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第 03 讲 等比数列及其 n 项和
本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计
算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力
与运算求解能力.
考点一 等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，
那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么＝，
即G2＝ab.
考点二 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a }的首项为a ，公比是q，则其通项公式为a ＝a q n － 1 ；
n 1 n 1
通项公式的推广：a ＝a qn－m.
n m
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S ＝na ；当q≠1时，S ＝＝.
n 1 n
考点三 等比数列的性质
已知{a }是等比数列，S 是数列{a }的前n项和.
n n n
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有a ·a＝a · a .
k l m n
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 a ，a ，a ，…仍是等比
k k＋m k＋2m
数列，公比为 q m .
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，S ，S －S ，S －S ，…仍成等比数列，
n 2n n 3n 2n
其公比为 q n .
考点四 常用结论
1.若数列{a }，{b }(项数相同)是等比数列，则数列{c·a }(c≠0)，{|a |}，{a}，，
n n n n
{a ·b }，也是等比数列.
n n
2.由a ＝qa ，q≠0，并不能立即断言{a }为等比数列，还要验证a ≠0.
n＋1 n n 1
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常
设为，，xq，xq3.
高频考点一 等比数列基本量的运算
【例1】(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a }的前4项和为15，且
n
a ＝3a ＋4a ，则a ＝( )
5 3 1 3
A.16 B.8
C.4 D.2
【答案】C
【解析】设等比数列{a }的公比为q，由a ＝3a ＋4a 得q4＝3q2＋4，得q2＝4.
n 5 3 1
因为数列{a }的各项均为正数，所以q＝2.
n
又a ＋a ＋a ＋a ＝a (1＋q＋q2＋q3)＝a (1＋2＋4＋8)＝15，所以a ＝1，所以a
1 2 3 4 1 1 1 3
＝a q2＝4.
1
【方法技巧】
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量
a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
1 n n
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a }的前n项
n
和S ＝na ；当q≠1时，{a }的前n项和S ＝＝.
n 1 n n
【变式训练】
1.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{a }满足a ＋a ＝20，a ＝8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求a a －a a ＋…＋(－1)n－1a a .
1 2 2 3 n n＋1
【解析】(1)设{a }的公比为q(q>1)，且a ＋a ＝20，a ＝8.
n 2 4 3
∴消去a ，得q＋＝，则q＝2，或q＝(舍).
1
因此q＝2，a ＝2，
1
所以{a }的通项公式a ＝2n.
n n
(2)易知(－1)n－1a a ＝(－1)n－1·22n＋1，
n n＋1
则数列{(－1)n－122n＋1}公比为－4.故a a －a a ＋…＋(－1)n－1·a a
1 2 2 3 n n＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝＝[1－(－4)n]＝－(－1)n·.
高频考点二 等比数列的判定与证明
【例3】S 为等比数列{a }的前n项和，已知a ＝9a ，S ＝13，且公比q>0.
n n 4 2 3
(1)求a 及S ；
n n
(2)是否存在常数λ，使得数列{S ＋λ}是等比数列？若存在，求 λ的值；若不存
n
在，请说明理由.
【解析】(1)易知q≠1，由题意可得
解得a ＝1，q＝3，
1
∴a ＝3n－1，S ＝＝.
n n
(2)假设存在常数λ，使得数列{S ＋λ}是等比数列，
n
∵S ＋λ＝λ＋1，S ＋λ＝λ＋4，S ＋λ＝λ＋13，
1 2 3
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，
此时S ＋＝×3n，则＝＝3，
n
故存在常数λ＝，使得数列{S ＋}是以为首项，3为公比的等比数列.
n
【方法技巧】
1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、
填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成
等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【变式训练】
(2021·石家庄质量评估)已知数列{a }中，a ＝1，a ·a ＝.
n 1 n n＋1
(1)证明：数列{a }和数列{a }都是等比数列；
2n－1 2n
(2)若数列{a }的前2n项和为T ，b ＝(3－T )n(n＋1)，求数列{b }的最大项.
n 2n n 2n n
【解析】(1)证明 由a a ＝，得a a ＝.
n n＋1 n＋1 n＋2
两式相除，得＝
因为a ＝1，a ·a ＝，
1 1 2
所以a ＝，
2所以{a }是以a ＝1为首项，为公比的等比数列，
2n－1 1
{a }是以a ＝为首项，为公比的等比数列.
2n 2
(2)解 因为T ＝＋＝3－，
2n
所以b ＝(3－T )n(n＋1)＝.
n 2n
则＝·＝.
当n<2时，>1，即b >b ＝3；
2 1
当n＝2时，＝1，即b ＝b ＝；
2 3
当n>2时，<1，即b 0，
n n
因为S －2S ＝5，则S －S ＝5＋S ，
8 4 8 4 4
易知S ，S －S ，S －S 是等比数列，
4 8 4 12 8
所以(S －S )2＝S ·(S －S )，
8 4 4 12 8
所以S －S ＝＝＋S ＋10≥2＋10＝20(当且仅当S ＝5时取等号)因为a ＋a ＋a
12 8 4 4 9 10 11
＋a ＝S －S ，所以a ＋a ＋a ＋a 的最小值为20.
12 12 8 9 10 11 12
【方法技巧】
1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是
“若m＋n＝p＋q，则a ·a ＝a ·a ”，可以减少运算量，提高解题速度.
m n p q
2.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，
三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可
找出解决问题的突破口.
【变式训练】
1.(2022·西安调研)已知数列{a }为各项均为正数的等比数列，S 是它的前n项
n n和，若a a ＝4，且a ＋2a ＝，则S ＝( )
1 7 4 7 5
A.32 B.31
C.30 D.29
【答案】B
【解析】由a a ＝a＝4，且a >0，得a ＝2，
1 7 n 4
又a ＋2a ＝，所以a (1＋2q3)＝，
4 7 4
解得q＝，从而a ＝16.故S ＝＝31.
1 5
2.设等比数列{a }的前n项和为S ，若＝3，则＝________.
n n
【答案】
【解析】法一 由等比数列的性质知，S ，S －S ，S －S 仍成等比数列，由已
3 6 3 9 6
知得S ＝3S ，
6 3
所以＝，即S －S ＝4S ，S ＝7S ，
9 6 3 9 3
所以＝.
法二 因为{a }为等比数列，由＝3，设S ＝3a，S ＝a，
n 6 3
所以S ，S －S ，S －S 为等比数列，即a，2a，S －S 成等比数列，所以S －S
3 6 3 9 6 9 6 9 6
＝4a，解得S ＝7a，所以＝＝.
9
