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2024—2025 学年第一学期高一年段数学学科期中考
参考答案
一.单项选择题：(每小题5分，共40分）
题
1 2 3 4 5 6 7 8
号
答
D B A D C C D A
案
二.多项选择题：（全部选对得6分，部分选对得部分分，选错的得0分，共18分）
题
9 10 11
号
答
ABC ABD AD
案
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 . 13. 14.
四.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知全集 ，集合 ， ．
(1)若 ，求 ， ；
(2)若 ，求a的取值范围．
解：（1）当 时， ，则
或 ，-------3
因为 ，
所以 ；---------------------5（2）当 时， 成立，此时 ，
解得 ， ---------------------------------------------7
当 时，由 ，得 ，解得 ，---------------12
综上， . ----------------------------------------------------------13
16．（15分）已知 为定义在 上的奇函数，且当 时， .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 上的最小值.
解：（1）∵函数 是定义在 上的奇函数，
∴ ，且 ， --------------------------------2
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， -------------------------------------------4
∴ ， ----------------------------6
所以 . -----------------------------7
（2）依题意， ，
∴当 时， ， -----------------------9∵ ， ------------------------------11
所以：①当 时， ， ---------------13
②当 时， . --------------------15
17．（15分）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并
决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入
90元，设该公司一年内生产该设备（ ）万台且全部售完，每万台的销售收入
（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：
(1)写出年利润 （万元）关于年产量（ ）（万台）的函数解析式；（利润
=销售收入-成本）
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.
解：（1）解：由题意知，年利润 关于年产量的函数解析式为：
----------------5
--------------------7
（2）解：由（1）知，当 时，
， ----------------9
由基本不等式，可得 ， -----------------11当且仅当 时，即 时，等号成立， -----------------------------12
所以 ， ---------------------------------------14
所以，当年生产 万台时，年利润 取得最大值，最大利润为 万元.--------15
18．（17分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)判断函数 在 上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式
解：（1））函数 是定义在 上的奇函数，
，
解得： ， ------------------------------------------------2
∴ ，而 ，解得 ， --------------------------4
∴ ， . --------------------------5
（2）函数 在 上为减函数；证明如下：
任意 且 ， ---------------------------6
则 ， ----------------8因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ， -----------------------10
所以函数 在 上为减函数. --------------------------------11
（3）由题意，不等式 可化为 ， ----------------13
所以 ，解得 ， ------------------------------------16
所以该不等式的解集为 . --------------------------------17
19．（17分）高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重
要的课题.对于非空数集 ， ，定义 且 ，将 称为“
与 的笛卡尔积”
(1)若 ， ，求 和 ；
(2)证明：“ ”的充要条件是“ ”；
(3)若集合 是有限集，将集合 的元素个数记为 .记 ，
，满足 ，对， 恒成立，求的取值范围.解：（1）因为 ， ， 且 ，
所以 ， -----------------------------2
； ----------------------------------4
（2）若 ，设 ，
由定义可知： 且 ，
所以“ ”是“ ”的充分条件； ----------------------------6
若 ，对任意 ，均有 ，
即对任意 ，均有 ，
由任意性可知 ，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件； -----------------------------9
综上所述：“ ”是“ ”的充要条件.
------------------------------10
（3）依题意 ， ， ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号， -------------12
所以 ， ---------------------------------14又 ，对， 恒成立， -----------------------------16
所以 ，即的取值范围为 . -------------------------------------17
