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21.3.1 矩形（第 1 课时）
知识点1：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
1．下列说法不正确的是（ ）
A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有
【答案】B
【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩
形．
【详解】解：A选项：∵矩形是有一个角是直角的平行四边形，
故A选项正确；
B选项：∵平行四边形的内角不一定是直角，
∴平行四边形不一定是矩形，
故B选项错误；
C选项：∵矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故C选项正确；
D选项：∵矩形是特殊的平行四边形，
∴矩形具有平行四边形的所有性质，
故D选项正确．
故选：B．
2．（2025年黑龙江绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的
面积是（ ）
A．25 B．25❑√3 C．25❑√5 D．50❑√3
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确画出图形并灵
活运用相关知识是解题的关键．
如图：根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OB=5，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三
角形的性质求出AB，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，1
∴OA=OB= ×10=5，
2
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
由勾股定理得，BC=❑√AC2 −AB2=❑√102 −52=5❑√3，
∴矩形的面积=BC⋅AB=5❑√3×5=25❑√3．
故选：B．
3．（2024年江苏南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2=41°，则∠1的度数
为（ ）
A．41° B．51° C．49° D．59°
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BE∥a，得到BE∥a∥b，推出
∠ABC=∠1+∠2，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
过点B作BE∥a，
∵a∥b，
∴BE∥a∥b，
∴∠1=∠ABE,∠2=∠CBE，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠1+∠2，∵∠2=41°，
∴∠1=90°−41°=49°；
故选C．
知识点2：矩形的性质：四个角都是直角；对角线相等.
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=BC B．∠BAC=∠ACB C．AC⊥BD D．AC=BD
【答案】D
【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,AC=BD,AO=CO=BO=DO，∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=180°−∠ ABC=90°
∴AB=BC不一定正确，故A不符合题意；
∠BAC+∠ACB=90°，∠BAC=∠ACB不一定正确，故B不符合题意；
AC⊥BD不一定正确，故C不符合题意；
AC=BD一定正确，故D符合题意，
故选：D．
5．（2025年四川甘孜州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4，则AC
的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断△AOB是等边三角形是解题
的关键．
根据矩形的对角线互相平分且相等，可知OA=OB=OC=OD，然后由∠AOB=60°可得△AOB为等边三角形，
然后可求得AC=2AB，进而即可求解
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC,OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=2OA=8.
故答案为：8.
6．（2025年江苏徐州）如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB=3，BC=4，则四边形
EFGH的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
3
AH=DH=BF=CF=2，AE=BE=DG=CG= ，再进一步利用勾股定理计算即可．
2
【详解】解：∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，
3
∴AH=DH=BF=CF=2，AE=BE=DG=CG= ．
2
√ 3 2 5
∴EH=❑√AE2+AH2=❑( ) +22= ，
2 2
5
同理可得：EF=FG=HG= ，
2
5
∴四边形EFGH的周长为4× =10；
2
故答案为：10
7．（2025年江西）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要
求完成作图．（保留作图痕迹）(1)在图1中作出BC的中点；
(2)在图2中作出△ABC的重心．
【详解】（1）解：如图，点D即为所作；
；
（2）解：如图，点F即为所作；
．
8．（2025年吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE,DF，∠BAE=∠CDF．
(1)求证：△ABE≌△DCF．
(2)当AB=12，DF=13时，求BE的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠B=∠C=90°，
∵∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△DCF(ASA)；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AE=DF=13，
∵∠B=90°，AB=12，
∴BE=❑√AE2 −AB2=5．9．（2025年江苏淮安）已知：如图，矩形ABCD．
(1)尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕
迹）
(2)在（1）所作图形中，若AB=3，BC=5，求CE的长．
【详解】（1）解：如图，BE即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°,AD=BC=5,CD=AB=3，
∵由折叠可得BF=BC=5,CE=EF，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得：AF=❑√BF2 −AB2=4，
∴DF=AD−AF=1，
设CE=EF=x，则：DE=CD−CE=3− x，
在Rt△EDF中，由勾股定理，得：x2=12+(3− x) 2，
5
解得：x= ，
3
5
∴CE= ．
3
知识点3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
10．（2025年陕西）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则
图中与∠A互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，
根据三角形内角和定理求出∠B=70°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=AD=BD，
根据等边对等角得出∠DCA=∠A=20°,∠DCB=∠B=70°，再结合DE⊥AC根据三角形内角和定理求
出∠CDE=70°,∠ADE=70°，最后根据余角的性质求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠B=180°−∠ A−∠ACB=180°− ， 90°−20°=70°
∵CD为AB边上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCA=∠A=20°,∠DCB=∠B=70°,∠CDB=2∠A=40°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=180°− DCA=9700°°−,∠∠ADE=180°− A=709°0°，−∠
∴图中与∠A互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE，共有4个，
故选：C．
11．（2025年四川德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，
使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE=（ ）
1
A．3 B．2 C．1 D．
2
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的
关键．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合CD=1，得AB=2CD=2，由△ABC平移得到△EGF，根据
平移对应线段相等，可知GE=AB，进而得GE=2．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，
1
∴CD= AB，
2∵CD=1，
∴AB=2CD=2，
∵△ABC沿CB方向向右平移至△EGF，
∴GE=AB=2，
故选：B．
12．（2025年江苏淮安）如图，在▱ ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC丄AB，点E、F分别为
BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE=4，则OF= ．
【答案】4
【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，
熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到BC=2AE=8，
1
根据平行四边形的性质，推出OF是△BCD的中位线，进而得到OF= BC，即可得出结果．
2
【详解】解：∵AC丄AB，
∴∠BAC=90°，
∵点E为BC的中点，
1
∴AE= BC，
2
∴BC=2AE=8，
∵ ABCD，
▱
∴OB=OD，
又∵点F为CD的中点，
1
∴OF= BC=4；
2
故答案为：4．
13．如图，在矩形ABCD中，F是BC的中点，E是AD上一点，且∠EBC= ∠DCE，EF=3cm，则AD的长为
（ ）．A．3cm B．3❑√3cm C．6cm D．6❑√3cm
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形内角和性质，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．先根据矩形的性质，得∠ECB+∠DCE=90°，结合∠EBC= ∠DCE，则△BEC是直角三角形，
因为F是BC的中点，则BC=2EF，即可作答．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，AD=BC，
∴∠ECB+∠DCE=90°，
∵∠EBC= ∠DCE，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
即∠BEC=180°− (∠EBC+∠BCE)=90°，
则△BEC是直角三角形，
∵F是BC的中点，
∴AD=BC=2EF=2×3=6(cm)，
故选：C
14．将矩形纸片ABCD按如图所示折叠，已知AD=6cm，AG=HB=3cm，EG=EH=1cm．则蚂蚁从点A处到达
点C处需要走的最短路程是 cm．
【答案】10
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．
本题可以利用勾股定理计算展开后的AC长度，则AC即为所求．
【详解】解：如图，展开矩形，则AB=AG+EG+EH+HB=3+1+1+3=8cm，∵矩形对边平行相等，
∴BC=AD=6cm
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√82+62=10cm．
故答案为：10．
15．（2025年四川内江）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连
接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解
题的关键．连接BD,BF，先由勾股定理求得BD=10，则BF≤BD=10，再由三角形中位线定理得到
1 1
GH= BF≤ ×10=5，即可求解GH的最大值．
2 2
【详解】解：连接BD,BF，
∵矩形ABCD中，AB=8,AD=6，
∴∠A=90°，
∴BD=❑√AB2+AD2=10，
∴BF≤BD=10，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△EBF的中位线，
1 1
∴GH= BF≤ ×10=5，
2 2∴当点F,D重合时，GH取得最大值为5，
故答案为：5．
16．（2025年江西）如图，在矩形ABCD纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB′，折痕与
边BC交于点P．当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是 .
【答案】82.5°或52.5°或37.5°
【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论AB′与AB，AD的夹角情况，
再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出∠APB的度数．
【详解】解：①当AB′与AB的夹角为15°时，
即∠BAB′=15°,如图：
∵ ∠BAB′=15°，∠BAP=∠B′AP,
∴ ∠BAP=∠B′AP=15°÷2=7.5°,
∵ ∠ABP=90°,
∴ ∠APB=90°−7.5°=82.5°;
②当AB′与AD的夹角为15°时，
即∠BAB′=75°,如图：
∵ ∠BAB′=75°，∠BAP=∠B′AP,∴ ∠BAP=∠B′AP=75°÷2=37.5°,
∵ ∠ABP=90°,
∴ ∠APB=90°−37.5°=52.5°;
或∠BAB′=105°，如图：
∵ ∠BAB′=105°，∠BAP=∠B′AP,
∴ ∠BAP=∠B′AP=105°÷2=52.5°,
∵ ∠ABP=90°,
∴ ∠APB=90°−52.5°=37.5°;
综上，∠APB的度数可以是82.5°或52.5°或37.5°．
故答案为：82.5°或52.5°或37.5°．
