2024-2025 学年八年级（下）期末数学试卷（培优卷）
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·福建三明·期末）下列各式计算正确的是（ ）
1
A． =❑√3 B．❑√2+❑√3=❑√5 C．❑√6÷❑√2=3 D．(2❑√3) 2=12
❑√3
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．
根据二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法法则逐项判断即可得．
1 ❑√3
【详解】解：A、 = ，则此项错误，不符合题意；
❑√3 3
B、❑√2与❑√3不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意；
C、❑√6÷❑√2=❑√3，则此项错误，不符合题意；
D、(2❑√3) 2=12，则此项正确，符合题意；
故选：D．
2．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半
轴于点A．若点A的坐标为(−5❑√2,0)，P点的纵坐标为−1，则P点的坐标为（ ）
A．(﹣7,−1) B．(7,−1) C．(−❑√51,−1) D．(❑√51,−1)
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由点A的坐标为(−5❑√2,0)，得到OA=5❑√2 ，过P作PB⊥x轴于B，设P(m,−1)，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵点A的坐标为(−5❑√2,0)，
∴OA=5❑√2，
过P作PB⊥x轴于B，
设P(m,−1)，
∴OB=−m，PB=1，
∵OP=OA=5❑√2，
∴OB=❑√OP2−PB2=❑√50−1=7，
∴P(−7,−1)，
故选：A．
3．（3分）（24-25八年级·四川绵阳·期末）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AM平分∠BAD交
BC于中点M，点N在边AB上，且CN∥AD，若BN=2AN，AB=6，则AD=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】如图，设AM交CN于点O，取CN的中点J，连接MJ，证明OJ=ON=AN=2，推出CN=8，再
证明AD=CN即可．
【详解】解：如图，设AM交CN于点O，取CN的中点J，连接MJ，∵BN=2AN，AB=6，
∴AN=2，BN=4，
∵M是BC的中点，J是CN的中点，
∴CM=MB，CJ=JN，
1
∴JM∥BN，JN= BN=2，
2
∴MJ=AN，
∵MJ∥AN，
∴∠OMJ=∠OAN，
在△AON和△MOJ中，
{∠AON=∠MOJ
)
∠OAN=∠OMJ ，
AN=MJ
∴△AON≌△MOJ(SAS)，
∴OJ=ON，
∵AD∥CN，CD∥AB，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴AD=CN，
∵AM平分∠DAB，
∴∠DAM=∠MAB，
∵AD∥CN，
∴∠DAM=∠AON，
∴∠MAB=∠AON，
∴ON=AN=2，
∴CJ=JN=4，
∴AD=CN=8．
故答案为：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平
分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．（3分）（24-25八年级·浙江·期末）已知直线l 的解析式为y =(k−3)x+k，直线l 的解析式为
1 1 2
y =−kx+3−k，M(m,a)在直线l 上，N(m,b)在直线l 上，下列说法正确的是（ ）
2 1 2
A．若k>3，m>−1，则a>b B．若k<0，m<−1，则a<bC．若k>3，m>−1，则a<b D．若k<0，m>−1，则a>b
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键．由两
直线的解析式变形得到直线l 和直线l 交于点(−1,3)，结合图象即可判断．
1 2
【详解】解：∵y =(k−3)x+k=k(x+1)−3x，y =−kx+3−k=−k(x+1)+3，
1 2
当x=−1时，y =3，y =3，
1 2
∴直线l 和直线l 交于点(−1,3)，
1 2
如图，当k>3，m>−1时，直线l 在直线l 的上方，
1 2
则a>b，故A选项正确，C选项错误；
如图，当k<0时，
则m<−1时，a>b，B选项错误；
则m>−1时，a<b，D选项错误；
故选：A．
5．（3分）（2025·广东广州·一模）某校举行党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名
选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）A．方差是0 B．中位数是95分 C．众数是5人 D．平均数是90分
【答案】B
【分析】本题考查条形统计图，中位数，众数，平均数，方差．根据条形统计图的数据对各项逐项进行计
算即可．
【详解】解：根据条形统计图，将这10个数从小到大排列如下：
85，90，90，90，95，95，95，95，95，100，
95+95
则中位数为 =95，
2
95出现了5次，最多，众数为95，
1
平均数为 (85+90×3++95×5+100)=93，
10
1
方差为
×[(85−93) 2+3×(90−93) 2+5×(95−93) 2+(100−93) 2)=16，
10
观察四个选项，B选项符合题意，
故选：B．
6．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则CD的长为（ ）
A．6 B．5 C．3❑√3 D．2❑√3
【答案】D
【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．由在矩形
ABCD中，AE⊥BD于E，ED=3BE，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由
△OAB是等边三角形，求出∠BAE的度数，又由AE=3，求得AB的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，AB=CD，
∴OA=OB，
∵ED=3BE，
1
∴BE= OB，
2
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，∠BAE=30°，
1
∵AE⊥BD，AE=3，BE= AB，BE2+AE2=AB2，
2
∴ (1 AB ) 2 +32=AB2 ，
2
∴AB=2❑√3，
∴CD=2❑√3，
故选：D．
7．（3分）（24-25八年级·江西景德镇·期中）如图，直角三角形ABC的两直角边BC、AC分别与x轴、y
轴平行，且AC=BC=1，顶点A的坐标为(1,2)，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达
式为（ ）
1 1
A．y= x B．y=− x C．y=2x D．y=−2x
2 2
【答案】A
【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是解题关键．先求出点B的坐标，再利
用待定系数法求解即可得．
【详解】解：∵直角三角形ABC的两直角边AC与y轴平行，且AC=1，顶点A的坐标为(1,2)，
∴C(1,1)，又∵直角三角形ABC的两直角边BC与x轴平行，且BC=1，
∴B(2,1)，
设这个正比例函数的表达式为y=kx(k≠0)，
将点B(2,1)代入得：2k=1，
1
解得k= ，
2
1
则这个正比例函数的表达式为y= x，
2
故选：A．
8．（3分）（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测
得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，这块菜地的面积是（ ）
A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2
【答案】B
【分析】在△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由勾股定理逆定理判断△ACD的形状，由三角形面
积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，，
AC=❑√AB2+BC2=❑√92+122=15(m)
在△ACD中，CD=8m，AD=17m，
AC2+CD2=64+225=289，AD2=172=289
∴AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．
1 1 1 1
∴S =S +S = AB⋅BC+ AC⋅CD= ×9×12+ ×8×15=114(m2)
四边形ABCD △ABC △ACD 2 2 2 2
∴这块菜地的面积是114m2
故选：B【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）（24-25八年级·河南周口·期末）正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，…按如图所示
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
的方式放置，点A ，A ，A ，…和点C ，C ，C ，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B 的纵坐标
1 2 3 1 2 3 2024
是（ ）
A．22024 B．22023 C．22024+1 D．22023+1
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出A 、B 的纵坐标相同，根据点A ，
n n 1
A ，A ，…在直线y=x+1上和正方形性质，推出点A ，A ，A ，A 的坐标，根据坐标找出点的坐标规
2 3 1 2 3 4
律为A 的坐标为(2n−1−1,2n−1)，利用规律表示出A 的坐标，即可解题．
n 2024
【详解】解：由题知，四边形A B C C 为正方形，
n n n n−1
∴A B ∥x轴，即A 、B 的纵坐标相同，
n n n n
当x=0时，y=0+1=1，即A (0,1)，
1
∴OA =1，则OC =OA =1，
1 1 1
当x=1时，y=1+1=2，
∴A 的坐标为(1,2)，
2
同理可得A 的坐标为(3,4)，A 的坐标为(7,8)，
3 4
∴ A 的坐标为(2n−1−1,2n−1)，
n
∴ A 的坐标为(22023−1,22023)，
2024∴点B 的纵坐标是22023，
2024
故选：B．
10．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，是一个轴对称图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接
而成，其中∠CED=∠CFB=90°，则矩形的一组邻边之比为（ ）
3 ❑√2+1 2❑√2+1
A．❑√2 B． C． D．
2 2 3
【答案】A
【分析】连接BC，AB，在CM取点P，使BM=PM，连接BP，根据轴对称的性质得出
1 1
∠ECN=∠FCM，CN=CM= MN，AG=AH= GH，证明AH=BH，BM=PM，CP=BP，设
2 2
CM=AH=BH=a，BM=PM=x，则BP=CP=a−x，证明△MBP为等腰直角三角形，得出
BP=❑√2BM=❑√2x，从而得出❑√2x=a−x，求出x，即可得出BM=(❑√2−1)a，求出GH=2a，
MH=BH+BM=a+(❑√2−1)a=❑√2a，最后求出结果即可．
【详解】解：连接BC，AB，在CM取点P，使BM=PM，连接BP，如图所示：
1 1
根据轴对称可知：∠ECN=∠FCM，CN=CM= MN，AG=AH= GH，∠GAK=∠HAQ，
2 2
∵矩形GHMN中MN=GH，
∴CM=AH，∵三个全等菱形，
∴BF=CF，∠QAB=∠QBA，∠AFC=∠AFB，AQ∥BF，
∵∠CED=∠CFB=90°，
1
∴∠AFC=∠AFB= (360°−90°)=135°，
2
∵AQ∥BF，
∴∠FAQ=180°−135°=45°，
1
∴∠BAQ=∠ABQ= ×45°=22.5°，
2
∵∠EAK=∠EAF=∠FAQ=45°，
∴∠GAK+∠HAQ=180°−45°−45°−45°=45°，
1
∴∠GAK=∠HAQ= ×45°=22.5°，
2
∴∠HAF=22.5°+22.5°=45°，
∵矩形GHMN中∠H=90°，
∴∠ABH=90°−45°=45°，
∴∠HBQ=45°−22.5°=22.5°，∠HAB=∠HBA，
∴AH=BH，
∵CF=BF，∠CFB=90°，
1
∴∠CBF=∠FCB= ×90°=45°，
2
∵∠FBQ=∠FAQ=45°，
∴∠CBM=180°−45°−45°−22.5°=67.5°，
∵矩形GHMN中∠M=90°，
∴∠BCM=90°−67.5°=22.5°，
∵BM=PM，
1
∴∠MBP=∠MPB= ×90°=45°，
2
∴∠PBC=67.5°−45°=22.5°，
∴∠BCM=∠PCB，
∴CP=BP，
设CM=AH=BH=a，BM=PM=x，则BP=CP=a−x，
∵△MBP为等腰直角三角形，∴BP=❑√2BM=❑√2x，
∴❑√2x=a−x，
解得：x=(❑√2−1)a，
即BM=(❑√2−1)a，
∴GH=2a，MH=BH+BM=a+(❑√2−1)a=❑√2a，
GH 2a
∴ = =❑√2，
MH ❑√2a
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性
质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是做出辅助线，熟练掌握相关的性质．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
❑√5+1 8
11．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）．
2 5
【答案】>
【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可．
❑√5+1 8 5❑√5−11
【详解】解： − = ，
2 5 10
∵(5❑√5) 2=125,112=121，
∴5❑√5−11>0，
❑√5+1 8 5❑√5−11
∴ − = >0，
2 5 10
❑√5+1 8
∴ > ；
2 5
故答案为：>．
12．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶
点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为 ．【答案】45°/45度
【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继
而可得出∠ABC的度数．
【详解】解：连接AC，
根据勾股定理可以得到：AC=BC=❑√12+22=❑√5，AB=❑√12+32=❑√10，
∵(❑√5) 2+(❑√5) 2=(❑√10) 2 ，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
13．（3分）（24-25八年级·河北承德·期末）学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．
已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照
35%，40%，25%的比例确定成绩，则该选手的成绩是 分．
【答案】86
【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法．是解题的关键．若n个数
x w +x w +x w +…+x w
x ，x ，x ，…，x 的权分别为w ，w ，w ，…，w ，则 1 1 2 2 3 3 n n 叫做这n
1 2 3 n 1 2 3 n w +w +w +…+w
1 2 3 n
个数的加权平均数．
根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案．
90×35%+85×40%+82×25% 31.5+34+20.5
【详解】解： = =86（分），
35%+40%+25% 100%
故答案为：86．
14．（3分）（24-25八年级·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在
x轴上，定点B的坐标为(8,4)，若直线经过点D(2,0)，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，
则直线DE的表达式是 ．【答案】y=x−2
【分析】本题考查平行四边形的中心对称性，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据平行四边形的对
称性可得P为OB的中点，根据中点坐标公式求出P(4,2)，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：连接OB交DE于P，
∵直线经过点D(2,0)，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，
∴直线DE经过平行四边形OABC的中心，
∴P为OB的中点，
∵B(8,4)，O(0,0)，
(0+8 0+4)
∴P , ，即P(4,2)，
2 2
设直线DE解析式为y=kx+b，
{2k+b=0)
把D(2,0)，P(4,2)代入，得 ，
4k+b=2
{ k=1 )
解得 ，
b=−2
∴y=x−2，
故答案为：y=x−2．
15．（3分）（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，点P是矩形ABCD的边BC上的动点，沿直线AP将
△PAB折叠，点B落在点B′位置．已知：AB=6,BC=4，则当点B′恰好落在矩形的对称轴上时，BP的长
为 ．【答案】2❑√3或18−12❑√2
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直
线，据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图1，取AB、CD的中点M、N，则直线MN是矩形的对称轴，当点B′恰好落在MN上
时，连接B′B，
∵MN垂直平分AB，
∴AB′=B′B，
由折叠可得AB′=AB，AP⊥B′B，
∴AB′=AB=B′B，
∴△AB′B为等边三角形，
1
∴∠PAB= ∠BAB′=30°，
2
∴PA=2BP，
∵PA2=BP2+AB2，AB=6，
∴(2BP) 2=BP2+62，
解得BP=2❑√3；
如图2，取AD、BC的中点E、F，则直线EF是矩形的对称轴，当点B′恰好落在EF上时，连接B′B，∵矩形ABCD，AB=6,BC=4，
∴AD=BC=4，∠DAB=∠ABC=90°，
∵AD、BC的中点E、F，
∴AE=BF=2，四边形ABFE是矩形，
∴AB=FE=6，
由折叠可得AB′=AB=6，PB′=PB，
∴EB′=❑√B′ A2−AE2=4❑√2，
∴FB′=EF−EB′=6−4❑√2，
∵Rt△PFB′中，FB′=6−4❑√2，PB′=PB，PF=BF−PB=2−PB，B′P2=B′F2+PF2，
∴BP2=(2−BP) 2+(6−4❑√2) 2 ，
解得BP=18−12❑√2，
综上所述，BP的长为2❑√3或18−12❑√2，
故答案为：2❑√3或18−12❑√2．
16．（3分）（24-25八年级·贵州毕节·期末）如图，正方形ABCD的边长为6，E为边BC上一点，F为边
CD上的一个动点，连接EF，以EF为一条直角边向左侧作等腰直角三角形EFG，且使∠EFG=90°，则
点G运动的路径长是 ．
【答案】6❑√2
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，过
G作GH⊥CD于H，在CD取点P，使CP=CE，△GFH≌△FEC，得出GH=FC，HF=EC=PC，进
而得出HP=CF=GH，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出∠GPH=45°，则点G在以P为顶点，在PD的左侧，与PD成45°的直线上运动，故当F和C重合时，G和P重合，当F和D重合时，G和
Q重合，如图，过Q作QO⊥CD于O，同理可证QO=CD=6，OD=CE=CP，OP=CD=6，根据勾股
定理求出PQ=6❑√2，即可求解．
【详解】解∶过G作GH⊥CD于H，在CD取点P，使CP=CE，
∵∠EFG=90°，在正方形ABCD中，∠C=90°，
∴∠GFH=∠CEF=90°−∠CFE，
又∠GHF=∠C=90°，GF=FE，
∴△GFH≌△FEC，
∴GH=FC，HF=EC=PC，
∴HF−PF=CP−PF，
∴HP=CF=GH，
1
∴∠GPH=∠HGP= (180°−∠GHP)=45°，
2
∴点G在以P为顶点，在PD的左侧，与PD成45°的直线上运动，
当F和C查重时，G和P重合，当F和D重合时，G和Q重合，如图，过Q作QO⊥CD于O，
同理可证QO=CD=6，OD=CE=CP，
∴OP=CD=6，
∴PQ=❑√OQ2+OP2=6❑√2，
即点G运动的路径长是6❑√2，
故答案为：6❑√2．第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·河南漯河·期末）计算：
(1)❑√18÷❑√2+(❑√3−1) 2；
(2)❑ 3❑ √ 3 3 +❑ √1 −(❑√2−❑√3)(❑√2+❑√3)．
8 8
【答案】(1)7−2❑√3
5 ❑√2
(2) +
2 4
【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键．
（1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减；
（2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减．
【详解】（1）解：❑√18÷❑√2+(❑√3−1) 2
=3+3−2❑√3+1
=7−2❑√3；
√ 3 √1
（2）33 +❑ −(❑√2−❑√3)(❑√2+❑√3)
8 8
3 ❑√2
= + −(2−3)
2 4
3 ❑√2
= + −2+3
2 4
5 ❑√2
= + ．
2 4
18．（6分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD的中
点为E，连接OE并延长至点F，使得EF=OE，连接CF，DF．
(1)求证：四边形OCFD是矩形；(2)若EF=5，BD=16，求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)96
【分析】（1）由DE=CE，EF=OE，证明四边形OCFD是平行四边形，根据菱形的性质证明
∠COD=90°，则四边形OCFD是矩形；
1
（2）由菱形的性质得OD=OB= BD=8，由矩形的性质得CD=OF=10，则OA=OC
2
1 1
=❑√CD2−OD2=❑√102−82=6，，所以AC=12，则S = AC⋅BD= ×12×16=96．
菱形ABCD 2 2
【详解】（1）证明： CD的中点为E，
DE=CE，
∵
∴EF=OE，
∵四边形OCFD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∵AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCFD是矩形．
∴（2）解： EF=OE=5，BD=16，
∵ 1
OF=2EF=10，OD=OB= BD=8，
2
∴
CD=OF=10，
∴
∴OA=OC =❑√CD2−OD2=❑√102−82=6，
AC=2OA=12，
∴ 1 1
S = AC⋅BD= ×12×16=96，
菱形ABCD 2 2
∴
菱形ABCD的面积为96．
∴【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得CD=OF=10及
OA=OC=6是解题的关键．
19．（8分）（24-25八年级·山东烟台·期末）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家
服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别
销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表．
统计量
商家
中位 众 平均
方差
数 数 数
甲商 1．
a 3 3．5
家 05
乙商 1．
4 b x
家 24
(1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数为_________，
(2)表格中a=__________，b=__________，x=__________；
(3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一
家？说明你的观点．
【答案】(1)120°；
(2)3.5，4，3.6；
(3)小亮应该选择乙商家，理由见解析．
【分析】（1）用甲商家3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲商家抽取的评价分值个数，进而用
360°乘以甲商家4分的占比即可求解；
（2）用乙商家3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从乙商家抽取的评价分值个数，求出甲、乙商家
4分的评价分值个数，再根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（3）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%=30个评价分值，
10
α=360°× =120°，
30
故答案为：120°，；（2）解：从乙商家抽取了3÷15%=20个评价分值，
甲商家4分的评价分值个数为30−2−1−12−5=10个，
乙商家4分的评价分值个数为20−1−3−3−4=9个，
∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
3+4
∴a= =3.5，
2
乙商家4分的个数是9个，最多，
∴众数b=4，
1×1+2×3+3×3+4×9+5×4
乙商家平均数x= =3.6，
20
故答案为：3.5，4，3.6；
（3）解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家
的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
20．（8分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x
4
轴的交点为A(−3,0)，与y轴的交点为B，且与正比例函数y= x的图象交于点C(m,4)．
3
(1)求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；
(2)若P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，求点P的坐标；
4
(3)观察图象，不等式组0< x<kx+b的解集是_______．
3
2
【答案】(1)m=3，y= x+2
3
(2)(0,6)或(0,−2)；
(3)0<x<3【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌
握一次函数的性质是解题的关键．
4
（1）首先利用待定系数法把C(m,4)代入正比例函数y= x中，计算出m的值，进而得到点C的坐标，再
3
用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数y=kx+b中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析
式；
（2）先求解B(0,2)，设P(0,y)，再结合△BPC的面积为6，建立方程求解即可；
（3）根据正比例函数的图象在x轴的上方，在函数y=kx+b的图象的下方即可得到答案．
4
【详解】（1）解：∵点C(m,4)在正比例函数的y= x图象上，
3
4
∴ m=4，
3
∴m=3，
即点C坐标为(3,4)，
∵一次函数y=kx+b经过A(−3,0)、点C(3,4)，
{−3k+b=0)
∴ ，
3k+b=4
{ k= 2 )
解得： 3 ，
b=2
2
∴一次函数的表达式为：y= x+2；
3
2
（2）解：当x=0，则y= x+2=2，
3
∴B(0,2)，
设P(0,y)，且△BPC的面积为6，
∴BP=|y−2)，
∵C(3,4)，
1
∴ ×3×|y−2)=6，
2
∴y=6或y=−2，
∴P(0,6)或P(0,−2)；
4
（3）解：由图象可得不等式组0< x<kx+b的解集为：0<x<3．
321．（10分）（24-25八年级·贵州贵阳·期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一
块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知AB=12m,BC=9m,CD=8m,AD=17m，技术人员通过测量
确定了∠ABC=90°．
(1)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点C的小路，请问这条小路的最短长
度是多少m？
(2)这块绿化用地的面积是多少m2？
【答案】(1)15m
(2)114m2
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股
定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）连接AC，利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明∠ACD=90°，然后根据
1 1
S =S +S = AB⋅BC+ AC⋅CD计算即可求解．
四边形ABCD △ABC △ACD 2 2
【详解】（1）解：连接AC，
∵∠ABC=90° AB=12m BC=9m
， ， ，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√122+92=15(m)，
答：这条小路的最短长度是15m；
（2）解：∵CD=8m，AD=17m，AC=15m∴AC2+CD2=152+82=172=AD2，
∴∠ACD=90°，
1 1 1 1
∴S =S +S = AB⋅BC+ AC⋅CD= ×12×9+ ×15×8=54+60=114(m2)，
四边形ABCD △ABC △ACD 2 2 2 2
答：这块绿化用地的面积是114m2．
22．（10分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）【问题探究】
（1）如图1，在▱ABCD中，连接AC，∠BAD=∠ABC．
①求证：▱ABCD是矩形；
②若∠ACB=30°，探究线段BC与线段AB之间的数量关系．
【问题解决】
（2）如图2所示，矩形ABCD是一块待开发的旅游景点规划地，CA, CE, CF是从入口C通往三个观光
点A, E, F的路线，其中CE=CF，且∠ECF=∠ACB=30°，因自然地理环境的限制，观光点A无法直
接到达观光点E, F，为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E, F（观光点E, F分别在AB, AD
上），现要在AE, AF上架一座桥梁，已知AC=4km，桥梁AE的造价为200万元/km，桥梁AF的造价为
100万元/km，求建好AE和AF两座桥梁所需要的总造价．
【答案】（1）①见解析，②BC=❑√3AB；（2）400万元
【分析】（1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；②由∠ACB=30°得到AC=2AB，
在Rt△ABC中，运用勾股定理即可求解；
（2）延长CB至点G，使得CG=CA=4，连接¿,AG，先证明△CEG≌△CFA(SAS)，则
1
¿=AF,∠4=∠3，则AB= AC=2，由上知BC=❑√3AB=2❑√3，那么BG=CG−CB=4−2❑√3，同上
2
4 8
可得BG=❑√3BE，¿=2BE，则BE= ❑√3−2，此时¿= ❑√3−4=AF，那么
3 3
(4 ) 4
AE=AB−BE=2− ❑√3−2 =4− ❑√3，即可求解总造价．
3 3
【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=∠ABC，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
②解：BC=❑√3AB，理由如下，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=❑√AC 2−AB2=❑√(2AB) 2−AB2=❑√3AB；
❑
（2）解：延长CB至点G，使得CG=CA=4，连接¿,AG，
∵∠ECF=∠ACB=30°，
∴∠1=∠2，
∵CE=CF，
∴△CEG≌△CFA(SAS)，
∴¿=AF,∠4=∠3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ABG=90°，
∴∠3=∠ACB=30°，
1
∴∠4=30°，AB= AC=2，
2
由上知BC=❑√3AB=2❑√3，
∴BG=CG−CB=4−2❑√3，
在Rt△BGE中，∠4=30°，
∴同上可得BG=❑√3BE，¿=2BE4
∴BE= ❑√3−2，
3
8
∴¿= ❑√3−4=AF，
3
(4 ) 4
∴AE=AB−BE=2− ❑√3−2 =4− ❑√3，
3 3
( 4 ) (8 )
∴总造价为： 4− ❑√3 ×200+ ❑√3−4 ×100=400（万元）．
3 3
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性
质，勾股定理，正确构造全等三角形是解题的关键．
23．（12分）（24-25八年级·云南大理·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴交于点
A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为28．
(1)分别求点A、B、C的坐标．
(2)若点M是线段BC上的一个动点，当M刚好运动到BC的中点时，求直线AM的解析式．
(3)在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四
边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(−4,0)，B(0,4)，C(10,0)
2 8
(2)y= x+
9 9
(3)存在，(−4,0)或(24,0)或(−32,0)
【分析】（1）x=0，y=0分别代入y=x+4即可求得点B、A的坐标，再根据S =28，即可求得
△ABC
AC=14，从而可求点C坐标；
（2）先根据中点坐标公式求出中点M(5,2)，然后用待定系数法求解即可；
（3）①当BC为平行四边形BDCE的对角线时，②当BC为平行四边形BCDE的左边时，③当BC为平行四
边形BCED的右边时，分别 求出点D的坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线y=x+4与x轴交于点A与y轴交于点B
∴把x=0代入解析式得：y=4，∴B(0,4)，
把y=0代入解析式得：x+4=0，
∴x=−4，
∴A(−4,0)
∵S =28
△ABC
1
即 AC⋅B =28，而B =4，
2 y y
∴AC=14，
∴OC=AC−OA=10，
∴C(10,0)．
（2）解：∵当点M刚好运动到BC的中点时，
0+10 4+0
∴x = =5，y = =2，
M 2 M 2
∴M(5,2)
设直线AM解析式为y=kx+b(k≠0)，
把A(−4,0)，M(5,2)分别代入解析式得：
2
{ k= )
{0=−4k+b) 9
，解得： ，
2=5k+b 8
b=
9
2 8
∴直线AM解析式为y= x+ ．
9 9
（3）解：存在．
①如图，当BC为平行四边形BDCE的对角线时，
∵平行四边形BDCE，
∴BE∥CD，即BE∥x，
∴B =E =4，
y y2 8
把y=4代入直线AM解析式y= x+ ，得x=14，
9 9
∴E(14,4)，
又∵BE=CD=14，且C(10,0)，
∴D(−4,0)．
②如图，当BC为平行四边形BCDE的左边时，
同理，B =E =4
y y
2 8
把y=4代入直线AM解析式y= x+ ，得x=14，
9 9
∴E(14,4)
又∵BE=CD=14，且C(10,0)，
∴D(24,0)，
③如图，当BC为平行四边形BCED的右边时，作EF⊥x轴于点F，
∵平行四边形BDCE，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴∠EDF=∠BCO，
∵∠EFD=∠BOC=90°，
{∠EFD=∠BOC
)
∴在△≝¿和△CBO中， ∠EDF=∠BCO ，
DE=BC
∴△≝≌△CBO(AAS)
∴BO=EF=4，即E的纵坐标为−4
2 8
把y=−4代入直线AM解析式y= x+ ，得x=−22，
9 9
∴E(−22,−4)，F(−22,0)又∵DF=CO=10，
∴D(−32,0)
综上，在x轴上存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形．
此时，点D的坐标为(−4,0)或(24,0)或(−32,0)．
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，直线
与坐标轴围成的三角形面积，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练待定系数法求一
次函数解析式、一次函数图象与性质，平行四边形的性质是解题的关键．
24．（12分）（24-25八年级·辽宁丹东·期末）已知：如图1，正方形ABCD中，AB=12，点P是对角线
AC所在直线上一动点，连接BP,DP，将△ADP沿AD折叠，得到△ADE，点P的对应点为点E，射线
BP交直线DE于点H，交AD边所在直线于点G．
(1)①求证：△ABP≌△ADE；
②求证：BH⊥DE；
(2)将△ADP沿DP折叠，得到△FPD，点A的对应点为点F．
①如图2，当点P在对角线AC上，且DF∥BP时，求∠APB的度数：
②如图3，当点P在CA延长线上，且PF⊥BP时，连接EF，判断△EFD的形状，并说明理由；
③当点F,B,P在同一直线上时，请直接写出以点A,P,H,E为顶点的四边形面积．
【答案】(1)①证明过程见详解；②证明过程见详解；
(2)①∠APB=105°；②△≝¿是等腰直角三角形；③72+36❑√2
【分析】（1）①根据正方形的性质可得△ABP≌△ADP(SAS)，根据折叠的性质，可得△ADP≌△ADE
，由此即可求证；
②根据正方形的性质可得∠BAD=90°，则有∠ABG+∠AGB=90°，由全等三角形的性质可得
∠ABG=∠ADE，由∠ADE+∠DGH=90°，即可求证；
（2）①根据全等三角形的性质，折叠的性质，正方形的性质可得∠APB=∠APD=∠FPD，
∠F=∠DAP=45°，由平行线的性质可得∠BPF=∠F=45°，再由
∠APB+∠APD+∠FPD+∠BPF=360°，即可求解；②根据题意可证△APF是等边三角形，△AEF是等腰三角形，得到∠AEF=∠AFE=15°，根据折叠的
性质，三角形内角和定理可得∠FPD=∠APD=∠APB=∠AED=30°，由此可得
∠FED=∠FDE=45°，由此即可求解；
③如图所示，点B,P,F三点共线，连接BD与AC交于点M，△ADP沿AD折叠得到△ADE，沿PD折叠
❑√2
得到△FDP，可得HD=HF= DF=6❑√2，BH=❑√BD2−H D2=❑√(12❑√2) 2 −(6❑√2) 2=6❑√6，
2
1 1
PH=PM=2❑√6，由此可得S =S = AP·DM，S = PH·DH，由此即可求解．
△APD △AED 2 △DPH 2
【详解】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，
在△ABP和△ADP中，
{
AB=AD
)
∠BAP=∠DAP ，
AP=AP
∴△ABP≌△ADP(SAS)，
∵将△ADP沿AD折叠，得到△ADE，
∴△ADP≌△ADE，
∴△ABP≌△ADE；
②∵∠BAD=90°，
∴∠ABG+∠AGB=90°，
∵△ABP≌△ADE，
∴∠ABG=∠ADE，
又∵∠AGB=∠DGH，
∴∠ADE+∠DGH=90°，
∴在△DGH中，∠DHG=180°−(∠GDH+∠DGH)=90°，
∴BH⊥DE；
（2）解：①由（1）可知△ABP≌△ADP，
∴∠APB=∠APD，
∵将△ADP沿DP折叠，得到△FPD，点A的对应点为点F，
∴∠APD=∠FPD，
∴∠APB=∠APD=∠FPD，
∵AC是正方形ABCD的对角线，1
∴∠BAP=∠DAP= ∠BAD=45°，
2
∴∠F=∠DAP=45°，
∵DF∥BP，
∴∠BPF=∠F=45°，
∵∠APB+∠APD+∠FPD+∠BPF=360°，
∴3∠APB=360°−∠BPF=360°−45°=315°，
∴∠APB=105°；
②△ADP沿AD折叠得到△ADE，沿PD折叠得到△FDP，
∴△ADE≌△ADP≌△FDP，
∴∠ADE=∠ADP=∠FDP，AP=AE=PF，
∵∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠PAD=∠PAB=135°=∠EAD，则∠PAE=360°−∠PAD−∠EAD=360°−135°−135°=90°，
在△PAB和△PAD中，
{
AP=AP
)
∠PAB=∠PAD ，
AB=AD
∴△PAB≌PAD(SAS)，
∴∠APB=∠APD，
∴∠APB=∠APD=∠FPD，
∵BP⊥PF，
∴∠APB+∠APD+∠FPD=90°，
∴∠APB=∠APD=∠FPD=30°=∠AED，
∴∠APF=∠APD+∠FPD=60°，
∠PDF=∠PDA=∠EDA=180°−∠PAD−∠APD=180°−135−30°=15°，
∴△APF是等边三角形，∠EDF=∠EDA+∠ADP+∠FDP=15°+15°+15°=45°，
∴AF=AP=AE，
∴∠EAF=∠PAE+∠PAF=90°+60°=150°，
在△AEF中，AE=AF,∠EAF=150°，
1 1
∴∠AEF=∠AFE= (180°−∠EAF)= ×(180°−150°)=15°，
2 2
∴∠FED=∠AEF+∠AED=15°+30°=45°=∠EDF，
∴FE=FD，∠EFD=180°−∠FED−∠EDF=180°−45°−45°=90°，∴△≝¿是等腰直角三角形；
③如图所示，点B,P,F三点共线，连接BD与AC交于点M，△ADP沿AD折叠得到△ADE，沿PD折叠
得到△FDP，
∴AD=ED=12，∠EAD=∠DAC=∠DFP=45°，AE=AP=FP，
由（1）可知，BH⊥DE，
∴在Rt△DFH中，∠DHF=90°，
∴∠DFH=45°=∠FDH，
∴HD=HF，
❑√2
∴DF2=H D2+H F2，即HD=HF= DF=6❑√2，
2
∵四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=12，
1
∴BD=❑√2AB=12❑√2，则AM=BM=CM=DM= BD=6❑√2，
2
在Rt△BDH中，BH=❑√BD2−H D2=❑√(12❑√2) 2 −(6❑√2) 2=6❑√6，
∵折叠，
∴PH=PM，
由上述证明可得BP=DP，
设PH=x，则BP=BH−PH=6❑√6−x=DP，
在Rt△BPM中，BP2=BM2+PM2，
∴(6❑√6−x) 2=(6❑√2) 2+x2，
解得，x=2❑√6，
∴PH=PM=2❑√6，
∴AP=AM+PM=6❑√2+2❑√6，
1 1
∴S =S = AP·DM= (6❑√2+2❑√6)×6❑√2=36+12❑√3，
△APD △AED 2 21 1
S = PH·DH= ×2❑√6×6❑√2=12❑√3，
△DPH 2 2
∴点A,P,H,E为顶点的四边形面积为
S +S +S =36+12❑√3+36+12❑√3+12❑√3=72+36❑√2．
△AED △APD △DPH
【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性
质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，折叠的性质，全等三角
形的判定和性质是解题的关键．
