文档内容
第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
最新考纲 考向预测
借助长方体，在直观认识空 主要考查与点、线、面位置关系
间点、直线、平面的位置关 有关的命题真假判断和求解异
系的基础上，抽象出空间 命题趋势 面直线所成的角，主要以选择题
点、直线、平面的位置关系 和填空题的形式出现，主要为中
的定义，了解公理1～4及其 低档题.
相关定理. 核心素养 直观想象、逻辑推理
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，
把a′与b′所成的 锐角 ( 或直角 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：．
(3)等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线和平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线a在
a⊂α 有无数个公共点
平面α内
直 直线a与平 a∥α 没有公共点线 面α平行
在 直线a与平
a∩α＝A
平 面α斜交 有且只有一个公
面 直线a与平 共点
a⊥α
外 面α垂直
(2)空间中两个平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两平面平行 α∥β 没有公共点
斜
两平 α∩β＝l
交
面相 有一条公共直线
交 垂 α⊥β且
直 α∩β＝a
常用结论
1．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
常见误区
1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实
质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．
2．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.( )
(2)三点A，B，C确定一个平面．( )
(3)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．( )
(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.( )
(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且
A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是( )
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
解析：选ABC.依题意，m∩α＝A，n⊂α，
所以m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．
3．若∠AOB＝∠A O B ，且OA∥O A ，OA与O A 的方向相同，则下列结论中
1 1 1 1 1 1 1
正确的是( )
A．OB∥O B 且方向相同
1 1
B．OB∥O B
1 1
C．OB与O B 不平行
1 1
D．OB与O B 不一定平行
1 1
解析：选D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.
4．(易错题)如图所示，在正方体ABCDA B C D 中，E，F分别是AB，AD的中
1 1 1 1
点，则异面直线B C与EF所成角的大小为________．
1
解析：连接B D ，D C，则B D ∥EF，故∠D B C为所求角，又B D ＝B C＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
D C，所以∠D B C＝60°.
1 1 1
答案：60°
5．如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，
所以EF＝EH，故AC＝BD.
(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，
因为EF綊AC，EH綊BD，
所以AC＝BD且AC⊥BD.
答案：(1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD
平面的基本性质
如图所示，在正方体ABCDA B C D中，E，F分别是AB和AA 的中点，
1 1 1 1
求证：E，C，D ，F四点共面．
1
【证明】 如图所示，连接CD ，EF，A B，
1 1
因为E，F分别是AB和AA 的中点，所以EF∥A B且EF＝A B.
1 1 1
又因为A D 綊BC，
1 1
所以四边形A BCD 是平行四边形，
1 1
所以A B∥CD ，所以EF∥CD ，
1 1 1
所以EF与CD 确定一个平面α，
1
所以E，F，C，D ∈α，
1
即E，C，D ，F四点共面．
1
【引申探究】 (变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D F，DA交于一
1
点”？
证明：如图，由本例知EF∥CD ，且EF＝CD ，
1 1所以四边形CD FE是梯形，
1
所以CE与D F必相交，设交点为P，
1
则P∈CE且P∈D F，
1
又CE⊂平面ABCD，
且D F⊂平面A ADD ，
1 1 1
所以P∈平面ABCD，
且P∈平面A ADD .
1 1
又平面ABCD∩平面A ADD ＝AD，所以P∈AD，
1 1
所以CE，D F，DA三线交于一点．
1
共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明点或线共面：
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或
点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重
合．
(2)证明点共线：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些
点都在同一条特定的直线上．
(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[提醒] 点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证
明点在交线上．
1.(多选)如图，在长方体ABCD A B C D 中，O是DB的中
1 1 1 1
点，直线A C交平面C BD于点M，则下列结论正确的是(
1 1
)
A．C ，M，O三点共线
1
B．C ，M，O，C四点共面
1
C．C ，O，A ，M四点共面
1 1
D．D ，D，O，M四点共面
1
解析：选ABC.连接A C ，AC，则AC∩BD＝O，又A C∩平
1 1 1
面C BD＝M，所以三点C ，M，O在平面C BD与平面ACC A
1 1 1 1 1
的交线上，所以C ，M，O三点共线，所以选项A，B，C均正确，
1选项D错误．
2．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，
CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC .
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点，
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．
空间两直线的位置关系
(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正
三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
【解析】 如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，因为△CDE是正三角
形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝.因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD
＝2，NF＝1，BC⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥
平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2，所以在等腰三角形BDE中，BM＝，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直
线．故选B.
【答案】 B
1．已知a，b是异面直线，A，B是a上的两点，C，D是b上的两点，M，N分别
是线段AC，BD的中点，则MN和a的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
解析：选A.若MN与AB平行或相交，则MN与AB共面，设该平面为α.因为
C∈直线AM，D∈直线BN，所以C∈α，D∈α，所以b⊂α.又因为A∈α，B∈α，所以
a⊂α.这与a，b异面矛盾．故选A.
2．(多选)如图所示，正方体ABCDA B C D 中，M，N分别为棱C D ，C C的中
1 1 1 1 1 1 1
点，下列说法正确的有( )
A．直线AM与CC 是相交直线
1
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB 是异面直线
1
D．直线AM与DD 是异面直线
1
解析：选CD.因为点A在平面CDD C 外，点M在平面CDD C 内，直线CC
1 1 1 1 1
在平面CDD C 内，CC 不过点M，所以AM与CC 是异面直线，故A错；取DD
1 1 1 1 1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B 与BN
1
都在平面BCC B 内，M在平面BCC B 外，BN不过点B ，所以BN与MB 是异面
1 1 1 1 1 1
直线，故C正确；同理D正确，故选CD.
异面直线所成的角
(1)如图，已知圆柱的轴截面ABB A 是正方形，C是圆柱下底面弧AB的
1 1
中点，C 是圆柱上底面弧A B 的中点，那么异面直线AC 与BC所成角的正切值
1 1 1 1
为________．
(2)四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，
且BD＝AC＝1，则EF的长为________．
【解析】 (1)取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C D，AD，
1
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，所以直线AC 与AD所成的角即为异面直线AC 与BC所成的
1 1
角，因为C 是圆柱上底面弧A B 的中点，所以C D垂直于圆柱下底面，所以
1 1 1 1
C D⊥AD.
1
因为圆柱的轴截面ABB A 是正方形，
1 1
所以C D＝AD，
1
所以直线AC 与AD所成角的正切值为，
1
所以异面直线AC 与BC所成角的正切值为.
1
(2)如图，取BC的中点O，连接OE，OF，因为OE∥AC，OF∥BD，
所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成
角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.
当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，
EF＝2EM＝2×＝.
【答案】 (1) (2)或
平移法求异面直线所成角的步骤
具体步骤如下：
1．直三棱柱ABCA B C 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA ，则异面直线BA
1 1 1 1 1
与AC 所成的角等于( )
1
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C.如图，可补成一个正方体，所以AC ∥BD .
1 1
所以BA 与AC 所成的角为∠A BD .
1 1 1 1
又易知△A BD 为正三角形．
1 1
所以∠A BD ＝60°.即BA 与AC 所成的角为60°.
1 1 1 1
2．(2021·济南市学习质量评估)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，
AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则异面直
线BD与CF所成角的余弦值为________．
解析：如图，连接DE交FC于点O，
取BE的中点G，连接OG，CG，
则OG∥BD且OG＝BD，
所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角．
设正方形ABCD的边长为2，
则CE＝BE＝1，CF＝DE＝＝，
所以CO＝CF＝.
易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，
所以BD＝＝，
所以OG＝BD＝.
易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，
又GE＝BE＝，所以CG＝＝.
在△COG中，由余弦定理得，
cos∠COG＝＝＝，
所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为.
答案：
[A级 基础练]1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直
线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.
2．(多选)下列命题正确的是( )
A．梯形一定是平面图形
B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行
C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
解析：选AC.对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一
个平面，故A正确；对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线
平行或异面或相交，故B错误；对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个
平面，故C正确；对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，
故D错误．
3．(2021·安徽蚌埠第二中学期中)在四面体ABCD中，点E，F，G，H分别在直
线AD，AB，CD，BC上，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )
A．在直线DB上 B．在直线AB上
C．在直线CB上 D．都不对
解析：选A.直线EF和GH相交，设其交点为M.因为EF⊂平面ABD，HG⊂平
面CBD，所以M∈平面ABD且M∈平面CBD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以M∈BD，所以EF与HG的交点在直线BD上．故选A.
4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面
ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以
平面ABC∩平面β＝CD.
5．如图，在三棱柱ABCA B C 中，底面三角形A B C 是正三角形，E是BC的
1 1 1 1 1 1
中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC 与B E是异面直线
1 1
B．C C与AE共面
1
C．AE与B C 是异面直线
1 1
D．AE与B C 所成的角为60°
1 1
解析：选C.由于CC 与B E都在平面C B BC内，故C C与B E是共面的，所
1 1 1 1 1 1
以A错误；由于C C在平面C B BC内，而AE与平面C B BC相交于E点，点E不
1 1 1 1 1
在C C上，故C C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B C 是异面直线，C正确
1 1 1 1
而AE与B C 所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角
1 1
形，所以AE⊥BC，D错误．
6．已知棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则
MN与A′C′的位置关系是________．
解析：如图，由题意可知MN∥AC.
又因为AC∥A′C′，
所以MN∥A′C′.
答案：平行
7．(2020·高考全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝
AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________．
解析：依题意得，AE＝AD＝，在△AEC中，AC＝1，∠CAE＝30°，由余弦定理
得EC2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos∠EAC＝3＋1－2cos 30°＝1，所以EC＝1，所以CF＝EC＝1.又 BC＝＝＝2，BF＝BD＝＝，所以在△BCF 中，由余弦定理得
cos∠FCB＝＝＝－.
答案：－
8．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则
异面直线AP与BD所成的角为________．
解析：如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接AG，GP，
则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，
在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝.
答案：
9．如图，在棱长为a的正方体ABCDA B C D 中，M，N分别是AA ，D C 的中
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点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出l的位置；
(2)设l∩A B ＝P，求PB 的长．
1 1 1
解：(1)如图，延长DM与D A 交于点O，连接NO，则直线NO即为直线l.
1 1
(2)因为l∩A B ＝P，则易知直线NO与A B 的交点即为P.
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所以A M∥DD ，且M，N分别是AA ，D C 的中点，所以A 也为D O的中点．
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由图可知＝＝，所以A P＝，从而可知PB ＝.
1 1
10．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE
共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平
面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所
以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成
的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所
成的角为45°.
[B级 综合练]
11．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，给出下面四个结论：①若l与m不垂
直，则l与α一定不垂直；②若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°；
③l∥m是l∥α的必要不充分条件；④若l与α相交，则l与m一定是异面直线．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选A.对于①，当l与m不垂直时，假设l⊥α，那么由l⊥α一定能得到
l⊥m，这与已知条件矛盾，因此l与α一定不垂直，故①正确；对于②，易知l与m
所成的角为30°时，l与α所成的角不一定为30°，故②不正确；对于③，l∥m可以
推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要条件，故③
不正确；对于④，若l与α相交，则l与m相交或异面，故④不正确．故正确结论的
个数为1，选A.
12.如图，在正方体 ABCDA′B′C′D′中，平面 α 垂直于对角线
AC′，且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面
六边形的面积为S，周长为l，则( )
A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值
C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值解析：选B.设平面α截得正方体的六个表面得到截面六
边形ω，ω与正方体的棱的交点分别为I，J，N，M，L，K(如图)．
将正方体切去两个正三棱锥 AA′BD和C′B′CD′，得到一
个几何体V，则V的上、下底面B′CD′与A′BD互相平行，
每个侧面都是等腰直角三角形，截面六边形ω的每一条边分别与V的底面上的
每一条边平行．设正方体的棱长为a，＝γ，则IK＝γB′D′＝aγ，KL＝(1－γ)A′B＝a(1
－γ)，故IK＋KL＝aγ＋a(1－γ)＝a.同理可证LM＋MN＝NJ＋IJ＝a，故六边形ω周
长为3a，即周长为定值．
当I，J，N，M，L，K都在对应棱的中点时，ω是正六边形．其面积S＝6×××
＝a2，△A′BD的面积为×(a)2×＝a2，当ω无限趋近于△A′BD时，ω的面积无
限趋近于a2，故ω的面积一定会发生变化，不为定值．故选B.
13．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊
AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD可得GH綊AD.又BC綊AD，所以GH
綊BC.所以四边形BCHG为平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊
FG，所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以
EF∥CH，所以EF与CH共面，又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．
14.
如图，E，F，G，H分别是空间四边形 ABCD 各边上的点，且AE∶EB＝
AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.
解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，
所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形，理由如下：
当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．
因为＝＝，所以EH＝BD.
同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.
故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．
(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，
所以EF∥AC，
又EH∥BD，
所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，
因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，
从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.
[C级 创新练]
15．平面α过正方体ABCDA B C D 的顶点A，α∥平面CB D ，α∩平面ABCD
1 1 1 1 1 1
＝m，α∩平面ABB A ＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
1 1
A. B. C. D.
解析：选A.如图所示，设平面CB D ∩平面ABCD＝m ，
1 1 1
因为α∥平面CB D ，则m ∥m，又因为平面ABCD∥平面A B C D ，平面
1 1 1 1 1 1 1
CB D ∩平面A B C D ＝B D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以B D ∥m ，
1 1 1
所以B D ∥m，同理可得CD ∥n.
1 1 1
故m，n所成角的大小与B D ，CD 所成角的大小相等，即∠CD B 的大小．
1 1 1 1 1
又因为B C＝B D ＝CD (均为面对角线)，
1 1 1 1
所以∠CD B ＝，
1 1
得sin∠CD B ＝，故选A.
1 116．(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCDA B C D 的棱长均为2，∠BAD＝
1 1 1 1
60°.以D 为球心，为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
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解析：如图，连接B D ，易知△B C D 为正三角形，所以B D ＝C D ＝2.分别
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取B C ，BB ，CC 的中点M，G，H，连接D M，D G，D H，
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则易得D G＝D H＝＝，D M⊥B C ，且D M＝.由题意知
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G，H分别是BB ，CC 与球面的交点．在侧面BCC B 内任
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取一点P，使MP＝，连接D P，则D P＝ ＝＝，连接MG，
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MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆
弧GH为球面与侧面BCC B 的交线．由∠B MG＝∠C MH＝45°知∠GMH＝90°，
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所以GH的长为×2π×＝.
答案：
