文档内容
专题 16.3 期中压轴题专项复习【20 大考点 60 题】
（考试范围：第11~13章）
【人教版】
【考点1 三角形的三边关系的应用】......................................................................................................................1
【考点2 由三角形的中线求面积最值】..................................................................................................................5
【考点3 与平行线有关的三角形的内角和问题】.................................................................................................7
【考点4 与折叠有关的三角形的内角和问题】...................................................................................................12
【考点5 与角平分线有关的三角形的内角和问题】...........................................................................................17
【考点6 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】...................................................................................21
【考点7 不规则多边形的内角和】........................................................................................................................30
【考点8 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】...........................................................................................33
【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】...............................................40
【考点10 倍长中线模型】........................................................................................................................................49
【考点11 旋转模型】................................................................................................................................................54
【考点12 垂线模型】................................................................................................................................................59
【考点13 轴对称中的最短路径问题】....................................................................................................................62
【考点14 格点中作等腰三角形】............................................................................................................................67
【考点15 三角形中的多结论问题】........................................................................................................................70
【考点16 等腰三角形的存在性问题】....................................................................................................................78
【考点17 构成等腰三角形的点的个数】................................................................................................................84
【考点18 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】...............................................................................86
【考点19 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】...............................................................................95
【考点20 与三角形有关的新定义问题】..............................................................................................................108
【考点1 三角形的三边关系的应用】
1．（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高
所有可能值为（ ）
A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5
2．（23-24八年级·江苏南京·期中）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出
四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ．
3．（23-24八年级·北京朝阳·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a−b>b−c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为
7−5>5−4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①13cm，18cm，9cm； ②9cm，8cm，6cm．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x−6直接写出x的整数值为 ．
【考点2 由三角形的中线求面积最值】
4．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，△ABC中，AC=DC=3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D
，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
5．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形ABC，点D在BC上且CD=2BD，点E在AB上且
3AE=2BE，AD与CE交点F，点G为CF的中点，连接BG，BF，若△BFG和△AEF的面积的和为
19，则四边形BEFD的面积= ．
【考点3 与平行线有关的三角形的内角和问题】
6．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在△ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段
AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．
(1)如图，当点F在线段BE上时：①求证：∠EDF+∠BGF=∠DFG；
②求证：∠ABC+∠BFG−∠EDF=90°；
(2)当点F在线段AE上时，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系．
7．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别
为点C、A、D和点E、B、F），∠ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿
逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋
转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．
(1)如图1，直接写出下列答案：
①∠BAD的度数是 ；
②当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A．
(2)如图2，若AM∥BN，求此时对应的旋转时间x的值．
(3)若两条射线AM和BN所在直线交于点P，
①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值；
②若旋转时间x<24，求∠APB的度数（用含x的代数式表示）．
【考点4 与折叠有关的三角形的内角和问题】
8．（23-24八年级·山东青岛·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线
OM上运动，连接AB．
（1）如图1，已知AC，BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，①点A，B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试
求出∠ACB的大小．
②如图2，将ΔABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C′，则∠ABO=_______°；如图3，
将ΔABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C′′，则∠ABO=________°．
（2）如图4，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线交其延长线交于E，
3
F，在ΔAEF中，如果有一个角是另一个角的 倍，求∠ABO的度数．
2
9．（23-24八年级·安徽安庆·期中）在ΔABC中，AD⊥BC于点D
（1）如图1，若∠BAC的角平分线交BC于点E，∠B=42∘，∠DAE=7∘，求∠C的度数；
（2）如图2，点M,N分别在线段AB,AC上，将ΔABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分
别为DM和DN，且点F，点G均在直线AD上，若∠B+∠C=90∘，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量
关系，并加以证明；
（3）在（2）小题的条件下，将ΔDMF绕点D逆时针旋转一个角度α（0∘<α<360∘），记旋转中的
ΔDMF为ΔDM F （如图3），在旋转过程中，直线M F 与直线AB交于点P，直线M F 与直线BC交
1 1 1 1 1 1
于点Q，若∠B=28∘，是否存在这样的P,Q两点，使ΔBPQ为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角α
的度数；若不存在，请说明理由.
【考点5 与角平分线有关的三角形的内角和问题】
10．（23-24八年级·河南信阳·期中）【情景引入】：
1
（1）如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，说明∠D=90°+ ∠A的理
2
由．
【深入探究】：
（2）①如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关
系是______ ；
②如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是______ ．
【拓展应用】：
（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N
、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC
、∠ECQ．
①∠A=80°，则∠F的度数为______ ；
②∠F=n°，则∠A的度数为______ ．
11．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．
(1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；
(2)请利用（1）的结论探索下列问题：
①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝
80°，求∠P的大小；
1 1
②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP= ∠BAD，∠BCP= ∠BCD，试探索α，β，γ之间的数
4 4
量关系，并说明理由．
【考点6 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】
12．（23-24八年级·辽宁大连·期中）在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，E是直
线CD上一点，连接AE，BE．(1)如图1，当点E在线段CD上时，若∠CBE=20°，∠DAE=15°，则∠AEB=________；
(2)已知∠AEB=2α，EG平分∠CEB，AF平分∠BAE，直线EG、AF交于点H，请画出图形，并求
∠AHE的度数（用含α的式子表示）
13．（23-24八年级·辽宁大连·期中）如图1，在△ABC中，点D是边AB上一点，过点D作DE∥BC，
连接BE，若∠ACB=∠E．
(1)求证：BE∥CA；
(2)若∠ACB=50°，点G是边AB上的一点，过点G作GH∥BE，点H在AB左侧，连接DH．
①如图2，当DE⊥DH时，∠DHG与∠ACB的角平分线交于点M，求∠CMH的度数；
②若∠EDH=2∠DHG，请直接写出∠DHG= ．
14．（23-24八年级·浙江湖州·期中）已知：点A在直线DE上，点B、C都在直线PQ上（点B在点C的左
侧），连接AB，AC，AB平分∠CAD，且∠ABC=∠BAC．(1)如图1，求证：DE∥PQ；
(2)如图2，点K为线段AB上一动点，连接CK，且始终满足2∠EAC−∠BCK=90°．
1
①当CK⊥AB时，在直线DE上取点F，连接FK，使得∠FKA= ∠AKC，求此时∠AFK的度数；
2
②在点K的运动过程中，∠AKC与∠EAC的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理
由．
【考点7 不规则多边形的内角和】
15．（23-24八年级·云南·阶段练习）（概念学习）
在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角，如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为
组角，简称互组．
（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，则∠2=_____°；
（理解运用）
习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与
钝角∠BCD之间的数量关系，
（拓展延伸）
（3）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______；（用含α的代数式表示）（4）如图③，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、CD交于P，∠APD、∠AQB
的平分线交于点M，∠A+∠QCP=180°；直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．
16．（23-24八年级·江苏宿迁·期中）如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形
称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.
(1)用“8字型”
如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；
(2)造“8字型”
如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;
(3)发现“8字型”
如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分
线，EF为∠BED的平分线.
①图中共有________个“8字型”；
②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.
【考点8 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】
17．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线
BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E
点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 ( ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不
重合）（ ）
A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16
18．（23-24八年级·河南周口·期中）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动
点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作
DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s
时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
19．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，
AB=15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为
3cm/s，设运动时间为ts．
(1)如图①，当t= 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
(2)如图②，在△≝¿中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一
个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某
一时刻，恰好△APQ≌△≝¿，求点Q的运动速度．
20．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在△ABC中，BC=5,AD是BC边上的高，BE是AC边上的
高，AD、BE相交于点O，且AE=BE．(1)求证：△AOE≌△BCE．
(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以
每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设
点P的运动时间为t秒
5
①点F是线段AC上的一点（不与C点重合），当 AD+AE．
25．（23-24八年级·浙江台州·期中）已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为边AB的中点，
AE⊥CD分别交CD，BC于点F，E．
（1）如图1，①若AB=AC，请直接写出∠EAC−∠BCD=______；
②连接DE，若AE=2DE，求证：∠DEB=∠AEC；
（2）如图2，连接FB，若FB=AC，试探究线段CF和DF之间的数量关系，并说明理由．
【考点11 旋转模型】
26．（23-24八年级·山东济南·期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重
合），E是△ABC外一点，连接AD、AE，已知AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE．(1)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠ACE=______度：
(2)如图2，当点D在线段BC上，试判断∠ADE与∠ACE之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段CB的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
27．（23-24八年级·湖北武汉·开学考试）【基本模型】
如图，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，如图1，BE、DF与EF之间的
数量关系为__________．
【模型运用】当E点在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，如图2，请你探究BE、DF与EF之间的数
量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知AB=AD，∠B+∠D=180°，E在线段BC上，F在线段CD上，
1
∠EAF= ∠BAD，请你直接写出BE、DF与EF之间的数量关系．
2
【考点12 垂线模型】
28．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角
形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 .29．（23-24八年级·浙江·期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，
连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
AG
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 = ．（直接写
CG
出结果）
【考点13 轴对称中的最短路径问题】
30．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，已知∠AOB=24°，OP平分∠AOB，OP=1，C在OA上，
D在OB上，E在OP上．当CP+CD+DE取最小值时，此时∠PCD的度数为（ ）
A．36° B．48° C．60° D．72°
31．（2024·贵州毕节·一模）如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在
AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )A．30° B．45° C．60° D．90°
32．（23-24八年级·辽宁营口·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD
平分∠BAC，点PQ分别是AB，AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是 ．
33．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4，点P，D
分别为BC，AB上的动点，则AP+DP的最小值是 ．
34．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，过点B的直线l⊥AB，且
△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值为 ．【考点14 格点中作等腰三角形】
35．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、
B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
36．（23-24八年级·辽宁盘锦·期中）如图，在4×4的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请用无刻度
直尺按要求画图．
(1)如图1，画出一条线段AC，使．AC=AB，且点C在格点上；
(2)如图2，画两线段AC、BC，使△CBA是等腰直角三角形，且点C在格点上；
(3)如图3，画线段EF，使它垂直平分线段AB，且点E，点F都在格点上．
37．（2024·江西抚州·一模）图①、图② 均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正
方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求
画图，保留适当的作图痕迹．
(1)在图①中找点D，连接DA、DB、DC，使得DA=DB=DC．
(2)在图②中找点E，连接AE、BE，使得∠AEB=∠ACB．
【考点15 三角形中的多结论问题】
38．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接
CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是
△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
39．（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F
，EM平分∠AEF交CD于点M．G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）．EH平分∠FEG交CD
于点H，设∠MEH=α，∠EGF=β．现有下列四个式子：①2α=β，②2α−β=180°，③α−β=30°
，④2α+β=180°，在这四个式子中，正确的是( )
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
40．（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在ΔABC中，AC=BC,∠ABC=50°，CE平分∠ACB，
AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为ΔABC外一点，∠ACD=∠FCG,∠CBG=∠CAF，连接
DG．下列结论：①ΔACF≅ΔBCG；②ΔBGC=115°；③S =S +S ；④AD=DG+BG．
ΔACE ΔCFD ΔBCG
其中结论正确的是 （只需要填写序号）．
41．（23-24八年级·山东济南·期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与
BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是 （填序号）
【考点16 等腰三角形的存在性问题】
42．（2024上·河南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在 ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D
在BC边上， ABD、 AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分△线交BC边于点G，连接FG，∠BAD=θ
，当θ的值等于△ 时，△ DFG是以DF为腰的等腰三角形．
△
43．（2024上·河南三门峡·八年级校考期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为
BC的中点，点E在AB上，∠AED=69°，若点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为
等腰三角形时，∠EDP的度数是 ．
44．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在 ABC中，AB=AC，过 ABC的一个顶点，作一条直线把
ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC= △ °. △
△【考点17 构成等腰三角形的点的个数】
45．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．点P为直线BC
上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有
（ ）A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
46．（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC≠AC，以△ABC的一边为
边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点18 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】
47．（23-24八年级·福建厦门·期中）在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在BC上，AD=3，在AC上找一
点E，使得∠EDC=∠ADB，连接DE，若DE=DC=1，则BD的长度为 ．
48．（23-24八年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点A作AE∥BC
，且AE=AB，AB上有一点F，连接EF，若∠C=∠AFE，CD=4BD，S =3，则S = ．
△AEF △ABC
49．（23-24八年级·山东济南·期中）（1）情境观察：
如图①，△AMC中，∠MAC=45°，CB⊥AM，AF⊥MC，垂足分别为B、F，CB与AF交于点E，
△ABE与△CBM全等吗？请说明理由；
（2）问题探究：
如图②，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AF平分∠BAC，CF⊥AF，AF与BC交于点E．猜想
AE与CF之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：
如图③，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，受图②结论的启发，小明在AC上取了一点D，作
∠FDC=22.5°，CF⊥DF，DF交BC于点E，若FC=3，请你帮小明求出DE的长．
50．（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∠BAD=∠BCE=90°，点M为AN的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)求证： M为DE的中点．
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角
三角形；
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置，当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论是否仍成立？
若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
【考点19 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】
51．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=12，点B在
直线m上，点M是直线m上点B左边的一点，且BM=4，∠ABM=60°．动点P从点A出发，以每秒2个
单位长度的速度沿折线AB−BC向终点C匀速运动；同时动点Q从C点出发，以每秒6个单位长度的速度
沿折线沿CB−BA向终点A匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点P、点Q作
PD⊥m于D，QE⊥m于E．设点P的运动时间为t(s)(t>0)．(1)用含t的代数式表示BP的长．
(2)当点Q在边BC上时，求证：∠PBD=∠BQE．
(3)连结PM、QM，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出t
值．
(4)当△PBD与△BQE全等时，直接写出t的值．
52．（23-24八年级·贵州遵义·期中）已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，
且ED=EC．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图①，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填
“＞”“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE______
DB（填“＞”“＜”或“＝”）．
理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，
AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
53．（23-24八年级·陕西西安·开学考试）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段
AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
(1)如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=______°；(2)当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，AC=2AB．P为直线CF上一动点．当
PE−PD的值最大时，请探究表示PE，PD与AB之间的数量关系并说明理由．
54．（23-24八年级·福建福州·单元测试）如图，在等边三角形ABC中，AB=2，P是AB边上的任意一
点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足
为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ= y．
(1)请将y用含x的式子表示出来；
(2)当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？
1
(3)当QP= 时，求AQ的长．
4
55．（23-24八年级·重庆渝北·期中）在△ABC中，BA=BC，BD为△ABC的中线，△ABC的角平分线
AE交BD于点F，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点G．
(1)如图1，若∠ABC=60°，请直接写出线段AF，EG间的数量关系：__ ；
(2)如图2，若∠ABC=90°，求证：EG=2AF；
1
(3)在（2）的条件下，如图3，在∠FAC的外部作∠CAH，使∠CAH= ∠FAC，过点B作BM∥AC交
3
AG于点M，点N在AH上，连接MN，BN，若∠BMN与∠EAH互余，△ABC的面积为18，求BN的
长．
【考点20 与三角形有关的新定义问题】
56．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A=70°，∠B=35°，
则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．
【概念理解】
(1)若△ABC为开心三角形，∠A=144°，则这个三角形中最小的内角为________°；
(2)若△ABC为开心三角形，∠A=60°，则这个三角形中最小的内角为________°；
(3)已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理
由；
【应用拓展】
(4)如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交
于点P，已知∠P=30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE=∠α，求∠α的度数．
57．（23-24八年级·江苏盐城·期中）定义：若∠α、∠β是同旁内角，并且∠α,∠β满足∠β=∠α+20°
，则称∠β是∠α的内联角．
(1)如图1，已知∠β是∠α的内联角．
① 当∠α=60°时，∠β= _____°；
② 当直线l ∥l 时，求∠β的度数．
1 2
(2)如图2，已知∠β是∠α的内联角，点O是线段GH上一定点．
①∠DHG是∠BGH的内联角吗？请说明理由；
② 过点O的直线分别交直线CD、AB于点P、Q，若∠α=60°且∠EOP是图中某个角的内联角．请直
接写出∠EOP是哪个角的内联角，以及此时∠EOP的度数．
58．（23-24八年级·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意
两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．
(1)作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S 和S ；
1 2
①如图（2），当∠ACB=90°时，求证：S =S ；
1 2
②如图（3），当∠ACB≠90°时，S 与S 是否仍然相等，请说明理由．
1 2
(2)已知△ABC中，AC=3，BC=4，作其外展三叶正方形，记△DCF，△AEN，△BGM的面积和S，请
利用图（1）探究：当∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求
出S的最大值．
59．（23-24八年级·福建福州·期中）定义：若P为△ABC内一点，且满足
∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为
______；
(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点
P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；
(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得
该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，
并证明该位置满足设计要求．
60．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大
手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】
（1）如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的
度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ．
【模型应用】
（2）如图2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD；
（3）如图3，P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC=3：4：5，以BP为边构造等边△BPM，这
样就有两个等边三角形共顶点B，然后连接CM，求∠APB的度数是 ．
【拓展提高】
（4）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，
∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数．（用含有m的式子表示）
（5）如图5，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，
连接BD，CE，两线交于点P，请证明BD和CE的数量关系和位置关系．
