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§10.2 二项式定理
课标要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项
展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b 1 ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)
二项展开式的通项 T ＝Can－kbk，它表示展开式的第 k ＋ 1 项
k＋1
二项式系数 C ( k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：
①当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小．
②当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与 相等，
且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n .
常用结论
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．( × )
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．( √ )
(3)通项公式T ＝Can－kbk中的a和b不能互换．( √ )
k＋1
(4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项．( × )
2．(选择性必修第三册P31T4改编)10的展开式中x2的系数等于( )
A．45 B．20 C．－30 D．－90
答案 A
解析 因为展开式的通项为T ＝ ·x－(10－k)＝ ，令－10＋k＝2，
k＋1得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C＝45.
3．(选择性必修第三册P34T1改编)的值为( )
A．1 B．2
C．2 023 D．2 023×2 024
答案 A
解析 原式＝＝＝1.
4．在二项式n的展开式中二项式系数之和是32，则展开式中各项系数的和为________．
答案 －1
解析 因为二项式系数之和为2n＝32，所以n＝5.
令x＝1，可得各项系数的和为(1－2)5＝－1.
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式
例1 (1)(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为________(用数字作答)．
答案 112
解析 因为(x－2y)8的展开式中含x6y2的项为Cx6(－2y)2＝112x6y2，所以(x－2y)8的展开式中
x6y2的系数为112.
(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝______.
答案 ±1
解析 5的展开式的通项为T ＝Cx5－kk＝ .由5－k＝5，得k＝0，由5－k＝2，
k＋1
得k＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式
例2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案 －28
解析 (x＋y)8展开式的通项为T ＝Cx8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T ＝Cx2y6；令k
k＋1 6＋1
＝5，得T ＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
5＋1
(2)若(x2＋a)8的展开式中x8的系数为9，则a的值为________．
答案 1
解析 因为(x2＋a)8＝x28＋a·8，
且8展开式的通项为T ＝Cx8－kk＝Cx8－2k，
k＋1
当8－2k＝6时，k＝1，此时x6的系数为C.
当8－2k＝8时，k＝0，此时x8的系数为C.
所以展开式中x8的系数为C＋aC＝8＋a＝9，解得a＝1.破解三项展开式问题
求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：
(1)两项看成一项，利用二项式定理展开．
(2)因式分解，转化为两个二项式再求解．
(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答．
典例 (1)(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为________．
答案 210
解析 因为(3x2＋2x＋1)10＝[3x2＋(2x＋1)]10＝C(3x2)10＋C(3x2)9(2x＋1)＋C(3x2)8(2x＋1)2＋…＋
C(3x2)1(2x＋1)9＋C(2x＋1)10，
所以含有x2的项为C3x2·C19＋CC(2x)218＝210x2.
所以(3x2＋2x＋1)10的展开式中，含x2的项的系数为210.
(2)(1＋2x－3x2)5的展开式中含x5的项的系数为________．
答案 92
解析 将(1＋2x－3x2)5看作5个因式1＋2x－3x2的乘积，这5个因式乘积的展开式中形成x5
的来源有：
①5个因式各出一个2x，这样的方式有C种，对应的项为C(2x)5；
②有3个因式各出一个2x，有1个因式出一个－3x2，剩余1个因式出一个1，这样的方式有
CC种，对应的项为C(2x)3C(－3x2)；
③有1个因式出一个2x,2个因式各出一个－3x2，剩余2个因式各出一个1，这样的方式有
CC种，对应的项为C×2x×C×(－3x2)2；
所以含x5的项的系数为C×25＋C×23×C×(－3)＋C×2×C×(－3)2＝92.
思维升华 (1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项
时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求
解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)(多选)已知n的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成
立的是( )
A．n＝10
B．展开式中的常数项为45
C．含x5的项的系数为210
D．展开式中的有理项有5项
答案 ABC解析 二项展开式的通项为T ＝Cx2n－2k
k＋1
＝ ，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
则＝，
故＝，
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则T ＝ ，
k＋1
令20－＝0，解得k＝8，
则展开式中的常数项为(－1)8C＝45，故B正确；
令20－＝5，解得k＝6，
则含x5的项的系数为(－1)6C＝210，故C正确；
令20－∈Z，则k为偶数，
此时k＝0,2,4,6,8,10，故有6项有理项，故D错误．
(2)(2024·攀枝花模拟)(1－ax2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为12，则a＝________.
答案 －2
解析 由(1＋x)4的展开式通项为T ＝Cxk，
k＋1
所以含x3的项为Cx3＋(－ax2)Cx＝(C－aC)x3，
故C－aC＝4－4a＝12，可得a＝－2.
题型二 二项式系数与项的系数的问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)(多选)已知2n＋1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则( )
A．n＝4
B．展开式中所有项的系数和为1
C．展开式中二项式系数和为24
D．展开式中不含常数项
答案 AD
解析 由题意得＝，
则＝，解得n＝4，故A正确；
所以2n＋1＝9，令x＝1，则所有项的系数之和为－1，故B错误；
所以9的二项式系数和为29，故C错误；
9的通项公式为T ＝C9－k(－2x)k＝C(－2)kx2k－9，若T 为常数项，则有2k－9＝0，解得k＝
k＋1 k＋1
∉N，所以不存在常数项，故D正确．(2)(多选)(2023·重庆模拟)已知(1－2x)2 024＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 023＋a x2 024，则( )
0 1 2 2 023 2 024
A．展开式中二项式系数最大项为第1 012项
B．展开式中所有项的系数和为1
C．＋＋＋…＋＋＝－1
D．a＋2a＋3a＋…＋2 023a ＋2 024a ＝4 048
1 2 3 2 023 2 024
答案 BCD
解析 由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为 C，易知应为第1 013项，
故A错误；
令x＝1，可得(1－2)2 024＝a ＋a ＋a ＋…＋a ＋a ＝1，即展开式中所有项的系数和为
0 1 2 2 023 2 024
1，故B正确；
令x＝0，可得a＝1，令x＝，可得2 024＝a＋＋＋…＋＋＝0，
0 0
所以＋＋＋…＋＋＝－1，故C正确；
将等式(1－2x)2 024＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 023＋a x2 024两边同时求导可得，
0 1 2 2 023 2 024
2 024×(－2)(1－2x)2 023＝a＋2ax1＋…＋2 023a x2 022＋2 024a x2 023，
1 2 2 023 2 024
再令x＝1，可得a＋2a＋3a＋…＋2 023a ＋2 024a ＝4 048，故D正确．
1 2 3 2 023 2 024
命题点2 系数与二项式系数的最值
例4 已知n的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是( )
A．二项展开式中各项系数之和为37
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为240x3
答案 D
解析 因为n的二项展开式中二项式系数之和为64，
所以2n＝64，则n＝6，
所以二项式为6，
则二项展开式的通项为T ＝C(2x)6－kk＝ ，
k＋1
令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误；
第 4 项的二项式系数最大，此时 k＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为 T ＝
4
＝ ，故B错误；
令6－k＝0，则k＝4，
所以二项展开式中的常数项为 ＝60，故C错误；令第k＋1项的系数最大，则
解得≤k≤，
因为k∈N，所以k＝2.
所以二项展开式中系数最大的项为T＝C24x3＝240x3，故D正确．
3
思维升华 (1)赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a ＋ax＋ax2＋…＋axn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展
0 1 2 n
开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n
的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
(2)二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数
分别为A，A，…，A ，且第k项系数最大，应用从而解得k.
1 2 n＋1
跟踪训练2 (1)已知(mx＋1)n(n∈N*，m∈R)的展开式只有第5项的二项式系数最大，设(mx＋
1)n＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，若a＝8，则a＋a＋…＋a 等于( )
0 1 2 n 1 2 3 n
A．63 B．64 C．247 D．255
答案 C
解析 因为展开式只有第5项的二项式系数最大，
所以展开式共9项，所以n＝8，
因为a＝C·m＝8，所以m＝1，
1
所以(x＋1)8＝a＋ax＋ax2＋…＋ax8，
0 1 2 8
令x＝1，得a＋a＋a＋a＋…＋a＝28＝256，
0 1 2 3 8
令x＝0，得a＝1，
0
所以a＋a＋…＋a＝256－8－1＝247.
2 3 n
(2)(多选)若(3x－2)2 025＝a＋ax＋ax2＋ax3＋…＋a x2 025(x∈R)，则( )
0 1 2 3 2 025
A．a＝22 025
0
B．a＋a＋a＋…＋a ＝
0 2 4 2 024
C．a＋a＋a＋…＋a ＝
1 3 5 2 025
D.＋＋＋…＋＝22 025－1
答案 BD
解析 对于A，当x＝0时，a＝(－2)2 025＝－22 025，A错误；
0
对于B，C，当x＝1时，a＋a＋a＋a＋…＋a ＝12 025＝1，
0 1 2 3 2 025
当x＝－1时，a－a＋a－a＋…＋a －a ＝－52 025，
0 1 2 3 2 024 2 025
所以a＋a＋a＋…＋a ＝，
0 2 4 2 024
a＋a＋a＋…＋a ＝，所以B正确，C错误；
1 3 5 2 025
对于D，当x＝时，2 025＝a＋＋＋…＋，
0所以＋＋＋…＋＝(－1)2 025－a＝22 025－1，D正确．
0
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
答案 B
解析 因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a
＝C·522 025－C·522 024＋C·522 023－…＋C·52－C＋a，
因为512 025＋a能被13整除，
所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，又0≤a≤13，
所以a＝1.
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
答案 D
解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋
0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有
除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(
)
A．－3 B．2 C．10 D．11
答案 C
解析 11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11＋C－2＝
(11＋1)n－2
＝12n－2＝(13－1)n－2
＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13＋(－1)n·C－2，
因为n为奇数，则上式＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－3＝[C·13n－C·13n－1＋…＋(－
1)n－1·C·13－13]＋10，
所以11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是10.
(2)利用二项式定理计算0.996，则其结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
答案 B解析 0.996＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＋C×0.016
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016
≈0.941.
课时精练
一、单项选择题
1．已知二项式5的展开式中的系数是10，则实数a等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案 B
解析 二项式5的展开式为C·x5－k·(ax－1)k＝ak·C·x5－2k，
令5－2k＝－1，解得k＝3，
所以a3·C＝10a3＝10，a＝1.
2．若(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a ＋ax＋ax2＋ax3＋ax4，则a ＋a ＋a ＋a ＋a 等于(
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
)
A．49 B．56 C．59 D．64
答案 C
解析 令x＝1，则a＋a＋a＋a＋a＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59.
0 1 2 3 4
3．(x＋2y)5(x－3y)的展开式中x3y3的系数为( )
A．－120 B．－40 C．80 D．200
答案 B
解析 (x＋2y)5的展开式通项为T ＝C·x5－k·(2y)k＝C·2k·x5－kyk，
k＋1
因为(x＋2y)5(x－3y)＝x(x＋2y)5－3y(x＋2y)5，
在xT ＝C·2k·x6－kyk中，令6－k＝3可得k＝3，
k＋1
在yT ＝C·2k·x5－kyk＋1中，令5－k＝3可得k＝2，
k＋1
因此，展开式中x3y3的系数为C·23－3C·22＝－40.
4．已知(2x－1)5＝ax5＋ax4＋ax3＋ax2＋ax＋a，则|a|＋|a|＋…＋|a|等于( )
5 4 3 2 1 0 0 1 5
A．1 B．243 C．121 D．122
答案 B
解析 令x＝1，得a＋a＋a＋a＋a＋a＝1，①
5 4 3 2 1 0
令x＝－1，得－a＋a－a＋a－a＋a＝－243，②
5 4 3 2 1 0
①＋②，得2(a＋a＋a)＝－242，
4 2 0
即a＋a＋a＝－121.
4 2 0①－②，得2(a＋a＋a)＝244，
5 3 1
即a＋a＋a＝122.
5 3 1
所以|a|＋|a|＋…＋|a|＝122＋121＝243.
0 1 5
5．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是( )
A．120 B．－120 C．60 D．30
答案 A
解析 方法一 由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，
展开式的第k＋1项为C(x＋y)5－k(－2z)k，
令k＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2，
(x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym，
令m＝2，可得第3项为Cxy2，
所以(x＋y－2z)5的展开式中，
xy2z2的系数是(－2)2CC＝120.
方法二 (x＋y－2z)5相当于5个(x＋y－2z)相乘，
含xy2z2的项则是其中1个(x＋y－2z)中取x，
2个(x＋y－2z)中取y,2个(x＋y－2z)中取z，
故系数为CCC(－2)2＝120.
6．多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)的展开式中x3的系数为( )
A．6 B．8 C．12 D．13
答案 C
解析 原式＝x2(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)，
所以展开式中含x3的项包含(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x项为1·2·x＋2·3·x＋1·3·x＝11x，
和(x＋1)(x＋2)(x＋3)中x3的项为x3，这两项的系数和为11＋1＝12.
二、多项选择题
7．(2023·长春模拟)已知n的展开式中的第三项的系数为45，则( )
A．n＝9
B．展开式中所有项的系数和为1 024
C．二项式系数最大的项为中间项
D．含x3的项是第7项
答案 BCD
解析 n的展开式的第三项为T＝Cn－22＝ ＝ ，
3
所以第三项的系数为C＝45，所以n＝10，故A错误；
所以二项式为10，
令x＝1得展开式中所有项的系数和为210＝1 024，故B正确；展开式中共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；
通项公式为T ＝C10－k()k
k＋1
＝ ＝ ，
令＝3，解得k＝6，
所以含x3的项是第7项，故D正确．
8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角，由此可见
我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出
发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13，….以下关于杨辉三角
的猜想中正确的是( )
A．由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想 C＝C
B．由 “在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想C＝C＋C
C．第9条斜线上各数之和为55
D．在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小
答案 ABD
解析 根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得C＝C，C＝C＋C成立，故A，B正确；
第1条斜线上的数为C，第2条斜线上的数为C，
第3条斜线上的数为C，C，第4条斜线上的数为C，C，第5条斜线上的数为C，C，C，第
6条斜线上的数为C，C，C，第7条斜线上的数为C，C，C，C，…，
由此，归纳得到，第2n(n∈N*)条斜线上的数依次为C，C，C，…，C，
第(2n＋1)(n∈N)条斜线上的数依次为C，C，C，…，C.
所以第9条斜线上各数为C，C，C，C，C，其和为C＋C＋C＋C＋C＝1＋7＋15＋10＋1＝
34，故C错误；
在第n(n≥5)条斜线上，各数从左往右先增大后减小，故D正确．
三、填空题
9．若展开式n中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为________．
答案 7
解析 由题意得n＝8，所以展开式中第k＋1项为T ＝C()8－kk＝ ，
k＋1令＝0，得k＝2，
故常数项为C·2＝7.
10．若(1＋x)6展开式中x2的系数为30，则m＝________.
答案 1
解析 (1＋x)6展开式通项为T ＝Cxk，
k＋1
则Cxk＝mCxk＋mCxk－2，
∴mC＋mC＝30，解得m＝1.
11．设(x＋1)(2x2－1)5＝a＋ax＋ax2＋…＋a x11，则a＋22a＋24a＋…＋210a ＝________.
0 1 2 11 0 2 4 10
答案 75
解析 令x＝2，得3×75＝a＋2a＋22a＋…＋211a ，①
0 1 2 11
令x＝－2，得－75＝a－2a＋22a－…－211a ，②
0 1 2 11
由，得a＋22a＋24a＋…＋210a ＝＝75.
0 2 4 10
12．写出一个可以使得992 025＋a被100整除的正整数a＝________.
答案 1(答案不唯一)
解析 由题意可知992 025＋a＝(100－1)2 025＋a，
将(100－1)2 025利用二项式定理展开得(100－1)2 025＝C1002 025×(－1)0＋C1002 024×(－1)1＋…＋
C1001×(－1)2 024＋C1000×(－1)2 025，
显然C1002 025×(－1)0＋C1002 024×(－1)1＋…＋C1001×(－1)2 024能被100整除，
所以只需C1000(－1)2 025＋a＝－1＋a是100的整数倍即可，
所以－1＋a＝100n(n∈Z)，得a＝100n＋1(n∈Z)，
不妨取n＝0，得a＝1.
四、解答题
13．已知( ＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解 (1)令x＝1，得展开式中的各项系数和为(1＋3)n＝22n，
又展开式中二项式系数和为2n.
所以＝32，解得n＝5.
因为n＝5，所以展开式共有6项，
所以二项式系数最大的项为第三、四两项，
即T＝C( )3(3x2)2＝90x6，T＝C( )2(3x2)3＝ .
3 4
(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，T ＝C( )5－k(3x2)k＝ ，
k＋1
得
解得≤k≤，
因为k∈N，所以k＝4，
即展开式中系数最大的项为T＝ ＝ .
5
14．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的
二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
已知(2x－1)n＝a＋ax＋ax2＋…＋axn(n∈N*)，________.
0 1 2 n
(1)求＋＋…＋的值；
(2)求a＋2a＋3a＋…＋na 的值．
1 2 3 n
解 (1)若选①：
因为只有第5项的二项式系数最大，
所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8.
若选②：
因为第4项与第6项的二项式系数相等，
所以C＝C⇒n＝8.
若选③：
因为奇数项的二项式系数的和为128，
所以2n－1＝128，解得n＝8.
所以(2x－1)8＝a＋ax＋ax2＋…＋ax8，
0 1 2 8
令x＝，
则有8＝a＋＋＋…＋，
0
即有a＋＋＋…＋＝0，
0
令x＝0，得a＝1，
0
所以＋＋…＋＝－a＝－1.
0
综上所述，＋＋…＋＝－1.
(2)由(1)可知，n＝8，
(2x－1)8＝a＋ax＋ax2＋…＋ax8，
0 1 2 8
两边求导得16(2x－1)7＝a＋2ax＋3ax2＋…＋8ax7，
1 2 3 8
令x＝1，
则有16＝a＋2a＋3a＋…＋8a，
1 2 3 8
所以a＋2a＋3a＋…＋8a＝16.
1 2 3 815．(多选)下列结论正确的是( )
A．kC＝3n(n∈N*)
B．多项式6展开式中x3的系数为52
C．若(2x－1)10＝a＋ax＋ax2＋…＋a x10，x∈R，则|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a |＝310
0 1 2 10 0 1 2 10
D．2C＋C＋2C＋C＋…＋C＋2C＝3·22n－1(n∈N*)
答案 ACD
解析 对于A，kC＝20C＋21C＋22C＋…＋2nC＝C×1n×20＋C×1n－1×21＋C×1n－2×22＋…＋
C×10×2n＝(1＋2)n＝3n，故A正确；
对于B，6的展开式的通项为T ＝Ck，要求x3的系数，则k≥3，
k＋1
当k＝3时，有C3，其中x3的系数为CC20×(－1)3＝－20；
当k＝4时，有C4，不存在x3；
当k＝5时，有C5，其中x3的系数为CC21×(－1)4＝60；
当k＝6时，有C6，不存在x3.
故多项式6展开式中x3的系数为－20＋60＝40，故B不正确；
对于C，(2x－1)10的展开式的通项为T ＝C(2x)10－k·(－1)k＝(－1)kC·210－k·x10－k，可知a<0，
k＋1 1
a<0，a<0，a<0，a<0，a>0，a>0，a>0，a>0，a>0，a >0，
3 5 7 9 0 2 4 6 8 10
所以|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a |＝a－a＋a－…＋a ，
0 1 2 10 0 1 2 10
所以令x＝－1，有(－2－1)10＝a－a＋a－…＋a ＝310，
0 1 2 10
因此|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a |＝310，故C正确；
0 1 2 10
对于D,2C＋C＋2C＋C＋…＋C＋2C
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝22n＋22n－1＝3·22n－1，故D正确．
16．课本中，在形如(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…Can－kbk＋…＋Cbn的展开式中，我们把C(k＝
0,1,2，…，n)叫做二项式系数，类似地在(1＋x＋x2)n＝D＋Dx＋Dx2＋…＋Dx2n－1＋Dx2n的展
开式中，我们把D(k＝0,1,2，…，2n)叫做三项式系数，则 DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC
＋…－DC的值为________．
答案 0
解析 因为(1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(D＋Dx＋Dx2＋…＋Dxk＋…＋Dx4 048－1＋Dx4 048)·(Cx2 024
－Cx2 023＋Cx2 022－Cx2 021＋…＋Cx－C)，
其中x2 024的系数为
DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC＋…－DC，
因为(1＋x＋x2)2 024·(x－1)2 024＝(x3－1)2 024，
而二项式(x3－1)2 024的通项公式T ＝(－1)kC·(x3)2 024－k，
k＋1因为2 024不是3的倍数，所以(x3－1)2 024的展开式中没有x2 024项，由代数式恒成立可得
DC－DC＋DC－…＋(－1)kDC＋…－DC＝0.
