5.2三角函数的公式及应用（精练）（教师版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

5.2 三角函数的公式及应用（精练） 1．（2023·河南郑州）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 .故选：D 2．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线 与直线 垂直，若直线 的倾斜角为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为 ，所以 ， 所以 .故选：D. 3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知 ， ，则 （ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，则 ，且 ，则 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，即 ，解得 或 （舍去）. 故选：A. 4．（2023·广东广州·统考三模）若 ，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，故选：A. 5．（2023·陕西咸阳）已知 为第二象限角， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 为第二象限角， ， 原式 . .故选：B. 6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知 是直线 的倾斜角，则 的值为 （ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：由题意可知 ，（ 为锐角），∴ ， 法二：由题意可知 ，（ 为锐角）∴ ， ．故选：B． 7．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）在斜三角形ABC中， ，且 ，则角A的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 可得 ， 则 ，得 ，即 ， 又 ，所以 ，即 ，又 ，则 ，故选：A. 8．（2023·广西南宁·统考二模）已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 得 ，化简得： ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 或 ，因为 ，所以 . . .故选：B. 9．（2023·山西阳泉·统考二模）已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以 . 因为 ，所以 ，所以 . 因为 ， 所以 .故选：B. 10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 两边平方得 ，则 ， 故 ．故选：C. 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若 ， ，则 （ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， ， ， 又 ，所以 ，即 ， 所以 .故选：C 12．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， .故选：D 13．（2023·全国·模拟预测）若 为第二象限角，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，即 ，解得 或 （舍去）， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 为第二象限角，所以 ， ， 所以 .故选：C. 14．（2023·四川凉山·三模）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，若点 是 角 终边上一点，则 （ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知， ，所以 ， ， 因为 . 故选：C. 15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知锐角 ， 满足 ，则 的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 即 ，即 ，所以 . 故选：C 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 分别是 与 的等差中项和等比 中项， 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得 ， ， 且 ， 所以 ，即 ，解得 又因为 ，所以 ， 所以 故选:A 17．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ， 所以 .故选：D. 18．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 ，即 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，所以 ，故选：C． 19．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）在平面直角坐标系中，角 与 的顶点在原点，始边与x轴非 负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，角 与 的顶点在原点，终边构成一条直线，所以 ， ， 所以 ， 又 ，所以 , 故选：C 20．（2023·山东威海·统考二模）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 .故选：C 21．（2023·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，而 ，因此 ， 则 ， 所以 . 故选：B 22．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ，则 ， 所以 ，则 ， 所以 . 故选：D 23．（2023·河南开封·校考模拟预测）若 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 即 ，即 ， 因为 ，所以 ， ，则 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以 .故选：B 24．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知 ，若 ， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 .故选：C. 25．（2023·全国·统考高考真题）“ ”是“ ”的（ ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解析】当 时，例如 但 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 推不出 ； 当 时， ， 即 能推出 . 综上可知， 是 成立的必要不充分条件. 故选：B 26．（2023·宁夏银川·校联考二模）化简 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B 27．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件 宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”． 如果把顶角为 的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一 个正五边形组成．如图所示， （黄金分割比），则 （ ） 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 过D作 于E，则 ． ， 所以， . 故选：D． 28．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数 ，且其图象在点 处的 切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 所以 ，解得 ， 所以 由题意可知， ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .故选：B. 29．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知 ，则（ ） A． 为第二象限角 B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为 ，所以有 ，所以得到 ， 又 ，所以 ，可得 且 为第一象限角， 故 ，故A不正确，B正确； 又 ，故 ，所以 ， ，故C正确； 由 ， ，知 ，故D不正确． 故选：BC. 30．（2023·山东烟台·统考二模）已知 ，则 的值为__________． 【答案】 【解析】因为 ， 所以 .故答案为： 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】31．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 ， ，则 ______． 【答案】 【解析】由 可得 ，则 ， 又 ，则 ，则 ， 故 ． 故答案为： ． 32．（2023·全国·高三专题练习） ______ 【答案】 【解析】 ． 故答案为： . 33．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 ，则 ___________． 【答案】 【解析】由 平方得 ，结合 得 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， 所以 ，由于 ，所以 , 所以 ， 故答案为： 34．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知 ，则 _____． 【答案】 【解析】 又 ，则 故答案为： 35．（2023·山东泰安·统考二模）已知 ，则 _______. 【答案】 【解析】因为 ，故可得 ， 则 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： . 36．（2023·新疆·校联考二模）若 ，则 ________． 【答案】 【解析】依题意， . 故答案为： 1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知角 ， 满足 ， ，则 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由 得 ， 进而 ， 则 所以 ， 则 . 故选：A. 2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知 ， ，则 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， ， 因为 ，所以 ，所以 ，即 ， 所以 .故选：B 3．（2023·河北·校联考模拟预测）若 ，则 （ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为 ， 可得 ， 可得 ， 解得 ，因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 故选：C. 4．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）若 ，则 （ ） A． B．0 C． D．1 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 即 ，则 所以 则 ，即 . 故选：B. 5．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， 则 . 故选：D 6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知 ， ，则 的值为（ ） 1 1 1 A． 1 B． C． D． 2 3 4 6 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D π  【解析】由于 ，且 ， tantan3 3 3 3 则 sin sin sincoscossin sin() 2 ，     3 3 cos cos coscos coscos coscos 1 整理得 coscos ， 6 1 则 cos()coscossinsin ， 2 1 1 1 sinsin   整理得 ， 2 6 3 1 1 1 所以cos()coscossinsin   . 6 3 6 故选：D. 7．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以 为始边，角 与 的终边分别与单位圆相交于 ， 两点，且 ， ，若直线 的斜率为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得 ， ， ， 则直线 所对的倾斜角为 ， ，即 ，则 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ， ， 又因为 ， ， 则 ，结合 ， 解得 ， 故选：B. 8．（2023·山东烟台·统考三模）已知 满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 即 ， 显然 ，两边同除 得： ， ， 即 ，易知 ， 则 ， 故选：A. 9．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知 为锐角， ， ，则 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 又 为锐角， ，所以 ，解得 ， 因为 为锐角，所以 ， 又 所以 .故选：A. 10．（2023·全国·统考高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ， 过点 作圆C的切线，切点为 ， 因为 ，则 ， 可得 ， 则 ， ， 即 为钝角， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ； 法二：圆 的圆心 ，半径 ， 过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ， 可得 ，则 ， 因为 且 ，则 ， 即 ，解得 ， 即 为钝角，则 ， 且 为锐角，所以 ； 方法三：圆 的圆心 ，半径 ， 若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ， 则 ，整理得 ，且 设两切线斜率分别为 ，则 ， 可得 ， 所以 ，即 ，可得 ， 则 ， 且 ，则 ，解得 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B. 11．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ， 则 （ ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】依题意，等差数列 中， ， 显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又 ， 则在 中， 或 ， 于是有 ，即有 ，解得 ， 所以 ， . 故选：B 12．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D．1 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B 【解析】由 ， 得 ，① 化简①式，得 ，又 ， 所以 ，即 ， 因为 ， ， 所以 ， 且 在 上单调递增，所以 ， 所以 ，则 ，所以 . 故选：B． 13．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 得 所以 . 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， 所以 . 故选：A 14．（2023·全国·校联考模拟预测）我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直 的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为 ，且某个车轮上的点 刚 好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离 ，则此时 到铁轨上表面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当列车行驶的距离为 时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为 ， 车轮转过的角度为 ， 点的初始位置为 ， 设车轮的中心为 ， 当 时，作 ，垂足为 ，如下图所示， 则 ， 到铁轨表面的距离为 ； 当 时， ，作 ，垂足为 ，如下图所示， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， 到铁轨表面的距离为 ； 当 时， ，作 ，垂足为 ，如下图所示， 则 ， 到铁轨表面的距离为 ； 当 时，作 ，垂足为 ，如下图所示， 则 ， 到铁轨表面的距离为 ； 当 或 或 或 时， 到铁轨表面的距离满足 ； 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，点 到铁轨表面的距离为 ， ， 综上所述：点 到铁轨表面的距离为 . 故选：C. 15．（2023·全国·模拟预测）若 且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ，得 ，得 ， 则 ， 因为 ， 因为 ，所以 ，故 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 故 ， 所以 ，所以 的最小值是 ， 故选：B 16．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知 为坐标原点，点 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A， ，A正确； 对于B， ， ， ， 因此 ，B正确； 对于C，由选项B知，C正确； 对于D， ， 显然 与 不恒等，即 不恒成立，D错误. 故选：ABC 17．（2023·安徽黄山·统考二模）（多选）若 ，则 的值可能是（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】CD 【解析】由余弦的二倍角公式知， 得到 ，即 ，解得 或 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 当 时， 所以，当 时， 或 ， 当 时， 或 ， 故选：CD. 18．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 ______． 【答案】 【解析】 ， 故 ， 由 ， 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 的符号相反，所以 ， 所以 ， 因为 ，故 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， 故答案为： . 19．（2023·北京海淀·校考三模）若点 与点 关于 轴对称，写出一 个符合题意的 ______. 【答案】 （答案不唯一） 【解析】因为点 与点 关于 轴对称， 则 ， 由 可得 ，则 ，所以 ， 由 ，可得 ，则 ，所以 ， 因此 ，取 . 故答案为： （答案不唯一） 20．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测） _________． 【答案】 【解析】法1： . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】法2： . 法3：余弦定理 ， 根据正弦定理， ，取三角形三个内角分别 ， 则 ． 故答案为： . 21．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形 中．以 为圆心，1为半径的圆分别交 ， 于点 ， ．当点 在劣弧 上运动时， 的最小值为_________． 【答案】 / 【解析】如图，以点 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则 ，设 ， 则 ， 则 ， 由 ，得 ， 所以当 ，即 时， 取得最小值 . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： . 22．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知数列 满足：对于任意 有 ， 且 ，若 ， ，数列 的前n项和为 ，则 ________． 【答案】 【解析】因为 ，则 ， 由 ， ，可得 ， ， 所以 是以 为首项，1为公差的等差数列， 所以 ， ， ， 所以 ， 所以 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】． 故答案为: . 23．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知点 ， ， ， ，若 ，则 ______ ． 【答案】 【解析】因为 ， ， ， 所以 ， ， 又 ， 所以 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 故答案为： ． 24．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）若 ， 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 ______. 【答案】 【解析】由 ， 得 ， ， 即 ， . 设 ，定义域为 , 则 所以 是 上的奇函数， 又因为 ，所以 是 上的单调增函数. 又因为 ， ，所以 ， 所以 ，即 ，所以 . 故答案为： . 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】