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专题 14.9 整式的乘法与因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 巧用幂的运算逆向运算】..........................................................................................................................1
【题型2 整式乘法中不含某项问题】......................................................................................................................1
【题型3 多项式乘法中的规律性问题】..................................................................................................................2
【题型4 巧用乘法公式求值】..................................................................................................................................3
【题型5 乘法公式的几何背景】..............................................................................................................................4
【题型6 利用因式分解探究三角形形状】..............................................................................................................7
【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】..............................................................................................................8
【题型8 因式分解的应用】......................................................................................................................................9
【题型1 巧用幂的运算逆向运算】
【例1】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）已知2a=3，2b=6，2c=12，
（1）2c-b= ；
（2）a，b，c之间满足的等式关系为 ．
【变式1-1】（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知常数a，b满足 ，且( ，
2a×22b=8 5a ) 2×(52b ) 2÷(53a ) b=1
求ab的值，
【变式1-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知xn=2，yn=3．
（1） 的值为 ；
(xy) 2n
（2）若x3n+1 ⋅y3n+1=64，则xy的值为 ．
【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若
，且 ， 、 都是正整数），则 ，例如：若 ，则 ．小明将这个发现与老
am=an (a>0 a≠1 m n m=n 5m=54 m=4
师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：
(1)如果2×4x×32x=236，求x的值；
(2)如果3x+2+3x+1=108，求x的值．【题型2 整式乘法中不含某项问题】
【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若 的展开式中不
(x2+nx+3)(x2-3x+m)
含x2和x3项，则m+n= ．
【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：
已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．
小亮和小新展开了下面的讨论：
小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；
小新：这道题与y的值无关，可以求解；
根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？
【变式2-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知 的展开式中不含x的一次项，
(x2+mx-3)(2x+n)
常数项是－6，则mn的值为 ．
【变式2-3】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x、y的代数式
的值与 的取值无关，求实数 、 的值．
(2x+5 y3)(2x-5 y3)-(mx-3) 2+nx x m n
【题型3 多项式乘法中的规律性问题】
【例3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中
第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按
此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．
【变式3-1】（2023春·重庆·八年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三
角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，
它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三
角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，
3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝ ．
（2） 的展开式共有______项，系数和为_______．
(a+b) n
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．
【变式3-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，
图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形
中，小正方体木块总数应是 ．
【变式3-3】（2023春·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料：
；
(x-1)(x+1)=x2-1
；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1⋯⋯
（1）根据以上规律， = ；
(x-1)(xn-1+xn-2+xn-3+⋯+x+1)
（2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000的值
【题型4 巧用乘法公式求值】
【例4】（2023春·湖南益阳·八年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或
公式计算下列各题1 1
(1)已知a+ =5，求a2+ 的值
a a2
(2)计算：2-22-23-⋯-218-219+220（写计算过程）
(3)设a，b，c，d都是正整数，并且a5=b4，c3=d2，c-a=19求d-b的值．
【变式4-1】（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）
2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．
【变式4-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x- y=-1，则：
（1）x+ y= ．（2）求x，y的值分别为 ．
【变式4-3】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）已知(a-b)(a+b)=a2-b2．
(1) ______；
(2-1)(2+1)(22+1)=
(2)求 的值；
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
(3)求 结果的个位数字．
2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
【题型5 乘法公式的几何背景】
【例5】（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）【知识生成】
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到
，基于此，请解答下列问题：
(a+b) 2=a2+2ab+b2
【直接应用】（1）若x+ y=3，x2+ y2=5，求xy的值；
【类比应用】（2）填空：①若 ，则 ；
x(3-x)=1 x2+(x-3) 2=
②若 ，则 ；
(x-3)(x-4)=1 (x-3) 2+(x-4) 2=
【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中A，O，
D在一直线上，连接AC，BD．若AD=16，S +S =68，求一块直角三角板的面积．
△AOC △BOD【变式5-1】（2023春·全国·八年级期末）工厂接到订单，需要边长为（a+3）和3的两种正方形卡纸．
（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁
剪得边长为3的正方形．
①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用
含a代数式来表示）；
（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中
两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴
影部分的面积为S，图2中阴影部分的面积为S 测得盒子底部长方形长比宽多3，则S﹣S 的值为 ．
1 2 2 1
【变式5-2】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研
究代数间刻时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何
方法生成代数结论，请解决以下问题．
构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1
剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面
积，可以验证下列选项中的公式 （填选项即可）；A． ；B． ；C．
a2-2ab+b2=(a-b) 2 a2-b2=(a+b)(a-b) a2+ab=a(a+b)
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①若x2-9 y2=12,x+3 y=4，求x-3 y的值为 ；
②计算：20192-2020×2018= ．
构图二：如图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为1的小长方体后重新拼成一个新长方体．
请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．
构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中
正方形MNPQ与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为a(a+4b)，正方形MNPQ的边长为a，
则八边形ABCDEFGH的面积为 ．
【变式5-3】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得
到一个数学等式．例如：由图1可得到
(a+b) 2=a2+2ab+b2(1)写出由图2所表示的数学等式：________________________．
(2)根据上面的等式，如果将a-b看成a+(-b)，直接写出 ( n- 1 +1 ) 2 的展开式（结果化简）；若n2+ 1 =6，
n n2
( 1 ) 2
求 n- +1 的值．
n
(3)已知实数a、b、c，满足以下两个条件：a2+b2+c2+2a-4b+6c=-10且
(a+1)(c+3)+(b-2)(c+3)=(a+1)(b-2)，求a+b-c的值．
【题型6 利用因式分解探究三角形形状】
【例6】（2023春·广东河源·八年级校考期中）已知：a、b、c为△ABC的三边长，且
试判定△ABC的形状．
a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=0
【变式6-1】（2023·重庆·八年级统考期中）已知x，y，z是 ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则
ABC的形状是 ． △
△【变式6-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多
项式无法直接使用上述方法分解，如a2-4ab+4b2-1，我们可以把它先分组再分解：
，这种方法叫做分组分解法．
a2-4ab+4b2-1=(a-2b) 2-1=(a-2b+1)(a-2b-1)
请解决下列问题：
(1)分解因式：a2-4b2+2a-4b；
(2)已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2-b2-bc+ac=0，请判断△ABC的形状，并说明理由，
【变式6-3】（2023春·湖南怀化·八年级溆浦县第一中学校考期中）教科书中这样写道：“我们把多项式
a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先
添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解
决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式 ；
=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1) 2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式 ．可知当 时， 有最小值，最小值是 ．
=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1) 2-8 x=-1 2x2+4x-6 -8
(1)用配方法分解因式：a2+2a-8
1 2
(2)已知a、b、c是△ABC的三条边长．若a、b、c满足a2+ b2+10=6a+ b-|c-3|，试判断△ABC的
9 3
形状，并说明你的理由．
(3)当m，n为何值时，多项式2m2-4mn+5n2-4m-2n+16有最小值，并求出这个最小值．
【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】
【例7】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提
公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如： ．
x2-2xy+ y2-4=(x2-2xy+ y2)-4=(x- y) 2-22=(x- y-2)(x- y+2)
②拆项法：
例如： ．
x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1) 2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x- y2+1；
②（拆项法）x2-6x+8；
(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0，求△ABC的周长．
【变式7-1】（2023秋·陕西汉中·八年级统考期中）阅读理解：
对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三
x2+2ax+a2 x2+2ax+a2=(x+a) 2
项式x2+2ax-8a2，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax-8a2中先
加上一项a2，使其成为某个多项式的平方，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：
x2+2ax-8a2
=x2+2ax-8a2+a2-a2=x2+2ax+a2-8a2-a2
=(x2+2ax+a2)-(8a2+a2)
=(x+a) 2 -9a2
=(x+a+3a)(x+a-3a)
=(x+4a)(x-2a)
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
请用上述方法将下列各式进行因式分解．
(1)x2+2ax-3a2；
(2)a4+4．
【变式7-2】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2023年版》关于
运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过
的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的
新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已
学过的方法进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式x3-9x+8．
解：添加两项-x2+x2．
原式=x3-x2+x2-9x+8
=x3-x2+x2-x-8x+8
=x2(x-1)+x(x-1)+8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
(1)分解因式：x2+9x-10；
(2)分解因式x3-2x2-5x+6；
(3)分解因式：x4+5x3+x2-20x-20．
【变式7-3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式
法将它分解成 的形式．但对于二次三项式 ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以
(x+a) 2 x2+2ax-3a2
在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个
式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2
＝
(x+a) 2-(2a) 2
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7；
②a4+a2b2+b4．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①a2+b2；
②a4+b4的值．
【题型8 因式分解的应用】
【例8】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）对于一个四位自然数N，其千位数
字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0，将自然数N
的千位数字和个位数字组成一个两位数ad，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字bc，记为B，
若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，A=65，
B=34，65+34=99，11(6+3)=99，所以6345是“坎数”．若N 为“坎数”，且A+B=99，则N 最
1 1
a+b
大为 ；若N 为“坎数”，且a>b，当 为9的倍数时，则所有满足条件的N 的最大值为
2 c-d 2
．
【变式8-1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务．
生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，
其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2-x-2可以因式分解为(x-1)(x+1)(x+2)，当
x=29时，x-1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．
任务：
(1)根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3-x y2分解因式后可以形成哪些数字密码？
(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式
x3y+x y3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）如图1，现有3种不同型号的A型、B型、C型卡片若干
张．
(1)已知1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片可拼成如图2所示的正方形，用不同的方法计算图2中阴
影部分的面积，可得到等式：______ ；
(2)请用上述三种型号的卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形(无空隙，不重叠)，在图4虚
线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式2a2+5ab+2b2因式分解的结果；
(3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为m(a
