文档内容
专题 11.10 三角形章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 利用三角形的中线求面积】......................................................................................................................1
【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】.............................................................................2
【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】.....................................................................................................3
【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】.............................................................................................4
【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】.................................................................................................6
【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】.....................................................................................................8
【题型7 多边形中的阅读理解类问题】................................................................................................................10
【题型8 与多边形内角和有关的角度探究问题】...............................................................................................13
【题型1 利用三角形的中线求面积】
【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，
CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（ ）
A．60 B．56 C．70 D．48
【变式1-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若
△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为 ．【变式1-2】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接
CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，
线段AC长度的最小值为 ．
【变式1-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）【问题情境】
苏科版数学课本八年级下册上有这样一道题：如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎
样的数量关系？
小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以
S =S ，于是S =2S ．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
△ABD △ACD △ABC △ABD
【深入探究】
（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．
①若AD是△ABC的中线，求证：S =S ；
△APB △APC
②若BD=3DC，则S :S =______．
△APB △APC
【拓展延伸】
（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．
①求证：S +S =2S ；
△HDG △FBE 四边形ABCD
②若S =3，则S =______．
四边形ABCD 四边形EFGH
【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】
【例2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，∠AOB<90°，点M在OB上，且OM=6，点M到
射线OA的距离为a，点P在射线OA上，MP=x．若△OMP的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围
是（ ）
A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6 D．x=6或x>a
【变式2-1】（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三
条高也为整数，那么它的长度最大值是
【变式2-2】（2023秋·安徽·八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，
则x的取值范围是（ ）
A．x>5 B．x<7 C．2 (AB+BC+AC).
2
（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.
（3）若A，B，C为三个城镇，AB+AC+BC=10 km，要在ΔABC内建造供水站O向三个城镇按如图路
线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|
+|﹣a﹣b﹣2c|．
【变式3-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，点P是△ABC内部一点，连接BP，并延长交AC于
点D．
(1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系；
(2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系；
(3)如图2，点D，E是△ABC内部两点，试探究AB+AC与BD+DE+CE的大小关系．
【变式3-3】（2023春·六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现
在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说
明理由
【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】
【例4】（2023春·江苏苏州·八年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，
CD平分∠ACB．
(1)若∠A=60°，则∠BDC的度数为_________；
(2)若∠A=α，直线MN经过点D．
①如图2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；
②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC-∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；
③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与
∠MDB的关系（用含α的代数式表示）．
【变式4-1】（2023秋·河南漯河·八年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出
∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；
（2）如果图2中，∠D=40°,∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的角平分线，试求∠P
的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关
系（直接写出结论即可）．
【变式4-2】（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(
不与点O重合)．
(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时∠AEB=
°；
(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线
相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
【变式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上
运动（不与点O重合）．
(1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
①若∠BAO=60°，则∠D=______°；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由．
3 3
(2)如图2，若∠OAD= ∠OAB，∠NBC= ∠NBA，则∠D=______°；
5 5
m m
(3)若将∠MON=90°改为∠MON=120°（如图3），∠OAD= ∠OAB，∠NBC= ∠NBA，其余
n n
条件不变，则∠D=______（用含m，n的代数式表示，其中m”“<”或“=”），并说明理由；
初步应用：
（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=135°，∠2=100°，则∠C=
______；（直接写出答案）
拓展延伸：
（3）如图4，在△ABC中，BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用
上面的结论直接写出答案：______；
解决问题：
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请利用上面的结论探究∠P
与∠A，∠D的数量关系．
【变式8-1】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之
和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出∠BCD与∠A、∠B之间的数量关系：______．
【探究】如图②，∠ADE是四边形ABCD的外角，求证：∠ADE=∠A+∠B+∠C-180°．
【结论】若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的内角之和为y°，则x，y与n的数量关系是______．
【变式8-2】（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考阶段练习）【探究】
（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=
______°；
（2）如图2，∠ADC=α，∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC=α，∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足
怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
（4）如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，交于点F，
那么∠F与α、β有怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）如图1至图2，在△ABC中，∠BAC=α，点D在边AC所在直
线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E，BM为△ABC的角平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．
(1)特例感悟：
如图1，延长AB交DG于点F，若BM∥DG，∠F=30°．
解决问题：①∠ABC=_______°；
②求证：AC⊥AB；
(2)深入探究；如图2，当α<90°，DG与BM反向延长线交于点H，用含α的代数式表示∠BHD=______；
(3)拓展延伸：当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
