
正整数），其中1≤|a|＜10。
2、注意事项：
（1）n为该数左边第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的那个零）。
如-0.00021=-2.1×10-4
（2）注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。
5（3）写科学记数法的关键的是确定10n的指数n的值。
第 17 章 函数及其图象
§17.1 变量与函数
一、变量与常量
1、变量：在某一变化过程中，可以取不同的数值，级数值发生变化的量，叫
做变量。
常量：在某一变化过程中，取值（数值）始终保持不变的量，叫做常量。
2、注意事项：
（1）常量和变量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的；
（2）离开具体的过程抽象地说一个量是常量还是变量是不允许的；
（3）在各种关于变量、常量的例子中，变量之间有一定的依赖关系。如三角形
的面积，当底边一定时，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化。
二、函数概念
1、定义：在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定
的值，y都有唯一的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数，
其中x叫做自变量，y叫做因变量。
2、对函数概念的理解，主要抓住三点：
（1）有两个变量；
（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；
（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。
三、函数的表示法：（1）列表法；（2）图象法；（3）解析法。
四、求函数自变量的取值范围
1．实际问题中的自变量取值范围
按照实际问题是否有意义的要求来求。
2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围
例1．求下列函数中自变量x的取值范围
(1)解析式为整式的，x取全体实数；
(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；
(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；
6(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。
3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际
上就是以前学的求代数式的值。
§17.2 函数的图象
一、平面直角坐标系
1、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐
标系。其中水平的数轴叫做横轴（或x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴
（y轴），取向上为正方向；两轴的交点O叫做原点。在平面内，原点的右边为正，
左边为负，原点的上边为正，下边为负。
2、坐标平面内被x轴、y轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第
一象限、第二象限、第三象限、第四象限
注意：x轴、y轴原点不属于任何象限。
3、平面直角坐标系中的点分别向x轴、y轴作垂线段，
在x轴上垂足所显示的数称为该点的横坐标，在y轴上垂足
所显示的数称为该点的纵坐标。点的坐标反映的是一个点在
平面内的位置。
写坐标的规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，全部用小括号
括起来。
如P（3，2）横坐标为3，纵坐标为2。
特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。
所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。
4、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。
5、坐标的特征
(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；在第二象限内的点,
横坐标是负数,纵坐标是正数；
在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；在第四象限内的点,
横坐标是正数,纵坐标是负数；
(2)x轴上点的纵坐标等于零；y轴上点的横坐标等于零．
76、对称点的坐标特征
(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；
(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；
(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值
相等，符号相反。
(4)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；
(5)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数。
7、点到两坐标轴的距离
点A（a，b）到x轴的距离为|b|，点A（a，b）到y轴的距离为|a|。
二、函数的图象
1、意义：对于一个函数，如果把自变量x与函数值y的每对对应值分别作为
点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这
个函数的图象。
2、作函数图象的方法：描点法。步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
3、一般函数作图象，要求横轴和纵轴上的单位长度一定要一致，按照对应的
解析式先计算出一对对应值，就是坐标，然后描点，再连线；画实际问题的图象时，
必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横
轴和纵轴上的单位长度可以不一致。
§17.3 一次函数
一、一次函数的概念
之所以称为一次函数，是因为它们的关系式是用一次整式表示的。学习此概
念要从两个方面来理解。
（1）从其表达式上：
一次函数通常是指形如：y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数，凡是成这种形式
的函数都是一次函数。而当b=0时，即y=kx(k≠0的常数)，则称为正比例函数，其
中k为比例系数。
（2）从其意义上：
它们表示的是两个变量之间的关系，这种函数关系具有特定的意义，如，如果
说两各变量之间具有一次函数关系，我们就可按照概念设出函数关系式，成正比
8例关系的也同样，如，若s与t成正比例关系，我们便可设s=k（t k≠0，t为自变量）
“正比例函数”与“成正比例”的区别：
正比例函数一定是y=kx这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了
两个量之间的固定正比例关系，如 a+3 与 b-2 成正比例，则可表示为：a+3=k
（b-2）（k≠0 ）
二、一次函数的图象
正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解析式也称为“直
线y=kx+b，直线y=kx”。因为一次函数的图象是一条直线，所以在画一次函数的
图象时，只要描出两个点，在通过两点作直线即可。
1、画正比例函数y=kx(k≠0的常数)的图象时，只需要这两个特殊点：（0，0）
和（1，k）两点；
2、画一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象时，只需要找出它与坐标轴的
两个交点即可。一次函数与x轴的交点坐标是：（0，b），与y轴的交点坐标是：（－，
0）
3、若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。
4、将y=kx的图象沿着沿着轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|各单位长度即
可得到y=kx+b。
5、求两一次函数的交点坐标：联立解两各函数解析式得到的二元一次方程组，
求的自变量x的值为交点的横坐标，求出的y的值为交点的纵坐标。
三、一次函数的性质
一次函数的性质是由k来决定的。
1、正比例函数y=kx(k≠0的常数)的性质
（1）当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从
左到右上升。
（2）当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从
左到右下降。
2、一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的性质
（1）当k>0时，①当b>0时，图象经过一、三、二象限，y随x的增大而增大，这
时函数图象从左到右上升。②当b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而
9增大，这时函数图象从左到右上升。
（2）当k<0时，①当b>0时，图象经过二、四、一象限，y随x的增大而减小，这
时函数图象从左到右下降。②当b<0时，图象经过二、四、一象限，y随x的增大而
减小，这时函数图象从左到右下降。
四、确定正比例函数好一次函数的解析式
1、意义：
（1）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx(k≠0的常数)中的常
数k；
（2）确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中常数
k和b。
2、待定系数法
（1）先设待求函数关系式（其中含有未知的系数），再根据条件列出方程或方
程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
（2）用待定系数法求函数关系式的一般方法：①设出含有待定系数的函数关
系式；②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数方
程（组）；③解方程（组），求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的关
系式中，从而确定出函数关系式。
五、一次函数（正比例函数）的应用。与方程的应用差不多，注意审题步骤。
§17.4 反比例函数
一、反比例函数
1、定义：形如y= (k≠0的常数)的函数叫做反比例函数。
2、对于反比例函数：
（1）掌握其形式y= ，且k为常数，同时不能为0；等号左边是函数y，右边是一
个分式，分子是一个不为 0 的常数，分母是自变量 x，若把反比例函数写成
y=kx-1，则x的系数为-1；自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数y的取值
范围也是不为0的一切实数；
（2）将y= 转化为xy=k，由此可得反比例函数中的两个变量的积为定值，即某
两个变量的积为一定值时，则这两个变量就成反比例关系。
10（3）“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于，前者是一种函数关系，
而后者是一种比例关系，不一定是反比例函数，如说s与t2成反比例，可设为s=
(k≠0的常数)，但这显然不是反比例函数。
二、用待定系数法求反比例函数表达式。由于反比例函数y= 中只有一个待定
系数，因此只需要一组对应值，即可求k的值，从而确定其表达式。
三、反比例函数的图象
1、意义：
（1）名称：双曲线，它有两个分支，分别位于一、三或二、四象限；
（2）这两个分支关于原点成中心对称；
（3）由于反比例函数自变量x≠0，函数y≠0，所以反比例函数的图象与x轴
和y轴都没有交点，无限接近坐标轴，永远不能到达坐标轴。
2、画法（描点法）：（1）列表。自变量的值应在0的两边取值，各取三各以上，
共六对互为相反数的数对，填y值时，只需计算出自变量对应的函数值即可。（2）
描点：先画出反比例函数一侧（即一个象限内的分支），在对称地画出另一侧（另
一分值）；（3）连线：按照从左到右的顺序用平滑曲线连接各点并延伸，注意双曲
线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不能与坐标
轴相交。
四、反比例函数y= 的性质
1、性质：（1）当k>0时，图象的两个分支位于一、三
象限,在每个象限内，y随x的增大而减小； A
C
（2）当k<0时，图象的两个分支位于二、四
O B
象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；
注意：不能笼统地说反比例函数的“y随x的增大而增大或减小”，必须注
意是在“各自的象限内”
2、反比例函数的表达式中的几何意义
如图所示，若点A是反比例函数y= 上的点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC
垂直于y轴，
垂足为C，则S =|k|，S =S = S = |k|
矩形ABOC △AOB △AOC 矩形ABOC
五、反比例函数的应用。注意联系实际问题和用解决方程应用题的思路。
11第 18 章 平行四边形
§18.1 平行四边形的性质
一、平行四边形的性质
（一）平行四边形的有关概念
1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
A D
2、表示方法：专用符号：“”。
B C
如图的平行四边形看表示为：ABCD；读作：“平行四边形ABCD”
3、平行四边形的“对边”是指：互相平行的两边；“对角”是指：“开口”
相对的两角。
4、平行四边形的对角线：指两对角定点的连线。
（二）平行四边形的性质
1、平行四边形的对边相等，对角相等。
2、平行四边形的对角线互相平分。
3、两平行线之间的距离处处相等。
4、平行四边形是中心对称图形。
5、S =底×高。
（三）平行四边形的作用
1、由定义可以把平行四边形用于证明两直线（线段）平行；
2、可以用作判定平行四边形。
二、平行四边形判定
（一）判定方法
1、从边看：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2、从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3、从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（二）平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行
12线之间的距离。两平行线之间的距离处处相等。
第 19 章 矩形、菱形、与正方形
§19.1 矩形
一、矩形的性质
1、定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对角线相等且互相平分；
（3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；
（4）S =长×宽。
矩形
3、直角三角形的一个重要特性：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
二、矩形的判定方法
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2、对角线相等的平行四边形是矩形；
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
§19.2 菱形
一、菱形性质
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质：菱形具有平行四边形的所有性质。
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；
（4）S =底×高= 对角线①×对角线②。
菱形
二、菱形的判定方法
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四条边都相等的四边形是菱形；
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
13§19.3 正方形
一、正方形的性质
1、定义：
（1）有一个内角是直角、一组邻边相等的平行四边形叫做正方形；
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（3）有一组邻边相等的矩形是正方形。
2、性质：
（1）正方形具有平行四边、矩形和菱形的所有性质；
（2）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形；
（3）S =边长2= ×对角线2。
正方形
二、正方形的判定方法。用定义也可判定。
1、有一个角是直角的菱形是正方形；
2、有一组邻边相等的矩形是正方形；
3、对角线相等的菱形是正方形；
4、对角线互相垂直的矩形值正方形
等腰梯形的判定
一、一般梯形
（一）梯形的有关概念
1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、底边和腰：平行的两条对边叫做梯形的底边；不平行的两条对边叫做梯
形的腰。
3、底角：梯形的一腰和底边的夹角叫做梯形的底角。
（二）直角梯形
1、定义：有一个内角是直角的梯形叫做直角梯形。
2、直角腰是直角梯形的高。
二、等腰梯形
（一）定义与性质
1、定义：两腰学相等的梯形叫做等腰梯形。
2、性质：
14（1）等腰梯形同一底上的两个底角相等；
（2）等腰梯形的两条对角线相等。
（3）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线是它
的对称轴。
（二）等腰梯形的判定方法
1、两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
3、两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
三、解决梯形问题常用的辅助线
（基本思想：化梯形问题为“平行四边形”和“三角形”问题来解决）
（作对角线的平行线） （延长两腰）
（作一腰的平行线） （作两条高）
四、注意事项：
（1）梯形中，若遇到有一个角的为60o或120o，则跟等边三角形加以联系；
（2）梯形中，若遇到有一个角的为30o或150o，则跟“30o的Rt△”加以联系；
（3）梯形中，若遇到有一个角的为45o或135o，则跟“45o的Rt△”加以联系；
（4）解决梯形问题，一定要注意借助平行四边形、矩形、菱形、正方形和特殊的
三角形知识来解决。
第 20 章 数据的整理与初步处理
§20.1 平均数
一、算术平均数的意义
1、定义：一般地，我们把n个数 … 的和与n的比叫做这n个数的算
术平均数，简称平均数，记作： ，读作x拔。
具体算法： =
2、平均数的 简化运算
当一组数据非常大或非常小，并且有集中在某个数字之间左右晃动时，看采
15用此方法简化运算：
对于一组数据 … ，取定一个常数a，把原来数组中的每一个数都减去
a后得到一组新数据 … ，则原数组的平均数就是： =a+ (+ + )错误: 引用源未
找到错误: 引用源未找到
3、作用：平均数反映了一组数据的集中趋势，是表示一组数据的“平均水
平”，它的单位与这组数据的单位一致。
4、用样本（部分）估计总体
当一组数据的个图非常多或很难获得全部数据时，可以从这些数据中抽出部
分个体作为样本进行分析、统计，由此估计总体的特征或信息。
二、加权平均数
定义和算法：一般说来，如果n个数据中，x 出现f 次，x 出现f 次，…x 出现f
1 1 2 2 k k
次，且f + f +… +f =n，则这n个数的平均数可表示为
1 2 k
= 这个 叫做加权平均数，数据出现的次数f叫做权，数
组中的每个数对应一个权。
§20.2 数据的集中优势
一、中位数
1、定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列后，处在最中间
位置的的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
2、求法：（1）对这组数据的n个数进行从小到大的排序；
（2）若给出的数据个数为奇数，则第（ ）个数据就是这组数据的中
位数；若给出的数据个数为偶数个，则第个和第（）个的平均数
就是这组数据的中位数。
二、众数
1、定义：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
2、众数是对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中部分数据有关，
当一组数据中有数据多次重复出现时，以至于其他数据的作用显得相对较小，众
数就可以在某种意义上代表这组数据的集中程度或整体情况。
163、一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。如果一组数据中有几个
数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这
组数据的众数。
三、平均数、中位数和众数的选用
平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角
度和使用范围有所不同
（1）平均数大小与一组数据里每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会
相应地引起平均数的变动，所以它极易受个别极端数的影响；（2）中位数仅与数
据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。中位数可能出现在所给
数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中个别数据变动较大时，可以用它来
描述其集中趋势；（3）众数考察各数据出现的频率，其大小只与这组数据中部分
数据有关，众数往往是人们尤为关心的一个量，当一组数据中有不少数据多次重
复出现时，其众数往往更能反映问题。（4）在实际问题中求得的平均数、众数和中
位数都应带上单位。
§20.3 数据的离散程度
一、极差
1、定义：用一组数据中最大值减去最小值所得到的差来反映这组数据的变化
范围的差称为极差，即：极差=最大值-最小值。
2、极差的特征：极差能反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动
情况的量，但它受极端数据的影响较大。
二、方差
1、定义：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的结果表示一组数据
偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差。
2、算法：通常用S 2表示一组数据的方差，用 表示一组数据的平均数，x 、
1
x 、…x 表示各个数据，方差的计算式就是：S2=
2 n
3、方差的特征：
方差反映的了数据的波动大小，用于判定一组数据的稳定性。在实际问题中，
例如长得是否整齐、是否稳定等都是波动的体现。方差越大，数据的波动就越大，
17就越不稳定；方差越小，数据的波动则越小，越稳定。
三、标准差
1、意义：就是方差的算数平方根，叫做标准差。
2、算法与方差同，只是要把方差开方求算数平方根。
3、标准差的特征：它与方差一样，也是反映一组数据的整体波动的指标。样
本的方差或样本的标准差越大，样本的数据波动就越大，反之亦然。
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