文档内容
专题 17.1 利用勾股定理解三角形
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、勾股定理
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条
直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
◆ 典例分析
【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠CBE=45°，BE分别交AC、AD于E、
F．
（1）如图1，AB=12，BC=8，求AF的长度；
（2）如图2，取BF中点G，若BF2+EF2=CG2，求证：AF=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DN⊥AC于点N，并延长ND交AB延长线于点M，请直接写BM
出 的值．
DM
【思路点拨】
（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD=4，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质
得DF=4，最后由线段的差可得结论；
（2）连接CF，由题意可知AD是BC的垂直平分线，可知CF=BF，∠FCB=∠FBC=45°，可得
CF⊥EG，由勾股定理可得CF2+FG2=CG2，结合BF2+EF2=CG2，可得EF=FG，由G是BF的中
点，可知EF=FG=BG，可得CF是EG的垂直平分线，易知CE=CG，得∠CEG=∠CGE，则
∠AEF=∠CGB，由∠FDB=90°，∠FBD=45°，可知∠AFE=∠DFB=45°，继而可得
∠AFE=∠CBG，利用ASA即可证明△AEF≌△CGB，即可证得结论；
（3）过点B作BQ⊥MN于Q，过点D作DH⊥AB于H，连接DG，连接CF，利用等腰三角形的性质可
1 1
得△NCD≌△QBD(AAS)，易知CN=BQ，DN=DQ=DH，由S = BM⋅DH= DM⋅BQ，得
△DBM 2 2
BM CN
= ，结合（2）中结论，可设EF=FG=BG=a，由勾股定理可得AF=BC=2❑√2a，
DM DN
1
CD=BD= BC=❑√2a，AE=CG=CE=❑√5a，AC=2❑√5a，AD=3❑√2a，由
2
1 1 6❑√5
S = AC⋅NQ= BC⋅AD可得NQ= a，进而求得DN，CN的长即可求解．
△ABC 2 2 5
【解题过程】
（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=8，
1
∴BD=CD= BC=4，∠ADB=∠ADC=90°，
2
由勾股定理得： ，
AD=❑√AB2−BD2=❑√122−42=❑√144−16=❑√128=8❑√2
∵∠CBE=45°，∠BDF=90°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BD=4，
∴AF=AD−DF=8❑√2−4；
（2）证明：连接CF，∵AD⊥BC，AB=AC，
∴CD=BD，则AD是BC的垂直平分线，
∴CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC=45°，
∴∠CFB=180°−∠FCB−∠FBC=90°，即CF⊥EG，
∠CFE=180°−∠CFB=90°，
Rt△CFG中，CF2+FG2=CG2，
∵BF2+EF2=CG2，CF=BF，
∴EF2=FG2，则EF=FG，
∵G是BF的中点，
∴FG=BG，则EF=FG=BG，
∵∠FDB=90°，∠FBD=45°，
∴∠DFB=45°，
∴∠AFE=∠DFB=45°，即：∠AFE=∠CBG，
∵CF⊥EG，EF=FG，
∴CF是EG的垂直平分线，
∴CE=CG，
∴∠CEG=∠CGE，
∴∠AEF=∠CGB，
∴△AEF≌△CGB(ASA)
∴AF=BC；
（3）过点B作BQ⊥MN于Q，过点D作DH⊥AB于H，连接DG，连接CF，∵AD⊥BC，AB=AC，
∴CD=BD，∠CAD=∠BAD，
∴DN=DH，
∵BQ⊥MN，DN⊥AC，则∠DNC=∠DQB=90°，
∴BQ∥AC，则∠NCD=∠QBD，
∴△NCD≌△QBD(AAS)，
∴CN=BQ，DN=DQ=DH，
1 1
∵S = BM⋅DH= DM⋅BQ，
△DBM 2 2
∴BM⋅DN=DM⋅CN，
BM CN
∴ = ，
DM DN
由（2）可知：EF=FG=BG，CE=CG，△AEF≌△CGB，
则AF=BC，AE=CG=CE
设EF=FG=BG=a，则BF=CF=2a，
1
∴AF=BC=❑√BF2+CF2=2❑√2a，则CD=BD= BC=❑√2a，
2
，则 ，
AE=CG=CE=❑√CF2+FG2=❑√5a AC=AE+CE=2❑√5a
则 ，
AD=❑√AC2−CD2=3❑√2a
1 1
∵S = AC⋅NQ= BC⋅AD，即：2❑√5a⋅NQ=2❑√2a⋅3❑√2a
△ABC 2 2
6❑√5
∴NQ= a，
5又∵DN=DQ，
1 3❑√5 ❑√5
∴DN= NQ= a，则CN=❑√CD2−DN2= a，
2 5 5
BM CN 1
∴ = = ．
DM DN 3
◆ 学霸必刷
1．（2023上·江西赣州·九年级统考阶段练习）已知，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，点D为
边BC上一个动点，以AD为边作其右侧作等边△ADE．
（1）如图1，线段AB与线段AC之间的数量关系为__________；
（2）如图2，过点E作EF⊥AC于点F．求证：点F是AC的中点；
（3）若AB=2．
①如图3，当点D是BC的中点时，过点E作EG⊥BC于点G．求EG的长；
②当点D从点B运动到点C，则点E所经过的路径长__________（直接写出结果）．2．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，分别以△ABC的两边AB、AC为
腰向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，其中∠BAD=∠CAE=90°，BC=5．
（1）如图1，连接BE、CD．若∠ACB=45°，AC=2，求CD的长；
（2）如图2，M为BC的中点，连接DM，过点M作DM⊥MN，交EB的延长线于点N，连接DN，试猜
想BE、BN、DN之间有何等量关系并证明你的结论．3．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16
，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运
动时间为t，连接AP．
（1）当t=3秒时，求△BPA的面积；
（2）若AP平分∠CAB，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？4．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，BA=5，点
P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C−A−B运动.设点P的运动时间为t(t>0)秒.
（1）求斜边AC上的高线长；
（2）①当P在AB上时，AP的长为__________，t的取值范围是__________.（用含t的代数式表示）；
②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为__________；
（3）在整个运动过程中，当△PAB是等腰三角形时t的值为__________.5．（2023上·重庆南岸·八年级校考开学考试）如图，四边形ABCD中，AC=AD=AB，∠BAC=90°．
（1）把△BCD沿BC翻折得到△BCE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，求证：BE=2AF；
（2）在（2）的条件下，连接DE，四边形ABCD的面积为45，AD=5❑√2，BC=10，求DE的长．6．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知∠AOB=∠COD=90°，OA=OB=10，OC=OD=8
（1）如图1，连接AC、BD，问AC与BD相等吗？并说明理由．
（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间关
系，并说明理由．
（3）若△COD绕点O旋转，当∠AOC=15°时，直线CD与直线AO交于点F，求AF的长．7．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，E为AD上
一点，连接BE，CE，∠BAC=∠CED=2∠BED=2x．
（1）如图1，若x=45°，求证：CE=2AE
（2）如图2，若x=30°，AB=AC=❑√7．求CE的长．
（3）如图3，若x=60°，AB=AC=2❑√3，点Q为△ABC外一点，且∠BQA=60°,AQ=2，求线段QC
的长．8．（2023下·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）定义：在△ABC，若BC=a，
AC=b，AB=c，a，b，c满足b2=ac+a2则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决
下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题；
（2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，求∠A的度数；
（3）如图2，在三角形ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．
①当∠A=32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被
分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；
②请证明△ABC为“和谐勾股三角形”
9．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α，∠ADB=α．（1）如图1，若α=30°，则线段AD，BD，CD之间的数量关系为 ；
（2）若α=45°，
①如图2；线段AD，BD，CD满足怎样的数量关系？证明你的结论；
②如图3，点E在线段BD上，且∠BAE=45°，AD=5，BD=4，则DE= ．
10．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）在△ABC中，∠B=45°，E为平面内一点，连接AE、CE．
（1）如图1，若点E在线段BC上，AC=EC，AB=4❑√2，BE=3，求线段AC的长；
（2）如图2，若点E在△ABC内部，AC=EC，∠BAE=∠ACE，求证：AE+2AB=❑√2BC；
1 ❑√5
（3）如图3，若点E在△ABC内部，连接BE，AB=4，BC=6❑√2，请直接写出 EC+ EB+EA的
2 2
最小值．11．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接BD、CE．
（1）如图1，若点B、D、E在同一直线上，已知AD=2❑√2，BD=2，求线段BC的长度．
（2）如图2，当∠ADB=90°时，过点B作BG⊥ED并交ED的延长线于点G，EG与BC交于点F，求
证：DE=2FG．
（3）如图3，已知若AB=4，直线BD与直线CE相交于点P，过点C作直线CH垂直于CB，点Q是直线
CH上一点，直接写出AQ+PQ的最小值．
12．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）如图，长方形纸片ABCD，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF．
（1）如图1，点B′落在边AD上，若AE=2，则AB′=______，FB′=______；
（2）如图2，若BE=2，F是BC边中点，连接B′D、FD，求△B′DF的面积；
（3）如图3，点F是边BC上一动点，作EF⊥DF，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，连接DB′，当
△DB′F是以DF为腰的等腰三角形时，请直接写出CF的长．
1
13．（2023下·四川成都·八年级统考期末）在△ABC中，AB= AC，点D为直线BC上一动点，
2
AD=AE，∠BAC=∠DAE．（1）如图1，连接ED交AC于F，∠BAC=90°，F为AC中点，若BD=3❑√2，DF=❑√2，求AD的长；
（2）如图2，延长CB至点G使得BG=DB，连接AG，CE，求证：AG=CE；
（3）如图3，∠BAC=120°，AB=2❑√7，作点E关于直线BC的对称点E′，连接BE′，EE′，当BE′最
小时，直接写出线段EE′的长．
14．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）在Rt△ABC
中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB=4，E为直线AB上一动点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转
60°得到CD，连接AD．（1）BC=______
（2）①如图1，当点E与点B重合时，AD=______．
②如图2，当点E在线段AB上时，若BE=1，求AD的长度．
（3）若∠ECB=15°，直接写出AD的长度．
15．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
过点C作AB的平行线l，点P是直线l上异于点C的动点，连接AP，过点P作AP的垂线交直线BC于点D．（1）如图1，当点P在点C的右侧时，
①求证：PA=PD；（提示：作PE垂直直线l交CD于点E．）
②试判定线段CA，CD，CP之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；
（2）若AC=5❑√2，AP=13，直接写出线段BD的长．
16．（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15．点
E是射线AB上的动点，连接CE．△CEB与△CEF关于CE成轴对称，连接AF．（1）当CE⊥AB时，求线段AF的长；
（2）点E从点A开始在射线AB上以每秒1个单位的速度运动，当△AFE是以FE为直角边的直角三角形
时，求t的值．
17．（2024上·四川成都·八年级统考期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，点E是BC边上
一点，连接AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，射线EF交边AD于点G．（1）如图1，求证：AG=EG；
（2）当AB=4时．
（i）如图2，若四边形ABCD的面积为24，且当点G与D重合时，BC=FG，求AD的长；
（ⅱ）在BC边上取一点H，连接AH，使得AH=AG，若△AFG的面积是△AEH的面积的2倍，求BE
的长．
18．（2023上·陕西·八年级陕西师大附中校考阶段练习）在ABC中，BD是AC边上的高，AD=3，
CD=2，BD=3，点M在AD上，且AM=2，动点P从点A出发向B运动，速度为每秒1个单位长度．连
接PM，作点A关于直线PM的对称点A′，设点P的运动时间为t秒（t>0）．（1）连接CP，当CP⊥AB时，求△BCP的面积．
（2）当点A′在△ABC内部（不包括边缘）时，直接写出t的取值范围：______________
（3）若动点P从点A出发，沿折线AB−BD以每秒1个单位长度的速度运动，当M A′∥AB时，求t的
值．
19．（2024上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）如图，△ABC中，在平面内将线段AC绕点A逆时
针旋转90°得到线段AD，过点D作DE⊥BC，分别交BC、AC于点E、F，连接AE．（1）如图1，若∠EAD=120°，AD=6❑√3．求ED的长度．
（2）如图2，若∠ABC+∠EAC=45°，求证：BC=2CE+❑√2AE．
❑√3
（3）如图3，在（2）问的条件下，若∠BAC=150°，点P在射线BC上运动，当AP+ BP取得最小
2
值为4+2❑√3时，在平面内将△APE绕点B逆时针旋转α(0<α<180)度得到△A′P′E′，当点P′恰好在线段
AB上时，请直接写出△A′PE的面积的值．
20．（2024上·重庆大渡口·八年级统考期末）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°以BC为斜边作
Rt△EBC，∠BEC=90°，再将BE绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF分别交BC，AB于点G，点
D．（1）如图1，△BEC在BC右侧，∠EBC=30°，AC=2，求△BFG的面积；
（2）如图2，△BEC在BC右侧，点D是AB的中点，求证：DE=❑√2CE+DF；
（3）如图3，△BEC在BC左侧，FE的延长线过AB的中点D，当点E在BD的中垂线上时，CE交AB于点
S
H，直接写出 △BCH 的值．
S
△BDF
