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专题 19.8 一次函数章末九大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 根据一次函数的性质求参数】..................................................................................................................1
【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】.................................................................................................1
【题型3 确定一次函数经过的象限】......................................................................................................................2
【题型4 根据一次函数的性质比较大小】..............................................................................................................2
【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】.....................................................................................................3
【题型6 一次函数的平移】......................................................................................................................................3
【题型7 确定一次函数解析式】..............................................................................................................................4
【题型8 一次函数中的新定义问题】......................................................................................................................6
【题型9 一次函数的规律探究】..............................................................................................................................8
【题型1 根据一次函数的性质求参数】
【例1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期末）直线y=kx+b经过点(3,−2)，当−1≤x≤5时，y的最大值
为6，则k的值为 ．
【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）已知一次函数图像经过点(1,2)，(4,−4)，(m,3)，求
m的值．
【变式1-2】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知一次函数y=kx+1，当自变量的取值范围是
k≤x≤3时，相应的函数值的范围是a≤ y≤7，则a= ．
1 kx−1
【变式1-3】（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）数k使关于x的方程 + =1的解是整数，且k
x−2 2−x
使一次函数y=(k−3)x+k+2的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数k的值的和是 ．
【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】
【例2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）已知直线y=kx+b经过第一、二、三象限，且点(3,1)在
该直线上，设m=3k−b，则m的取值范围是（ ）
A．0− B．− D．k<− 或k>0
3 3 3 3
【变式2-2】（2023春·贵州·八年级统考期末）已知关于x的一次函数y=(2a−3)x+a+2，其图象在
−2≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是 ．
【变式2-3】（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四
象限，且还经过点(0,m)，(2,n)，(p,1)和(3,−2)，则下列判断正确的是( )
A．m0 B．y y <0 C．y y >0 D．y y <0
1 2 1 2 2 3 2 3
【变式4-1】（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）直线y=3x+b上有三个点
，则 的大小关系是（ ）
(−2.3，y )，(−1.3，y )，(2.7，y ) y ，y ，y
1 2 3 1 2 3
A．y >y >y B．y y >y
1 2 3 2 1 3 1 2 3 2 1 3
【变式4-2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）已知直线y=ax+b（其中a，b是常数，ab<0），点
， ， ， 都在这条直线上，则下列一定正确的是
A(m2，n2) B(m2−a，n2+b) P(a，y ) Q(b，y )
1 2
（ ）
A．y >y B．y 0 D．y >0
1 2 1 2 2 1【变式4-3】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）已知一次函数 的图象经过 ，
y=−2x+1 A(x ,−1)
1
，则 （填“＞”“＜”或“＝”）．
B(x ,1) x x
2 1 2
【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】
【例5】（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列说法：①
k<0，b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若点A(x ，y )、B(x ，y )是这个函数的图象上的点，且
1 1 2 2
y −y >0，则x −x <0；④当−3≤x≤1，函数的值2≤ y≤6，则b=3．其中正确的序号为
1 2 1 2
．
【变式5-1】（2023秋·江苏·八年级期末）在下列叙述中，正确的个数有（ ）
①正比例函数y=2x的图象经过二、四象限；
②一次函数y=2x−3中，y随x的增大而增大；
③函数y=3x+1中，当x=−1时，函数值为y=−2；
④一次函数y=x+1图象与x轴交点为(−1,0)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-3】（2023春·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）一次函数y =ax+b与
1
y =cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有( )
2
①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y=ax+d的图象不经过第一象限；
d−b
③a−c= ；
3
④dy 时，直接写出自变量x的取值范围；
1 2
(3)点D是一次函数y 图象上一点，若S =2S ，求点D的坐标．
1 △OCD △OCB
【变式7-1】（2023春·福建漳州·八年级统考期中）已知一次函数y =(k−1)x+2k−1．
1
(1)若点(2,−1)在y 的图象上，求k的值；
1
(2)当−5≤x≤3时，若函数的最大值3，求y 的函数表达式；
1
(3)对于一次函数y =(a+3)(x−1)−4，若对一切实数x，y >y 都成立，求k、a满足的数量关系及k的
2 1 2
取值范围．
【变式7-2】（2023秋·安徽·八年级期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点
的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l
的解析式是 .
【变式7-3】（2023秋·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx+b
12
(k≠0)的图象与x轴交于点A(5,0)，与一次函数y = x+2的图象交于点B(3,n)．
2 3
(1)求一次函数y =kx+b (k≠0)的解析式；
1
(2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y =kx+b (k≠0)的图象交于点
1
2
D，与一次函数y = x+2的图象交于点E．当CE=3CD时，求DE的长；
2 3
(3)直线y=kx−k经过定点(1,0)，当直线与线段AB（含端点）有交点时k的正整数值是 .
【题型8 一次函数中的新定义问题】
【例8】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，B(−2,2)
，C(2,0)，D(2,4)，给出定义：若直线l与线段AB，CD都有公共点，则称直线l是线段AB，CD的“友
1
好直线”．若直线y= x+b是线段AB，CD的“友好直线”，则b的取值范围是 ．
2
【变式8-1】（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，已知正方形
OABC，其中点A(−4,0)，B(−4,4)，C(0,4)．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移
3个单位后得到P′，点P′在正方形OABC的内部或边上，则称点P为正方形OABC的“和谐点”，若在直
线y=kx+6上存在点Q，使得点Q是正方形OABC的“和谐点”，则k的取值范围是 ．【变式8-2】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）定义运算min{a，b}，当a≥b时，min{a，b}＝b；当a
＜b时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根据该定义运算完成
下列问题：
(1)min{﹣3，2}＝ ，当x≤2时，min{x，2}＝ ；
(2)如图，已知直线y＝x+m与y＝kx﹣2相交于点P（﹣2，1），若min{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，结合图
1 2
象，直接写出x的取值范围是 ．
(3)在（2）的基础上，直线y＝x+m交x轴于点C，交y轴于点A，直线y＝kx﹣2交x轴于点B，求△ABP
1 2
的面积．
【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P(x，y)与
1 1 1
P(x，y)的“非常距离”，给出如下定义：若|x﹣x|≥|y﹣y|，则点P 与点P 的“非常距离”为|x﹣x|；
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
若|x﹣x|＜|y﹣y|，则点P 与点P 的“非常距离”为|y﹣y|．例如：点P(1，2)，点P(3，5)，因为|1﹣3|
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
＜|2﹣5|，所以点P 与点P 的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段PQ与线段PQ长度的较大值
1 2 1 2
（点Q为垂直于y轴的直线PQ与垂直于x轴的直线PQ的交点）．
1 21
(1)已知点A(﹣ ,0)，B为y轴上的一个动点
2
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
3
(2)如图2，已知C是直线y= x+3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”
4
最小时，相应的点C的坐标．
【题型9 一次函数的规律探究】
【例9】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (1,1)在直线y=x图象
1
上，过A 点作y轴平行线，交直线y=−x于点B ，以线段A B 为边在右侧作正方形A B C D ，C D 所
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
在的直线交y=x的图象于点A ，交y=−x的图象于点B ，再以线段A B 为边在右侧作正方形
2 2 2 2
A B C D ⋯依此类推，按照图中反映的规律，第2020个正方形的边长是 ．
2 2 2 2
【变式9-1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△POA，△PAA，
1 1 2 1 21
△PAA，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P(3，3)，P，P，…均在直线 y=− x+4上．设
3 2 3 1 2 3
3
△POA，△PAA，△PAA，…的面积分别为 S，S，S，…，依据图形所反映的规律，S = ．
1 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 2020
【变式9-2】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，过点A（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于
1
点B；点A 与点O关于直线AB 对称；过点A（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；点A 与点
1 2 1 1 2 2 3
O关于直线AB 对称；过点A（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B；…，按此规律作下去，则
2 2 3 3
B 的坐标为 ．
100
【变式9-3】（2023春·北京西城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A (2,2)在直线
1
1
y=x上，过点A 作A B ∥y轴，交直线y= x于点B ，以A 为直角顶点，A B 为直角边，在A B 的右
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
1
侧作等腰直角三角形A B C ；再过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ，B 两点，以A
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
为直角顶点，A B 为直角边，在A B 的右侧作等腰直角三角形A B C ，…，按此规律进行下去，点C
2 2 2 2 2 2 2 1
的横坐标为 ，点C 的横坐标为 ，点C 的横坐标为 ．（用含n的式子表示，n为正整
2 n
数）
