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专题 21.3 根的判别式（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 判断不含参方程根的情况】......................................................................................................................1
【题型2 判断含参方程根的情况】..........................................................................................................................3
【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】.....................................................................5
【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】.........................................................................6
【题型5 根的判别式联系代数的应用】..................................................................................................................9
【题型6 根的判别式融汇函数的应用】................................................................................................................11
【题型7 根的判别式综合几何的应用】................................................................................................................14
知识点 一元二次方程根的判别式
b 2 b2−4ac
1. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，通过配方可得(x+ ) = ，则方程根的情况由
2a 4a2
b2−4ac 的符号决定．
一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即
∆=b2−4ac．
2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况
（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；
（3）∆<0⟺一元二次方程无实数根．
3. 应用
（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；
（2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围．
【题型1 判断不含参方程根的情况】
【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）一元二次方程x2+3x−11=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出Δ=b2−4ac的值即可判断求解，掌握一元二次方程
根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵Δ=32−4×1×(−11)=9+44=53>0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式1-1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（ ）
A．x2−2x−1=0 B．x2−2x+1=0
C．x2−2x+2=0 D．x2+2x+1=0
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程
有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，分别计算四个方程的根的判别式，再根据判别式的符
号判断根的情况即可．
【详解】解：A.∵Δ=(−2) 2−4×(−1)=8>0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
B. ∵Δ=(−2) 2−4×1=0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C. ∵Δ=(−2) 2−4×2=−4<0，
∴方程没有实数根，不符合题意；
D. ∵Δ=22−4×1=0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意，
故选：A．
【变式1-2】（2025·云南临沧·三模）一元二次方程(x+3)(x−3)=5(x+3)的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的关
键．
先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可．【详解】解：∵(x+3)(x−3)=5(x+3)，
∴x2−9=5x+15，
即x2−5x−24=0，
∴根的判别式Δ=b2−4ac=(−5) 2−4×(−24)=121>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【变式1-3】（2025·河北唐山·二模）已知整式P=x2−2(2x−x2)+1．
(1)化简P；
(2)若P=0，利用判别式判断此方程实数根的情况．
【答案】(1)P=3x2−4x+1；
(2)此方程有两个不相等的实数根．
【分析】本题考查的是整式的加减运算，根据根的判别式判断方程根的情况；
（1）去括号，合并同类项即可；
（2）由题意可得3x2−4x+1=0，再利用根的判别式判断即可．
【详解】（1）解：∵P=x2−2(2x−x2)+1，
∴P=x2−4x+2x2+1=3x2−4x+1．
（2）解：当P=0时，3x2−4x+1=0．
∴Δ=(−4) 2−4×3×1=4>0；
∴此方程有两个不相等的实数根．
【题型2 判断含参方程根的情况】
【例2】（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的方程
ax2+bx+c=0的根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点P(a,c)在第四象限，得出a>0，c<0
，从而可得ac<0，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解．
【详解】解：∵点P(a,c)在第四象限，
∴a>0，c<0，
∴ac<0，b2≥0,∴Δ=b2−4ac>0，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【变式2-1】（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程2x2−mx−2=0（m为常数）的根的情况是
．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：因为一元二次方程为2x2−mx−2=0（m为常数），
则Δ=(−m) 2−4×2×(−2)=m2+16>0，
所以此一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【变式2-2】（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程x2+4x−2=0中，则该一元二次方程根的情况为
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关
系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无
实数根．
先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x−2=0中，a=1，b=4，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=42−4×1×(−2)=16+8=24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式2-3】关于x的方程x2+x−k2−1=0的根的情况是________．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数及根的判别式Δ=b2−4ac，可得出Δ=4k2+5，由偶次方的非负性可得出k2≥0
，进而可得出4k2+5>0，即Δ＞0，再由“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”，即可得出关于x的
方程x2+x−k2−1=0有两个不相等的实数根．【详解】解：∵a＝1，b＝1，c＝−k2−1，
∴Δ=b2−4ac=12−4×1×(−k2−1)=4k2+5．
∵k2≥0，
∴4k2+5>0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2+x−k2−1=0有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，利用偶次方的非负性，找出Δ=4k2+5>0是解题的
关键．
【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】
【例3】等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a,b是关于x的一元二次方程x2−6x+n−1=0的两根，
则n的值为
【答案】10
【详解】解：当a=2或b=2时，把x=2代入x2-6x+n-1=0得4-12+n-1=0，解得n=9，此时方程的根为2和
4，而2+2=4，故舍去；
当a=b时，△=（-6）2-4×（n-1）=0，解得n=10，
所以n为10．
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的
两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【变式3-1】（2025·河北唐山·一模）关于x的方程x2−2x+m=p2，无论实数p取何值，该方程总有两个
不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
【答案】m<1
【分析】先根据一元二次方程的根的判别式可得m<1+p2，从而可得m应该小于1+p2的最小值，再根据
偶次方的非负性求解即可得．
【详解】原方程可化为x2−2x+m−p2=0，
当该方程总有两个不相等的实数根时，
则其根的判别式Δ=(−2) 2−4(m−p2 )=−4m+4+4 p2>0，
解得m<1+p2，
∵无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式m<1+p2恒成立，
∴m小于1+p2的最小值，
由偶次方的非负性得：p2≥0，∴1+p2≥1，
∴1+p2的最小值为1，
∴m<1，
故答案为：m<1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式等知识点，正确将问题转化为无论实数p取何值，不等式
m<1+p2恒成立是解题关键．
【变式3-2】（2025·湖南娄底·三模）对于实数a，b定义新运算：a※b=ma2b−2a−1，例如：
1※2=m×12×2−2×1−1=2m−3．若关于x的一元二次方程x※1=0有两个相等的实数根，则m的值
是 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，先根据新运算列出一元二次方程，再根据方
程有2个相等的实数根得Δ=0，据此列出关于m的方程解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：由题意得，mx2−2x−1=0，
∵关于x的一元二次方程x※1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4×m×(−1)=4+4m=0，
解得m=−1，
故答案为：−1．
【变式3-3】（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程x2−4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则直线
y=(k−2)x+1不经过第 象限．
【答案】三
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程
根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到k<2，然后根据一次函
数的性质解决问题．
【详解】解：∵关于x的方程x2−4x+k+2=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(−4) 2−4(k+2)>0，
解得：k<2，
∴ k−2<0，
∴函数y=(k−2)x+1过第一、二、四象限，不经过第三象限
故答案为：三．【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】
【例4】（2025·云南·模拟预测）若关于x的一元二次方程mx2−6mx+3=0有两个实数根，则m的取值范
围为（ ）
1 1 1 1
A．m< B．00时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ<0时，方程无实数根．
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范
围．由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字
母，应注意二次项系数不为0这个隐含条件．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−6mx+3=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=36m2−12m≥0，
1
解得：m≤0或m≥ ，
3
又∵m≠0，
1
∴m<0或m≥ ．
3
故选：D．
【变式4-1】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个实数
根，则k的取值范围是
【答案】k≤1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义，得k≠0，根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，求出k的取值范围即可
得出答案．
此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解
题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ=22−4k×1≥0，
解得k≤1，∴k的取值范围是k≤1且k≠0．
1
【变式4-2】（2025·山东济南·二模）若关于x的方程ax2−2x+ =0有解，则a的值不可能是（ ）
4
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了方程的解，一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是
解此题的关键．
根据方程有解得出当a=0或a≠0且Δ≥0，求出不等式的解集即可判断．
1
【详解】解：当a=0时，则−2x+ =0，方程有解，故A选项不符合题意；
4
1
当a≠0且Δ≥0，即Δ=(−2) 2−4a× ≥0，
4
解得：a≤4
∴a≤4且a≠0，∴a可以为2、4，不可能为6，
故B、C选项不符合题意，D选项符合题意；
故选：D．
【变式4-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程(a−b)x2+(c−a)x+(b−c)=0
有两个相等的实数根，且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（ ）
A．2a=b+c B．2b=a+c C．2c=a+b D．b2−4ac=0
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据判别式的意义得到Δ=0，然后可得实数a，b，c之间的
关系．解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：Δ>0⇔方程有两
个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ<0⇔方程没有实数根．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(a−b)x2+(c−a)x+(b−c)=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(c−a) 2−4(a−b)(b−c)=0，即(a−c) 2−4(a−b)(b−c)=0，
2
∴[(a−b)+(b−c)) −4(a−b)(b−c)=0，
∴(a−b) 2+2(a−b)(b−c)+(b−c) 2−4(a−b)(b−c)=0，
即(a−b) 2−2(a−b)(b−c)+(b−c) 2=0，∴[(a−b)−(b−c)) 2 =0，即(a−2b+c) 2=0，
∴a−2b+c=0，
∴2b=a+c．
故选：B．
【题型5 根的判别式联系代数的应用】
【例5】（22-23八年级下·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是
．
【答案】−8≤a<0
【分析】由实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0得到关于b的一元二次方程2ab2−2ab+a+4=0，由根
的判别式Δ=−4a2−32a≥0且2a≠0，得到不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．
【详解】解：∵实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，
∴关于b的一元二次方程2ab2−2ab+a+4=0中，
Δ=(−2a) 2−4×2a(a+4)=−4a2−32a≥0且2a≠0，
即a(a+8)≤0且a≠0，
{ a>0 ) { a<0 )
∴ 或 ，
a+8≤0 a+8≥0
解得−8≤a<0，
即a的取值范围是−8≤a<0．
故答案为：−8≤a<0
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法等知识，由根的判别式
Δ=−4a2−32a≥0且2a≠0得到不等式组是解题的关键．
【变式5-1】如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a
的取值范围是 ．
5 1±❑√21 7
【答案】a＞﹣1且a≠﹣ 且a≠ 且a≠﹣
6 4 8
【详解】试题解析：∵b2+c2=2a2+16a+14,bc=a2−4a−5，
∴(b+c) 2=2a2+16a+14+2(a2−4a−5)=4a2+8a+4=4(a+1) 2，
即有b+c=±2(a+1).
又bc=a2−4a−5，所以b,c可作为一元二次方程x2±2(a+1)x+a2−4a−5=0③的两个不相等实数根，
故△=4(a+1) 2−4(a2−4a−5)=24a+24>0，
解得a>−1.
若当a=b时，那么a也是方程③的解，
∴a2±2(a+1)a+a2−4a−5=0，
即4a2−2a−5=0或−6a−5=0，
1±❑√21 5
解得,a= 或a=− .
4 6
当a=b=c时，16a+14=0，−4a−5=0，
7 5
解得a=− ,a=− (舍去)，
8 4
5 1±❑√21 7
所以a的取值范围为a>−1且a≠− 且a≠ 且a≠− .
6 4 8
5 1±❑√21 7
故答案为a>−1且a≠− 且a≠ 且a≠− .
6 4 8
【变式5-2】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求
|a)+|b)+|c)的最小值
【答案】6
【分析】用分类讨论的思想，解决问题即可．
【详解】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，
4
且b+c=2−a，bc= ，
a
4
于是b，c是一元二次方程x2−(2−a)x+ =0的两实根，
a
4
∴Δ=(2−a) 2−4× ≥0，即(a2+4)(a−4)≥0，
a
所以a≥4．
又当a=4，b=c=−1时，满足题意．
故a，b，c中最大者的最小值为4．
因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，
不妨设a>0，b<0，c<0，则|a)+|b)+|c)=a−b−c=a−(2−a)=2a−2，
∵a≥4，
故2a−2≥6，
当a=4，b=c=−1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．
故|a)+|b)+|c)的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较
难，属于竞赛题目．
【变式5-3】（2023·福建·模拟预测）已知实数x、y满足4x2+2= y2，则x−y的取值范围是 ．
❑√6 ❑√6
【答案】x−y≥ 或x−y≤−
2 2
【分析】设w=x−y，则y=x−w，代入4x2+2= y2，得到关于x的方程，根据题意此方程有解，利用根
的判别式即可求解．
【详解】解：设w=x−y，则y=x−w，
∵4x2+2= y2，
∴4x2+2=(x−w) 2，整理得3x2+2wx+2−w2=0，
由题意得，Δ=(2w) 2−4×3×(2−w2)≥0，
3 ❑√6
整理得w2≥ ，解得|w)≥ ，
2 2
{ w>0 ) { w≤0 ) ❑√6 ❑√6
∴ ❑√6 或 ❑√6 ，即w≥ 或w≤− ，
w≥ w≤− 2 2
2 2
❑√6 ❑√6
∴x−y的取值范围是x−y≥ 或x−y≤− ，
2 2
❑√6 ❑√6
故答案为：x−y≥ 或x−y≤− ．
2 2
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是消去y得到关于x的方程，利用根的判别式
求解．【题型6 根的判别式融汇函数的应用】
1
【例6】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程 x2−(a+2b)x+2=0有两个相等实数
2
1 (1 )
根．若在直角坐标系中，点P在直线l:y=−x+ 上，点Q a,b 在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
3 2
2 ❑√2 4 ❑√6
A． ❑√2 B． C． D．
3 3 3 3
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得a=−2b+2或a=−2b−2，则点Q的坐标为Q(−b+1,b)或
Q(−b−1,b)，再得出点Q在直线y=−x−1上，从而可得当PQ与两条直线垂直时，PQ的值最小，然后
利用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得．
1
【详解】解：∵关于x的方程 x2−(a+2b)x+2=0有两个相等实数根，
2
∴这个方程根的判别式为Δ=[−(a+2b)) 2 −4× 1 ×2=(a+2b) 2−4=0，
2
∴(a+2b) 2=4，
∴a+2b=2或a+2b=−2，即a=−2b+2或a=−2b−2，
(1 )
∵点Q的坐标为Q a,b ，
2
∴Q(−b+1,b)或Q(−b−1,b)，
∴点Q在直线y=−x+1或直线y=−x−1上，
(1 ) 1
∵点Q a,b 在直线l:y=−x+ 下方，
2 3
∴点Q在直线y=−x−1上，
1
∵点P在直线l:y=−x+ 上，且直线l与直线y=−x−1平行，
3
∴当PQ与两条直线垂直时，PQ的值最小，
如图，过点O作两条直线的垂线，垂直分别为点P,Q，则PQ即为所求，
1
设直线l:y=−x+ 交x轴于点A，交y轴于点B，
31 1 (1 ) 1
当y=0时，−x+ =0，解得x= ，即A ,0 ,OA= ，
3 3 3 3
1 ( 1) 1
当x=0时，y= ，即B 0, ,OB= ，
3 3 3
1
∴OA=OB，AB=❑√OA2+OB2= ❑√2，
3
∵OP⊥AB，
1 1
∴OP= AB= ❑√2，
2 6
1
同理可得：OQ= ❑√2，
2
1 1 2
∴PQ=OP+OQ= ❑√2+ ❑√2= ❑√2，
6 2 3
2
即PQ的最小值为 ❑√2，
3
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根的判别式、平行线间的距离、直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确确定点P,Q的位置是解题关键．
【变式6-1】（2025·安徽合肥·三模）直线y=2与y=ax(1−x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围
是 ．
【答案】a<0或a>8
【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意联立y=2与y=ax(1−x)，得出
Δ=(−a) 2−4a×2=a2−8a>0，求解即可．
【详解】解：联立y=2与y=ax(1−x)，则−ax2+ax=2，整理得：ax2−ax+2=0，
∵直线y=2与y=ax(1−x)的图象有两个不同的交点，
则Δ=(−a) 2−4a×2=a2−8a>0，解得：a<0或a>8，
故答案为：a<0或a>8．
【变式6-2】（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，若点P(a,b)满足a+b=ab，
则称点P为“积和点”．例如：(0,0)，(2,2)就是“积和点”．若直线y=−x+m上所有的点中只有唯一一
个“积和点”，则m= ．
【答案】0或4
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线y=−x+m上所有的点
中唯一一个“积和点”为点P(a,b)，根据“积和点”定义可得a+(−a+m)=a(−a+m)，再由唯一一个
“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解．
【详解】解：设直线y=−x+m上所有的点中唯一一个“积和点”为点P(a,b)，依题意得：b=−a+m，
代入a+b=ab得：a+(−a+m)=a(−a+m)，
整理得：a2−ma+m=0，
由点P(a,b)是唯一一个“积和点”可知：△=m2−4m=0，解得：m =0，m =4．
1 2
故答案为：0或4．
【变式6-3】（23-24九年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两条坐标
1
轴的距离之积等于n(n≠0)的点，叫做该函数图象的“n阶积点”．例如：点(3,− )为一次函数
4
3 3
y=− x+2图象的“ 阶积点”．若y关于x的一次函数y=nx+3n−5图象的“n阶积点”恰好有3个，
4 4
则n的值为 ．
【答案】1或5
【分析】由y关于x的一次函数y=nx+3n−5图象的“n阶积点”恰好有3个，可得出关于x的一元二次方
程|x|⋅|nx+3n−5|=n有三个实数根，分x，nx+3n−5同号及x，nx+3n−5异号两种情况考虑，当x
，nx+3n−5同号时，原方程可整理得nx2+(3n−5)x−n=0，由根的判别式Δ>0，可得出此时原方程有
两个不相等的实数根；当x，nx+3n−5异号时，原方程可整理得nx2+(3n−5)x+n=0，由该方程有两
个相等的实数根，可得出关于n的一元二次方程，解之即可求出n的值．
【详解】解：根据题意得：关于x的一元二次方程|x|⋅|nx+3n−5|=n有三个实数根．
当x，nx+3n−5同号时，x(nx+3n−5)=n，整理得：nx2+(3n−5)x−n=0，
∴ Δ=(3n−5) 2−4×n×(−n)=(3n−5) 2+4n2，
∵n≠0，
∴(3n−5) 2≥0，n2>0，
∴ Δ>0，
∴此时原方程有两个不相等的实数根；
当x，nx+3n−5异号时，x(nx+3n−5)=−n，
整理得：nx2+(3n−5)x+n=0，
∵当x，nx+3n−5同号时，有两个不相等的实数根，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴ Δ=(3n−5) 2−4n2=0，
∴(3n−5+2n)(3n−5−2n)=0，
解得：n =1，n =5，
1 2
∴n的值为1或5．
故答案为：1或5．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，分两种
情况考虑是解题的关键．
【题型7 根的判别式综合几何的应用】
【例7】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝
2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是
等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是 ．5
【答案】1或 ❑√2．
2
【分析】由平移的性质得到BB′=CC′,A′B′//AB,A′B′=AB=2,B′C′=BC=1,A′C′=AC=❑√5，①
当CC′=BC时，BB′=CC′=BC=1；② 如图1，当AC′=AB=2时，③如图2，当AC′=CC′时，则
AC′=BB′，延长C′B′交AB于H，设BH=B′H=x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=CC′,A′B′//AB,A′B′=AB=2,B′C′=BC=1,A′C′=AC=❑√5,
① 当CC′=BC时，BB′=CC′=BC=1；
②如图1，当AC′=AB=2时，
∵∠ABC＝90°，BB′是∠ABC的角平分线，
∴∠B′BA=45°，
延长C′B′交AB于H，
∵A′B′//AB,∠A′B′C′=90°，
∴∠AHC′=∠A′B′C′=90°，
∴∠BHB′=90°，
设BH=B′H=x，
∴BB′=❑√2x,AH=2−x,C′H=1+x，
∵AC′2=AH2+C′H2
∴22＝（2﹣x）2+（1+x）2，
整理方程为：2x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣8＝﹣4＜0，
∴此方程无实数根，故这种情况不存在；
③如图2，当当AC′=CC′时，则AC′=BB′，
延长C′B′交AB于H，
∵A′B′//AB,∠A′B′C′=90°，∴∠AHC′=∠A′B′C′=90°，
∴∠BHB′=90°，
设BH=B′H=x，
∴BB′=AC′=❑√2x,AH=2−x,C′H=1+x，
∵AC′2=AH2+C′H2
∴（❑√2x）2＝（2﹣x）2+（1+x）2，
5
解得：x＝ ，
2
5
∴BB′＝ ❑√2，
2
5
综上所述，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或 ❑√2，
2
5
故答案为：1或 ❑√2．
2
【点睛】此题主要考查勾股定理，平移的性质，理解“等邻边四边形”的定义是解本题的关键．
【变式7-1】如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AB=5cm．点P从点A开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，另外一点也随之停止运
动．
(1)几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？
(2)△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．【答案】(1)1秒
(2)不能，见解析
【分析】（1）根据题意可得当运动时间为ts (0≤t≤4)时，AP=tcm，BP=(5−t)cm，BQ=2tcm，根
1 1
据题意列出方程 ×5×8− (5−t)×2t=16，进行求解即可；
2 2
1
（2）看△PQB的面积能否等于9cm2，只需要看方程 (5−t)×2t=9是否有解即可．
2
【详解】（1）解：∵ 5÷1=5s，8÷2=4s，
∴当运动时间为ts (0≤t≤4)时，AP=tcm，BP=(5−t)cm，BQ=2tcm，
根据题意可得：
1 1
×5×8− (5−t)×2t=16，
2 2
整理得：t2−5t+4=0，
解得：t=1或t=4，
当t=4时，点C、Q重合，不符合题意，舍去，
∴经过1秒钟，四边形APQC的面积等于16cm2；
（2）解：△PQB的面积不能等于9cm2，
理由如下：
根据题意可得：
1
(5−t)×2t=9，
2
整理得：t2−5t+9=0，
∵Δ=(−5) 2−4×1×9=−11<0，
∴所列方程没有实数根，
∴△PQB的面积不能等于9cm2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用以及根的判别式，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出
方程求解．
【变式7-2】（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方
程：x2−3ax+3a−1=0的两个实数根．
(1)当a为何值的，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若此方程的一个根是2，请求出此平行四边形ABCD的周长是多少？2
【答案】(1)当a= 时，四边形ABCD是菱形，这时菱形的边长为1
3
(2)平行四边形ABCD的周长是6
【分析】此题考查了平行四边形的性质、菱形的性质以及根的判别式，注意由菱形的邻边相等，得到
x2−3ax+3a−1=0有相等的实数根，即Δ=0是解题的关键．
（1）由四边形ABCD是菱形，可得AB=AD，又由平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方
程：x2−3ax+3a−1=0的两个实数根，可得x2−3ax+3a−1=0有相等的实数根，即Δ=0，则可求得a
的值，继而求得答案；
（2）首先将方程的一个根2，代入x2−3ax+3a−1=0，即可求得a的值，继而求得答案．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程：x2−3ax+3a−1=0的两个实数根，
∴Δ=(−3a) 2−4×(3a−1)=9a2−12a+4=0，
2
解得：a= ，
3
2
∴当a= 时，四边形ABCD是菱形；
3
∴原方程为：x2−2x+1=0，
解得：x =x =1，
1 2
∴这时菱形的边长为：1；
（2）解：∵此方程的一个根是2，
∴22−6a+3a−1=0，
解得：a=1，
∴原方程为：x2−3x+2=0，
∴(x−2)(x−1)=0，
解得：x =2，x =1，
1 2
∴AB+AD=3，
∴平行四边形ABCD的周长是：3×2=6．
【变式7-3】（22-23八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，
a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=❑√2c，这时我们把关于x的形如ax2+❑√2cx+b=0的一
元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+❑√2cx+b=0必有实数根；
(3)若x=−1是“勾系一元二次方程”ax2+❑√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6❑√2，求
△ABC的面积．
【答案】(1)3x2+5❑√2x+4=0（答案不唯一）
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式Δ的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面
积．
【详解】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5❑√2x+4=0；
（2）证明：根据题意，得Δ=(❑√2c) 2 −4ab=2c2−4ab，
∵a2+b2=c2，
∴2c2−4ab=2(a2+b2)−4ab=2(a−b) 2≥0
∴Δ≥0，
∴勾系一元二次方程ax2+❑√2cx+b=0必有实数根；
（3）解：当x=−1时，有a−❑√2c+b=0，即a+b=❑√2c，
∵四边形ACDE的周长是6❑√2，
∴2a+2b+❑√2c=6❑√2，即2(a+b)+❑√2c=6❑√2，
∴3❑√2c=6❑√2，
∴c=2，
∴a2+b2=c2=4，a+b=2❑√2，∵(a+b) 2=a2+b2+2ab，
∴8=4+2ab
∴ab=2，
1
∴S = ab=1．
△ABC 2
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判
别式，正确读懂题意是解题的关键．
