专题 19.8 一次函数全章专项复习【3 大考点 12 种题型】
【人教版】
【考点1 函数】..........................................................................................................................................................1
【题型1 函数的概念】..............................................................................................................................................1
【题型2 函数值及自变量的取值范围】..................................................................................................................4
【题型3 函数的表示方法】......................................................................................................................................5
【题型4 识图并分析图象信息】..............................................................................................................................7
【考点2 一次函数】................................................................................................................................................11
【题型5 正比例函数的图象与性质】....................................................................................................................12
【题型6 一次函数的图象与性质】........................................................................................................................14
【题型7 求一次函数的解析式】............................................................................................................................17
【题型8 一次函数与方程、不等式的关系】.......................................................................................................20
【题型9 一次函数图象的平移问题】....................................................................................................................23
【考点3 一次函数的应用】....................................................................................................................................25
【题型10 利用一次函数的性质解决分配方案问题】...........................................................................................25
【题型11 利用一次函数的性质解决最大利润问题】...........................................................................................29
【题型12 一次函数图象的应用】............................................................................................................................34
【考点1 函数】
1.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
2、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
3.函数有三种表示形式：
（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
【题型1 函数的概念】
【例1】（24-25八年级·北京东城·期中）如图，是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示
心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，y （填“是”或“不是” )x的函数．【答案】是
【分析】根据函数的定义判断即可．
【详解】解：∵两个变量x和y，变量y随x的变化而变化，
且对于每一个x，y都有唯一值与之对应，
∴y是x的函数．
故答案为：是．
【点睛】本题考查了函数的理解即两个变量x和y，变量y随x的变化而变化，
且对于每一个x，y都有唯一值与之对应,正确理解定义是解题的关键．
【变式1-1】（24-25八年级·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键．根据函数的定
义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数．
【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意；
B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意；
C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意；D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（24-25八年级·河南许昌·期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y=❑√x+1 B．y2=2x C．y=x D．y=x2−2
【答案】B
【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，即可得出
答案．
【详解】解：A、y=❑√x+1对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，是函数但不符合题意；
B、y2=2x对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义，不是函数符合题意；
C、y=x对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，是函数但不符合题意；
D、y=x2−2对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，是函数但不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数的概念．函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一
个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式1-3】（24-25八年级·广西河池·期末）下列变量之间是函数关系的有（ ）
①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】①正方形的周长C与边长a，由正方形的周长公式列出关系式C=4a；
②矩形的周长C与宽a，由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量；
③圆的面积S与半径R，由圆的面积公式列出关系式S=πR2；
④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义判定．
【详解】解：①由正方形的周长公式列出关系式C=4a，其中a，C是变量，4是常量， C与是a的函数；
②由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量，所以C与a不是函数关系；
③由圆的面积公式列出关系式S=πR2，其中R，S是变量， S是R的函数；
④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义可得，y是x函数．
综上所述，是函数的有3个．
故选B．
【点睛】主要考查函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握函数的定义.
【题型2 函数值及自变量的取值范围】
【例2】（2024八年级·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为−1和7时，输出y的值相等，则b的值是（ ）
A．−4 B．−2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了程序框图，一次函数的函数值．理解程序框图的运算规则是解题的关键．
当x=−1时，y=−3+b；当x=7时，y=−1；由题意得，−3+b=−1，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，当x=−1时，y=3x+b=3×(−1)+b=−3+b；
当x=7时，y=6−x=6−7=−1．
由题意得，−3+b=−1，
解得b=2．
故选：D．
【变式2-1】（24-25八年级·上海·阶段练习）已知二次函数f (x)=ax2−6ax+c，如果f (1)=5那么f (5)=
．
【答案】5
【分析】本题考查求函数的函数值，先把x=1代入可得到c=5+5a，然后代入x=5解题即可．
【详解】解：当x=1时，a−6a+c=5，解得c=5+5a，
∴当x=5时，25a−30a+c=25a−30a+5+5a=5，
故答案为：5．
【变式2-2】（24-25八年级·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千
米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x
的关系式为（写出自变量取值范围） ．
【答案】y=−0.08x+56(0≤x≤700)
【分析】本题考查函数关系式，根据“油箱内剩油量=油箱内原有油量−耗油量”写出y与x的关系式，将
y=0代入y与x的关系式，求出x的最大值，从而写出x的取值范围．
【详解】解：根据题意，得y=56−0.08x=−0.08x+56，
当y=0时，得−0.08x+56=0，解得x=700，
∴0≤x≤700，
∴y与x的关系式为y=−0.08x+56(0≤x≤700)．
故答案为：y=−0.08x+56(0≤x≤700)．【变式2-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab−2
，在函数y=x⊗(−1)的图象上的点是（ ）
A．(2,3) B．(1,0) C．(−1,3) D．(−2,4)
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，函数图象上的点与图象的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据新定义求得y=x⊗(−1)=x2−x−2，分别计算验证即可．
【详解】解：由题意得，y=x⊗(−1)=x2−x−2，
A、x=2时，y=4−2−2=0≠3，故(2,3)不在图象上，故本选项不符合题意；
B、x=1时，y=1−1−2=−2≠0，故(1,0)不在图象上，故本选项不符合题意；
C、x=−1时，y=1+1−2=0≠3，故(−1,3)不在图象上，故本选项不符合题意；
D、x=−2时，y=4+2−2=4=4，故(−2,4)在图象上，故本选项符合题意，
故选：D．
【题型3 函数的表示方法】
【例3】（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温
度关系的一些数据如下：
温度（℃） −20 −10 0 10 20 30
声速（m/s
318 324 330 336 342 348
）
根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s
D．当空气温度为40℃时，声音10s可以传播354m
【答案】D
【分析】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义即可判断A；通过观察表格
数据即可判断BC；根据C计算出空气温度为40℃的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D；掌握自变量
与函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵声速随温度的变化而变化，
∴自变量是温度，声速是温度的函数，故A正确，不符合题意；
从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故B正确，不符合题意；
从数据可知，温度每升高10℃，声速就增加6m/s，故 C正确，不符合题意；由C可知，当空气温度为40℃时，声速为348+6=354(m/s)，即当空气温度为40℃时，声音每秒可以
传播354m，故D错误，符合题意；
故选：D．
【变式3-1】（24-25八年级·陕西西安·期末）在关系式y=3x−5中，下列说法：① x、y都是变量，3、
−5都是常量；② y的值随x的值变化而变化；③ y是变量，它的值可以与x无关；④ y与x的关系不能
用表格表示；⑤ y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤
【答案】A
【分析】本题考查了函数的有关概念，根据函数的概念逐一判断即可，正确理解函数的概念是解题的关
键．
【详解】① x是自变量，y是因变量，故该说法正确；
② y值随x值的变化而变化，故该说法正确；
③ y是变量，随x值的变化而变化，故该说法错误；
④用关系式表示的可以用表格表示，故该说法错误；
⑤ y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，故该说法正确，
综上所述：①②⑤正确，③④错误，
故选：A．
【变式3-2】（24-25八年级·河北邢台·阶段练习）如图1，一种圆环的外圆的直径是8cm，环宽1cm．如图
2，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y cm，则y与x之间的关系式是 ．
【答案】y=6x+2．
【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度和把x个这样的圆环扣在
一起并拉紧的长度．
【详解】：由题意可得，
把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8-1-1）=14cm，
把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y=8+（8-1-1）（x-1）=6x+2，
故答案为：y=6x+2．【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）某地的温度T(℃)与海拔高度h(km)之间的关系如下所示：
要算出海拔高度为6km时该地的温度，适宜用第 种形式．
【答案】三
【分析】当h=6时，直接代入关系式中求值最简单.
【详解】用第三种形式，将h=6代入解析式，即可计算出T.
故答案为三
【点睛】本题考查的是函数的三种表示方法，了解各个表示方法的特点是关键.
【题型4 识图并分析图象信息】
【例4】（24-25八年级·贵州贵阳·期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游
玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度
行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区
出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减
少，可得答案．
【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐
减少，故A符合题意；
B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意；C．参观时路程不变，故C不符合题意；
D．返回时路程逐渐减少，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行
驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少．
【变式4-1】（24-25八年级·云南昆明·阶段练习）匀速地向如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在
注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题首先要弄清横、纵坐标所代表的意义，然后要考虑到上中下三个圆柱的底面积不同，所以水
面升高的速度也不同；可依据上面的两点来判断各项的对错．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要
的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【详解】解：由题意知：纵坐标表示的是水面的高度，横坐标表示的时间；整个注水过程大致可分为三个
阶段：①向容器最下面的圆柱体中注水时，由于注水速度不变，水面逐渐升高，且此段函数是一次函数，
排除A和B；
②向容器中间的圆柱体中注水时，由于大圆柱体的底面积大于中间圆柱体的底面积，因此水位上升的幅度会增大，可排除B；
③向容器最上面的小圆柱体中注水时，由于最小圆柱体的底面积小于中间圆柱体的底面积，因此水面上升
的幅度会加大，
综上可知，D符合题意．
故选：D．
【变式4-2】（24-25八年级·云南昆明·期末）如图，一铁块完全浸入水中，小明匀速向上将铁块提起，直
至铁块完全露出水面一定高度．下图能反映此过程中液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大
致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情
况，进而得到整体的变化情况．不一定要通过求解析式来解决．
根据题意，在实验中有3个阶段：（1）铁块在液面以下，（2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出
时，（3）铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．
【详解】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
（1）铁块在液面以下，液面的高度不变；
（2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
（3）铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
即B符合描述；
故选：B．
【变式4-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活
动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，
AP=CQ，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为P→A→D→C→Q和Q→C→B→A→P．
若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查动点函数图象．设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AP+CQ+2R，之
后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A
移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，当机器人分别沿C→Q和A→P移动时，此时两个机器
人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从P，Q两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是AP+CQ+2R，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，保持不
变，
当机器人分别沿C→Q和A→P移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B，故选：D．
【考点2 一次函数】
1.正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
2.正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
3.一次函数的图象与性质：
一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ]
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数
概念 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图像 一条直线
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
性质 k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
直线y=kx+b （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
（k≠0）的位置与 （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
k、b符号之间的关（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
系. （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数
一次函数表达式的
y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
确定
4.一次函数与一元一次方程：
x为何值时函数y= ax+b的值为0．
从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，
从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
5.一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．
从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射
线）所对应的的横坐标的取值范围．
【题型5 正比例函数的图象与性质】
【例5】（24-25八年级·福建泉州·期末）已知A(n,n+1)、B(n−1,n+4)、C(m,t)是正比例函数y=kx
图象上的三个点，当m>3时，t的取值范围是 ．
【答案】t<−9
【分析】根据A,B 两点在y=kx 上求出k得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．n+1=kn
【详解】将点A 与点B 代入y=kx ，得：{ ，
n+4=k（n−1）
两式相减，得：k=−3 ，
∴y=−3x，
∴ y随x的增大而减小，
当m=3 时，t=−3×3=−9，
∴ 当m＞3时，t＜-9，
故答案为：t＜-9.
【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等
题．
【变式5-1】（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列关于正比例函数y=−2x的结论中，正
确的是（ ）
A．当x=1时，函数值为2 B．y随x的增大而增大
C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点(m+1,−2m)
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质以及图象逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 当x=1时，函数值为−2，故该选项不正确，不符合题意；
B. y随x的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. 它的图象经过二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当x=m+1时，y=−2m−2，则它的图象一定不经过点(m+1,−2m)，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系
中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直
线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有两个公共点，则k的取值范围是 ．1
【答案】 <k<2
2
【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围．
本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标．
【详解】解：由题意得：点A的坐标为(1,2)，点C的坐标为(2,1)，
当正比例函数y=kx(k≠0)经过点A时，k=2，
当经过点C时，2k=1，
1
解得k= ，
2
∵直线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有两个公共点，
1
∴k的取值范围是 <k<2，
2
1
故答案为： <k<2．
2
【变式5-3】（24-25八年级·陕西宝鸡·期末）如图，点B在直线y=2x上，过点B作BA⊥x轴于点A，作
BC∥x轴与直线y=kx(k≠0)交于点C，若AB:BC=1:2，则k的值是（ ）
2 2 1 2
A． B． C． D．
7 3 3 5
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设OA=a，得出AB=2a，结合AB:BC=1:2得出
BC=4a，从而得出C(5a，2a)，代入y=kx(k≠0)，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性
质是解此题的关键．
【详解】解：设OA=a，
∵点B在直线y=2x上，
∴y=2a，
∴AB=2a，
∵AB:BC=1:2，∴BC=4a，
∵BC∥x，
∴C(5a，2a)，
∵点C在y=kx(k≠0)上，
∴5a=2ak，
2
∴k= ，
5
故选：D．
【题型6 一次函数的图象与性质】
【例6】（24-25八年级·四川成都·开学考试）已知一次函数y =ax+b和y =bx+a (ab≠0且a≠b)，这两
1 2
个函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确理解一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】当a>0，b>0时，一次函数y =ax+b的图象经过第一、二、三象限，y =bx+a的图象经过第
1 2
一、二、三象限，故选项A错误，选项B错误，选项D正确；
当a<0，b>0时，一次函数y =ax+b的图象经过第一、二、四象限，y =bx+a的图象经过第一、三、四
1 2
象限，故选项C错误；
故选D．
【变式6-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）在一次函数y=kx+5中，若y随x的增大而增大，则它的图象不
经过第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由y随x的增大而增大可得k>0，进而由k>0，b=5>0可得
一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关
键．
【详解】解：∵一次函数y=kx+5中，y随x的增大而增大，
∴k>0，
∵k>0，b=5>0，∴一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
【变式6-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）当k= 时，函数y=(k+1)x2−|k)+4是一次函数．已知点
(−4,y )，(2,y )都在这个一次函数图像上，则y ，y 的大小关系是 ．
1 2 1 2
【答案】 1 y <y /y >y
1 2 2 1
【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据一次函数定义可得2−|k)=1，且k+1≠0，再解即可；
（2）根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）由题意得：2−|k)=1，且k+1≠0，
由2−|k)=1可得k=±1，
由k+1≠0可得k≠−1，
由此可得：k=1，
（2）∵一次函数y=2x+4的k=2，
∴ y随x的增大而增大，
∵−4<2，
∴y <y ．
1 2
故答案为：1；y <y ．
1 2
【变式6-3】（2024·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1与x、y轴分别交
于点A、B，在直线AB上截取BB =AB，过点B 分别作y轴的垂线，垂足为点C ，得到△BB C ；在直
1 1 1 1 1
线AB上截取B B =BB ，过点B 分别作y轴的垂线，垂足为点C ，得到△BB C ；在直线直线AB上被
1 2 1 2 2 2 2
取B B =B B ，过点B 作y轴的垂线，垂足为点C ，得到△BB C ；…；以此类推，第n个△BB C 的
2 3 1 2 3 3 3 3 n n
面积是 （用含n的式子表示，n是正整数）1
【答案】
n2
2
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先求出A、B两点的坐标，再设设B (a,a+1)，
1
B (b,b+1)，B (c,c+1)，再求出a、b、c的值，利用三角形的面积公式得出其面积，找出规律即可．
2 3
【详解】解：∵一次函数y=x+1与x、y 轴分别交于点A、B，
∴A(−1,0)，B(0,1)，
∴AB2=12+(−1) 2=2，
设B (a,a+1)，B (b,b+1)，B (c,c+1)，
1 2 3
∵BB =AB，
1
∴a2+(a+1−1) 2=2，
解得∶a =1，a =−1（舍去），
1 2
∴B (1,2)，
1
同理可得，B (2,3)，B (3,4)，
2 3
1 1 1 1 1
∴S = ×1×(2−1)= ×12= ，S = ×2×(3−1)= ×22=2，
△BB 1 C 1 2 2 2 △BB 2 C 2 2 2
1 1 9
S = ×3×(4−1)= ×32=
△BB 3 C 3 2 2 2
1
∴S = n2 ．
△BB n C n 2
1
故答案为：
n2
2【题型7 求一次函数的解析式】
【例7】（24-25八年级·四川南充·期末）直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，−2)，点C
在直线AB上，且S =2，则点C的坐标是（ ）
△BOC
A．(−2，−2) B．(−2，−6)
C．(2，2) D．(2，2)或(−2，−6)
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键
1
待定系数法求直线AB的解析式为y=2x−2，设点C的坐标为(m，2m−2)，依题意得 ×2×|m)=2，计
2
算求解，然后作答即可．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
{k+b=0)
将A(1，0)，B(0，−2)代入得， ，
b=−2
{ k=2 )
解得， ，
b=−2
∴直线AB的解析式为y=2x−2，
设点C的坐标为(m，2m−2)，
∵S =2，
△BOC
1
∴ ×2×|m)=2，
2
解得，m=2或m=−2，
当m=2时，2m−2=2，即C(2，2)，
当m=−2时，2m−2=−6，即C(−2，−6)，
故选：D．
【变式7-1】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10与y轴交于点
A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点C(−2,8)，且与x轴交于点D．
(1)求直线AD的解析式；(2)求△ABD的面积．
【答案】(1)y=x+10
(2)75
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答
本题的关键是明确题意，用数形结合的思想解答．
（1）先直线AB的解析式求出A点坐标，再根据点A与点C的坐标即可求得直线AD的解析式；
（2）根据直线AB的解析式求得点B的坐标，根据直线AD的解析式求得点D的坐标，再根据点A的坐标
即可求得△ABD的面积．
【详解】（1）∵直线y=−2x+10与y轴交于点A，
当x=0时，y=10，
∴A(0，10)．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵直线AD过A(0，10)，C(−2,8)，
{ b=10 )
∴ ，
−2k+b=8
{k=1
)
解得
b=10
∴直线AD的解析式为y=x+10；
（2）∵直线y=−2x+10与x轴交于点B，
当y=0时，x=5，
∴B(5，0)，
∵直线AD与x交于点D，
当y=0时，x=−10，
∴D(−10，0)，
∴BD=15，
∵A(0，10)，
1 1
∴△ABD的面积= BD⋅OA= ×15×10=75．
2 2
【变式7-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）不论m取何值，点P(2m−1,−m+6)都在某一条直线上，则
这条直线的解析式为 ．1 11
【答案】y=− x+
2 2
【分析】本题考查求一次函数解析式，设x=2m−1，y=−m+6，根据点坐标中横纵坐标的关系求解即可
求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵P(2m−1,−m+6)，
∴设x=2m−1，y=−m+6，
x+1
由x=2m−1得，m= ，
2
x+1 1 11
∴y=− +6=− x+ ，
2 2 2
即不论m取何值，点P(2m−1,−m+6)都在某一条直线上，
1 11
故答案为：y=− x+ ．
2 2
【变式7-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，已知点A(3,−2b)在直线y=2x+b上，B点坐标为
(0,2)，若点C在x轴上，且点C到A，B两点距离和最短，则点C的坐标为 ．
(1 )
【答案】 ,0
3
【分析】本题考查了轴对称的性质，求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的
方法和步骤，以及利用轴对称的性质，确定点C的位置．
作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点C，先把A(3,−2b)代入y=2x+b，求出b的值，得出
点A的坐标，再得出点A′的坐标，用待定系数法求出BA′的函数解析式为y=−6x+2，即可求出点C的坐
标．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点C，
把A(3,−2b)代入y=2x+b得−2b=2×3+b，
解得：b=−2，
∴A(3,4)，
∴A′(3,−4)，设BA′的函数解析式为y=kx+b，
把B(0,2)，A′(3,−4)代入得： { b=2 ) ，
2k+b=−4
{k=−6)
解得： ，
b=2
∴BA′的函数解析式为y=−6x+2，
把y=0代入得：0=−6x+2，
1
解得：x= ，
3
(1 )
∴C ,0 ，
3
(1 )
故答案为： ,0 ．
3
【题型8 一次函数与方程、不等式的关系】
1
【例8】（24-25八年级·四川成都·期末）在直角坐标系中，函数y = x+1的图象如图所示，当x>−2
1 2
1
时，对于x的每一个值，函数y =x+m的值总大于函数y = x+1的值，则m的取值范围为 ．
2 1 2
【答案】m≥2/2≤m
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
根据题意可得出，当x=−2时函数y 的函数值不小于函数y 的函数值，据此可解决问题．
2 11
【详解】解：因为当x>−2时，对于x的每一个值，函数y =x+m的值总大于函数y = x+1的值，
2 1 2
1
所以−2+m≥ ×(−2)+1，
2
解得m≥2．
故答案为：m≥2．
【变式8-1】（24-25八年级·全国·单元测试）如图，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(3,0)，与函数
y=2x的图象交于点A，则关于x的方程kx+b=2x的解为（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3
【答案】B
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于x的方程kx+b=2x
的解．
【详解】解：当y=2时，2x=2，解得x=1，则A(1,2)，
∴当x=1时，y=kx+b=2x=2，
∴关于x的方程kx+b=2x的解为x=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键．
【变式8-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）已知函数y=−2x+6与函数y=3x−4．
(1)在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象；
(2)求这两个函数图象的交点坐标；
(3)根据图象回答，当x在什么范围内取值时，函数y=−2x+6的图象在函数y=3x−4的图象下方？
【答案】(1)见解析
(2)(2,2)
(3)x>2【分析】本题主要考查了一次函数的图象的画法及位置关系，难度不大．
（1）可用两点法来画函数y=−2x+6与函数y=3x−4的图象；
{y=−2x+6)
（2）两函数相交，那么交点的坐标就是方程组 的解；
y=3x−4
（3）由函数图象可得出函数y=−2x+6的图象在函数y=3x−4的图象的下方，x的取值范围．
【详解】（1）函数y=−2x+6与坐标轴的交点为(0,6)，(3,0)
4
函数y=3x−4与坐标轴的交点为(0,−4)，( ，0)
3
作图为：
（2）解：根据题意得
{y=−2x+6)
方程组
y=3x−4
{x=2)
解得
y=2
即交点的坐标是(2,2)
∴两个函数图象的交点坐标为(2,2)
（3）由图像知，当x>2时，函数y=−2x+6的图像在函数y=3x−4的图像下方．
【变式8-3】（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,2)
，则不等式0<ax+4≤2x的解集为 ．【答案】1≤x<2/2>x≥1
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的图象与一元一次不等式的关系，利用数形结
合思想解答是解题的关键．先求出点A(1,2)，可得一次函数解析式为y=−2x+4，进而得到直线
y=−2x+4与x轴交于点(2,0)，然后观察图象可得当1≤x<2时，直线y=−2x+4位于x轴上方，且位于
直线y=2x的下方，或两直线相交，即可求解．
【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,2)，
∴2=2m，解得：m=1，
∴点A(1,2)，
把点A(1,2)代入y=ax+4得：2=a+4，
解得：a=−2，
∴一次函数解析式为y=−2x+4，
当y=0时，x=2，
∴直线y=−2x+4与x轴交于点(2,0)，
观察图象得：当1≤x<2时，直线y=−2x+4位于x轴上方，且位于直线y=2x的下方或两直线相交，
∴不等式0<ax+4≤2x的解集为1≤x<2．
故答案为：1≤x<2．
【题型9 一次函数图象的平移问题】
【例9】（2024·陕西咸阳·三模）将直线l :y=2x−4向左平移m个单位长度后得到直线l ，若直线l 与y轴
1 2 2
交点的纵坐标等于直线l 与x轴交点的横坐标，则m的值为（ ）
1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知函数图象平移的法则是解答
此题的关键．根据“左加右减”的原则得到直线l 的解析式，再根据解析式分别求出直线l 与y轴交点的纵
2 2
坐标和直线l 与x轴交点的横坐标，列方程求出m的值．
1
【详解】解：∵直线l :y=2x−4向左平移m个单位长度后得到直线l ，
1 2
∴直线l :y=2(x+m)−4，即y=2x+2m−4，
2∴直线l 与y轴交点的纵坐标为2m−4，
2
∵直线l :y=2x−4与x轴交点的横坐标为2，
1
∴依题意有2m−4=2，
∴m=3．
故选：C．
【变式9-1】（24-25八年级·河北邢台·期末）将直线y=mx+2向右平移4个单位，平移后的直线经过点
(3,−4)，则m=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．−6
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，根据图象平移的规律“左加右
减”得出平移后的解析式，再将坐标(3,−4)代入求解即可，熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下
减”是解题的关键．
【详解】∵将直线y=mx+2向右平移4个单位后的解析式为y=m(x−4)+2，
∴将点(3,−4)代入y=m(x−4)+2，得−4=(3−4)m+2，
解得：m=6，
故选：C．
【变式9-2】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线l ：y=kx+b(k≠0)与直线l ：
1 2
y=−2x平行，且l 经过点(3，2)，则k+b的值为（ ）
1
A．6 B．2 C．−2 D．−6
【答案】A
【分析】根据直线l ：y=kx+b(k≠0)与直线l ：y=−2x平行，得y=−2x+b，k=−2；把(3，2)代入
1 2
y=−2x+b得2=−6+b，解得b=8，计算k+b=−2+8=6，解答即可．
本题考查了一次函数平行的条件，待定系数法，熟练掌握条件和待定系数法是解题的关键．
【详解】根据直线l ：y=kx+b(k≠0)与直线l ：y=−2x平行，
1 2
得y=−2x+b，k=−2；
把(3，2)代入y=−2x+b
得2=−6+b，
解得b=8，
故k+b=−2+8=6，
故选A．
【变式9-3】（24-25八年级·广东惠州·期末）已知点A(−2,4)，B(1,2)，将直线y=x沿y轴向上平移b(b>0)个单位长度后，与线段AB有交点，则b的取值范围是 ．
【答案】1≤b≤6
【分析】本题考查了一次函数的平移和性质，设平移后直线的解析式为y=x+b，分别把A(−2,4)，
B(1,2)代入解析式求出b的值，即可得到b的取范围，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：设平移后直线的解析式为y=x+b，
当直线经过点A(−2,4)时，4=−2+b，
解得b=6；
当直线经过点B(1,2)时，2=1+b，
解得b=1；
∴将直线y=x沿y轴向上平移b(b>0)个单位长度后，与线段AB有交点，b的取范围为1≤b≤6，
故答案为：1≤b≤6．
【考点3 一次函数的应用】
【题型10 利用一次函数的性质解决分配方案问题】
【例10】（24-25八年级·安徽·期末）某超市需每天从外地调运鸡蛋600千克，超市决定从甲、乙两大型养
殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克，从甲、乙两
养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：
运费（元/千克⋅千
到超市的路程（千米）
米）
甲养殖
90 0.05
场
乙养殖
40 0.03
场
设从甲养殖场调运鸡蛋x千克，总运费为W元．
(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式
表示为__________；
(2)求出W与x的函数关系式；
(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？【答案】(1)4.5x元，(600−x)千克
(2)W =3.3x+720
(3)从甲养殖场调运150斤鸡蛋，从乙养殖场调运450斤鸡蛋
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答．
（1）根据题意直接得出结论；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到W与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和x的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能
使每天的总运费最省．
【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋x千克，则从乙养殖场调运鸡蛋(600−x)千克，
则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：90x×0.05=4.5x，
故答案为：4.5x元，(600−x)千克；
（2）解：根据题意得：W =4.5x+(600−x)×40×0.03=4.5x+720−1.2x=3.3x+720，
∴W与x的函数关系式为：W =3.3x+720；
（3）解：由（2）知，W =3.3x+720，
∵3.3>0，
∴W随x的增大而增大，
∵0<x≤400，0<600−x≤450，
∴150≤x≤400，
∴当x=150时，W取得最小值，
此时600−x=600−150=450，
答：当从甲养殖场调运150斤鸡蛋，从乙养殖场调运450斤鸡蛋时，每天的总运费最省．
【变式10-1】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）学校在“体育节”期间举行羽毛球比赛，需要购买羽毛球及
球拍．经了解甲，乙两个商场均对同一品牌的羽毛球用品春季促销．其中甲商场的羽毛球拍打九折，羽毛
球打八折；乙商场开展买一赠一优惠：即买一副球拍送一盒羽毛球．已知羽毛球每盒25元，球拍每副90
元，若学校打算购买羽毛球拍10副，羽毛球若干，学校去哪家商场购买比较合算．
【答案】当购买羽毛球大于32盒时，选择甲商场比较合算；当购买羽毛球等于32盒时，两个商场都一
样；当购买羽毛球小于32盒时，选择乙商场比较合算
【分析】此题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，
设购买羽毛球x盒，总价格为y元，根据题意表示出y =20x+810，y =25x+650，然后分3种情况即
甲 乙可求解．
【详解】解：设购买羽毛球x盒，总价格为y元，则
y =90×0.9×10+25×0.8⋅x=20x+810
甲
y =90×10+25(x−10)=25x+650
乙
若25x+650>20x+810，
解得x>32
∴当x>32时，选择甲商场比较合算；
当x=32时，两个商场都一样；
当x<32时，选择乙商场比较合算．
【变式10-2】（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·期末）A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把
这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下
表：
两乡
C/（元/吨） D/（元/吨）
两城
A 20 24
B 15 17
设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为y 元，从B城运往两乡的总运费为y 元．
1 2
(1)分别直接写出y ，y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
1 2
(2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？
并求出最小值．
【答案】(1)y =−4x+4800，y =2x+4620；
1 2
(2)调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料
到D城，最小费用为9120元．
【分析】（1）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为(200−x)吨； B
城运往C、D乡的肥料量分别为(240−x)吨和(60+x)吨，然后根据题意写出y ,y 与x之间的函数关系
1 2
式；
（2）先根据A城运往两乡的总运费不低于4200元求出x的取值范围，再根据总费用 = y + y 列出函数解
1 2
析式，由函数的性质求最小值；
本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
【详解】（1）解：A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为(200−x)吨； B城运往C、D乡的肥料量分别为(240−x)吨和260−(200−x)]=(60+x)吨，
∴y =20x+24(200−x)=−4x+4800，
1
y =15(240−x)+17(60+x)=2x+4620，
2
∴y 与x之间的函数关系式为：y =−4x+4800，
1 1
y 与x之间的函数关系式为： y =2x+4620；
2 2
（2）解：依题意，−4x+4800≥4200,
解得：x≤150，
设两城总费用和为w元，则
w=−4x+4800+2x+4620=−2x+9420，
∵k=−2<0,
∴w随着x的增大而减小，
∵x≤150,
∴当x=150时，
w =−2×150+9420=9120,
min
此时调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥
料到D城，最小费用为9120元．
【变式10-3】（24-25八年级·河南安阳·期末）为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两
种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根15元，B种跳绳每根10元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120
条，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍．
(1)设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式；
(2)在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【答案】(1)y=5x+1200
(2)当购买A种跳绳80根，B种跳绳40 根时，实际所花费用最省，最省的费用为1600元
【分析】本题主要考查一次函数的应用式和不等式的应用，
(1)设购买A 种跳绳为x根， 则购买设购买 B种跳绳为(120−x)根，根据总金额等于数量乘以单价即可列
出总金额的函数关系式；
(2)根据题意列出不等式求得购买A 种跳绳数量，结合总金额的函数的性质即可求得最省的购买方案．
【详解】（1）解∶ 设购买A 种跳绳为x根， 则购买设购买 B种跳绳为(120−x)根．
∴y=15x+10(120−x)=5x+1200
∴y与x之间的函数关系式为y=5x+1200（2）∵购买A种跳绳的数量不少于 B种跳绳数量的2倍
∴x≥2(120−x)
解得x≥80
∵y=5x+1200，5>0
∴y随x的增大而增大
∴当x=80时， y取得最小值为5×80+1200=1600
此时120−x=120−80=40
∴当购买A种跳绳80根，B种跳绳40 根时，实际所花费用最省，最省的费用为1600元．
【题型11 利用一次函数的性质解决最大利润问题】
【例11】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服
热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一
汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 80 100
乙 100 200
若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式，写出自变量范围；
(2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后
获利最多？并求出最大利润。
【答案】(1)y=−80x+12000(0<x<120)
(2)当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为8800元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次 不等式的应用，二元一次方程的应用，读懂题目信息，
理解数量关系并确定出等量关系是解答本题的关键；
（1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式；
（2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，得出x的取值范围，再根据函数的性质求出函数的最
值即可．
【详解】（1）解：由题意得y=(100−80)x+(200−100)(120−x)=−80x+12000,
∴y与x之间的函数关系式为y=−80x+12000(0<x<120)；
（2）解：∵乙的数量不能超过甲的数量的２倍，∴120−x≤2x,
解得x≥40，
∴40≤x<120，
由（1）知，y=−80x+12000，
∵−80<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=40时，y取最大值，y =−80×40+12000=8800，
最大
答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两 种汉服获利最多，最大利润为8800元．
【变式11-1】（24-25八年级·河南信阳·期末）2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢
君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花
环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元．
(1)求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？
(2)牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求
采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多
少？
【答案】(1)15元；5元
(2)牡丹花伞66个，花环头饰34个；1330 元
【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系
式．
（1）设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元，根据题意列二元一次方程组即可；
（2）设牡丹花伞进货m个，利润为p元，根据题意列不等式利用一次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设牡丹花伞和花环头饰的采购价各是x元和y元．
{10x+10 y=200) {x=15)
根据题意，得 ，解得
20x+5 y=325 y=5
答：牡丹花伞和花环头饰的采购价分别是 15元和5元．
（2）设牡丹花伞进货m个，利润为p元．
1 200
根据题意，得 m≤ (200−m)，解得 m≤
2 3
∵m为整数，
∴m≤66
获得的利润 p=(25−15)m+(10−5)(200−m)=5m+1000．
∵p随m的增大而增大，
∴当 m=66时，p 最大，最大值为 p=5×66+1000=1 330．
当牡丹花伞进货66个，花环头饰进货134个时，能获得利润最大，此时最大利润是1330 元．
【变式11-2】（24-25八年级·福建龙岩·期末）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进
价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元． 设购进甲种商品 x件，商场售完这
100件商品的总利润为 y元．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多
少元？
(3)商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 a元(0<a<18)出售，且限定商场最多购进甲种商
品60件． 在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3300元、求 a的值．
【答案】(1)y=−10x+3000
(2)2800元
(3)15
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函
数关系式是解题的关键．
（1）根据利润等于（售价减去进价）乘以销售量进行求解即可；
（2）根据最多投入9600元，列出不等式，再根据一次函数的性质，即可求解；
（3）根据利润等于（售价减去进价）乘以销售量列出函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：y=(100−80)x+(130−100)(100−x)=−10x+3000，
即y与 x的函数关系式为y=−10x+3000；
（2）解：根据题意得：80x+100(100−x)≤9600，
解得：x≥20，
∵−10<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=20时，y取得最大值，最大值为2800，
即商场可获得的最大利润是2800元；
（3）解：根据题意得：y=(100−80+a)x+(130−100)(100−x)=(−10+a)x+3000，
∵限定商场最多购进甲种商品60件，∴20≤x≤60，
∵0<a<18，
当−10+a>0，即10<a<18时，y随x的增大而增大，
此时当x=20时，商场可获得的最大利润，
∴20×(−10+a)+3000=3300，
解得：a=25（舍去）；
当−10+a=0，即a=10时，所获得利润为3000元，不符合题意；
当−10+a<0，即0<a<10时，y随x的增大而减小，
当x=60时，商场可获得的最大利润，
∴60×(−10+a)+3000=3300，
解得：a=15；
综上所述，a的值为15．
【变式11-3】（24-25八年级·山东德州·期末）习近平总书记在中央财经委员会第四次会议上强调，鼓励引
导机械设备行业更新与改造．某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100
台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的
挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如表所示：
型号 A B
成本（万元/台） 200 240
售价（万元/台） 250 300
(1)该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
(2)该厂如何生产获得最大利润？最大利润为多少？
【答案】(1)有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台
(2)生产A型挖掘机38台，B型挖掘机62台时，获得利润最大，最大利润为5620万元
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，读懂题意，并且会用不等式与函数知识去
解题，以及会结合自变量的范围讨论函数的最大值．
（1）在题目中，每种型号的成本及总成本的上限和下限都已知，所以设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘
机(100−x)台的情况下，可列不等式22400≤200x+240(100−x)≤22500，解不等式，取其整数值即可
求解；
（2）在知道生产方案以及每种利润情况下可列函数解析式W =(250−200)x+(300−240)(100−x)=−10x+6000，利用函数的自变量取值范围和性质即可求得函
数的最值．
【详解】（1）解：设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产(100−x)台．
由题意知：
22400≤200x+240(100−x)≤22500
解得：37.5≤x≤40
∵x取正整数38≤x≤40，
∴x为38、39、40．
∴有三种生产方案：
A型38台，B型62台；
A型39台，B型61台；
A型40台，B型60台．
（2）解：设获得利润为W（万元）．由题意知：
W =(250−200)x+(300−240)(100−x)=−10x+6000．
∵k=−10<0
∴W随x的增大而减小，
∵38≤x≤40
∴当x=38时，W最大=−10×38+6000=5620
答：生产A型挖掘机38台，B型挖掘机62台时，获得利润最大，最大利润为5620万元．
【题型12 一次函数图象的应用】
【例12】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）在一条直线上依次有A，B，C三港口，甲，乙两船分别从
A，B港口同时出发，匀速驶向C港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距B港的路程y（单位：千米）与
乙船行驶的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)直接写出甲船的速度和A，C两港之间的路程；
(2)求甲船从B港到C港的过程中y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案．
【答案】(1)甲船的速度为120km/h，A，C两港之间的路程为120km
(2)y=120x−30(0.25<x<1)
1 3 5
(3)乙船行驶 小时或 小时或 小时，两船相距的路程为15千米．
4 4 4
【分析】本题考查的是一次函数的图象及一次函数的应用，解答此题时要注意运用分类讨论的思想，不要
漏解．
（1）从图中可以计算出结论即可；
（2）设甲船从B港到C港的过程中y与x的函数关系式为y=kx+b，用待定系数法求解即可；
（3）先根据一次函数的图象求出乙的速度，再根据甲在乙船前和乙船后，及甲船已经到了而乙船正在行
驶，三种情况进行解答即可．
30+90
【详解】（1）从图中可以得出甲船的速度为： =120(km/h)，
1
A，C两港之间的路程为30+90=120(km)，
故答案为：120；
30
（2）从图中可以得出甲船从A到B所需要的时间为： =0.25(h)，
120
∴B(0.25,0)，
设甲船从B港到C港的过程中y与x的函数关系式为y=kx+b，
{0.25k+b=0) {k=120)
∴ ，解得： ，
k+b=90 b=−30
∴甲船从B港到C港的过程中y与x的函数关系式为y=120x−30(0.25≤x≤1)；
90
（3）乙船的速度为： =60(km/h)，
1.5
设乙船行驶t小时两船相距的路程为15千米，
①甲船追上乙船之前，两船相距的路程为15千米，则：
(120−60)t=30−15，
1
解得：t= ，
4
②甲船追上乙船之后且甲船到达C地之前，两船相距的路程为15千米，则：
(120−60)t=30+15，3
解得：t= ，
4
③甲船到达C地之后，两船相距的路程为15千米，则：
60+60(t−1)+15=90，
5
解得：t= ，
4
1 3 5
综上所述，乙船行驶 小时或 小时或 小时，两船相距的路程为15千米．
4 4 4
【变式12-1】（24-25八年级·吉林松原·期末）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸
爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分
电量行驶的路程更远一些．折线AB−BC表示的是蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）之
间的关系．
(1)剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为______千米；
(2)求BC段函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？
【答案】(1)150
(2)y=−0.5x+110(150x≤200)
(3)160千米
【分析】本题主要考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式，
(1)根据函数图像求解即可；
(2)利用待定系数法求的线段BC的函数解析式，结合图像可知其自变量的取值范围；
(3)结合图像可知汽车剩余电量为30千瓦时符合线段BC的函数解析式，代入求解即可．
【详解】（1）解：由图像可知，剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为150千米
故答案为：150；
（2）解：设BC段的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，&&¿ {k=−0.5)
将点(150,35)和(200,10)代入解析式得： ，解得：
¿ b=110
∴BC段的函数解析式为y=−0.5x+110(150≤x≤200)；
（3）解：当y=30时，−0.5x+110=30，
解得：x=160．
即该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是160千米．
【变式12-2】（24-25八年级·山东济宁·期末）甲、乙两个物流公司分别在A、B两地之间进行货物交换，
C地为两车的货物中转站，假设A、B、C三地在同一条直线上，甲车以120km/h的速度从A地出发赶往C
地，乙车从B地出发也赶往C地，两车同时出发，在C地利用一段时间交换货物，然后各自按原速返回自
己的出发地，假设两车在行驶过程中各自速度保持不变，设两车行驶的时间为x(h)，两车的距离为y(km)
，图中的折线表示y与x之间的函数关系．
(1)A、B两地的距离为 km；
(2)求乙的速度；
(3)求出线段CD所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(4)直接写出两车相距50km时的行驶时间．
【答案】(1)400
(2)80km/h
(3)y=200x−500(2.5≤x≤4.5)
(4)两车相距50km时行驶时间为1.75小时或2.75小时
【分析】此题考查了一次函数和一元一次方程的应用．
（1）直接根据图象和题意即可得到答案；
（2）根据路程及行驶时间列方程并解方程即可求出答案；
（3）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（4）分两车相向而行和两车各自返回两种情况，分别列方程并解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意，根据函数图象可知，A、B两地的距离为400km，故答案为：400
（2）解：设乙的速度为mkm/h，则
2(120+m)=400，
解得m=80，
答：乙的速度为80km/h；
（3）解：设线段CD所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把点(2.5,0)，(4.5,400)代入得，
{ 2.5k+b=0 )
4.5k+b=400
{ k=200 )
解得， ，
b=−500
∴线段CD所表示的y与x之间的函数关系式为y=200x−500(2.5≤x≤4.5)；
（4）两车相距50km分两种情况：
①设两车相向而行时，两车相距50km时行驶时间为t小时，
则(120+80)t=400−50，
解得t=1.75，
②设两车各自返回时，两车相距50km时行驶时间为n小时，
则(120+80)(n−0.5)=400+50
解得，n=2.75
答：两车相距50km时行驶时间为1.75小时或2.75小时．
【变式12-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）快、慢两车分别从A，B两地沿同一路线匀速行驶，快
车到达 B 地后立即按原路原速返回A 地(快车掉头的时间忽略不计)，慢车在快车出发1小时后出发，到
达 A 地后停止行驶，快、慢两车距A 地的路程y(千米)与快车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所
示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)直接写出慢车的行驶速度，并在图中( )内填上正确的数：
(2)求图中线段BC所在直线的函数解析式；
(3)直接写出快车出发后几小时两车相距的路程为 100千米．【答案】(1)240
(2)y=−120x+720
16 26 10
(3) 小时或 小时或 小时
9 9 3
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
（1）慢车的行驶速度为360÷(7−1)=60(km/h)，括号内的数为360−(5−1)×60=120，
（2）快车的速度是120km/h，快车回到甲地的时间是6h，可得点C的坐标是(6,0)，再用待定系数法可得
BC所在直线的函数解析式y=−120x+720；
（3）设快车出发后t小时两车相距的路程为 100千米，进行分类讨论，列出方程求解即可．
【详解】（1）慢车的行驶速度为360÷(7−1)=60(km/h)，
360−(5−1)×60=120(km)，
∴图中( )内的数是120；
360+240
（2）快车的速度是： =120(km/h)，
5
360×2
快车回到甲地的时间是： =6(h)，
120
∴点C的坐标是(6,0)，
设BC所在直线的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
把点E(5,120)和点C(6,0)代入得：
{5k+b=120)
，
6k+b=0
{k=−120)
解得 ，
b=720
∴BC所在直线的函数解析式y=−120x+720；
（3）设OB所在直线的函数解析式为y=mx(m≠0)，将B(3,360)代入得：
360=3m，解得：m=120，
∴OB所在直线的函数解析式y=120x，
设快车出发后t小时两车相距的路程为 100千米．
①两车第一次相遇前相距的路程为 100千米时，根据题意得：
16
120t+60(t−1)=360−100，解得：t= ，
9
②两车第一次相遇后且快车到达B地前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得：26
120t+60(t−1)=360+100，解得：t= ，
9
③快车返回A地且两车第二次相遇前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得：
10
60(t−1)−(120t−360)=100，解得：t= ，
3
∵x=6时,两车相距360−60(6−1)=60(km),而60<100，
∴快车与慢车第二次相遇后不存在相距100km的情况，
快车出发后小时或小时或小时两车相距的路程为 100千米．
