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2024-2025 学年八年级（下）期末数学试卷（培优卷）
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·福建三明·期末）下列各式计算正确的是（ ）
1
A． =❑√3 B．❑√2+❑√3=❑√5 C．❑√6÷❑√2=3 D．(2❑√3) 2=12
❑√3
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
根据二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法法则逐项判断即可得．
1 ❑√3
【详解】解：A、 = ，则此项错误，不符合题意；
❑√3 3
B、❑√2与❑√3不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意；
C、❑√6÷❑√2=❑√3，则此项错误，不符合题意；
D、(2❑√3) 2=12，则此项正确，符合题意；
故选：D．
2．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半
轴于点A．若点A的坐标为(−5❑√2,0)，P点的纵坐标为−1，则P点的坐标为（ ）
A．(﹣7,−1) B．(7,−1) C．(−❑√51,−1) D．(❑√51,−1)
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由点A的坐标为(−5❑√2,0)，得到OA=5❑√2 ，过P作PB⊥x轴于B，设P(m,−1)，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵点A的坐标为(−5❑√2,0)，
∴OA=5❑√2，
过P作PB⊥x轴于B，
设P(m,−1)，
∴OB=−m，PB=1，
∵OP=OA=5❑√2，
∴OB=❑√OP2−PB2=❑√50−1=7，
∴P(−7,−1)，
故选：A．
3．（3分）（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AM平分∠BAD交
BC于中点M，点N在边AB上，且CN∥AD，若BN=2AN，AB=6，则AD=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】如图，设AM交CN于点O，取CN的中点J，连接MJ，证明OJ=ON=AN=2，推出CN=8，再
证明AD=CN即可．
【详解】解：如图，设AM交CN于点O，取CN的中点J，连接MJ，∵BN=2AN，AB=6，
∴AN=2，BN=4，
∵M是BC的中点，J是CN的中点，
∴CM=MB，CJ=JN，
1
∴JM∥BN，JN= BN=2，
2
∴MJ=AN，
∵MJ∥AN，
∴∠OMJ=∠OAN，
在△AON和△MOJ中，
{∠AON=∠MOJ
)
∠OAN=∠OMJ ，
AN=MJ
∴△AON≌△MOJ(SAS)，
∴OJ=ON，
∵AD∥CN，CD∥AB，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴AD=CN，
∵AM平分∠DAB，
∴∠DAM=∠MAB，
∵AD∥CN，
∴∠DAM=∠AON，
∴∠MAB=∠AON，
∴ON=AN=2，
∴CJ=JN=4，
∴AD=CN=8．
故答案为：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平
分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．（3分）（24-25八年级·浙江·期末）已知直线l 的解析式为y =(k−3)x+k，直线l 的解析式为
1 1 2
y =−kx+3−k，M(m,a)在直线l 上，N(m,b)在直线l 上，下列说法正确的是（ ）
2 1 2
A．若k>3，m>−1，则a>b B．若k<0，m<−1，则a3，m>−1，则a−1，则a>b
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键．由两
直线的解析式变形得到直线l 和直线l 交于点(−1,3)，结合图象即可判断．
1 2
【详解】解：∵y =(k−3)x+k=k(x+1)−3x，y =−kx+3−k=−k(x+1)+3，
1 2
当x=−1时，y =3，y =3，
1 2
∴直线l 和直线l 交于点(−1,3)，
1 2
如图，当k>3，m>−1时，直线l 在直线l 的上方，
1 2
则a>b，故A选项正确，C选项错误；
如图，当k<0时，
则m<−1时，a>b，B选项错误；
则m>−1时，a”或“<”或“=”）．
2 5
【答案】>
【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可．
❑√5+1 8 5❑√5−11
【详解】解： − = ，
2 5 10
∵(5❑√5) 2=125,112=121，
∴5❑√5−11>0，
❑√5+1 8 5❑√5−11
∴ − = >0，
2 5 10
❑√5+1 8
∴ > ；
2 5
故答案为：>．
12．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶
点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为 ．【答案】45°/45度
【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继
而可得出∠ABC的度数．
【详解】解：连接AC，
根据勾股定理可以得到：AC=BC=❑√12+22=❑√5，AB=❑√12+32=❑√10，
∵(❑√5) 2+(❑√5) 2=(❑√10) 2 ，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
13．（3分）（24-25八年级·河北承德·期末）学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．
已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照
35%，40%，25%的比例确定成绩，则该选手的成绩是 分．
【答案】86
【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法．是解题的关键．若n个数
x w +x w +x w +…+x w
x ，x ，x ，…，x 的权分别为w ，w ，w ，…，w ，则 1 1 2 2 3 3 n n 叫做这n
1 2 3 n 1 2 3 n w +w +w +…+w
1 2 3 n
个数的加权平均数．
根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案．
90×35%+85×40%+82×25% 31.5+34+20.5
【详解】解： = =86（分），
35%+40%+25% 100%
故答案为：86．
14．（3分）（24-25八年级·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在
x轴上，定点B的坐标为(8,4)，若直线经过点D(2,0)，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，
则直线DE的表达式是 ．【答案】y=x−2
【分析】本题考查平行四边形的中心对称性，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据平行四边形的对
称性可得P为OB的中点，根据中点坐标公式求出P(4,2)，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：连接OB交DE于P，
∵直线经过点D(2,0)，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，
∴直线DE经过平行四边形OABC的中心，
∴P为OB的中点，
∵B(8,4)，O(0,0)，
(0+8 0+4)
∴P , ，即P(4,2)，
2 2
设直线DE解析式为y=kx+b，
{2k+b=0)
把D(2,0)，P(4,2)代入，得 ，
4k+b=2
{ k=1 )
解得 ，
b=−2
∴y=x−2，
故答案为：y=x−2．
15．（3分）（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，点P是矩形ABCD的边BC上的动点，沿直线AP将
△PAB折叠，点B落在点B′位置．已知：AB=6,BC=4，则当点B′恰好落在矩形的对称轴上时，BP的长
为 ．【答案】2❑√3或18−12❑√2
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直
线，据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图1，取AB、CD的中点M、N，则直线MN是矩形的对称轴，当点B′恰好落在MN上
时，连接B′B，
∵MN垂直平分AB，
∴AB′=B′B，
由折叠可得AB′=AB，AP⊥B′B，
∴AB′=AB=B′B，
∴△AB′B为等边三角形，
1
∴∠PAB= ∠BAB′=30°，
2
∴PA=2BP，
∵PA2=BP2+AB2，AB=6，
∴(2BP) 2=BP2+62，
解得BP=2❑√3；
如图2，取AD、BC的中点E、F，则直线EF是矩形的对称轴，当点B′恰好落在EF上时，连接B′B，∵矩形ABCD，AB=6,BC=4，
∴AD=BC=4，∠DAB=∠ABC=90°，
∵AD、BC的中点E、F，
∴AE=BF=2，四边形ABFE是矩形，
∴AB=FE=6，
由折叠可得AB′=AB=6，PB′=PB，
∴EB′=❑√B′ A2−AE2=4❑√2，
∴FB′=EF−EB′=6−4❑√2，
∵Rt△PFB′中，FB′=6−4❑√2，PB′=PB，PF=BF−PB=2−PB，B′P2=B′F2+PF2，
∴BP2=(2−BP) 2+(6−4❑√2) 2 ，
解得BP=18−12❑√2，
综上所述，BP的长为2❑√3或18−12❑√2，
故答案为：2❑√3或18−12❑√2．
16．（3分）（24-25八年级·贵州毕节·期末）如图，正方形ABCD的边长为6，E为边BC上一点，F为边
CD上的一个动点，连接EF，以EF为一条直角边向左侧作等腰直角三角形EFG，且使∠EFG=90°，则
点G运动的路径长是 ．
【答案】6❑√2
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，过
G作GH⊥CD于H，在CD取点P，使CP=CE，△GFH≌△FEC，得出GH=FC，HF=EC=PC，进
而得出HP=CF=GH，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出∠GPH=45°，则点G在以P为顶点，在PD的左侧，与PD成45°的直线上运动，故当F和C重合时，G和P重合，当F和D重合时，G和
Q重合，如图，过Q作QO⊥CD于O，同理可证QO=CD=6，OD=CE=CP，OP=CD=6，根据勾股
定理求出PQ=6❑√2，即可求解．
【详解】解∶过G作GH⊥CD于H，在CD取点P，使CP=CE，
∵∠EFG=90°，在正方形ABCD中，∠C=90°，
∴∠GFH=∠CEF=90°−∠CFE，
又∠GHF=∠C=90°，GF=FE，
∴△GFH≌△FEC，
∴GH=FC，HF=EC=PC，
∴HF−PF=CP−PF，
∴HP=CF=GH，
1
∴∠GPH=∠HGP= (180°−∠GHP)=45°，
2
∴点G在以P为顶点，在PD的左侧，与PD成45°的直线上运动，
当F和C查重时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作QO⊥CD于O，
同理可证QO=CD=6，OD=CE=CP，
∴OP=CD=6，
∴PQ=❑√OQ2+OP2=6❑√2，
即点G运动的路径长是6❑√2，
故答案为：6❑√2．第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·河南漯河·期末）计算：
(1)❑√18÷❑√2+(❑√3−1) 2；
(2)❑ 3❑ √ 3 3 +❑ √1 −(❑√2−❑√3)(❑√2+❑√3)．
8 8
【答案】(1)7−2❑√3
5 ❑√2
(2) +
2 4
【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键．
（1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减；
（2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减．
【详解】（1）解：❑√18÷❑√2+(❑√3−1) 2
=3+3−2❑√3+1
=7−2❑√3；
√ 3 √1
（2）33 +❑ −(❑√2−❑√3)(❑√2+❑√3)
8 8
3 ❑√2
= + −(2−3)
2 4
3 ❑√2
= + −2+3
2 4
5 ❑√2
= + ．
2 4
18．（6分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD的中
点为E，连接OE并延长至点F，使得EF=OE，连接CF，DF．
(1)求证：四边形OCFD是矩形；(2)若EF=5，BD=16，求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)96
【分析】（1）由DE=CE，EF=OE，证明四边形OCFD是平行四边形，根据菱形的性质证明
∠COD=90°，则四边形OCFD是矩形；
1
（2）由菱形的性质得OD=OB= BD=8，由矩形的性质得CD=OF=10，则OA=OC
2
1 1
=❑√CD2−OD2=❑√102−82=6，，所以AC=12，则S = AC⋅BD= ×12×16=96．
菱形ABCD 2 2
【详解】（1）证明： CD的中点为E，
DE=CE，
∵
∴EF=OE，
∵四边形OCFD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∵AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCFD是矩形．
∴（2）解： EF=OE=5，BD=16，
∵ 1
OF=2EF=10，OD=OB= BD=8，
2
∴
CD=OF=10，
∴
∴OA=OC =❑√CD2−OD2=❑√102−82=6，
AC=2OA=12，
∴ 1 1
S = AC⋅BD= ×12×16=96，
菱形ABCD 2 2
∴
菱形ABCD的面积为96．
∴【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得CD=OF=10及
OA=OC=6是解题的关键．
19．（8分）（24-25八年级·山东烟台·期末）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家
服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别
销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表．
统计量
商家
中位 众 平均
方差
数 数 数
甲商 1．
a 3 3．5
家 05
乙商 1．
4 b x
家 24
(1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数为_________，
(2)表格中a=__________，b=__________，x=__________；
(3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一
家？说明你的观点．
【答案】(1)120°；
(2)3.5，4，3.6；
(3)小亮应该选择乙商家，理由见解析．
【分析】（1）用甲商家3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲商家抽取的评价分值个数，进而用
360°乘以甲商家4分的占比即可求解；
（2）用乙商家3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从乙商家抽取的评价分值个数，求出甲、乙商家
4分的评价分值个数，再根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（3）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%=30个评价分值，
10
α=360°× =120°，
30
故答案为：120°，；（2）解：从乙商家抽取了3÷15%=20个评价分值，
甲商家4分的评价分值个数为30−2−1−12−5=10个，
乙商家4分的评价分值个数为20−1−3−3−4=9个，
∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
3+4
∴a= =3.5，
2
乙商家4分的个数是9个，最多，
∴众数b=4，
1×1+2×3+3×3+4×9+5×4
乙商家平均数x= =3.6，
20
故答案为：3.5，4，3.6；
（3）解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家
的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
20．（8分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x
4
轴的交点为A(−3,0)，与y轴的交点为B，且与正比例函数y= x的图象交于点C(m,4)．
3
(1)求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
(2)若P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，求点P的坐标；
4
(3)观察图象，不等式组0< x
