2024年高考数学一轮复习（新高考版）第7章　§7.9　空间动态问题突破[培优课]_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024数学步步高大一轮复习（课件+讲义）

公众号：高中试卷君 §7.9 空间动态问题突破 空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现．常见题型有空间位置关系判定、 轨迹问题、最值问题、范围问题等． 题型一 空间位置关系的判定 例1 (1)(2023·昆明模拟)已知P，Q分别是正方体ABCD－ABC D 的棱BB ，CC 上的动点 1 1 1 1 1 1 (不与顶点重合)，则下列结论错误的是( ) A．AB⊥PQ B．平面BPQ∥平面ADD A 1 1 C．四面体ABPQ的体积为定值 D．AP∥平面CDD C 1 1 答案 C 解析 对于A，∵AB⊥BC，AB⊥BB，BC∩BB＝B，BC，BB⊂平面BCC B， 1 1 1 1 1 ∴AB⊥平面BCC B，∵PQ⊂平面BCC B，∴AB⊥PQ，故A正确； 1 1 1 1 对于B，∵平面ADD A∥平面BCC B，平面BPQ与平面BCC B 重合， 1 1 1 1 1 1 ∴平面BPQ∥平面ADD A，故B正确； 1 1 对于C，∵A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP的距离为定值，BP的长不是定值， ∴四面体ABPQ的体积不为定值，故C错误； 对于D，∵平面ABBA∥平面CDD C ，AP⊂平面ABBA， 1 1 1 1 1 1 ∴AP∥平面CDD C ，故D正确． 1 1 (2)(多选)已知等边△ABC的边长为6，M，N分别为边AB，AC的中点，将△AMN沿MN折 起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB中，下列说法正确的是( ) A．直线MN∥平面A′BC B．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB C．在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NC D．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 答案 AB 解析 因为MN∥BC，MN⊄平面A′BC，BC⊂平面A′BC，所以直线MN∥平面A′BC， 公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君 故A正确； 因为四棱锥A′－MNCB的底面积为定值，所以当点A′到平面MNCB距离最大时，体积最 大，此时平面A′MN⊥平面MNCB，满足题意，故B正确； 对于C，如图，若BN⊥平面A′NC，则BN⊥AA′，又A′D⊥MN，AD⊥MN，A′D∩AD ＝D，可知 MN⊥平面 A′AD，所以 A′A⊥MN，又 MN∩BN＝N，所以 A′A⊥平面 MNCB，这显然不可能，故C错误； 当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCB，如图， 由∠MBC＝，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆的圆心，F是△A′MN的外心， 作OE⊥平面MNCB，连接OF，则OF⊥平面A′MN，则O是四棱锥A′－MNCB外接球的 球心， 且OF＝DE＝，A′F＝，设四棱锥A′－MNCB外接球的半径为R，则R2＝A′F2＋OF2＝. 故球O的表面积为4πR2＝39π.故D错误． 思维升华 解决空间位置关系的动点问题 (1)应用“位置关系定理”转化． (2)建立“坐标系”计算． 跟踪训练1 (2022·杭州质检)如图，点P在正方体ABCD－ABC D 的面对角线BC 上运动， 1 1 1 1 1 则下列结论一定成立的是( ) A．三棱锥A－APD的体积大小与点P的位置有关 1 B．AP与平面ACD 相交 1 1 C．平面PDB ⊥平面ABC 1 1 1 D．AP⊥DC 1 公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君 答案 C 解析 对于选项A， . 在正方体中，BC ∥平面AAD，所以点P到平面AAD的距离不变， 1 1 1 即三棱锥P－AAD的高不变，又△AAD的面积不变， 1 1 因此三棱锥P－AAD的体积不变， 1 即三棱锥A－APD的体积与点P的位置无关，故A不成立； 1 对于选项B，由于BC ∥AD，AD⊂平面ACD ，BC ⊄平面ACD ， 1 1 1 1 1 1 所以BC ∥平面ACD ，同理可证BA∥平面ACD ，又BA∩BC ＝B， 1 1 1 1 1 1 所以平面BAC ∥平面ACD ，因为AP⊂平面BAC ， 1 1 1 1 1 1 所以AP∥平面ACD ，故B不成立； 1 1 对于选项C，因为AC ⊥BD，AC ⊥BB，BD∩BB＝B， 1 1 1 1 1 1 所以AC ⊥平面BBD，则AC ⊥BD；同理AB⊥BD， 1 1 1 1 1 1 1 1 又AC ∩AB＝A，所以BD⊥平面ABC ， 1 1 1 1 1 1 1 又BD⊂平面PDB ，所以平面PDB ⊥平面ABC ，故C成立； 1 1 1 1 1 对于选项D，当B与P重合时，AP与DC的夹角为，故D不成立． 1 题型二 轨迹问题 例2 (1)(2023·韶关模拟)设正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，P为底面正方形ABCD内 1 1 1 1 的一动点，若△APC 的面积S＝，则动点P的轨迹是( ) 1 A．圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分 答案 D 解析 设d是△APC 边AC 上的高，则 ＝·|AC |·d＝d＝，所以d＝，即点P到直线AC 1 1 1 1 的距离为定值，所以点P在以直线AC 为轴，以为底面半径的圆柱侧面上，直线AC 与平面 1 1 ABCD既不平行也不垂直，所以点P的轨迹是平面ABCD上的一个椭圆，其中只有一部分在 正方形ABCD内． (2)如图所示，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，E，F分别为AA ，AB的中点，M点是 1 1 1 1 1 正方形ABBA 内的动点，若C M∥平面CDEF，则M点的轨迹长度为________． 1 1 1 1 答案 解析 如图所示，取AB 的中点H，BB的中点G，连接GH，C H，C G，EG，HF，可得 1 1 1 1 1 四边形EGC D 是平行四边形，所以C G∥DE，又C G⊄平面CDEF，DE⊂平面CDEF， 1 1 1 1 1 1 1 1 公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君 所以C G∥平面CDEF.同理可得C H∥CF，C H∥平面CDEF. 1 1 1 1 1 因为C H∩C G＝C ，所以平面C GH∥平面CDEF. 1 1 1 1 1 由M点是正方形ABBA 内的动点可知，若C M∥平面CDEF，则点M在线段GH上，所以 1 1 1 1 M点的轨迹长度GH＝＝. 思维升华 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定． (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算． (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除． 跟踪训练2 (1)(2022·滨州模拟)如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α 上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 答案 B 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 设OB＝OA＝1， 则B(0,1,0)，A(0,0,1)，P(x，y,0)， 则AB＝(0,1，－1)， AP＝(x，y，－1)， 所以cos〈AB，AP〉＝＝， 即x2＋＝1， 所以点P的轨迹是椭圆． (2)已知动点P在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 的表面上运动，且PA＝r(0＜r＜)，记点 1 1 1 1 P的轨迹长度为f(r)，则f(1)＋f() ＝________. 答案 3π 公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君 解析 如图，当r＝1时，点P在正方体表面上的轨迹分别是以A为圆心，1为半径的三个 面上的三段弧，分别为 ， ， ， 则f(1)＝3××2π＝， 当r＝时，点P在正方体表面上的轨迹为在平面ABC D 上以A 为圆心，1为半径的 ， 1 1 1 1 1 在平面BBCC 上为以B为圆心，1为半径的 ， 1 1 在平面DCC D 上为以D为圆心，1为半径的 ， 1 1 则f()＝3××2π＝， 所以f(1)＋f()＝＋＝3π. 题型三 最值、范围问题 例 3 (1)如图所示，菱形 ABCD 的边长为 2，现将△ACD 沿对角线 AC 折起，使平面 ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为( ) A. B. C．1 D. 答案 A 解析 取AC的中点O，连接D′O(图略)． 设∠ABC＝α，α∈(0，π)，所以D′O＝AD′cos ＝2cos ，S ＝×2×2sin α＝2sin α. △ABC 因为D′O⊥平面ABC，所以V ＝S ×D′O＝sin αcos ＝sin cos2＝sin ·. 四面体ABCD′ △ABC 设t＝sin ，则0＜t＜1，V ＝(t－t3)． 四面体ABCD′ 设f(t)＝(t－t3)，0＜t＜1， 则f′(t)＝(1－3t2)，0＜t＜1. 所以当0＜t＜时，f′(t)＞0，f(t)单调递增； 当＜t＜1时，f′(t)＜0，f(t)单调递减． 所以当t＝时，f(t)取得最大值. 所以四面体ABCD′体积的最大值为. (2)在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝ 公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君 3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________． 答案 解析 因为在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，所以AB⊥平面PAC，则BD与平 面PAC所成的角为∠ADB，tan∠ADB＝＝，当AD取得最小值时，∠ADB取得最大值．在等 腰Rt△PAC中，当D为PC的中点时，AD取得最小值． 以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0,1,1)， 则AD＝(0,1,1)，PC＝(0,2，－2)，BC＝(－3,2,0)． 设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即令y＝3，得n＝(2,3,3)． 因为cos〈n，AD〉＝＝＝， 所以AD与平面PBC所成角的正弦值为. 思维升华 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思 路是 (1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值， 即可求解． (2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法 求目标函数的最值． 跟踪训练3 (1)在四面体ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD体积的最大 值是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 如图，取AB的中点E，连接CE，DE， 公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君 设AB＝2x(0＜x＜1)，则CE＝DE＝， 当平面ABC⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大， 此时，四面体ABCD的体积V＝××2x××＝x－x3. 所以V′＝－x2，令V′＝0，得x＝. 当x∈时，V单调递增，当x∈时，V单调递减．故当x＝时，V有最大值，V ＝×－×3＝. max (2)如图，正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，E，F分别为BC ，C D 的中点，P是底面 1 1 1 1 1 1 1 1 ABC D 上一点．若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是________，最大值是________． 1 1 1 1 答案 解析 如图，取AD 的中点N，AB 的中点M，连接AM，AN，MN，NE，BD， 1 1 1 1 1 1 在正方体ABCD－ABC D 中，E，N分别为BC ，AD 的中点， 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴EN∥AB∥AB，EN＝AB＝AB， 1 1 1 1 ∴四边形ABEN为平行四边形， ∴AN∥BE， 又AN⊄平面BEF，BE⊂平面BEF， ∴AN∥平面BEF， ∵E，F分别为BC ，C D 的中点， 1 1 1 1 由中位线性质知EF∥BD， 1 1 同理可知MN∥BD， 1 1 ∴MN∥EF， 又MN⊄平面BEF，EF⊂平面BEF， 公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君 ∴MN∥平面BEF， 又AN∩MN＝N，AN，MN⊂平面AMN， ∴平面AMN∥平面BEF， ∵P是底面ABC D 上一点，且AP∥平面BEF， 1 1 1 1 ∴P∈MN， 在等腰△AMN中，当AP的长度最大时，P在M点或N点， 即AP ＝AM＝AN＝＝， max 当AP的长度最小时，P为MN的中点，MN＝， ∴AP＝＝＝，即AP ＝. min 课时精练 1. 如图，在正方体 ABCD－ABC D 中，点 M 是平面 ABC D 内一点，且 BM∥平面 1 1 1 1 1 1 1 1 ACD ，则tan∠DMD 的最大值为( ) 1 1 A. B．1 C．2 D. 答案 D 解析 因为当M在直线AC 上时，都满足BM∥平面ACD ， 1 1 1 所以tan∠DMD ＝，当MD 最小时，tan∠DMD 取得最大值，此时tan∠DMD ＝＝. 1 1 1 1 2．(多选)如图，在长方体ABCD－ABC D 中，点E，F分别是棱DD ，BB 上的动点(异于 1 1 1 1 1 1 所在棱的端点)．则下列结论正确的是( ) A．在点F运动的过程中，直线FC 可能与AE平行 1 B．直线AC 与EF必然异面 1 C．设直线AE，AF分别与平面ABC D 相交于点P，Q，则点C 可能在直线PQ上 1 1 1 1 1 D．设直线AE，AF分别与平面ABC D 相交于点P，Q，则点C 一定不在直线PQ上 1 1 1 1 1 公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君 答案 AC 解析 在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝C D ，DD ＝BB ，BC ＝AD，连接C E，AC ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 EF， 当点E，F分别是棱DD ，BB 的中点时， 1 1 由勾股定理得AE＝，C F＝， 1 故AE＝C F， 1 同理可得AF＝C E， 1 故四边形AECF是平行四边形， 1 所以在点F运动的过程中，直线FC 可能与AE平行，AC 与EF相交，A正确，B错误； 1 1 以C 为坐标原点，C D，C B，C C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直 1 1 1 1 1 1 角坐标系， 则当点E，F分别是棱DD ，BB 中点且几何体ABCD－ABC D 为正方体时， 1 1 1 1 1 1 设棱长为2，延长AE，AD 交于点M，延长AF，AB 交于点N，连接MN， 1 1 1 1 则C (0,0,0)，M(2，－2,0)，N(－2,2,0)， 1 则C1M＝(2，－2,0)，NC1＝(2，－2,0)， 则C1M＝NC1， 又两向量有公共点C ， 1 所以C ，M，N三点共线， 1 故点C 可能在直线PQ上，C正确，D错误． 1 3．(2023·广州模拟)点P为棱长是2的正方体ABCD－ABC D 的内切球O球面上的动点， 1 1 1 1 点M为BC 的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为( ) 1 1 A．π B．2π C．4π D．2π 答案 C 解析 根据题意知，该正方体的内切球半径为r＝，如图．取BB 的中点N，连接CN，则 1 公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君 CN⊥BM，∴CN为DP在平面BC CB中的射影，∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切 1 1 球的交线， ∵正方体ABCD－ABC D 的棱长为2， 1 1 1 1 ∴O到过D，C，N的平面的距离为＝1， ∴截面圆的半径为2， ∴点P的轨迹的长度为2π×2＝4π. 4．(多选)如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于 端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面 BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中正确的是( ) A．∠A′DB的大小不会发生变化 B．二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化 C．三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大 D．A′B与DE所成的角先变大后变小 答案 AB 解析 设A′D＝a，则DB＝2－a，A′E＝，EC＝2－a，BC2＋CE2＝BE2，A′B2＝A′E2＋ BE2，cos∠A′DB＝＝－是定值，∴∠A′DB的大小不会发生变化，故A正确； 由三垂线法作出二面角A′－BD－C的平面角，可知其大小为定值，故B正确；设A′E＝ x，则CE＝2－x(0