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专题十四 《计数原理》讲义
14.2 二项式定理
知识梳理 . 二项式定理
1.二项式定理的概念:
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：T ＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
k＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
2.展开式中二项式系数的性质:
(1)
(2)
(3)当 时， 当 时，
(4)
3．赋值法求展开式系数和
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定
为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，
－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需
令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
4．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
题型一 . 二项式展开后的某项
1．二项式 1 8 的展开式中，常数项为 （用数字作答）
(2x− )
√3 x
1
2．二项式(√x+ ) 40 的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）
√3 x
A．4项 B．7项 C．5项 D．6项x
3．(√x− ) 8展开式中二项式系数最大的项为 ．（求出具体的项）
2
1
4．（x√x+ ）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开
x4
式中的常数项是第 项．
题型二 . 多项展开式中项的问题
1．（1﹣x）（1+x+x2）2展开式中，x2项的系数为 ．
2．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
3．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（ ）
A．﹣30 B．120 C．240 D．420
4．已知（x+1）4+（x﹣2）8＝a +a （x﹣1）+a （x﹣1）2…+a （x﹣1）8，则 a ＝
0 1 2 8 3
（ ）
A．64 B．48 C．﹣48 D．﹣64
题型三 . 二项式系数和、展开式系数和
2
1．已知二项式(x+ ) n的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝ ，展开式中
x
的常数项是 ．
2．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数
和为 ．
1
3．若（ +x﹣m）5（m为常数）展开式中的所有项系数和为 1024，则实数m的值为
x
，展开式中的常数项为 ．
4．已知二项式（x+y）n的展开式的二项式项的系数和为64，（2x+3）n＝a +a （x+1）+a
0 1 2
（x+1）2+…+a （x+1）n，则a ＝（ ）
n 2
A．20 B．30 C．60 D．80题型四 . 二项式定理综合
1．若二项式（2﹣x）n（n N*）的展开式中所有项的系数的绝对值之和是 a，所有项
∈
b a
的二项式系数之和是b，则 + 的最小值是（ ）
a b
13 7 15
A．2 B． C． D．
6 3 6
2．已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，系数最大的项为20000，则
x＝ ．
3．在二项式（x﹣1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 （结果用数值表
示）
4．若 ，则|a |﹣|a |+|a |﹣|a |+|a |﹣|a |＝（
(1−x) 5=a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
）
A．0 B．1 C．32 D．﹣1
题型五 . 杨辉三角
1．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的
“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5 …2013 2014 2015 2016
3 5 7 9 …4027 4029 4031
8 12 16 …8056 8060
20 28 …16116
该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中
最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014
2．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n
1
行有n个数且两端的数均为 （n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + ， = + ， = + ，…，则第 9 行第 4 个数（从左往右数）为
1 2 2 2 3 6 3 4 12．
课后作业 . 二项式定理
1．在二项式（√2+x）9展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项
的个数是 ．
2．已知二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，则x2项的系数为（ ）
A．28 B．36 C．56 D．84
1
3．已知(x− ) n的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是
3x
．
y2
4．(x− )(x+ y) 5的展开式中，x3y3的系数为 ．
x
4 1
5．（x2﹣3x+ ）（1− ）5的展开式中常数项为（ ）
x √x
A．﹣30 B．30 C．﹣25 D．25
6．已知（1+x）6＝a +a （1﹣x）+a （1﹣x）2+…+a （1﹣x）6，则下列选项正确的有（
0 1 2 6
）
A．a ＝1 B．a ＝1
0 6
C．a +a +…+a ＝64 D．a +a +a ＝﹣364
0 1 6 1 3 5
