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§4.8 正弦定理、余弦定理
考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利
用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(1)a＝2Rsin A，
b＝ 2 R sin B ，
c＝ 2 R sin C ； cos A＝；
变形 (2)sin A＝， cos B＝；
sin B＝，sin C＝； cos C＝
(3)a∶b∶c
＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C
2．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b
解的个数 一解 两解 一解 一解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
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在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B.
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
(6)三角形中的面积S＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝.
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝
30°，则c等于( )
A．8 B．4
C． D．
答案 A
解析 由S ＝acsin B＝×2c×＝4，得c＝8.
△ABC
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝
.
答案 45°或135°
解析 由正弦定理得sin C＝＝＝，
因为c>b，B＝30°，
所以C＝45°或C＝135°.
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题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简]
(2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]
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思维升华 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果
式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两
个定理都有可能用到．
跟踪训练1 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
(1)证明 方法一
由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，
结合正弦定理＝＝，
可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C＝2bccos A(*)．
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由余弦定理可得
accos B＝，
abcos C＝，
2bccos A＝b2＋c2－a2，
将上述三式代入(*)式整理，
得2a2＝b2＋c2.
方法二 因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)
＝sin2Acos2B－cos2Asin2B
＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
(2)解 由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31.
因为b2＋c2＝2a2＝50，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，
得b＋c＝9，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos
A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 D
解析 因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
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所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 A
解析 由cos B＝1－2sin2，
得sin2＝，所以＝，
即cos B＝.
方法一 由余弦定理得＝，
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.
所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
方法二 由正弦定理得cos B＝，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，
所以cos C＝0，又角C为△ABC的内角，
所以C＝，所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
延伸探究 将本例(2)中的条件“＝sin2”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断
△ABC的形状．
解 因为＝，所以由正弦定理得＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理得cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
思维升华 判断三角形形状的两种思路
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(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A
＋B＋C＝π这个结论．
命题点2 三角形的面积
例3 (2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知4a＝c，cos C＝.
(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面积．
解 (1)由正弦定理＝，
得sin A＝.
因为cos C＝，所以sin C＝，
又＝，所以sin A＝＝.
(2)由(1)知sin A＝，
因为a＝<c，所以0<A<，
所以cos A＝，
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A＝×＋×＝.
因为＝，即＝，
所以c＝4，
所以S ＝bcsin A＝×11×4×＝22.
△ABC
思维升华 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
命题点3 与平面几何有关的问题
例4 (2023·厦门模拟)如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b(1＋
cos C)＝csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为.
(1)求边c的长；
(2)若a＝5，延长CB至M，使得cos∠AMC＝，求BM.
解 (1)设△ABC的外接圆半径为R，由题意πR2＝，解得R＝.
由题意及正弦定理可得sin∠ABC(1＋cos C)
＝sin Csin∠ABC，
因为sin∠ABC≠0，所以1＋cos C＝sin C，
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即2sin＝1，
因为0<C<π，所以C－∈，故C－＝，即C＝.
故c＝2Rsin C＝2××＝7.
(2)因为a＝5，c＝7，C＝，故cos C＝＝，得b2－5b－24＝0，
解得b＝8(b＝－3舍去)．
在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ABC＝＝，
所以sin∠ABC＝.
由cos∠AMC＝得sin∠AMC＝.
故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC)
＝sin∠ABCcos∠AMC－cos∠ABCsin∠AMC＝，
在△ABM中，由正弦定理可得＝，则BM＝×＝5.
思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问
题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具
体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出
来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，下列四个命题中正确的是( )
A．若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
答案 BC
解析 对于A，若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三
角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin
A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
对于C，若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是
等边三角形，故C正确；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得
a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．
(2)在①b2＋ac＝a2＋c2；②cos B＝bcos A；③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个填在
下面的横线中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A＝，b＝，求△ABC的面
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积．
解 若选①，则由b2＋ac＝a2＋c2，
得ac＝a2＋c2－b2.
由余弦定理得cos B＝＝＝.
因为B∈(0，π)，
所以B＝.
由正弦定理得＝，
即＝，解得a＝.
因为C＝π－A－B＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝，
所以S ＝absin C＝×××＝.
△ABC
若选②，因为cos B＝bcos A，A＝，b＝，
所以cos B＝bcos A＝cos ＝.
因为B∈(0，π)，
所以B＝.
由正弦定理得＝，
即＝，解得a＝.
因为C＝π－A－B＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝，
所以S ＝absin C＝×××＝.
△ABC
若选③，则由sin B＋cos B＝，
得sin＝，
所以sin＝1.
因为B∈(0，π)，
所以B＋∈，
所以B＋＝，所以B＝.
由正弦定理得＝，
即＝，解得a＝.
因为C＝π－A－B＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝，
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所以S ＝absin C＝×××＝.
△ABC
(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在①c(sin A
－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)；②2bcos A＋a＝2c；③acsin B＝a2＋c2－b2三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并解答．
①若 ，求角B的大小；
②求sin A＋sin C的取值范围；
③如图所示，当sin A＋sin C取得最大值时，若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC
两侧)，使得线段DC＝2，DA＝1，求△BCD面积的最大值．
解 ①若选①，
因为c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)，
由正弦定理得c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，
整理得a2＋c2－b2＝ac，
所以cos B＝＝＝，
又0<B<π，所以B＝.
若选②，
因为2bcos A＋a＝2c，
由余弦定理得2b·＋a＝2c，
化简得，a2＋c2－b2＝ac，
所以cos B＝＝＝，
又0<B<π，所以B＝.
若选③，
因为acsin B＝a2＋c2－b2，
由余弦定理得acsin B＝2accos B，
化简得tan B＝，
又0<B<π，所以B＝.
②由①得，A＋C＝，
则0<A<，
sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin，
又<A＋<，
所以<sin≤1，
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则sin A＋sin C的取值范围是.
③当sin A＋sin C取得最大值时，A＋＝，
解得A＝，
又B＝，所以△ABC为等边三角形，
令∠ACD＝θ，∠ADC＝α，AB＝AC＝BC＝a，
则由正弦定理可得＝，
所以sin α＝asin θ.
又由余弦定理得，a2＝22＋12－2×2×1×cos α，
所以a2cos2θ＝a2－a2sin2θ＝cos2α－4cos α＋4，
所以acos θ＝2－cos α.
S ＝×a×2sin
△BCD
＝acos θ＋asin θ
＝(2－cos α)＋sin α
＝＋sin≤＋1，
当且仅当α＝∠ADC＝时等号成立，
所以△BCD面积的最大值为＋1.
课时精练
1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c等于( )
A. B. C．6 D．5
答案 B
解析 因为sin A＝6sin B，
则由正弦定理得a＝6b，
又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，
因为C＝60°，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
即c2＝62＋12－2×6×1×，
解得c＝.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin
C，a＝7，则△ABC外接圆的直径为( )
A．14 B．7 C. D.
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答案 D
解析 已知(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C，
由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，化简得b2＋c2－a2＝－bc，
所以cos A＝＝＝－，
又因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以sin A＝sin ＝，设△ABC外接圆的半径为R，
由正弦定理可得2R＝＝＝，
所以△ABC外接圆的直径为.
3．(2022·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若asin B＝bcos A，
且b＝2，c＝2，则a的值为( )
A．2 B．2
C．2－2 D．1
答案 B
解析 由已知及正弦定理得，sin Asin B＝sin Bcos A 且 sin B≠0，可得 tan A＝，又
0<A<π，
所以A＝，又b＝2，c＝2，
所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝16－12＝4，解得a＝2.
4．(2023·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，b＝1，
S ＝，则等于( )
△ABC
A. B. C. D．2
答案 A
解析 由三角形的面积公式可得S ＝bcsin A＝c＝，解得c＝4，
△ABC
由余弦定理可得a＝＝，
设△ABC的外接圆半径为r，由正弦定理得＝＝＝2r，
所以＝＝2r＝＝＝.
5．(2023·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B＋sin
C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C，sin A－2sin B＝0，则sin C等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 在△ABC中，由(sin B＋sin C)2＝sin2A＋(2－)sin Bsin C及正弦定理得(b＋c)2＝a2＋(2
－)bc，
即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理得cos A＝＝－，而0°<A<180°，解得A＝135°，
由sin A－2sin B＝0得sin B＝sin A＝，显然0°<B<90°，则B＝30°，C＝15°，
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所以sin C＝sin(60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝.
6．(2023·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos B(acos C
＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 ∵2cos B(acos C＋ccos A)＝b，
∴根据正弦定理得，
2cos B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin B，
∴2cos Bsin(A＋C)＝sin B，
∴2cos Bsin(π－B)＝sin B，
即2cos Bsin B＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，
∴cos B＝，∴B＝.
∵lg sin C＝lg 3－lg 2，
∴lg sin C＝lg ，∴sin C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝或，
∵B＝，∴C≠，∴C＝，
∴A＝B＝C＝，即△ABC为等边三角形．
7．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当
取得最小值时，BD＝ .
答案 －1
解析 设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋
4.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2
－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
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＝4－.
∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，
即k＝－1时等号成立)，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.
8．(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝
4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案
解析 ∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，sin Bsin C>0，
结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
∴sin A＝，∵b2＋c2－a2＝8，
结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得2bccos A＝8，
∴A为锐角，且cos A＝，从而求得bc＝，
∴△ABC的面积为S＝bcsin A＝××＝.
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝(2a－c)cos B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积．
解 (1)由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B，
∴sin A＝2sin Acos B，
又∵sin A≠0，∴cos B＝，
∵B为三角形内角，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
∴a＝，c＝2，
∴△ABC的面积为S＝acsin B＝××2×＝.
10．(2023·湖州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin＝asin B.
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
解 (1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B，
由正弦定理得sin Bcos A＝sin Asin B，
∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，即tan A＝，
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∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝
＝＝，
即b2＋c2－bc＝bc，
∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
又由(1)知A＝，
∴△ABC为等边三角形．
11．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是( )
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若A>B，则sin A>sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形
答案 ABD
解析 对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；
对于B，若A>B，则a>b，由正弦定理＝＝2R，得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B成立，
故B正确；
对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故C错误；
对于D，若sin2A＋sin2B<sin2C，则根据正弦定理得a2＋b2<c2，cos C＝<0，所以C为钝角，
所以△ABC是钝角三角形，故D正确．
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin Asin Bsin C＝，△ABC的面
积为2，则下列选项错误的是( )
A．abc＝16
B．若a＝，则A＝
C．△ABC外接圆的半径R＝2
D．2≥32sin C
答案 B
解析 由题可得absin C＝2，则sin C＝，
代入sin Asin Bsin C＝，
得＝，
即R2＝8，即R＝2，C正确；
abc＝8R3sin Asin Bsin C＝128×＝16，A正确；
若a＝，则sin A＝＝＝，此时A≠，B错误；
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因为sin A>0，sin B>0，
所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，
所以≥，
由sin Asin Bsin C＝，得＝32sin C，
所以≥32sin C，即2≥32sin C，D正确．
13．(2023·嘉兴模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，
c＝2，ab＝8，则a＋b的值是 ．
答案 6
解析 ∵csin A＝acos C，根据正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，
∵sin A≠0，故tan C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝，
再由余弦定理得cos C＝＝＝，
代入c＝2，ab＝8，得a＋b＝6.
14．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝ .
答案 9
解析 在△ABD中，结合余弦定理得cos∠ADB＝，
在△ACD中，结合余弦定理得cos∠ADC＝，
由题意知BD＝CD，∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
所以＋＝0，
即＋＝0，解得CD＝，
所以BC＝9.
15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积
S ＝，则下列命题正确的是( )
△ABC
A．△ABC的周长为5＋
B．△ABC的三个内角A，B，C满足关系A＋B＝2C
C．△ABC的外接圆半径为
D．△ABC的中线CD的长为
答案 ABD
解析 因为△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，
所以a∶b∶c＝2∶3∶，
设a＝2t，b＝3t，c＝t，t>0，
利用余弦定理cos C＝＝＝，
由于C∈(0，π)，所以C＝.
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对于A，因为S ＝，
△ABC
所以absin C＝·2t·3t·＝，解得t＝1.
所以a＝2，b＝3，c＝，
所以△ABC的周长为5＋，故A正确；
对于B，因为C＝，所以A＋B＝，故A＋B＝2C，故B正确；
对于C，利用正弦定理 ＝＝＝2R，解得R＝，所以△ABC的外接圆半径为，故C错误；
对于D，如图所示，
在△ABC中，利用正弦定理＝，解得sin A＝，
又a<c，所以cos A＝，
在△ACD中，利用余弦定理CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos A＝9＋－2×3××＝，
解得CD＝，故D正确．
16.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝
.若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝.则△BCE的面积为
．
答案 2
解析 在△ABC中，由余弦定理知cos B＝，而a2＋c2＝b2＋ac，
∴cos B＝，又0<B<π，则B＝，
在△BCE中，设∠CEB＝θ，则＝，可得CE＝，
又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠ECA＝∠EAC＝，
∴sin ＝＝，可得cos ＝，而0<θ<π，故＝，即θ＝.
∴CE＝2，BE＝2，故△BCE的面积为·CE·BE＝2.
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