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2024-2025 学年八年级（下）第一次月考数学试卷（培优卷）
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
❑√x+1
1．(3分)（24-25八年级·山东菏泽·期末）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x
A．x≥−1 B．x≥−1且x≠0 C．x>−1且x≠0 D．x≤−1
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；要
使分式有意义，分母不为0，据此即可求解，掌握二次根式有意义及分式有意义的条件是解题的关键．
❑√x+1
【详解】解：若式子 在实数范围内有意义，
x
则x+1≥0且x≠0，
∴x≥−1且x≠0，
故选：B．
2．(3分)（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角
形是直角三角形，若正方形A、B的边长分别是5，3，则最大正方形的面积是（ ）
A．8 B．34 C．❑√8 D．❑√34
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正
方形A的面积+正方形B的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答．
【详解】解：由图形可知，正方形A的面积+正方形B的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜
边的平方，
∴S +S =S ，
A B C∵正方形A、B的面积分别为52、32，
∴最大正方形C的面积=52+32=34，
故选：B．
3．(3分)（24-25八年级·重庆丰都·期末）估计❑√8(❑√3−❑√2)的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼
法”估算是解题的关键．
先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范
围，由此即可求解．
【详解】解：∵16<24<25，
∴4<2❑√6<5，
∵❑√8(❑√3−❑√2)=2❑√2(❑√3−❑√2)=2❑√6−4，
∴0<2❑√6−4<1，
∴❑√8(❑√3−❑√2)的值在0和1之间．
故选：A．
4．(3分)（24-25八年级·山东济南·期末）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不
符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，7 C．5，12，13 D．6，8，10
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长
边的平方即可．
【详解】解：A、∵32+42=52，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵42+52≠72，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵52+122=132，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+82=102，∴能够成直角三角形，故本不选项符合题意．
故选：B．
√−4a3
5．(3分)（24-25八年级·河南洛阳·期末）若a>0，把❑ 化成最简二次根式为（ ）
b2a 2a 2a
A． ❑√−ab B．− ❑√ab C．−2ab❑√−ab D．− ❑√−ab
b b b
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握❑√a2=|a)，根据
−4a3
二次根式有意义的条件得到 ≥0，而a>0，则b<0，再进行化简．
b
−4a3
【详解】解：∵a>0， ≥0，
b
∴b<0，
√−4a3 √−4a3b 2|a) 2a
∴❑ =❑ = ❑√−ab=− ❑√−ab，
b b2 |b) b
故选：D．
6．(3分)（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子AD以固定帐篷．
帐篷一边AC=❑√3，绳长AD=2，AD与地面的夹角∠D=45°，则点D与帐篷底部点C之间的距离DC为
（ ）
A．❑√2 B．❑√2−1 C．❑√3−❑√2 D．2−❑√3
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理．过点A作AE⊥BD于点E，根据勾股定理可得：AE2+DE2=AD2=4，
进而得出CE=AC2−AE2=1，即可解答．
【详解】解：过点A作AE⊥BD于点E，
∵∠D=45°，
∴AE=DE，
∵AD=2，
∴根据勾股定理可得：AE2+DE2=AD2=4，
即2AE2=4，
∴DE=AE=❑√2，∵AC=❑√3，
根据勾股定理可得：CE=AC2−AE2=1，
∴DC=DE−CE=❑√2−1，
故选：B．
7．(3分)（24-25八年级·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混
合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计
算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根
式的除法法则可和性质逐个判断即可．
( √ 1 ) √ 1
【详解】解：∵ ❑√12+❑ ÷❑√3=❑√12÷3+❑ ÷3，
18 18
∴小明没有出现错误；
√ 1 √ 1
∵❑√12÷3+❑ ÷3=❑√4+❑ ，
18 54
∴小丽出现错误；
√1 √1×6 ❑√6
∵❑√4+❑ =2+❑ =2+ ，
6 6×6 6
∴小红出现错误；
√ 1 1 1
∵2+❑ =2+ =2 ，
36 6 6
∴小亮没有出现错误，
故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红，故选：B．
8．(3分)（24-25八年级·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全
等的直角三角形围成的．若AC=2，BC=1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，
得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．4+4❑√15 B．8+4❑√17 C．4+4❑√17 D．8+4❑√15
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理在实际情况中应用，正确挖掘隐含条件是解题的关键．
通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长即可．
【详解】解：如图：
由题意可知：CD=2AC=4,BC=1,AD=AC=2
∵∠BCD=90°，
∴BC2+CD2=BD2，即BD=❑√BC2+CD2=❑√12+42=❑√17，
∴AD+BD=2+❑√17，
∴这个风车的外围周长是4(2+❑√17)=8+4❑√17．
故选：B．
9．(3分)（24-25八年级·重庆江津·期末）在学习二次根式中有这样的情形．如
(❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)=(❑√5) 2 −(❑√2) 2=3，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令A =❑√n（n为非负数），则
n
(A +A )(A −A )=(❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n)=(❑√m) 2 −(❑√n) 2=m−n；
m n m n
1 1 ❑√m−❑√n ❑√m−❑√n
= = =
．
A +A (❑√m+❑√n) (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n) m−n
m n
下列选项中正确的有（ ）个．
2
①若a是A 的小数部分，则 的值为❑√6+2；
6 a
b c
②若 − =4❑√3+4（其中b、c为有理数），则b=3c；
A −A A +A
4 3 3 4
1 1 1 1 ❑√2023
③ + + +⋯+ =1− ．
2A +A 3A +2A 4A +3A 2023A +2022A 2023
1 2 2 3 3 4 2022 2023
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
2 2
【分析】由2<A =❑√6<3，可得a=❑√6−2，则 = ，再根据分母有理化即可判断①；由
6 a ❑√6−2
b − c =4❑√3+4可得❑√3(b+c)+2(b−c)=4❑√3+4，以此得到方程组 { b+c=4 ) ，求解即
A −A A +A 2(b−c)=4
4 3 3 4
1 ❑√n ❑√n+1
可判断②；证明 = − ，再对原式裂项即可判断③．
(n+1)❑√n+n❑√n+1 n n+1
【详解】解：由题意得：A =❑√6，
6
∵2<❑√6<3，a是A 的小数部分，
6
2 2 2(❑√6+2) 2(❑√6+2)
∴a=❑√6−2，则 = = = =❑√6+2，故①正确；
a ❑√6−2 (❑√6−2)(❑√6+2) 6−4
b c
∵ − =4❑√3+4，
A −A A +A
4 3 3 4
b c
∴ − =4❑√3+4，
❑√4−❑√3 ❑√3+❑√4
(❑√4+❑√3)b (❑√4−❑√3)c
即 − =4❑√3+4
(❑√4−❑√3)(❑√4+❑√3) (❑√4−❑√3)(❑√4+❑√3)∴(2+❑√3)b−(2−❑√3)c=4❑√3+4，即❑√3(b+c)+2(b−c)=4❑√3+4，
∵b、c为有理数
{ b+c=4 ) {b=3)
∴ ，解得 ，
2(b−c)=4 c=1
∴b=3c，故②正确；
1
∵
(n+1)❑√n+n❑√n+1
(n+1)❑√n−n❑√n+1
=
[(n+1)❑√n+n❑√n+1)[(n+1)❑√n−n❑√n+1)
(n+1)❑√n−n❑√n+1
=
(n+1) 2n−n2(n+1)
(n+1)❑√n−n❑√n+1
=
n(n+1)[(n+1)−n)
(n+1)❑√n−n❑√n+1
=
n(n+1)
❑√n ❑√n+1
= − ，
n n+1
1 1 1 1
∴
+ + +⋯+
2A +A 3A +2A 4A +3A 2023A +2022A
1 2 2 3 3 4 2022 2023
❑√1 ❑√2 ❑√2 ❑√3 ❑√3 ❑√4 ❑√2022 ❑√2023
= − + − + − +⋯+ −
1 2 2 3 3 4 2022 2023
❑√2023
=1− ，故③正确，
2023
故正确的有①②③，共3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题
干所给方法进行解决问题是解题关键．
10．(3分)（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H
是BC上中点，F是射线AH上一点．E是AB上一点，连接EF，EC，BF=FE，点G在AC上，连接BG
，∠ECG=2∠GBC，AE=5❑√2，AG=4❑√2，则CF的长为（ ）A．9❑√2 B．8❑√2 C．7❑√2 D．9
【答案】D
【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角
形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则
1 1
∠EBF= (180°−∠BFE)=90°− x，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则
2 2
1 1 1
∠FCA=90°− x，EBF= (180°−∠BFE)=90°− x即可证明∠EFC=∠AFE+∠AFC=90°，
2 2 2
❑√2
推出CF= CE；设∠ECG=2∠GBC=2y，证明 ABG≌△ACK，得到
2
△
∠K=∠AGB=∠ACB+∠GBC=45°+ y，∠ACK=∠ABG=∠ABC−∠GBC=45°−y，即可推出
∠ECK=∠K，得到EK=EC，则EK=AE+AK=AE+AG=9❑√2，由此即可得到答案．
【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，
∵在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵BF=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
1 1
设∠BFE=x，则∠EBF= (180°−∠BFE)=90°− x，
2 2
∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，
∴AH⊥BC，
∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，
∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC
1 1 1
∴∠FCA=90°− x，EBF= (180°−∠BFE)=90°− x
2 2 2
1
∴∠AFB=∠AFC=180°−∠FAC−∠FCA=45°+ x，
2
1
∴∠AFE=∠AFB−∠BFE=45°− x，
2
∴∠EFC=∠AFE+∠AFC=90°，
∴EF2+CF2=CE2，
❑√2
∴CF= CE，
2
设∠ECG=2∠GBC=2y，
∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，
∴△ABG≌△ACK（SAS），
∠K=∠AGB=∠ACB+∠GBC=45°+ y，∠ACK=∠ABG=∠ABC−∠GBC=45°−y，
∴∠ECK=∠ACE+∠ACK=45°+a，
∴∠ECK=∠K，
∴EK=EC，
∵EK=AE+AK=AE+AG=9❑√2，
∴EF=EK=9❑√2，
∴CF=9，
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性
质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（24-25八年级·江西抚州·期末）若y=❑√x−2+❑√2−x+1，求xy的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解
题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入xy中即可解
答．
{x−2≥0)
【详解】解：根据题意得： ，
2−x≥0
解得：x=2，
则y=1，
∴xy=2×1=2，
故答案为：2．
12．(3分)（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，根据图中标注在点A所表示的数为 ．
【答案】−1−❑√5
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，利用勾股定理结合两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：由图和勾股定理，得：−1到A的距离为：❑√(1+1) 2+12=❑√5，
∴点A所表示的数为−1−❑√5；
故答案为：−1−❑√5．
13．(3分)（24-25八年级·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排
成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我
们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值
A+B+C+D= ．
A B 5❑√2
5 ❑√10 C
❑√2 10 D
【答案】3❑√5+3
【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可．
【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为5❑√2×❑√10×❑√2=10❑√10，
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得，
A×5×❑√2=10❑√10，解得A=2❑√5，
B×❑√10×10=10❑√10，解得B=1，
5×❑√10×C=10❑√10，解得C=2，
❑√2×10×D=10❑√10，解得D=❑√5，
∴ A+B+C+D=2❑√5+1+2+❑√5=3❑√5+3，
故答案为：3❑√5+3．
14．(3分)（24-25八年级·山东烟台·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的
拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人
员通过测量确定了∠ABC=90°．则这片绿地的面积是 m2．
【答案】114
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接AC，勾股定理求出AC的长，勾股定理逆定理求出△ACD
为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可．
【详解】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，
∴AC=❑√AB2+BC2=15m，
∵CD=17m，AD=8m，
∴AC2+AD2=CD2，∴△ACD为直角三角形，∠DAC=90°，
1 1 1 1
∴绿地的面积= AB⋅BC+ AD⋅AC= ×9×12+ ×8×15=114m2 ；
2 2 2 2
故答案为：114．
15．(3分)（24-25八年级·山东淄博·期中）有如下一串二次根式：① ❑√52−42；② ❑√172−82；③
❑√372−122；④ ❑√652−162 ⋯，仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式 ．
【答案】❑√1012−202
【分析】本题考查了数字类变化规律，根据已知二次根式找到变化规律即可求解，由已知二次根式找到变
化规律是解题的关键．
【详解】解：①❑√52−42=❑√(22+1) 2 −(4×1) 2，
②❑√172−82=❑√(42+1) 2 −(4×2) 2，
③❑√372−122=❑√(62+1) 2 −(4×3) 2，
④❑√652−162=❑√(82+1) 2 −(4×4) 2，
∴第⑤个二次根式为❑√(102+1) 2 −(4×5) 2=❑√1012−202，
故答案为：❑√1012−202．
16．(3分)（24-25八年级·山西太原·期末）如图，在△ABC中．点D是AC边上的一点．连接BD并延长到
点E，使得BE=BA．若DA=DC=DB=5，AB=8，BC=6，则AE的长为 ．
8❑√10
【答案】
5
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点B作BG⊥AC于G，过点E作EF⊥AB于F，由DA=DC=DB=5可得AC=5+5=10，∠ABD=∠BAD，
24
进而由勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积可得BG= ，然后证明
5
24
△BFE≌△AGB(AAS)，得到EF=BG= ，最后利用勾股定理求出BF、AE即可，正确作出辅助线是
5
解题的关键．
【详解】解：过点B作BG⊥AC于G，过点E作EF⊥AB于F，则∠AGB=∠BFE=∠AFE=90°，
∵DA=DC=DB=5，
∴AC=5+5=10，∠ABD=∠BAD，
即∠FBE=∠GAB，
∵AB=8，BC=6，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，
1 1
∴S = ×AC×BG= ×AB×BC，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×10×BG= ×8×6，
2 2
24
∴BG= ，
5
在△BFE和△AGB中，
{∠BFE=∠AGB=90°
)
∠FBE=∠GAB ，
BE=BA
∴△BFE≌△AGB(AAS)，
24
∴EF=BG= ，
5
∴BF=❑√BE2−EF2=❑
√
82−
(24) 2
=
32
，
5 5
32 8
∴AF=AB−BF=8− = ，
5 5
∴AE=❑√AF2+EF2=❑
√ (8) 2
+
(24) 2
=
8❑√10
，
5 5 58❑√10
故答案为： ．
5
第Ⅱ卷
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．(6分)（24-25八年级·四川眉山·期末）计算：
(1)❑√48÷❑√3−❑
√1
×❑√12+❑√24+(❑√2+❑√3) 2
2
❑√3+❑√6
(2)❑√18−(❑√3−2)(❑√3+2)− +❑√ (1−❑√2) 2
❑√3
【答案】(1)9+3❑√6
(2)3❑√2−1
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
（1）先进行乘除和乘方运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先进行乘除法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：❑√48÷❑√3−❑
√1
×❑√12+❑√24+(❑√2+❑√3) 2
2
=4−❑√6+2❑√6+2+2❑√6+3
=9+3❑√6
❑√3+❑√6
（2）❑√18−(❑√3−2)(❑√3+2)− +❑√ (1−❑√2) 2
❑√3
=3❑√2−(3−4)−(1+❑√2)+|1−❑√2)
=3❑√2−(−1)−1−❑√2+❑√2−1
=3❑√2+1−1−❑√2+❑√2−1
=3❑√2−1
18．(6分)（24-25八年级·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE=5cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF=7cm，且与摆锤在最低
点时的水平距离为BC=10cm，求钟摆AD的长度．
【答案】钟摆AD的长度26cm
【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键．
先说明CD=2cm，设AB=xcm，则AC=AD−CD=x−2，再根据勾股定理可知AB2=AC2+BC2列方
程求解即可．
【详解】解：由题意可知：AD=AB，CE=BF=7cm，
∴CD=CE−DE=7−5=2(cm)，
设AB=xcm，则AC=AD−CD=x−2，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，即x2=(x−2) 2+102，解得：x=26．
答：钟摆AD的长度26cm．
19．(6分)（24-25八年级·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称
a与b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与❑√3是关于4的因子二次根式，则a=________________；
(2)若❑√3−1与m−❑√3是关于2的因子二次根式，求m的值．
4❑√3
【答案】(1)
3
(2)2❑√3+1
【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据题意列出式子，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意可得❑√3a=4，
4❑√3
解得a= ，
34❑√3
故答案为： ；
3
（2）解：根据题意得(❑√3−1)×(m−❑√3)=2，
2
所以m−❑√3= =❑√3+1
❑√3−1
解得m=2❑√3+1
即m的值为2❑√3+1．
20．(8分)（24-25八年级·广东梅州·期中）如图1，这是某超市的儿童玩具购物车，图2是它的简化平面示
意图，测得支架AC=24cm，BC=18cm，两轮中心之间的距离AB=30cm．
(1)求点C到AB的距离；
(2)如图2，小康建立适当的平面直角坐标系，使得AB所在的直线为x轴，点C在y轴上，请求A，B，C三
点的坐标．
72
【答案】(1)点C到AB的距离为 cm
5
( 96 ) (54 ) ( 72)
(2)A − ,0 ，B ,0 ，C 0,
5 5 5
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，坐标与图形；
（1）根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，进而根据等面积法，即可求解；
72
（2）由（1）可得CO= ，可得C的坐标，根据勾股定理先求得AO的长，进而得出点A的坐标，根据
5
OB=AB−OA得出B的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：因为AB=30,AC=24,BC=18，所以AC2+BC2=242+182=900,AB2=900，
所以AC2+BC2=AB2，
所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘．设点C到AB的距离为ℎ cm，
1 1 24×18 72
因为S = AB⋅ℎ = AC⋅BC，所以ℎ = = ,
△ABC 2 2 30 5
72
所以点C到AB的距离为 cm．
5
72
（2）因为AC=24,CO= ，
5
所以AO= ❑
√
242−
(72) 2
=
96
，
5 5
( 96 )
所以A − ,0 ．
5
96 54
因为BO=AB−AO=30− = ，
5 5
(54 )
所以B ,0 ．
5
72
因为CO= ，
5
( 72)
所以C 0, ．
5
21．(8分)（24-25八年级·江西景德镇·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格
的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形，
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为❑√10、2❑√5、❑√10
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形，
（2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形，
本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长，熟练掌握定理即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示：正方形ABCD即为所求；（2）解：如图2所示：三角形ABC即为所求．
22．(9分)（24-25八年级·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图
形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从
而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且m+n=4，求❑√m2+1+❑√n2+4的最小值．通过分析，小明想到
了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=4，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段
AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n．
①用含m的代数式表示CE= ，用含n的代数式表示DE= ；
②据此写出❑√m2+1+❑√n2+4的最小值是 ；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49的最小值是 ；
(3)【感悟探索】
①已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，试运用构图法，画出图形，并写出❑√a2+b2+❑√b2+c2+❑√a2+c2的
最小值；②若a，b为正数，写出以❑√a2+b2，❑√4a2+4b2，❑√9a2+b2为边的三角形的面积是 ．
【答案】(1)①❑√m2+1，❑√n2+4；②5
(2)20
(3)①见解析，❑√2；②2ab
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法．
（1）①利用勾股定理可得CE和DE的长；
②利用三角形三边的关系得到CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的
延长线于H，易得四边形ABDH为长方形，利用勾股定理计算出CD=5，从而得到结论；
（2）利用（1）中的方法画出图形，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16−x，利用勾股定
理得到，CE=❑√AC2+AE2=❑√x2+25，DE=❑√BE2+BD2=❑√(16−x) 2+49；根据三角形三边的关系得
到而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，易得四边形
ABDH为长方形，利用勾股定理计算出CD即可得到代数式❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49的最小值；
（3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结
论；
②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长3a，2b的长方形，利用勾股定理构图解答即可．
【详解】（1）解：①在Rt△ACE中，CE=❑√m2+1，
在Rt△BDE中，DE=❑√22+n2=❑√n2+4，
故答案为：❑√m2+1，❑√n2+4；
②连接CD，
由①得❑√m2+1+❑√n2+4=CE+DE，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图1，易得四边形ABDH为长方形，∴AH=BD=2，DH=AB=4，
在Rt△CHD中，CD=❑√CH2+DH2=❑√(AC+AH) 2+DH2=❑√(2+1) 2+42=5，
∴CE+DE的最小值为5，
即❑√m2+1+❑√n2+4的最小值是5；
故答案为：5；
（2）解：如图，
设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16−x，
在Rt△ACE中，CE=❑√AC2+AE2=❑√x2+25，
在Rt△BDE中，DE=❑√BE2+BD2=❑√(16−x) 2+49；
∴❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49=CE+DE，
而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作DH⊥CA交CA的延长线于H，易得四边形ABDH为长方形，
∴AH=BD=7，DH=AB=16，
∴CH=AC+AH=5+7=12，
在Rt△CHD中，CD=❑√CH2+DH2=❑√122+162=20，
∴CE+DE的最小值为20，
即❑√x2+25+❑√(x−16) 2+49的最小值为20．故答案为：20；
（3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下：
则a+b+c=1，AB=❑√a2+b2，BC=❑√b2+c2，CD=❑√a2+c2，
∴AB+BC+CD=❑√a2+b2+❑√b2+c2+❑√a2+c2，
利用两点之间线段最短可知：AB+BC+CD≥AD（当且仅当A、B、C、D共线时取等号），
∵AD=❑√12+12=❑√2，
∴AB+BC+CD的最小值为❑√2，
∴❑√a2+b2+❑√b2+c2+❑√a2+c2的最小值为❑√2；
②分别以3a，2b为边长作出长方形ABCD，则AB=3a，AD=2b，AB上取一点E，使AE=a，则
BE=2a，取AD的中点为F，连接EF，FC，EC，如图，
∴AE=a，AF=DF=b，BE=2a，CD=AB=3a，BC=AD=2b，
∴EF=❑√AF2+AE2=❑√a2+b2，
FC=❑√DF2+CD2=❑√9a2+b2，
EC=❑√BE2+BC2=❑√4a2+4b2，
∴以❑√a2+b2，❑√4a2+4b2，❑√9a2+b2为边的三角形的面积=S ，
△EFC
∵S =S −S −S −S
△EFC 矩形ABCD △AEF △DFC △BEC1 1 1
=3a⋅2b− ab− ⋅3a⋅b− ⋅2a⋅2b
2 2 2
1 3
=6ab− ab− ab−2ab
2 2
=2ab，
∴以❑√a2+b2，❑√4a2+4b2，❑√9a2+b2为边的三角形的面积为2ab，
故答案为：2ab．
23．(9分)（24-25八年级·福建漳州·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式
子可以写成另一个式子的平方，如3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ，善于思考的小明进行了以下探索：
若设a+b❑√2=(m+n❑√2) 2=m2+2n2+2mn❑√2（其中a、b、m、n均为整数），则有a=m2+2n2，
b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解
决下列问题：
(1)若a+b❑√7=(m+n❑√7) 2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=
______，b=______；
(2)若a+6❑√3=(m+n❑√3) 2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简下列各式：
①❑√5+2❑√6
②❑√7−2❑√10
③❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5．
【答案】(1)m2+7n2，2mn
(2)12或28
(3)①❑√3+❑√2，②❑√5−❑√2，③❑√5+1
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到6=2mn，利用a、m、n均为正整数得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用
a=m2+3n2计算对应a的值；
（3）设 ，两边平方得到
❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5=t t2=4−❑√10+2❑√5+4 +❑√10+2❑√5，然后利用（1）中的结论化简得到 ，最后把 写成完全平方形式
+2❑√16−(10+2❑√5) t2=6+2❑√5 6+2❑√5
可得到t的值．
【详解】（1）设a+b❑√7=(m+n❑√7) 2=m2+7n2+2mn❑√7（其中a、b、m、n均为整数），
则有a=m2+7n2，b=2mn；
故答案为：m2+7n2，2mn；
（2）∵6=2mn，
∴mn=3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=m2+3n2=12+3×32=28；
当m=3，n=1时，a=m2+3n2=32+3×12=12；
即a的值为12或28；
（3）①❑√5+2❑√6
=❑√3+2+2❑√3×❑√2
=(❑√3+❑√2) 2
=❑√3+❑√2
②❑√7−2❑√10
=❑√5+2−2❑√5×❑√2
=(❑√5−❑√2) 2
=❑√5−❑√2
③设❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5=t，
则t2=4−❑√10+2❑√5+4 +❑√10+2❑√5 +2❑√16−(10+2❑√5)
=8+2❑√6−2❑√5
=8+2❑√ (❑√5−1) 2
=8+2(❑√5−1)
=6+2❑√5=(❑√5+1) 2 ，
∴t=❑√5+1．
【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目
特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（10分）（24-25八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体
木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程．
【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长；
（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直．
【详解】解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝❑√BC2+GC2＝❑√4 2+32＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；
（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为❑√(3+3+5) 2+42＝❑√137②把ABEF展开，如图
此时的总路程为❑√(3+3+4) 2+52＝❑√125＝5❑√5
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为❑√(3+3) 2+(5+4) 2＝❑√117
由于❑√117＜❑√125<❑√137，所以第三种方案路程更短，最短路程为❑√117．
25．(10分)（24-25八年级·江苏南京·期中）如图，△ABC中，BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm，若动
点M从点C出发，沿着△ABC的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t
秒．(1)当t＝ 时，BM平分∠ABC；
(2)求t为何值时，△BCM为等腰三角形？
(3)另有一点N，从点C开始，沿着△ABC的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒2cm，若M、N两点
同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t= s时，直线MN把△ABC的周长分成
相等的两部分？
【答案】(1)3
54
(2)6或 或12或13
5
(3)4或12
【分析】（1）过点M作MD⊥AB于D，证明△MBD≌△MBC，得出BD=BC=6cm，由勾股定理列方
程，即可求得答案；
（2）分情况讨论：①M在边AC上时，求出CM的长，即得答案；②点M在边AB上时，有三种情况，分
别求出AM+AC的值，即得答案；③在边BC上时，不能构成三角形；由此即得答案；
（3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：过点M作MD⊥AB于D，
则∠ADM=∠BDM=90°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBD=∠MBC，
∵BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴∠BDM=∠C=90°，
在△MBD和△MBC中，
{∠BDM=∠C=90°
)
∠MBD=∠MBC ，
MB=MB
∴△MBD≌△MBC(AAS)，∴BD=BC=6cm，MC=MD，
∴AD=AB−BD=4cm，
设MC=MD=xcm，则AM=(8−x)cm，
在Rt△ADM中， x2+42=(8−x) 2，
解得：x=3，
∴t=3，
即当t为3时，BM平分∠ABC；
（2）解:①当点M在AC上，如图，CB=CM时，CM=6cm，
则t=6；
②当点M在AB上，CB=CM时，过点C作CD⊥AB于D，
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CD
△ABC 2 2
，
6×8 24
∴CD= = cm，
10 5
√ 24 2 18
在Rt△BDC中，BD=❑√BC2−CD2=❑62−( ) = cm，
5 5
∵CB=CM，CD为AB边上的高，
18
∴BD=MD= cm，
5
18 18 14
∴AM=10− − = cm，
5 5 5
14 54
∴AC+AM=8+ = cm，
5 554
则t= ，
5
当BC=BM=6cm时，AM=4cm，
∴AC+AM=8+4=12cm，
∴t=12，
当CM=BM时，∠MCB=∠B
∵∠ACM+∠MCB=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACM=∠A
∴AM=MB=5cm
，
∴AM+AC=8+5=13cm，
∴t=13，
③当点M在边BC上时，不能构成三角形；
54
综上所述，当t=6或 或12或13时，△BCM为等腰三角形；
5
（3）解：分两种情况：
①M、N相遇前，当M点在AC上，N在AB上，如图所示：
则t+2t=12，
∴t=4；
②在M、N相遇后，当M点在AB上，N在AC上，如图所示：则t+2t=12+24，
∴t=12；
∴t为4或12时，直线MN把△ABC的周长分成相等的两部分．
故答案为：4或12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的
性质，一元一次方程的应用，正确画出图形变换时的图形是解题的关键．
