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专题 11.10 三角形章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 利用三角形的中线求面积】......................................................................................................................1
【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】.............................................................................2
【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】.....................................................................................................3
【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】.............................................................................................4
【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】.................................................................................................6
【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】.....................................................................................................8
【题型7 多边形中的阅读理解类问题】................................................................................................................10
【题型8 与多边形内角和有关的角度探究问题】...............................................................................................13
【题型1 利用三角形的中线求面积】
【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，
CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（ ）
A．60 B．56 C．70 D．48
【变式1-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若
△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为 ．【变式1-2】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接
CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，
线段AC长度的最小值为 ．
【变式1-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）【问题情境】
苏科版数学课本八年级下册上有这样一道题：如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎
样的数量关系？
小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以
S =S ，于是S =2S ．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
△ABD △ACD △ABC △ABD
【深入探究】
（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．
①若AD是△ABC的中线，求证：S =S ；
△APB △APC
②若BD=3DC，则S :S =______．
△APB △APC
【拓展延伸】
（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．
①求证：S +S =2S ；
△HDG △FBE 四边形ABCD
②若S =3，则S =______．
四边形ABCD 四边形EFGH
【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】
【例2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，∠AOB<90°，点M在OB上，且OM=6，点M到
射线OA的距离为a，点P在射线OA上，MP=x．若△OMP的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围
是（ ）
A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6 D．x=6或x>a
【变式2-1】（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三
条高也为整数，那么它的长度最大值是
【变式2-2】（2023秋·安徽·八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，
则x的取值范围是（ ）
A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6
【变式2-3】（2023秋·浙江杭州·八年级期末）设a,b,c表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其
中a≤b≤c，若b=2020，则满足此条件的三角形共有 个．
【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】
【例3】（2023·八年级单元测试）如图，已知点O为ΔABC内任意一点.证明：
1
（1）OA+OB+OC> (AB+BC+AC).
2
（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.
（3）若A，B，C为三个城镇，AB+AC+BC=10 km，要在ΔABC内建造供水站O向三个城镇按如图路
线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|
+|﹣a﹣b﹣2c|．
【变式3-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，点P是△ABC内部一点，连接BP，并延长交AC于
点D．
(1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系；
(2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系；
(3)如图2，点D，E是△ABC内部两点，试探究AB+AC与BD+DE+CE的大小关系．
【变式3-3】（2023春·六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现
在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说
明理由
【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】
【例4】（2023春·江苏苏州·八年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，
CD平分∠ACB．
(1)若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；
(2)若∠A=α，直线MN经过点D．
①如图2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；
②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；
③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与
∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．
【变式4-1】（2023秋·河南漯河·八年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出
∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；
（2）如果图2中，∠D=40°,∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P
的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关
系（直接写出结论即可）．
【变式4-2】（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(
不与点O重合)．
(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时∠AEB=
°；
(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线
相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
【变式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上
运动（不与点O重合）．
(1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
①若∠BAO=60°，则∠D=______°；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．
3 3
(2)如图2，若∠OAD= ∠OAB，∠NBC= ∠NBA，则∠D=______°；
5 5
m m
(3)若将∠MON=90°改为∠MON=120°（如图3），∠OAD= ∠OAB，∠NBC= ∠NBA，其余
n n
条件不变，则∠D=______（用含m，n的代数式表示，其中m<n）．
【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】
【例5】（2023春·辽宁盘锦·八年级统考期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PMB=140°，
∠PND=120°，求∠MPN的度数；
（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F，则
∠MFN的度数为多少？请说明理由；
（3）问题拓展：如图3，AB∥CD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记∠PAB=α，∠PCD=β，请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．
【变式5-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点P在直线AB上，作
∠BPM=50°，交CD于点M，点F是直线CD上的一个动点，连接PF，PE⊥CD于点E，PN平分
∠MPF．
(1)若点F在点E左侧且∠PFM=32°，求∠NPE的度数；
(2)当点F在线段EM（不与点M，E重合）上时，设∠PFM=α°，直接写出∠NPE的度数（用含α的代
数式表示）；
(3)将射线PF从（1）中的位置开始以每秒10°的速度绕点P逆时针旋转至PM的位置，转动的时间为t秒，
求当t为何值时，△FPM为直角三角形．
【变式5-2】（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB
和CD之间，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．
（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；
（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全
图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，
交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________
（用含α的式子表示）．【变式5-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）已知MN∥PQ，点D是直线PQ上一定点．
(1)如图1，现有一块含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），将其点A
固定在直线MN上，并按图1位置摆放，使∠MAC=30°，点B恰好落在射线DE上，此时，
∠PDE=20°，求∠ABD的度数；
(2)现将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，转到与DQ重合时停止，三角板按
图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当DE与三角板的一边平行时，求t的值；
(3)若将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板ABC也从图1的
位置开始以每秒4度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，∠MAC的角平分线AH与∠PDE的角平
分线DF交于点O．
①如图2，当DF∥BC时，∠AOD=________度；
②如图3，当DF∥BA时，∠AOD=________度．
【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】
【例6】（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边
AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．(1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．
1
(2)当∠A′EB′= ∠B′EB时，设∠A′EB′=x．
3
①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．
②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．
【变式6-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）（1）如图1，将一张三角形纸片ABC沿着AD折叠，
使点C落在边AB上的C处，若∠CAB=70°，则∠CAD= ______°；
（2）如图2，将一张三角形纸片ABC沿着DE折叠(点D，E分别在边AB和AC上)，并使得点A和点A'重
合，若∠A=70°，则∠1+∠2= ______°；
（3）如图3，将长方形纸片沿着BC和BD折叠成如图所示的形状，BE和BI重合，
①∠CBD的度数是多少？请说明理由；
②如果∠IBD=58°17'，求∠ABC的度数．
【变式6-2】（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．
在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．(1)如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'=58°，则∠C=______，可以发现∠ADC'与∠C的数量关
系是 ；
(2)如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'=42°，∠ADC'=20°，求∠C的度数；
(3)如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y
之间的数量关系．
【变式6-3】（2023春·江苏·八年级统考期中）将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A'的位置，
折痕为DE．
(1)当点A落在四边形BCDE的外部A'的位置且A'与点C在直线AB的两侧．
①如图1，若∠C=90°，∠A=30°，求∠1-∠2的度数；
②如图2，请写出∠1、∠2和∠A的关系并证明；
1
(2)如图3，有一张三角形纸片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若点E是AB边上的固定点（AE< AB），
2
请在AC上找一点D，将纸片沿DE折叠，DE为折痕点A落在A'处，使A' D与三角形ABC的其中一边平
行，求∠AED的度数．
【题型7 多边形中的阅读理解类问题】
【例7】（2023·全国·八年级专题练习）阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做
对顶三角形．
解决问题：如图，△AOD与△BOC是对顶三角形．(1)试说明：∠DAO+∠D=∠OBC+∠C；
(2)试利用上述结论解决下列问题：若AP、BP分别平分∠DAC与∠DBC，∠C=m°，∠D=n°，
①求∠P的度数（用含m、n的代数式表示）；
②若AQ、BQ分别平分∠EAC与∠DBF，120°≤∠Q≤150°，求m+n的取值范围．
【变式7-1】（2023秋·山西大同·八年级统考期中）阅读材料：
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的
等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用
笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °．【变式7-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系
呢？
如图1，在五边形ABCDE中，∠1,∠2是它的两个外角，则∠1+∠2=∠A+∠B+∠C-180°．下面是
该结论的证明过程（部分）：
∵五边形的内角和为540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．
……
(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．
(2)知识应用：如图2，在五边形ABCDE中，EF,DF分别是∠DEH和∠EDG的平分线，若
∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度数；
2 2
(3)拓展提升：如图3，∠C=∠E=90°,∠ABH= ∠ABF,∠GFH= ∠BFG，∠H=140°，则
3 3
∠D=_______．
【变式7-3】（2023秋·山东青岛·八年级山东省青岛第二十六中学校联考期末）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间
的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角
∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α
和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角
∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
1 1
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之
3 3
间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写
出结论 ．
【题型8 与多边形内角和有关的角度探究问题】
【例8】（2023春·江苏·八年级期末）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明
∠ACD=∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与
它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究；
（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB______∠A+180°（选填
“>”“<”或“=”），并说明理由；
初步应用：
（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=135°，∠2=100°，则∠C=
______；（直接写出答案）
拓展延伸：
（3）如图4，在△ABC中，BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用
上面的结论直接写出答案：______；
解决问题：
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请利用上面的结论探究∠P
与∠A，∠D的数量关系．
【变式8-1】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之
和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出∠BCD与∠A、∠B之间的数量关系：______．
【探究】如图②，∠ADE是四边形ABCD的外角，求证：∠ADE=∠A+∠B+∠C-180°．
【结论】若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是______．
【变式8-2】（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考阶段练习）【探究】
（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=
______°；
（2）如图2，∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC=α，∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足
怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
（4）如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，交于点F，
那么∠F与α、β有怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC=α，点D在边AC所在直
线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E，BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．
(1)特例感悟：
如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F=30°．
解决问题：①∠ABC=_______°；
②求证：AC⊥AB；
(2)深入探究；如图2，当α<90°，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD=______；
(3)拓展延伸：当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
