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专题 21.6 根的判别式与根与系数的关系（精选精练 30 题）
（专项练习）
一、单选题
1．（2024年辽宁省辽阳市中考第三次模拟数学试题）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
2．（2024·河南漯河·二模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南昆明·二模）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
4．（2024·河南驻马店·三模）若一元二次方程 有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D． 且
5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）设关于 的方程 （ 是常数）的三个解是
三条边的边长，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式
的值等于（ ）
A．2024 B．2027 C．2032 D．2035
7．（2024·江苏无锡·一模）设 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且
，则m的值为（ ）
A．1 B． C．3或 D．1或
8．（2024·四川德阳·二模）若实数m、n满足， 则m的取值范围是（ ）A． B． C． D． 或
9．（2024·江苏南京·二模）若关于 的方程 的两根之和为p，两根之积为q，则关于
y的方程 的两根之积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·四川南充·二模）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024·广东汕尾·一模）方程 的根的判别式的值是 ．
12．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根，则 的取值范围是 ．
13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
的值为 ．
14．（2024九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）对于字母m、n，定义新运算 ，若方程
的解为a、b，则 的值为 ．
15．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）小刚在解关于x的方程 时，只抄对了
， ，解出其中一个根是 ，他核对时发现所抄的 比原方程的 值小2，则原方程的根的情
况是 ．
16．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数 的图像如图所示，则一元二次方程
根的情况是17．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 有解．
（1）当 时，方程的解为 ；
（2）若m是该一元二次方程的一个根，令 ，则y的最大值和最小值的和为 ．
18．（2024九年级下·上海·专题练习）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实
数根， 的取值范围是 ．
19．（2024·山东临沂·二模）若m，n是方程 的两个实数根，则 ．
20．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有实数根 ， ，
且 ，有下列结论：
① ；
②若 ，则 ；
③关于x的方程 的根为 ， ；
④关于x的方程 的根为2，3．
其中正确结论的有 ．
三、解答题
21．（22-23九年级上·四川眉山·期末）已知关于 的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数 的值．22．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知一元二次方程 .
（1）求a的值.
（2）若方程有实数根，求 的取值范围.
23．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若该一元二次方程有实数解，求 的取值范围；并试从 ， ， 三个数中，选取一个数作为
的值，求该方程的解；
（2）当 时，原方程有一根为 ，求 的值．
24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，请用配方法求出此时方程的解．
25．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的一元二次方程： ．
（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根；
（2）当方程的两个根 均为正数时，
①求m的取值范围；
②若 分别是菱形 的两条对角线的长，求菱形 的边长（用含m的代数式表示）．
26．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若 是方程 的两个实数根，若满足
，则称此类方程为“差积方程”．例如： 是差积方程．（1）下列方程是“差积方程”的是 ；
①
②
③
（2）若方程 是“差积方程”，直接写出m的值；
（3）当方程 为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明．
27．（23-24八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程M： ，且 ．
（1）请直接写出方程M： 的一个根．
（2）方程N： ．
①若方程M的另一个根为 ，求方程N的两根．
②若方程M，N的根相同，求证 ．
28．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知 的一条边 的长为5，另两边 的长是关
于x的一元二次方程 的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时， 是一 为斜边的直角三角形；
（3）当m为何值时， 是等腰三角形，并求 的周长．
29．（2024·安徽合肥·二模）类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：
设 的两个根为 和 ，那么 比较系数，可得 ， ．
类比推广，回答问题：设 的三个根为 ， ， ，那么
（___________） （___________）．
比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系：
___________，___________ ， ___________．
30．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料：
材料：关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数a，b，c有如下关系：
， ；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）类比：一元二次方程 的两个实数根为m，n，则 ； ；
（2）应用：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
（3）提升：已知实数s，t满足 ， 且 ，求 的值．参考答案：
1．A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关
系：当 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等的实数根；当 时，
方程无实数根．先计算出根的判别式的值得到 ，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情
况即可．
【详解】解：∵ ，
∴有两个相等的实数根．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意，令 ，建立方程求解即可．
【详解】解：根据题意：
解得： ，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可
得 且 ，解不等式即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关
键．
【详解】∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，，
∴ 且 ，
解得 且 ，
故选： ．
4．C
【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两实数
根，即可得 ．由一元二次方程 有实数根，即可得判别式 且 ，继而可
求得 的范围．
【详解】解： 一元二次方程 有实数根，
， ，
解得： 且 ，故选：C
5．B
【分析】本题主要考查了高次方程、根与系数的关系、因式分解及三角形的三边关系，根据题意，
将 化简为 ，故 或 ，因为方程的三
个解是 三边长，利用方程 的两根 满足 ，结合
即可求出范围．
【详解】
或
方程的三个解是 三条边的边长
方程 两根 与 满足
又
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元
二次方程的解的定义得到 ， ，进而得到 ，再把所求式子变形为 ，进一步变形为 ，据此可得答案．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴原式
，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，
解题的关键是掌握一元二次方程 根与系数关系： ．
先根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，再得出
，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
，
解得： 或 ，当 时，原方程为 ， ，
则原方程有实数根，符合题意；
当 时，原方程为 ， ，
则原方程无实数根，不符合题意；
综上： ．
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得关于n的一元二次方程
有解，则 ，进而得到 ，再由乘法的
运算法则可得 或 ，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵关于n的一元二次方程 有解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或
解得 或 ，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查根与系数的关系，设关于 的方程 的两个根为 ，得到
，换元法，得到 的两个根为 ，再进行求解即
可．【详解】解：设关于 的方程 的两个根为 ，则： ，
∴关于y的方程 的两根为 ，
∴ ；
故选A．
10．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将 变形为
据此可知 ， 为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到 ，
，整理得 ， ，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及
分式的化简是解题的关键．
【详解】解： ，易得 ，方程两侧同除 得：
，
又∵ ，且 ，
∴ ， 为方程 的两个实数根，
∴ ， ，整理得 ， ，
∴ ，
故选： ．
11．40
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式 代入
数据计算即可．
【详解】解：在方程 中，
∵ ，
∴ ．故答案为：40．
12．
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解
题的关键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得 ，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得， ，
∴
解得， ，
故答案为： ．
13．
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则
是解题关键；当一元二次方程有两个不相等的实数根时， ，由此进行求解即可
【详解】 关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
，
，
故答案为：
14．
【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到
，，根据新运算，列出代数式，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵方程 的解为a、b，
∴ ，
∵ ，
∴．
故答案为：10．
15．没有实数根
【分析】依题意可知， 是方程 的一个根，代入可求出 的值，再根据根的判
别式得到原方程的根的情况．
【详解】解：依题意可知， 是方程 的一个根，
，
，
原方程为 ，
，
故原方程没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
16．有两个不相等的实数根
【分析】根据一次函数可得 ， ，然后计算一元二次方程根的判别式即可求解．本题考查
了一次函数图象与性质，一元二次方程根的判别式，根据一次函数解析式求得 、b的范围是解题
的关键．
【详解】解：根据一次函数图象经过二、三、四象限，则 ， ，
∴ ，
在一元二次方程 中，
∵ ，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根.
17． ， 2
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、配方法的应用，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）当 时，则 ，再利用直接开平方法求解即可；
（2）根据原方程有解得出 ，将 代入方程得出 ，从而得到
，求出 的最大值与最小值即可得解．
【详解】解：（1）当 时，则 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ；
（2） 关于 的一元二次方程 有解，
，
得 ．
若 是该一元二次方程的一个根，则 ，
得 ，
，
的最大值为4，
∴当 取最大值时， 取最大值， 的最大值为 ．
∵ 的最小值为 ，
∴ 的最大值和最小值的和为 ，
故答案为： ．
18． 且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件，由
二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式 ，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之
即可得出结论．【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
19．
【分析】此题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，根据m，n是方程 的两个
实数根，得到 ， ，变形得到 ，代入所求
代数式即可求出答案，正确理解一元二次方程的根代入方程进行变形是解题的关键．
【详解】∵m，n是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
20．②④
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次
方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代
入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把 变形，
再解方程可判定④，从而可得答案．
【详解】解：① 化为一般形式为 ，∵原方程有实数根 、 ，且 ，
∴
解得： ，故①错误，
∵关于 的一元二次方程 有实数根 、 ，
当 ，则 ，
∴方程为 ，
解得： ， ，故②正确；
∵关于x的一元二次方程 有实数根 ， ，且 ，
而 可化为： ，
∴ ， ，
∴ 或 ，故③错误；
∵ 化为一般形式为 ，
∵原方程有实数根 、 ，且 ，
∴ ， ，
∵
，
∴ ，
解得： 或 ，故④正确，
故答案为：②④21．(1)见解析
(2) 或
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程 的根的判别式
：当 时，方程由两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根．
（1）求出 即可证出结论；
（2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定m的值．
【详解】（1）解：∵
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由（1）知：
∴
∴ ，
∵方程的两个实数根都是整数
∴ 或 ．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义；
（1）根据一元二次方程的定义，可得 ，即可求解；
（2）根据该方程有实数根，由根的判别式可求 的取值范围．
【详解】（1）解：∵ 是一元二次方程
∴
∴ ；
（2）解：∵ ，∴一元二次方程为
∵有实数根，
∴
解得： ．
23．(1) ， ，
(2)34
【分析】
此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握解一元二次方程及一元二次
方程根的判别式是解答此题的关键．
（1）首先由根的判别式得判别式 ，由此解得 ，据此可在 ， ，
三个数中选取一个使原方程有解，进而再求出原方程的解即可；
（2）当 时，原方程为 ，将 代入该方程得 ，显然 ，据此可得
，然后利用完全平方公式即可得出答案．
【详解】（1）
解：∵该方程有实数解，
∴对于方程 ，
当根的判别式 时，
由
解得： ，
从 ， ， 三个数中，选取 ，该方程有实数解，
此时原方程为 ，
解得： ， ，
（2）
当 时，原方程为 ，这个方程的一根为 ，
，
显然 ，
将 的两边同时除以 ，得： ，
，
，
．
24．(1) 且
(2) ，
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及用配方法解方程，
（1）由关于 的一元二次方程 有实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的
意义可得 且 ，即 ，两个不等式的公共解即为 的取值范围；
（2）求出 的值，用配方法解方程即可；
解题的关键是掌握：式子 是一元二次方程 根的判别式，
方程有两个不等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程无实数根．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
∴ 的取值范围为 且 ；
（2）∵ 且 ，且m为正整数，∴ ，
∴原方程为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴此时方程的解为： ， ．
25．(1)见解析
(2)①m的取值范围为 ；②菱形的边长为
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了根的判别式和菱形的性质，灵活运用
所学知识是关键．
（1）计算判别式的值即可判定方程实数根的情况；
（2）①根据根与系数关系可得 ，即可求出m的取值范围；②根据
菱形边长和对角线的关系即可求出 ，再根据根与系数关系即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴不论m为何实数，方程总有实数根。
（2）解：①由题意得：
解得： ，
∴m的取值范围为
②设菱形的边长为a，则
∵∴
∴ （舍）
所以，菱形的边长为
26．(1)①②
(2) 或 ，
(3)
【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得 ， 根据新定义列出方程即可求解．
本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：① ，
即 ，
解得： ，
，
是差积方程；
② ，
即 ，
解得 ，
，
是差积方程；
③ ，即 ，
解得： ， ，故③不是差积方程；
故答案为：①②；
（2）解： ，
即 ，
解得： ， ，
是差积方程，
，
即 或 ．
解得： 或 ，
（3）解： ，
解得： ，
，
是差积方程，
，
即 ，
即 ．
27．(1)
(2)① ， ；②见解析
【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程根与系数关系，掌握使一元二次方程成立的未知数值叫一元二次方程的解和一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
（1）把 代入方程 ，得 ，即可得出结论；
（2）①由题意可得方程M的根为： 或 ；将方程 的两边同除以 ，得 ，
则 ，对比方程M，可得 或1，即可求解；
②设两方程两根为 , ,对于方程M，则 ，对于方程N，则 ，所以
，则 ，代入 计算即可得出结论．
【详解】（1）解：把 代入方程 ，得 ，
∴ 是方程M： 的一个根；
（2）解：①由（1）知 是方程M的一根，
∵方程M的另一个根为 ，
∴方程M的根为： 或 ；
方程 的两边同除以 ，得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ；
②∵方程M，N的根相同，设两方程两根为 , ,
∴对于方程M，则 ，对于方程N，则 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
28．(1)见解析
(2)
(3)11或13
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；
（3）分 为腰和 为底边两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由题意，得： ，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ，
∴
，
解得： 或 （不合题意，舍去）；
∴ ；
（3）①当 为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴ ，∴方程为： ，
解得： ，
∴等腰三角形的三边为： ，
∴周长为： ；
②当 为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴方程为： ，
解得： ，
∴等腰三角形的周长为： ；
综上：周长为11或13．
29． ， ， ， ， ，r
【分析】本题主要考查根据一元二次方程中根和系数之间的关系推理一元三次方程中根与系数的关
系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，
得到 ，最后得到根与系数关系 ，
， 即可；
【详解】解：根据材料提示得，
，
，
，
，
，，
， ， ；
故答案为： ， ， ， ， ，-r．
30．(1) ，
(2)
(3) 的值为
【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题
的关键．
（1）利用根与系数的关系即可解决问题．
（2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题．
（3）将s和t看作方程 的两个根即可解决问题．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为： ，
（2）解：根据题意，一元二次方程 的两个实数根为m，n，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵实数s，t满足 ， 且 ，
∴实数s，t是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，∴
．
