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专题17 函数初步与一次函数13个考点集训（原卷版）
第一部分 知识导航
模块一：函数初步
1．常量与变量的概念：在一些变化过程中，有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量；
在一些变化过程中，有一种量，可以取不同数值的量，叫做变量．
2．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，
此时称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量．
例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系： ，这里 表示圆周率；它的数值不会变化，
是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量．
3．数学上表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如： ， ．
（2）列表法：通过列表表示函数的方法．
（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
4．关于函数的关系式（解析式）的理解：
（1）函数关系式是等式．例如 就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等
式左边的一个字母表示函数． 例如 中x是自变量，y是x的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如： 是表示y是x的函数，若写成 就表
示x是y的函数．
（4）求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．
5．函数图象：
（1）列表：对应到x的每一个值，y有唯一确定的值，列表；
（2）描点：把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，画点；
（3）连线：坐标平面内把这些点连接起来所组成的图形，就是这个函数的图象．
6．函数解析式与函数图象的关系：
①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
②函数图象上点的坐标满足函数解析式．
模块二：一次函数图像、性质及解析式
1．正比例函数
（1）定义：一般地，形如 （k为常数， ）的函数，叫正比例函数，k叫比例系数．
（2）图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数 也叫直线 .
（3）性质：
示意图（草图） 图象位置 变化趋势 性质（增减性）
y
经过原点和 从左向右 y随x的增大而增大
O
x 第一、三象限 上升 y随x的减小而减小y
经过原点和 从左向右 y随x的增大而减小
O x 第二、四象限 下降 y随x的减小而增大2．一次函数
（1）定义：一般地，形如 （k，b为常数， ）的函数，叫做一次函数．
当 时， 即为 ，所以正比例函数是特殊的一次函数．
（2）图象：一次函数 的图象是一条直线，我们称它为直线 ，它可以看作直线
平移 个单位长度而得到（当 时，向上平移；当 时，向下平移）．
（3）图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点 ，与x轴交于点 ．
（4）性质：
示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性）
y
O
一、二、三
x
从左向右 y随x的增大而增大，
y 上升 y随x的减小而减小
O
一、三、四
x
y
一、二、四
O x
从左向右 y随x的增大而减小，
y 下降 y随x的减小而增大
O
二、三、四
x
（5）一次函数的解析式
①待定系数法：
因为两点确定一条直线，所以有两个已知的点 ， 带入解析式 中，通过解关于
k、b的二元一次方程组确定k与b的值，就可以求出解析式．步骤：一设二代三解．
②点斜式，让学生理解这种方法，并熟练使用，提升解题速率．
第二部分 典例剖析+变式训练
考点一 函数的概念
典例1（2023•泾阳期末）如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中表示y不是x的函数的是（
）
A． B． C． D．
变式训练1．（2023秋•长丰县期末）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋•佛山期末）下列各图中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春•栾城区校级期中）下列四个选项中，y不是x的函数的是（ ）
3
A．y＝2x﹣7 B．y= C．y＝x2 D．y=±❑√x
x
4．（2023秋•大观区校级期中）在式子①y＝3x+1，②y＝x2﹣1，③y=❑√x，④y＝|x|，⑤|y|＝|x|中，y
是x的函数的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点二 函数关系式
典例2（2023秋•双流区期末）如图，要围一个长方形ABCD的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用35
米长的篱笆围成另外三边．为了方便进出，在BC边上留了一个2米宽的小门．设AB边的长为x米，
BC边的长为y米，则y与x之间的关系式是 ．
变式训练
1．（2023秋•凤阳县期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 r，则圆周长C与r的关系式
为C＝2 r．在上述变化中，自变量是（ ）
A．2 π B．半径r C． D．周长C
2．（2022秋•陇南期末）如图，将质量为10kg的铁球π 放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可
自由转动，在B处用力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为x m，g取10N/kg，则F关于x的函数解析式为（ ）
100 90 9 10
A．F= B．F= C．F= D．F=
x x x x
3．（2023•裕华区校级模拟）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据
如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
近视眼镜的度 200 250 400 500 1000
数y（度）
镜片焦距x 0.5 0.4 0.25 0.2 0.1
（米）
100 x 400 x
A．y= B．y= C．y= D．y=
x 100 x 400
4．（2024•河北一模）打出租汽车是城市中最常见的运输方式．若出租汽车1km的起步价是5元，之后的
每公里车程需要支付2元，则出租车价格y（元）和里程x（km）对应的函数是 ．
5．（2023秋•无锡期末）已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，
弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是 ．
6．（2023秋•太原期末）有若干张如图①所示的拼图卡，用3张这样的拼图卡按图②的方式无缝隙拼接
在一起，拼成的图案总长为10cm；如图③，用8张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长
为25cm；若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为y（cm），则y与x之间的函数
关系式为 y ＝ 3 x + 1 （x为正整数）．
7．（2023秋•曹县期末）将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸若干张，按如图所示的方式黏合起来，黏
合部分的宽为3cm．（1）根据题意，将下面的表格补充完整；
白纸张数x 1 2 3 4 5
纸条总长度y/cm 20 54 71
（2）写出y与x的表达式．
考点三 函数自变量的取值范围
1 1
典例3 （2024•肇源县开学）函数y= + 中，自变量x的取值范围是（ ）
❑√x−1 x−2
A．x≤1 B．x≥1且x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x＞1
变式训练
1．（2024•邹城市校级一模）函数y=❑√2−x中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤0
2．（2024•昭通一模）下列函数中，自变量x的取值范围是x＞1的函数是（ ）
2 1
A．y=2❑√x−1 B．y= C．y＝x﹣1 D．y=
❑√x−1 x−1
2x
3．（2024•五华区校级模拟）函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
1−x
A．x≠1 B．x＜1 C．x≠0 D．x≤1
❑√x+5
4．（2024•湖南模拟）若函数 有意义，则自变量的取值范围为： ．
x+2
❑√1−x
5．（2023秋•绥化期末）函数y= 中自变量x的取值范围是 ．
x+3
3
6．（2023秋•富锦市校级期末）函数y=❑√2x+4− 的自变量x的取值范围是 ．
x−1
考点四 函数的图象
典例4 （2024•淮安区一模）已知点M（4，a），N（﹣4，a），P（﹣2，a﹣2）在同一个函数图象上，
则这个函数图象可能是（ ）A． B． C． D．
变式训练
kx
1．（2024•武汉模拟）如图是小华同学利用计算机软件绘制函数y= （k，b为常数）的图象，则
(x+b) 2
k，b的值满足（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0
考点五 一次函数的定义
3 1
典例 5（2023 秋•山亭区期末）函数① y＝kx+b；② y＝2x；③y=− ；④y= x+3；⑤ y＝x2﹣
x 3
2x+1．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（2023春•兴城市期末）若函数y＝（a﹣2）x|a|﹣1+4是一次函数，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．0
2．（2022秋•博山区校级期末）下列关于x的函数：①y＝（k+1）x+5（k为常数）；②y＝2x+k（k为常
数）；③y＝﹣3x；④y=❑√x；⑤y＝x﹣4，一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023秋•修水县期末）若y＝mx|m+1|﹣2是关于x的一次函数，则m的值为 ．
考点六 正比例函数的定义
典例6 （2023秋•宣汉县期末）已知函数y＝（m+1）x m2−3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，
❑
则m的值是（ ）
1
A．2 B．﹣2 C．±2 D．−
2变式训练
1．（2023秋•三元区期末）在下列函数中，正比例函数是（ ）
A．y＝2x﹣1 B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x D．y＝2x2+1
典例7 一次函数的图象
典例7（2024•南宁一模）我们知道|x| { x(x≥0) )，小明同学据此画出了函数y＝﹣|x﹣1|的大致图象，
=
−x(x＜0)
你认为小明同学所作图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练
1．（2024•雁塔区校级四模）直线l ：y＝kx﹣b和l ：y＝﹣2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是（
1 2
）
A． B．
C． D．
2．（2023秋•建平县期末）一次函数y ＝ax+b与y ＝bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
1 2A． B． C． D．
3．（2023秋•薛城区期末）如果 ，则一次函数y＝（a﹣2）x+1﹣a的图象可能是（ ）
❑√a2=−a
A． B．
C． D．
4．（2023秋•峡江县期末）若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx+m﹣n的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
b
5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）一次函数l ：y＝kx﹣b与l ：y= x+k在同一平面直角坐标系内的图
1 2 k
象可能为（ ）
A． B．C． D．
考点八 一次函数的性质
典例8（2024•长沙模拟）关于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法不正确的是（ ）
A．图象不经过第三象限 B．y随着x的增大而减小
C．图象与x轴交于（﹣2，0） D．图象与y轴交于（0，4）
变式训练
1．（2024•望城区一模）在一次函数 y＝（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么 m的值可以是
（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣1.5 D．﹣2
2．（2024•朝阳区模拟）已知一次函数y＝﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣7
3
3．（2023秋•广陵区期末）已知点(−❑√5，y
1
)，（1，y
2
），（﹣2，y
3
）都在直线y=−
4
x+b上，则
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1
4．（2023秋•莱州市期末）已知点A（1，y ）和点B（a，y ）均在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y ＞
1 2 1
y ，则a的值可能是（ ）
2
A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2
5．（2023秋•莲池区期末）已知点A（﹣2，y ），点B（4，y ），点C（− ，y ），是关于x的一次函
1 2 3
3
数y＝﹣2x+a图象上的三点，y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
2 3 1 1 2 3 3 2 1 3 1 2
考点九 正比例函数的性质
典例9 （2023秋•驿城区期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝
x+k的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
变式训练
1．（2023秋•中原区期末）已知正比例函数y＝kx，当x每增加1时，y减少2，则k的值为（ ）
1 1
A．− B． C．2 D．﹣2
2 2
2．（2023秋•敦煌市期末）正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（
）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．（2024•恩施市校级模拟）已知函数 是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝
y=(m+1)xm2−3
．
考点十 一次函数图象与系数的关系
典例10 （2024•新城区校级一模）若一次函数y＝（m﹣1）x﹣m﹣4的图象不经过第三象限，则m的取值
范围是（ ）
A．﹣4≤m＜1 B．m＞1 C．m≤﹣4 D．0＜m＜1
变式训练
1．（2024•泉州模拟）已知一次函数 y＝（k﹣3）x+1 中，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是
（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＞3 D．k＜32．（2023秋•大埔县期末）两个一次函数y ＝mx+n，y ＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的
1 2
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋•贵池区期末）若一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象不经过第三象限，则k的取值范围是（
）
1 1
A．k＞0 B．0≤k＜ C．k≥0 D．0≤k≤
2 2
4．（2024•兴隆台区一模）若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝﹣bx﹣k的图象只能是图中的
（ ）
A． B． C． D．
考点十一 一次函数图象上点的坐标特征
典例11 （2024•拱墅区一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下：
①图象过点（1，﹣4）
②图象与y轴的交点在x轴下方
③y随x的增大而减小
符合该图象特点的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+2 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝3x+1 D．y＝﹣5x﹣1
变式训练
1．（2024•莲湖区一模）一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y的值可以是（
）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．（2024•雁塔区校级三模）若点A（3，y ），点B（﹣2，y ），点C（2，6）都在一次函数y＝kx+7的
1 2
图象上，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＜y B．y ＝y C．y ＞y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
1 13
3．（2024•海州区校级自主招生）已知直线y=− x+ 上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ）
2 4
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
考点12 待定系数法求正比例函数解析式
典例12 （2023秋•姑苏区期末）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达
式是 ．
变式训练
1．（2023秋•榆阳区校级期末）已知y与x成正比例，且当x＝﹣6时，y＝2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设点（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值．2．（2023秋•淮北期末）已知y＝y ﹣2y 中，其中y 与x成正比例，y 与（x+1）成正比例，且当x＝1时，
1 2 1 2
y＝3；当x＝2时，y＝5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．
考点13 待定系数法求一次函数解析式
典例13 （2024•陕西二模）已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3，则
k+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
变式训练
1．（2023秋•海陵区校级期末）已知直线y＝kx+k（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线
的解析式为 ．
2．（2024•随州一模）如图，光源A（﹣3，2）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线
BC交x轴于点C（﹣1，0），再被平面镜（x轴）上的点C反射得光线CD，则直线CD的解析式为
．
3．（2023秋•吴兴区期末）已知y是关于x的一次函数，且点A（0，4），B（﹣2，0）在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当y≥﹣1时，求x的取值范围．
