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§7.5 空间直线、平面的垂直
考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与
平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一个平
面内的两条相交直线垂
判定定理 ⇒l⊥α
直，那么该直线与此平
面垂直
垂直于同一个平面的两
性质定理 ⇒a∥b
条直线平行
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的
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角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，
我们说它们所成的角是0°.
(2)范围：.
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平
面α和β内分别作 垂直于棱 l 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角
的平面角．
(3)二面角的范围： [0 ， π] ．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面过另一个
判定定理 平面的垂线，那么这两 ⇒α⊥β
个平面垂直
两个平面垂直，如果一
个平面内有一直线垂直
性质定理 于这两个平面的交线， ⇒l⊥α
那么这条直线与另一个
平面垂直
常用结论
1．三垂线定理
平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这
条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射
影垂直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( × )
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(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
教材改编题
1．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 ABD
解析 若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项
均不正确．
2. 如图，在正方形SGGG 中，E，F分别是GG ，GG 的中点，D是EF的中点，现在沿
1 2 3 1 2 2 3
SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使 G ，G ，G 三点重合，重合后的点记为
1 2 3
G，则在四面体S－EFG中必有( )
A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面
答案 A
解析 四面体S－EFG如图所示，由SG⊥GE，SG⊥GF，
GE∩GF＝G且GE，GF⊂平面EFG得SG⊥△EFG所在平面．
3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂
直的平面有________对．
答案 7
解析 如图，由于PD垂直于正方形ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面
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ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥
平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (1)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________．
答案 ②③⇒①(或①③⇒②)
解析 已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因
为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与
③l⊥α可以推出①l⊥m.
(2)(2023·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，点B 在底面ABC内的射影恰好是点C.
1 1 1 1
①若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC .
1
②已知BC ＝2，BC＝2，求△BCC 的周长．
1 1 1 1
①证明 ∵点B 在底面ABC内的射影是点C，
1
∴BC⊥平面ABC，
1
∵AB⊂平面ABC，∴BC⊥AB.
1
在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，
∵BC∩BC＝C，BC，BC⊂平面BCC B，
1 1 1 1
∴AB⊥平面BCC B，
1 1
∵CC ⊂平面BCC B，∴AB⊥CC .
1 1 1 1
②解 如图，延长BC至点E，使BC＝CE，
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连接C E，则BC 綉CE，四边形BCEC 为平行四边形，
1 1 1 1 1
则C E綉BC.
1 1
由①知BC⊥平面ABC，∴C E⊥平面ABC，
1 1
∵CE，BE⊂平面ABC，
∴C E⊥CE，C E⊥BE，
1 1
∵C E＝BC＝2，CE＝BC＝BC ＝2，BE＝4，
1 1 1 1
∴CC ＝＝4，BC ＝＝2，
1 1
∴△BCC 的周长为2＋4＋2＝6＋2.
1
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，
a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别是棱CD，AD 的中点．
1 1 1 1 1 1
(1)求证：AB⊥BF；
1
(2)求证：AE⊥BF；
(3)棱CC 上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明
1
理由．
(1)证明 如图，连接AB，则AB⊥AB，
1 1 1
因为AF⊥平面ABBA，AB⊂平面ABBA，
1 1 1 1 1 1
所以AF⊥AB，
1 1
又AB∩AF＝A，
1 1 1
所以AB⊥平面ABF.又BF⊂平面ABF，所以AB⊥BF.
1 1 1 1
(2)证明 如图，取棱AD的中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，
因为AB＝DA，AG＝DE，∠BAG＝∠ADE，所以△BAG≌△ADE，所以∠ABG＝∠DAE.
所以AE⊥BG.又因为BG∩FG＝G，所以AE⊥平面BFG.
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又BF⊂平面BFG，所以AE⊥BF.
(3)解 存在．如图，取棱CC 的中点P，即为所求．连接EP，AP，C D，因为EP∥C D，
1 1 1
C D∥AB，所以EP∥AB.
1 1 1
由(1)知AB⊥BF，所以BF⊥EP.
1
又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，
所以BF⊥平面AEP.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥 P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面
PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点．
(1)求证：平面PCD⊥平面ACE；
(2)求点B到平面ACE的距离．
(1)证明 由PA＝AD＝PD，E为PD的中点，可得AE⊥PD，
因为CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
而AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，
由CD∩PD＝D，则AE⊥平面PCD，
又AE⊂平面ACE，所以平面PCD⊥平面ACE.
(2)解 如图，连接BD，与AC交于O，则O为BD的中点，
所以点D到平面ACE的距离即为点B到平面ACE的距离．
由平面PCD⊥平面ACE，过D作DM⊥CE，垂足为M，
则DM⊥平面ACE，则DM为点D到平面ACE的距离．
由CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，
又CD＝DE＝1，所以DM＝CE＝，
即点B到平面ACE的距离为.
思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性质的应用
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①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直
线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
跟踪训练2 (2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝
2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥平面ABCD；
(2)平面BEF∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥平面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，
∴PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE，
∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，
∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，
∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，
∴平面BEF∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由①知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，
∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，
∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
题型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，已知ABCD－ABC D 是底面为正方形的长方体，∠ADA ＝60°，AD ＝4，点
1 1 1 1 1 1 1
P是AD 上的动点．
1
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(1)试判断不论点P在AD 上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AADD，并证明你的结
1 1 1
论；
(2)当P为AD 的中点时，求异面直线AA 与BP所成的角的余弦值；
1 1 1
(3)求PB 与平面AADD所成的角的正切值的最大值．
1 1 1
解 (1)是．∵BA⊥平面AADD，BA⊂平面BPA，
1 1
∴平面BPA⊥平面AADD，
1 1
∴无论点P在AD 上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AADD.
1 1 1
(2)过点P作PE⊥AD，垂足为E，连接BE，如图，
1 1 1
则PE∥AA，
1
∴∠BPE(或其补角)是异面直线AA 与BP所成的角．
1 1 1
在Rt△AAD 中，
1 1
∵∠ADA＝60°，
1 1
∴∠AAD＝30°，
1 1
∴AB＝AD＝AD＝2，
1 1 1 1 1
∴AE＝AD＝1，AA＝AD＝2，
1 1 1 1 1 1
∴PE＝AA＝，BE＝＝，
1 1
∴在Rt△BPE中，
1
BP＝＝2，
1
cos∠BPE＝＝＝.
1
∴异面直线AA 与BP所成的角的余弦值为.
1 1
(3)由(1)知，BA⊥平面AADD，
1 1 1 1
∴∠BPA 是PB 与平面AADD所成的角，
1 1 1 1 1
∴tan∠BPA＝＝，
1 1
∴当AP最小时，tan∠BPA 最大，
1 1 1
这时AP⊥AD，
1 1
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AP＝＝，
1
得tan∠BPA＝，
1 1
即PB 与平面AADD所成的角的正切值的最大值为.
1 1 1
思维升华 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转
化．
(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的
相关定理、性质进行推理论证．
跟踪训练3 (2023·柳州模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC
＝2，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且PM与平面ABC所成角的正切值为，求二面角M－PA－C的平面
角的余弦值．
(1)证明 方法一 如图，连接OB.
∵AB＝BC＝2，AC＝2，
∴AB2＋BC2＝AC2，
即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，
∴OA＝OB＝OC，
又∵PA＝PB＝PC，
∴△POA≌△POB≌△POC，
∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.
∴PO⊥AC，PO⊥OB，
∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，
∴PO⊥平面ABC.
方法二 如图，连接OB，
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∵PA＝PC，O为AC的中点，PA＝PB＝PC＝AC＝2，
∴PO⊥AC，PO＝，
又∵AB＝BC＝2，
∴AB⊥BC，BO＝，
∴PO2＋OB2＝PB2，
∴PO⊥OB，
∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，
∴PO⊥平面ABC.
(2)解 由(1)知，PO⊥平面ABC，
∴OM为PM在平面ABC上的射影，
∴∠PMO为PM与平面ABC所成角，
∵tan∠PMO＝＝＝，
∴OM＝1，
在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC＝1，
∴M为BC的中点．
如图，作ME⊥AC交AC于E，
则E为OC的中点，作EF⊥PA交PA于F，连接MF，
∴MF⊥PA，
∴∠MFE即为所求二面角M－PA－C的平面角，ME＝，
EF＝AE＝××2＝，
MF＝＝，
∴cos∠MFE＝＝，
故二面角M－PA－C的平面角的余弦值为.
课时精练
1．(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是真命题的为( )
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A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
答案 ACD
解析 由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于
平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，
因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．
2.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，△PAB与△PBC是正三角形，平面 PAB⊥平面 PBC，
AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( )
A．BP⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
答案 B
解析 如图，取线段BP的中点O，连接OA，OC，易得BP⊥OA，BP⊥OC，又OA∩OC＝
O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A正确；又AC⊥BD，BP∩BD＝B，所以
AC⊥平面PBD，所以AC⊥PD，故选项C正确；又AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面
ABCD，故选项D正确．
3. 如图，在斜三棱柱ABC－ABC 中，∠BAC＝90°，BC ⊥AC，则C 在底面ABC上的射影
1 1 1 1 1
H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案 A
解析 连接AC (图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC ，AB∩BC ＝B，得AC⊥平面ABC.∵AC⊂平
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面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC.∴C 在平面ABC上的射影H必在平面ABC 与平面ABC的
1 1 1
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交线AB上．
4．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
答案 BD
解析 对于 A，显然 AB与CE 不垂直，则直线 AB与平面 CDE 不垂直；对于 B，因为
AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，
所以直线 AB 与平面 CDE 不垂直；对于 D，因为 ED⊥平面 ABC，则 ED⊥AB，同理
CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
5．(多选)(2022·齐齐哈尔模拟)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则
下列命题错误的是( )
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
答案 ABD
解析 由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
在A中，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；
在B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．
6．(多选)在长方体ABCD－ABC D 中，已知BD与平面ABCD和平面AABB所成的角均
1 1 1 1 1 1 1
为30°，则下列说法正确的是( )
A．AB＝AD
B．AB与平面ABC D所成的角为30°
1 1
C．AC＝CB
1
D．BD与平面BBC C所成的角为45°
1 1 1
答案 AD
解析 如图，连接BD，易知∠BDB 是直线BD与平面ABCD所成的角，
1 1
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所以在Rt△BDB 中，∠BDB ＝30°，
1 1
设BB＝1，则BD＝2BB＝2，
1 1 1
BD＝＝.
易知∠ABD是直线BD与平面AABB所成的角，
1 1 1 1
所以在Rt△ADB 中，∠ABD＝30°.
1 1
因为BD＝2，所以AD＝BD＝1，
1 1
AB＝＝，
1
所以在Rt△ABB 中，AB＝＝＝AD，所以A项正确；
1
易知∠BAB 是直线AB与平面ABC D所成的角，
1 1 1
因为在Rt△ABB 中，sin∠BAB＝＝≠，
1 1
所以∠BAB≠30°，所以B项错误；
1
在Rt△CBB 中，CB ＝＝，
1 1
而AC＝＝，所以C项错误；
易知∠DBC是直线BD与平面BBC C所成的角，
1 1 1 1
因为在Rt△DBC中，CB ＝CD＝，所以∠DBC＝45°，所以D项正确．
1 1 1
7. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的
一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________时，平面
MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)．
答案 ②(或③)
解析 连接AC(图略)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.∵底面各边都相等，∴AC⊥BD.
∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
8．在矩形ABCD中，AB
