文档内容
专题 19.8 一次函数全章专项复习【3 大考点 12 种题型】
【人教版】
【考点1 函数】..........................................................................................................................................................1
【题型1 函数的概念】..............................................................................................................................................1
【题型2 函数值及自变量的取值范围】..................................................................................................................4
【题型3 函数的表示方法】......................................................................................................................................5
【题型4 识图并分析图象信息】..............................................................................................................................7
【考点2 一次函数】................................................................................................................................................11
【题型5 正比例函数的图象与性质】....................................................................................................................12
【题型6 一次函数的图象与性质】........................................................................................................................14
【题型7 求一次函数的解析式】............................................................................................................................17
【题型8 一次函数与方程、不等式的关系】.......................................................................................................20
【题型9 一次函数图象的平移问题】....................................................................................................................23
【考点3 一次函数的应用】....................................................................................................................................25
【题型10 利用一次函数的性质解决分配方案问题】...........................................................................................25
【题型11 利用一次函数的性质解决最大利润问题】...........................................................................................29
【题型12 一次函数图象的应用】............................................................................................................................34
【考点1 函数】
1.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
2、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
3.函数有三种表示形式：
（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
【题型1 函数的概念】
【例1】（24-25八年级·北京东城·期中）如图，是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示
心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，y （填“是”或“不是” )x的函数．【答案】是
【分析】根据函数的定义判断即可．
【详解】解：∵两个变量x和y，变量y随x的变化而变化，
且对于每一个x，y都有唯一值与之对应，
∴y是x的函数．
故答案为：是．
【点睛】本题考查了函数的理解即两个变量x和y，变量y随x的变化而变化，
且对于每一个x，y都有唯一值与之对应,正确理解定义是解题的关键．
【变式1-1】（24-25八年级·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键．根据函数的定
义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数．
【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意；
B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意；
C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意；D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（24-25八年级·河南许昌·期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y=❑√x+1 B．y2=2x C．y=x D．y=x2−2
【答案】B
【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，即可得出
答案．
【详解】解：A、y=❑√x+1对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，是函数但不符合题意；
B、y2=2x对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义，不是函数符合题意；
C、y=x对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，是函数但不符合题意；
D、y=x2−2对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，是函数但不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数的概念．函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一
个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式1-3】（24-25八年级·广西河池·期末）下列变量之间是函数关系的有（ ）
①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】①正方形的周长C与边长a，由正方形的周长公式列出关系式C=4a；
②矩形的周长C与宽a，由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量；
③圆的面积S与半径R，由圆的面积公式列出关系式S=πR2；
④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义判定．
【详解】解：①由正方形的周长公式列出关系式C=4a，其中a，C是变量，4是常量， C与是a的函数；
②由矩形的周长公式列出关系式C=2a+2×长，其中长不确定是变量，所以C与a不是函数关系；
③由圆的面积公式列出关系式S=πR2，其中R，S是变量， S是R的函数；
④y=2x-3中的y与x，可根据函数的定义可得，y是x函数．
综上所述，是函数的有3个．
故选B．
【点睛】主要考查函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握函数的定义.
【题型2 函数值及自变量的取值范围】
【例2】（2024八年级·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为−1和7时，输出y的值相等，则b的值是（ ）
A．−4 B．−2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了程序框图，一次函数的函数值．理解程序框图的运算规则是解题的关键．
当x=−1时，y=−3+b；当x=7时，y=−1；由题意得，−3+b=−1，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，当x=−1时，y=3x+b=3×(−1)+b=−3+b；
当x=7时，y=6−x=6−7=−1．
由题意得，−3+b=−1，
解得b=2．
故选：D．
【变式2-1】（24-25八年级·上海·阶段练习）已知二次函数f (x)=ax2−6ax+c，如果f (1)=5那么f (5)=
．
【答案】5
【分析】本题考查求函数的函数值，先把x=1代入可得到c=5+5a，然后代入x=5解题即可．
【详解】解：当x=1时，a−6a+c=5，解得c=5+5a，
∴当x=5时，25a−30a+c=25a−30a+5+5a=5，
故答案为：5．
【变式2-2】（24-25八年级·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千
米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x
的关系式为（写出自变量取值范围） ．
【答案】y=−0.08x+56(0≤x≤700)
【分析】本题考查函数关系式，根据“油箱内剩油量=油箱内原有油量−耗油量”写出y与x的关系式，将
y=0代入y与x的关系式，求出x的最大值，从而写出x的取值范围．
【详解】解：根据题意，得y=56−0.08x=−0.08x+56，
当y=0时，得−0.08x+56=0，解得x=700，
∴0≤x≤700，
∴y与x的关系式为y=−0.08x+56(0≤x≤700)．
故答案为：y=−0.08x+56(0≤x≤700)．【变式2-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab−2
，在函数y=x⊗(−1)的图象上的点是（ ）
A．(2,3) B．(1,0) C．(−1,3) D．(−2,4)
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，函数图象上的点与图象的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据新定义求得y=x⊗(−1)=x2−x−2，分别计算验证即可．
【详解】解：由题意得，y=x⊗(−1)=x2−x−2，
A、x=2时，y=4−2−2=0≠3，故(2,3)不在图象上，故本选项不符合题意；
B、x=1时，y=1−1−2=−2≠0，故(1,0)不在图象上，故本选项不符合题意；
C、x=−1时，y=1+1−2=0≠3，故(−1,3)不在图象上，故本选项不符合题意；
D、x=−2时，y=4+2−2=4=4，故(−2,4)在图象上，故本选项符合题意，
故选：D．
【题型3 函数的表示方法】
【例3】（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温
度关系的一些数据如下：
温度（℃） −20 −10 0 10 20 30
声速（m/s
318 324 330 336 342 348
）
根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s
D．当空气温度为40℃时，声音10s可以传播354m
【答案】D
【分析】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义即可判断A；通过观察表格
数据即可判断BC；根据C计算出空气温度为40℃的声速，即此时每秒传播的距离即可判断D；掌握自变量
与函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵声速随温度的变化而变化，
∴自变量是温度，声速是温度的函数，故A正确，不符合题意；
从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故B正确，不符合题意；
从数据可知，温度每升高10℃，声速就增加6m/s，故 C正确，不符合题意；由C可知，当空气温度为40℃时，声速为348+6=354(m/s)，即当空气温度为40℃时，声音每秒可以
传播354m，故D错误，符合题意；
故选：D．
【变式3-1】（24-25八年级·陕西西安·期末）在关系式y=3x−5中，下列说法：① x、y都是变量，3、
−5都是常量；② y的值随x的值变化而变化；③ y是变量，它的值可以与x无关；④ y与x的关系不能
用表格表示；⑤ y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤
【答案】A
【分析】本题考查了函数的有关概念，根据函数的概念逐一判断即可，正确理解函数的概念是解题的关
键．
【详解】① x是自变量，y是因变量，故该说法正确；
② y值随x值的变化而变化，故该说法正确；
③ y是变量，随x值的变化而变化，故该说法错误；
④用关系式表示的可以用表格表示，故该说法错误；
⑤ y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，故该说法正确，
综上所述：①②⑤正确，③④错误，
故选：A．
【变式3-2】（24-25八年级·河北邢台·阶段练习）如图1，一种圆环的外圆的直径是8cm，环宽1cm．如图
2，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y cm，则y与x之间的关系式是 ．
【答案】y=6x+2．
【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度和把x个这样的圆环扣在
一起并拉紧的长度．
【详解】：由题意可得，
把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8-1-1）=14cm，
把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y=8+（8-1-1）（x-1）=6x+2，
故答案为：y=6x+2．【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式3-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）某地的温度T(℃)与海拔高度h(km)之间的关系如下所示：
要算出海拔高度为6km时该地的温度，适宜用第 种形式．
【答案】三
【分析】当h=6时，直接代入关系式中求值最简单.
【详解】用第三种形式，将h=6代入解析式，即可计算出T.
故答案为三
【点睛】本题考查的是函数的三种表示方法，了解各个表示方法的特点是关键.
【题型4 识图并分析图象信息】
【例4】（24-25八年级·贵州贵阳·期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游
玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度
行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区
出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减
少，可得答案．
【详解】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐
减少，故A符合题意；
B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意；C．参观时路程不变，故C不符合题意；
D．返回时路程逐渐减少，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行
驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少．
【变式4-1】（24-25八年级·云南昆明·阶段练习）匀速地向如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在
注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题首先要弄清横、纵坐标所代表的意义，然后要考虑到上中下三个圆柱的底面积不同，所以水
面升高的速度也不同；可依据上面的两点来判断各项的对错．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要
的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【详解】解：由题意知：纵坐标表示的是水面的高度，横坐标表示的时间；整个注水过程大致可分为三个
阶段：①向容器最下面的圆柱体中注水时，由于注水速度不变，水面逐渐升高，且此段函数是一次函数，
排除A和B；
②向容器中间的圆柱体中注水时，由于大圆柱体的底面积大于中间圆柱体的底面积，因此水位上升的幅度会增大，可排除B；
③向容器最上面的小圆柱体中注水时，由于最小圆柱体的底面积小于中间圆柱体的底面积，因此水面上升
的幅度会加大，
综上可知，D符合题意．
故选：D．
【变式4-2】（24-25八年级·云南昆明·期末）如图，一铁块完全浸入水中，小明匀速向上将铁块提起，直
至铁块完全露出水面一定高度．下图能反映此过程中液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大
致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情
况，进而得到整体的变化情况．不一定要通过求解析式来解决．
根据题意，在实验中有3个阶段：（1）铁块在液面以下，（2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出
时，（3）铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．
【详解】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
（1）铁块在液面以下，液面的高度不变；
（2）铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
（3）铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
即B符合描述；
故选：B．
【变式4-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活
动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，
AP=CQ，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为P→A→D→C→Q和Q→C→B→A→P．
若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查动点函数图象．设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AP+CQ+2R，之
后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A
移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，当机器人分别沿C→Q和A→P移动时，此时两个机器
人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从P，Q两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是AP+CQ+2R，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，保持不
变，
当机器人分别沿C→Q和A→P移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B，故选：D．
【考点2 一次函数】
1.正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
2.正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
3.一次函数的图象与性质：
一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ]
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数
概念 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图像 一条直线
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
性质 k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
直线y=kx+b （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
（k≠0）的位置与 （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
k、b符号之间的关（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
系. （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数
一次函数表达式的
y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
确定
4.一次函数与一元一次方程：
x为何值时函数y= ax+b的值为0．
从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，
从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
5.一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．
从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射
线）所对应的的横坐标的取值范围．
【题型5 正比例函数的图象与性质】
【例5】（24-25八年级·福建泉州·期末）已知A(n,n+1)、B(n−1,n+4)、C(m,t)是正比例函数y=kx
图象上的三个点，当m>3时，t的取值范围是 ．
【答案】t<−9
【分析】根据A,B 两点在y=kx 上求出k得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．n+1=kn
【详解】将点A 与点B 代入y=kx ，得：{ ，
n+4=k（n−1）
两式相减，得：k=−3 ，
∴y=−3x，
∴ y随x的增大而减小，
当m=3 时，t=−3×3=−9，
∴ 当m＞3时，t＜-9，
故答案为：t＜-9.
【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等
题．
【变式5-1】（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列关于正比例函数y=−2x的结论中，正
确的是（ ）
A．当x=1时，函数值为2 B．y随x的增大而增大
C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点(m+1,−2m)
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质以及图象逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 当x=1时，函数值为−2，故该选项不正确，不符合题意；
B. y随x的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. 它的图象经过二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当x=m+1时，y=−2m−2，则它的图象一定不经过点(m+1,−2m)，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系
中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直
线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有两个公共点，则k的取值范围是 ．1
【答案】 0，b>0时，一次函数y =ax+b的图象经过第一、二、三象限，y =bx+a的图象经过第
1 2
一、二、三象限，故选项A错误，选项B错误，选项D正确；
当a<0，b>0时，一次函数y =ax+b的图象经过第一、二、四象限，y =bx+a的图象经过第一、三、四
1 2
象限，故选项C错误；
故选D．
【变式6-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）在一次函数y=kx+5中，若y随x的增大而增大，则它的图象不
经过第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由y随x的增大而增大可得k>0，进而由k>0，b=5>0可得
一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关
键．
【详解】解：∵一次函数y=kx+5中，y随x的增大而增大，
∴k>0，
∵k>0，b=5>0，∴一次函数y=kx+5的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
【变式6-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）当k= 时，函数y=(k+1)x2−|k)+4是一次函数．已知点
(−4,y )，(2,y )都在这个一次函数图像上，则y ，y 的大小关系是 ．
1 2 1 2
【答案】 1 y y
1 2 2 1
【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据一次函数定义可得2−|k)=1，且k+1≠0，再解即可；
（2）根据一次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）由题意得：2−|k)=1，且k+1≠0，
由2−|k)=1可得k=±1，
由k+1≠0可得k≠−1，
由此可得：k=1，
（2）∵一次函数y=2x+4的k=2，
∴ y随x的增大而增大，
∵−4<2，
∴y −2
1 2
1
时，对于x的每一个值，函数y =x+m的值总大于函数y = x+1的值，则m的取值范围为 ．
2 1 2
【答案】m≥2/2≤m
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
根据题意可得出，当x=−2时函数y 的函数值不小于函数y 的函数值，据此可解决问题．
2 11
【详解】解：因为当x>−2时，对于x的每一个值，函数y =x+m的值总大于函数y = x+1的值，
2 1 2
1
所以−2+m≥ ×(−2)+1，
2
解得m≥2．
故答案为：m≥2．
【变式8-1】（24-25八年级·全国·单元测试）如图，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(3,0)，与函数
y=2x的图象交于点A，则关于x的方程kx+b=2x的解为（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3
【答案】B
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于x的方程kx+b=2x
的解．
【详解】解：当y=2时，2x=2，解得x=1，则A(1,2)，
∴当x=1时，y=kx+b=2x=2，
∴关于x的方程kx+b=2x的解为x=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键．
【变式8-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）已知函数y=−2x+6与函数y=3x−4．
(1)在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象；
(2)求这两个函数图象的交点坐标；
(3)根据图象回答，当x在什么范围内取值时，函数y=−2x+6的图象在函数y=3x−4的图象下方？
【答案】(1)见解析
(2)(2,2)
(3)x>2【分析】本题主要考查了一次函数的图象的画法及位置关系，难度不大．
（1）可用两点法来画函数y=−2x+6与函数y=3x−4的图象；
{y=−2x+6)
（2）两函数相交，那么交点的坐标就是方程组 的解；
y=3x−4
（3）由函数图象可得出函数y=−2x+6的图象在函数y=3x−4的图象的下方，x的取值范围．
【详解】（1）函数y=−2x+6与坐标轴的交点为(0,6)，(3,0)
4
函数y=3x−4与坐标轴的交点为(0,−4)，( ，0)
3
作图为：
（2）解：根据题意得
{y=−2x+6)
方程组
y=3x−4
{x=2)
解得
y=2
即交点的坐标是(2,2)
∴两个函数图象的交点坐标为(2,2)
（3）由图像知，当x>2时，函数y=−2x+6的图像在函数y=3x−4的图像下方．
【变式8-3】（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,2)
，则不等式0x≥1
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的图象与一元一次不等式的关系，利用数形结
合思想解答是解题的关键．先求出点A(1,2)，可得一次函数解析式为y=−2x+4，进而得到直线
y=−2x+4与x轴交于点(2,0)，然后观察图象可得当1≤x<2时，直线y=−2x+4位于x轴上方，且位于
直线y=2x的下方，或两直线相交，即可求解．
【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,2)，
∴2=2m，解得：m=1，
∴点A(1,2)，
把点A(1,2)代入y=ax+4得：2=a+4，
解得：a=−2，
∴一次函数解析式为y=−2x+4，
当y=0时，x=2，
∴直线y=−2x+4与x轴交于点(2,0)，
观察图象得：当1≤x<2时，直线y=−2x+4位于x轴上方，且位于直线y=2x的下方或两直线相交，
∴不等式00)个单位长度后，与线段AB有交点，则b的取值范围是 ．
【答案】1≤b≤6
【分析】本题考查了一次函数的平移和性质，设平移后直线的解析式为y=x+b，分别把A(−2,4)，
B(1,2)代入解析式求出b的值，即可得到b的取范围，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：设平移后直线的解析式为y=x+b，
当直线经过点A(−2,4)时，4=−2+b，
解得b=6；
当直线经过点B(1,2)时，2=1+b，
解得b=1；
∴将直线y=x沿y轴向上平移b(b>0)个单位长度后，与线段AB有交点，b的取范围为1≤b≤6，
故答案为：1≤b≤6．
【考点3 一次函数的应用】
【题型10 利用一次函数的性质解决分配方案问题】
【例10】（24-25八年级·安徽·期末）某超市需每天从外地调运鸡蛋600千克，超市决定从甲、乙两大型养
殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克，从甲、乙两
养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：
运费（元/千克⋅千
到超市的路程（千米）
米）
甲养殖
90 0.05
场
乙养殖
40 0.03
场
设从甲养殖场调运鸡蛋x千克，总运费为W元．
(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式
表示为__________；
(2)求出W与x的函数关系式；
(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？【答案】(1)4.5x元，(600−x)千克
(2)W =3.3x+720
(3)从甲养殖场调运150斤鸡蛋，从乙养殖场调运450斤鸡蛋
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答．
（1）根据题意直接得出结论；
（2）根据题意和表格中的数据，可以得到W与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和x的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能
使每天的总运费最省．
【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋x千克，则从乙养殖场调运鸡蛋(600−x)千克，
则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：90x×0.05=4.5x，
故答案为：4.5x元，(600−x)千克；
（2）解：根据题意得：W =4.5x+(600−x)×40×0.03=4.5x+720−1.2x=3.3x+720，
∴W与x的函数关系式为：W =3.3x+720；
（3）解：由（2）知，W =3.3x+720，
∵3.3>0，
∴W随x的增大而增大，
∵020x+810，
解得x>32
∴当x>32时，选择甲商场比较合算；
当x=32时，两个商场都一样；
当x<32时，选择乙商场比较合算．
【变式10-2】（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·期末）A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把
这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下
表：
两乡
C/（元/吨） D/（元/吨）
两城
A 20 24
B 15 17
设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为y 元，从B城运往两乡的总运费为y 元．
1 2
(1)分别直接写出y ，y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
1 2
(2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？
并求出最小值．
【答案】(1)y =−4x+4800，y =2x+4620；
1 2
(2)调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥料
到D城，最小费用为9120元．
【分析】（1）设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为(200−x)吨； B
城运往C、D乡的肥料量分别为(240−x)吨和(60+x)吨，然后根据题意写出y ,y 与x之间的函数关系
1 2
式；
（2）先根据A城运往两乡的总运费不低于4200元求出x的取值范围，再根据总费用 = y + y 列出函数解
1 2
析式，由函数的性质求最小值；
本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
【详解】（1）解：A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为(200−x)吨； B城运往C、D乡的肥料量分别为(240−x)吨和260−(200−x)]=(60+x)吨，
∴y =20x+24(200−x)=−4x+4800，
1
y =15(240−x)+17(60+x)=2x+4620，
2
∴y 与x之间的函数关系式为：y =−4x+4800，
1 1
y 与x之间的函数关系式为： y =2x+4620；
2 2
（2）解：依题意，−4x+4800≥4200,
解得：x≤150，
设两城总费用和为w元，则
w=−4x+4800+2x+4620=−2x+9420，
∵k=−2<0,
∴w随着x的增大而减小，
∵x≤150,
∴当x=150时，
w =−2×150+9420=9120,
min
此时调运方案为：A城运150吨肥料到C城，运50吨肥料到D城； B城运90吨肥料到C城，运210吨肥
料到D城，最小费用为9120元．
【变式10-3】（24-25八年级·河南安阳·期末）为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两
种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根15元，B种跳绳每根10元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120
条，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍．
(1)设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式；
(2)在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【答案】(1)y=5x+1200
(2)当购买A种跳绳80根，B种跳绳40 根时，实际所花费用最省，最省的费用为1600元
【分析】本题主要考查一次函数的应用式和不等式的应用，
(1)设购买A 种跳绳为x根， 则购买设购买 B种跳绳为(120−x)根，根据总金额等于数量乘以单价即可列
出总金额的函数关系式；
(2)根据题意列出不等式求得购买A 种跳绳数量，结合总金额的函数的性质即可求得最省的购买方案．
【详解】（1）解∶ 设购买A 种跳绳为x根， 则购买设购买 B种跳绳为(120−x)根．
∴y=15x+10(120−x)=5x+1200
∴y与x之间的函数关系式为y=5x+1200（2）∵购买A种跳绳的数量不少于 B种跳绳数量的2倍
∴x≥2(120−x)
解得x≥80
∵y=5x+1200，5>0
∴y随x的增大而增大
∴当x=80时， y取得最小值为5×80+1200=1600
此时120−x=120−80=40
∴当购买A种跳绳80根，B种跳绳40 根时，实际所花费用最省，最省的费用为1600元．
【题型11 利用一次函数的性质解决最大利润问题】
【例11】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服
热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一
汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 80 100
乙 100 200
若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式，写出自变量范围；
(2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后
获利最多？并求出最大利润。
【答案】(1)y=−80x+12000(00，即10
