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专题 19.8 一次函数全章专项复习【3 大考点 12 种题型】
【人教版】
【考点1 函数】..........................................................................................................................................................1
【题型1 函数的概念】..............................................................................................................................................1
【题型2 函数值及自变量的取值范围】..................................................................................................................2
【题型3 函数的表示方法】......................................................................................................................................3
【题型4 识图并分析图象信息】..............................................................................................................................4
【考点2 一次函数】..................................................................................................................................................6
【题型5 正比例函数的图象与性质】......................................................................................................................7
【题型6 一次函数的图象与性质】..........................................................................................................................8
【题型7 求一次函数的解析式】..............................................................................................................................8
【题型8 一次函数与方程、不等式的关系】.........................................................................................................9
【题型9 一次函数图象的平移问题】....................................................................................................................10
【考点3 一次函数的应用】....................................................................................................................................11
【题型10 利用一次函数的性质解决分配方案问题】...........................................................................................11
【题型11 利用一次函数的性质解决最大利润问题】...........................................................................................12
【题型12 一次函数图象的应用】............................................................................................................................13
【考点1 函数】
1.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
2、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
3.函数有三种表示形式：
（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
【题型1 函数的概念】
【例1】（24-25八年级·北京东城·期中）如图，是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示
心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，y （填“是”或“不是” )x的函数．【变式1-1】（24-25八年级·云南昆明·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25八年级·河南许昌·期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A．y=❑√x+1 B．y2=2x C．y=x D．y=x2−2
【变式1-3】（24-25八年级·广西河池·期末）下列变量之间是函数关系的有（ ）
①正方形的周长C与边长a；②矩形的周长C与宽a；③圆的面积S与半径R；④y=2x-3中的y与x
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型2 函数值及自变量的取值范围】
【例2】（2024八年级·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为−1和7
时，输出y的值相等，则b的值是（ ）
A．−4 B．−2 C．4 D．2
【变式2-1】（24-25八年级·上海·阶段练习）已知二次函数f (x)=ax2−6ax+c，如果f (1)=5那么f (5)=
．【变式2-2】（24-25八年级·辽宁铁岭·阶段练习）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千
米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化，y与x
的关系式为（写出自变量取值范围） ．
【变式2-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab−2
，在函数y=x⊗(−1)的图象上的点是（ ）
A．(2,3) B．(1,0) C．(−1,3) D．(−2,4)
【题型3 函数的表示方法】
【例3】（24-25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温
度关系的一些数据如下：
温度（℃） −20 −10 0 10 20 30
声速（m/s
318 324 330 336 342 348
）
根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s
D．当空气温度为40℃时，声音10s可以传播354m
【变式3-1】（24-25八年级·陕西西安·期末）在关系式y=3x−5中，下列说法：① x、y都是变量，3、
−5都是常量；② y的值随x的值变化而变化；③ y是变量，它的值可以与x无关；④ y与x的关系不能
用表格表示；⑤ y与x的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤
【变式3-2】（24-25八年级·河北邢台·阶段练习）如图1，一种圆环的外圆的直径是8cm，环宽1cm．如图
2，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y cm，则y与x之间的关系式是 ．
【变式3-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）某地的温度T(℃)与海拔高度h(km)之间的关系如下所示：要算出海拔高度为6km时该地的温度，适宜用第 种形式．
【题型4 识图并分析图象信息】
【例4】（24-25八年级·贵州贵阳·期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里河滩”游
玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度
行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区
出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（24-25八年级·云南昆明·阶段练习）匀速地向如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在
注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律可能是（ ）
A． B．C． D．
【变式4-2】（24-25八年级·云南昆明·期末）如图，一铁块完全浸入水中，小明匀速向上将铁块提起，直
至铁块完全露出水面一定高度．下图能反映此过程中液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大
致图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活
动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，
AP=CQ，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出
发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为P→A→D→C→Q和Q→C→B→A→P．
若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【考点2 一次函数】
1.正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
2.正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
3.一次函数的图象与性质：
一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ]
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数
概念 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图像 一条直线
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
性质 k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
直线y=kx+b （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
（k≠0）的位置与 （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
k、b符号之间的关（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
系. （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数
一次函数表达式的
y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
确定
4.一次函数与一元一次方程：
x为何值时函数y= ax+b的值为0．
从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，
从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
5.一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．
从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射
线）所对应的的横坐标的取值范围．
【题型5 正比例函数的图象与性质】
【例5】（24-25八年级·福建泉州·期末）已知A(n,n+1)、B(n−1,n+4)、C(m,t)是正比例函数y=kx
图象上的三个点，当m>3时，t的取值范围是 ．
【变式5-1】（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列关于正比例函数y=−2x的结论中，正
确的是（ ）
A．当x=1时，函数值为2 B．y随x的增大而增大
C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点(m+1,−2m)
【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系
中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直
线y=kx(k≠0)与正方形ABCD有两个公共点，则k的取值范围是 ．
【变式5-3】（24-25八年级·陕西宝鸡·期末）如图，点B在直线y=2x上，过点B作BA⊥x轴于点A，作
BC∥x轴与直线y=kx(k≠0)交于点C，若AB:BC=1:2，则k的值是（ ）
2 2 1 2
A． B． C． D．
7 3 3 5
【题型6 一次函数的图象与性质】
【例6】（24-25八年级·四川成都·开学考试）已知一次函数y =ax+b和y =bx+a (ab≠0且a≠b)，这两
1 2
个函数的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）在一次函数y=kx+5中，若y随x的增大而增大，则它的图象不
经过第 象限．
【变式6-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）当k= 时，函数y=(k+1)x2−|k)+4是一次函数．已知点
， 都在这个一次函数图像上，则 ， 的大小关系是 ．
(−4,y ) (2,y ) y y
1 2 1 2
【变式6-3】（2024·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1与x、y轴分别交
于点A、B，在直线AB上截取BB =AB，过点B 分别作y轴的垂线，垂足为点C ，得到△BB C ；在直
1 1 1 1 1
线AB上截取B B =BB ，过点B 分别作y轴的垂线，垂足为点C ，得到△BB C ；在直线直线AB上被
1 2 1 2 2 2 2
取B B =B B ，过点B 作y轴的垂线，垂足为点C ，得到△BB C ；…；以此类推，第n个△BB C 的
2 3 1 2 3 3 3 3 n n
面积是 （用含n的式子表示，n是正整数）
【题型7 求一次函数的解析式】
【例7】（24-25八年级·四川南充·期末）直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，−2)，点C
在直线AB上，且S =2，则点C的坐标是（ ）
△BOC
A．(−2，−2) B．(−2，−6)
C．(2，2) D．(2，2)或(−2，−6)
【变式7-1】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+10与y轴交于点
A，与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点C(−2,8)，且与x轴交于点D．(1)求直线AD的解析式；
(2)求△ABD的面积．
【变式7-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）不论m取何值，点P(2m−1,−m+6)都在某一条直线上，则
这条直线的解析式为 ．
【变式7-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，已知点A(3,−2b)在直线y=2x+b上，B点坐标为
(0,2)，若点C在x轴上，且点C到A，B两点距离和最短，则点C的坐标为 ．
【题型8 一次函数与方程、不等式的关系】
1
【例8】（24-25八年级·四川成都·期末）在直角坐标系中，函数y = x+1的图象如图所示，当x>−2
1 2
1
时，对于x的每一个值，函数y =x+m的值总大于函数y = x+1的值，则m的取值范围为 ．
2 1 2
【变式8-1】（24-25八年级·全国·单元测试）如图，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(3,0)，与函数
y=2x的图象交于点A，则关于x的方程kx+b=2x的解为（ ）A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3
【变式8-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）已知函数y=−2x+6与函数y=3x−4．
(1)在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象；
(2)求这两个函数图象的交点坐标；
(3)根据图象回答，当x在什么范围内取值时，函数y=−2x+6的图象在函数y=3x−4的图象下方？
【变式8-3】（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,2)
，则不等式00)个单位长度后，与线段AB有交点，则b的取值范围是 ．【考点3 一次函数的应用】
【题型10 利用一次函数的性质解决分配方案问题】
【例10】（24-25八年级·安徽·期末）某超市需每天从外地调运鸡蛋600千克，超市决定从甲、乙两大型养
殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克，从甲、乙两
养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：
运费（元/千克⋅千
到超市的路程（千米）
米）
甲养殖
90 0.05
场
乙养殖
40 0.03
场
设从甲养殖场调运鸡蛋x千克，总运费为W元．
(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式
表示为__________；
(2)求出W与x的函数关系式；
(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？
【变式10-1】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）学校在“体育节”期间举行羽毛球比赛，需要购买羽毛球及
球拍．经了解甲，乙两个商场均对同一品牌的羽毛球用品春季促销．其中甲商场的羽毛球拍打九折，羽毛
球打八折；乙商场开展买一赠一优惠：即买一副球拍送一盒羽毛球．已知羽毛球每盒25元，球拍每副90
元，若学校打算购买羽毛球拍10副，羽毛球若干，学校去哪家商场购买比较合算．
【变式10-2】（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·期末）A城有肥料200吨，B城有肥料300吨．现要把
这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，其运往C，D两乡的运费如下
表：
两乡
C/（元/吨） D/（元/吨）
两城
A 20 24B 15 17
设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为y 元，从B城运往两乡的总运费为y 元．
1 2
(1)分别直接写出y ，y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
1 2
(2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时，怎样调运，才能使A，B两城运往两乡的总费用的和最小？
并求出最小值．
【变式10-3】（24-25八年级·河南安阳·期末）为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两
种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根15元，B种跳绳每根10元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120
条，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍．
(1)设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式；
(2)在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【题型11 利用一次函数的性质解决最大利润问题】
【例11】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服
热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一
汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示：
价格类型 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 80 100
乙 100 200
若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式，写出自变量范围；
(2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后
获利最多？并求出最大利润。
【变式11-1】（24-25八年级·河南信阳·期末）2024年，第41届中国洛阳牡丹文化节以“牡丹花开又逢
君”为主题．在此期间，小王采购牡丹花伞和花环头饰两种商品进行销售，采购10个牡丹花伞和10个花
环头饰需要200元，采购20个牡丹花伞和5个花环头饰需要325元．
(1)求牡丹花伞和花环头饰的采购价各是多少元？
(2)牡丹花伞和花环头饰的售价分别为25元/个和10元/个，小王决定采购两种商品共200个，但批发商要求
采购牡丹花伞的数量不得超过花环头饰数量的一半，小王应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多
少？
【变式11-2】（24-25八年级·福建龙岩·期末）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进
价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元． 设购进甲种商品 x件，商场售完这100件商品的总利润为 y元．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多
少元？
(3)商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 a元(0
