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专题 21.3 根的判别式【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】.........................................................................................1
【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】.............................................................................................3
【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】.....................................................................5
【题型4 证明一元二次方程的根的情况】..............................................................................................................7
【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】.....................................................................................................9
【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】.......................................................................................................12
【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】.......................................................................................................15
【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】...........................................................................18
【题型9 一元二次方程中的新定义问题】...........................................................................................................20
【题型10 一元二次方程中的多结论问题】...........................................................................................................24
知识点1：一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】
【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）关于一元二次方程x2+3x−2=0根的情况，下列说法正确的是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）Δ>0，方程有两个不
相等的实数根；（2）Δ=0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0△，方程没有实数根．根据根的判别式即
可求出答案．
【详解】解：由 Δ=(−3) 2−4×1×(−2)=17>0，
△∴一元二次方程x2−3x−2=0有两个不相等的实数根．
故选：A
【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）方程x2−4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵Δ=b2−4ac=0−4×1×(−4)=16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C
【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的三组条件中选择其
中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2，c=1；②b=5，c=6；③b=4，c=−2．
【答案】选②，方程的解为x =−2，x =−3；选③，方程的解为x =❑√6−2，x =−❑√6−2
1 2 1 2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是掌握当方程有两个不
相等的实数根时，判别式Δ>0．先根据判别式得出可选择的组，然后解方程即可．
【详解】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac
∴②③均可，
当选②解方程时：
x2+5x+6=0，
(x+2)(x+3)=0，
x+2=0或x+3=0，
∴x =−2，x =−3；
1 2
当选③解方程时：
x2+4x−2=0，
x2+4x+4=2+4，
(x+2) 2=6，
x+2=±❑√6，∴x =❑√6−2，x =−❑√6−2．
1 2
【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2−2x=0 B．x2+4x−4=0 C．(x−2) 2−3=0 D．3x2+2=0
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项
系数，根的判别式Δ与实数根的情况之间的关系如下：Δ>0，一元二次方程有两个不相等的实数根；Δ=0
，一元二次方程有两个相等的实数根；Δ<0，一元二次方程无实数根．
【详解】解：A选项Δ=(−2) 2−4×1×0=4>0，则A选项有两个不等实数根，不符合题意；
B选项Δ=16+16=32>0，则B选项有两个不等实数根，不符合题意；
C选项方程的一般式为：x2−4x+1=0，则Δ=16−4=12>0，则C选项有两个不等实数根，不符合题
意；
D选项方程Δ=0−4×3×2=−24<0，则D选项没有实数根，符合题意．
故选：D．
【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】
【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）关于x的方程x2+(k−2)x−k=0的根的情况，下列说法正确的
是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法．先计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可
判断方程根的情况．
【详解】解：关于x的方程x2+(k−2)x−k=0，
∵a=1，b=k−2，c=−k，
∴b2−4ac=(k−2) 2−4×1×(−k)=k2+4>0，
所以关于x的一元二次方程x2+(k−2)x−k=0有两个不相等的实数根，
故选：A．【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知一元二次方程x2+bx+c=0．
(1)当b=2时，若方程的一个根为−3，求c的值以及方程的另一个根；
1
(2)当c+1= b2 时，请判别方程根的情况．
4
【答案】(1)c=−3，方程另外一个根为x=1
(2)原方程有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点，
（1）将b=2和方程的一个根为−3代入方程求出c值，再解方程即可；
1
（2）根据c+1= b2 判断出Δ的取值范围，进而进行判断即可；
4
熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键．
【详解】（1）∵b=2时，若方程的一个根为−3，
∴(−3) 2+2×(−3)+c=0解得：c=−3，
∴得到方程为x2+2x−3=0，解得x =−3或x =1，
1 2
∴c=−3，方程另外一个根为x=1；
1
（2）∵c+1= b2 ，
4
1
∴c= b2−1
4
∴Δ=b2−4c=b2−4 (1 b2−1 ) =b2−b2+4=4>0，
4
∴原方程有两个不相等的实数根．
【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵x2+4x−7=0，
∴a=1,b=4,c=−7，Δ=b2−4ac=16−4×1×(−7)=16+28=44>0，
故选：D．【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法不正确的
是（ ）
A．若x=−1是方程的解，则a−b+c=0
B．若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
C．若ac<0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根
D．若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式Δ的关
系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数
根．
根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、将x=−1代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)可得：a−b+c=0，
∴本选项说法正确，不符合题意；
B、若c=0，则方程为ax2+bx=0，
∴Δ=b2−4ac=b2≥0，
∴程ax2+bx+c=0必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意；
C、∵ac＜0，
∴Δ=b2−4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意；
D、∵方程ax2+bx+c=0中，a+c=0，
∵Δ=b2−4ac=b2+4a2>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；
故选：B．
【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（23-24·四川广安·中考真题）若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数
根，则m的取值范围是（ ）
A．m<0且m≠−1 B．m≥0
C．m≤0且m≠−1 D．m<0
【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若
Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若
Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根．由关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0两个不相等的实数
根，可得Δ>0且m+1≠0，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4(m+1)>0，
解得：m<0，
∵m+1≠0，
∴m≠−1，
∴m的取值范围是：m<0且m≠−1．
故选：A．
【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）若方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实
数根，即Δ=b2−4ac=0，代入数值计算求解即可．
【详解】解：∵该方程有两个相等实根，
∴Δ=(−4) 2−4c=0，
解得c=4；
故答案为：C．
【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为
24，则m= ．
【答案】−1
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为
Δ=b2−4ac是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为24，
∴Δ=b2−4ac=42−4×2m=24，解得：m=−1．
故答案为：−1．
1
【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）关于x的方程(k−1)x2−x+ =0有两个不相等的实根，则k
4
的取值范围是（ ）
A．k≥2 B．k≤2且k≠1 C．k>2 D．k<2且k≠1
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之
即可得出k的取值范围．
1
【详解】解：∵关于x的方程(k−1)x2−x+ =0有两个不相等的实根，
4
{ k−1≠0 )
∴ △=(−1) 2−4× 1 (k−1)>0 ，
4
解得：k<2且k≠1．
故选：D．
【题型4 证明一元二次方程的根的情况】
【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）已知：关于x的一元二次方程(x−1)(x−2)−m2=0．求证：无论
m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数
根．根据根的判别式得出Δ=(−3) 2−4(2−m2)=4m2+1，然后说明Δ>0即可．
【详解】证明：由(x−1)(x−2)−m2=0得x2−3x+2−m2=0，
则Δ=(−3) 2−4(2−m2)=4m2+1，
∵无论m取何值，都有m2≥0，
∴4m2+1≥1>0，即Δ>0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根小于−2，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)m>3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟练掌
握一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解题的关键．
（1）根据Δ=m2−4(m−1)=m2−4m+4=(m−2) 2≥0，证明即可；
（2）由x2+mx+m−1=0，可得(x+m−1)(x+1)=0，解得，x=1−m或x=−1，由方程的一个根小于
−2，可得1−m<−2，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵x2+mx+m−1=0，
∴Δ=m2−4(m−1)=m2−4m+4=(m−2) 2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2+mx+m−1=0，
∴(x+m−1)(x+1)=0，
解得，x=1−m或x=−1，
∵方程的一个根小于−2，
∴1−m<−2，
解得，m>3．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−3mx+2m2+m−1=0．
(1)当m=2时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
【答案】(1)x =x =3
1 2
(2)有两个实数根，理由见解析
【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方
法和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2−4ac，且当Δ>0时，该方程有两个不相
等的实数根；当Δ=0时，该方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，该方程没有实数根是解题关键．（1）当m=2时，原方程为x2−6x+9=0，即(x−3) 2=0，再直接解方程即可；
（2）根据方程可求出Δ=(−3m) 2−4×1×(2m2+m−1)=(m−2) 2≥0，即可得出原方程有两个实数根．
【详解】（1）解：当m=2时，原方程为x2−3×2x+2×22+2−1=0，即为x2−6x+9=0，
∴(x−3) 2=0，
∴x =x =3；
1 2
（2）解：由题意可知a=1，b=−3m，c=2m2+m−1，
∴Δ=b2−4ac=(−3m) 2−4×1×(2m2+m−1)=(m−2) 2≥0，
∴原方程有两个实数根．
【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若m>0，且该方程的两个实数根的积为12，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=2
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一
元二次方程的解法是解本题的关键．
（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）利用因式分解法可得x =m,x =3m，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得3m2=12，计算
1 2
即可求出m的值．
【详解】（1）证明：∵a=1,b=−4m,c=3m2，
∴Δ=b2−4ac=(−4m) 2−4×1×3m2=4m2，
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2−4mx+3m2=0，即：(x−m)(x−3m)=0，
∴x =m,x =3m，
1 2
∵该方程的两个实数根的积为12
∴3m2=12，
∴m=±2，∵m>0，
∴m=2．
【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（23-24九年级·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是
．
【答案】−8≤a<0
【分析】由实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0得到关于b的一元二次方程2ab2−2ab+a+4=0，由根
的判别式Δ=−4a2−32a≥0且2a≠0，得到不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．
【详解】解：∵实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，
∴关于b的一元二次方程2ab2−2ab+a+4=0中，
Δ=(−2a) 2−4×2a(a+4)=−4a2−32a≥0且2a≠0，
即a(a+8)≤0且a≠0，
{ a>0 ) { a<0 )
∴ 或 ，
a+8≤0 a+8≥0
解得−8≤a<0，
即a的取值范围是−8≤a<0．
故答案为：−8≤a<0
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法等知识，由根的判别式
Δ=−4a2−32a≥0且2a≠0得到不等式组是解题的关键．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则
P的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由原式得，P=2m2−3．将m2−mn+n2=3看成关于n的一元二次方程，根据方程有实数解，所
以Δ=m2−4(m2−3)≥0，可得m2≤4，进而得出结论．
【详解】解：将两个等式相加得：P+3=2m2，则P=2m2−3．
要求P的最大值，只需求出m2的最大值．
将m2−mn+n2=3看成关于n的一元二次方程，整理得：n2−mn+m2−3=0．
根据方程有实数解，所以Δ=m2−4(m2−3)≥0．可得m2≤4，即m2的最大值为4．
所以当m2=4时，P的最大值为5．
故选：C
【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次
方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此
方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【答案】y≤4
【分析】由一元二次方程根的判别式先求解m≤3，根据一元二次方程的解的定义得出t2−2t=3m代入代
数式，进而即可求解．
【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，
∴△=b2−4ac=4−12m≥0，
解得：m≤3，
设此方程的一个实数根为t，
∴t2−2t=−3m
∴ y=t2−2t+4m+1
=−3m+4m+1
=m+1
∵m≤3
∴m+1≤4 即y≤4
故答案为：y≤4．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用
一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）设实数x,y,z满足x2+ y2+z2−xy−yz−zx=27，则
|y−z)的最大值为 .
【答案】6
{x−y=a)
【分析】先将已知等式配成一个完全平方的形式，再令 ，将完全平方式转化为一个只含a和b
y−z=b
的等式，然后将问题转化为已知一元二次方程的根的情况，求未知参数问题，最后利用根的判别式求解即
可.
【详解】x2+ y2+z2−xy−yz−zx=27两边同乘以2得：2(x2+ y2+z2−xy−yz−zx)=54
整理得：(x−y) 2+(y−z) 2+(x−z) 2=54①
{x−y=a)
令 ，则x−z=a+b
y−z=b
代入①得：a2+b2+(a+b) 2=54
化简得：a2+ba+b2−27=0
由题意可知，关于a的一元二次方程a2+ba+b2−27=0有实数根
则方程的根的判别式Δ=b2−4(b2−27)≥0
解得：|b)≤6，即|y−z)≤6
所以|y−z)的最大值为6
故答案为：6.
【点睛】本题是一道难题，考查了求代数式的极值的知识，在已知条件转换变形后，将其看成一个一元二
次方程的实数根的情况来分析是解题关键.
【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】
【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−(3m+2)x+2m2+2m=0．
(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形
时，求m的值．
【答案】(1)见解析
1
(2)m的值为
2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用因式分解法求出方程的两根，x =m，x =2m+2，再根据等腰三角形的定义，即可求解．
1 2
【详解】（1）解：Δ=[−(3m+2)) 2 −4×1×(2m2+2m)
=9m2+12m+4−8m2−8m
=m2+4m+4=(m+2) 2≥0，
∴无论m取何值时，这个方程总有实数根．
（2）解：x2−(3m+2)x+2m2+2m=0
(x−m)(x−2m−2)=0
∴x =m，x =2m+2，
1 2
当m=3时，三边为3，3，8（舍），
1 1
当2m+2=3时， m= ，三边为 ，3，3，
2 2
1
∴m的值为 ．
2
【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若
a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，可得△=(−2c) 2−4(a2+b2)=0，整理
得c2=a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，
∴△=(−2c) 2−4(a2+b2)=0，整理得c2=a2+b2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵
活运用．
【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）已知关于x的方程，x2−(k+2)x+2k=0．
(1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的条件：
（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）分当等腰三角形的腰长为1时，则x=1是方程x2−(k+2)x+2k=0的一个根，当底边长为1时，则原
方程有两个相等的实数根，两种情况求出k的值进而求出另一个根，再根据构成三角形的条件求解即可．
2
【详解】（1）证明：由题意得，Δ=[−(k+2)) −8k
=k2+4k+4−8k
=k2−4k+4
=(k−2) 2≥0，
∴无论k为任意实数值方程，总有实数根；
（2）解：当等腰三角形的腰长为1时，则x=1是方程x2−(k+2)x+2k=0的一个根，
∴1−(k+2)+2k=0，
∴k=1，
∴原方程为x2−3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴底边长为2，
∵1+1=2，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，
∴Δ=(k−2) 2=0，
∴k=2，
∴原方程为x2−4x+4=0，
解得x =x =2，
1 2
∵1+2>2，
∴此时能构成三角形，
∴△ABC的周长为2+2+1=5．
【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x 和x 若以x，x，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．
1 2 1 2
❑√10
【答案】（1）见详解；（2）k的值为❑√2或 ．
2【分析】（1）先把方程变为一元二次方程一般式，然后确定a=1，b=−(2k+1)，c=2k，再计算
Δ=b2−4ac=(2k−1) 2≥0即可；
（2）将方程因式分解得(x−2k)(x−1)=0，得出方程的解x =2k，x =1，然后分两种情况2k＜3与2k
1 2
＞3，分别根据勾股定理建构方程求解即可．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
∴a=1，b=−(2k+1)，c=2k，
∴Δ=b2−4ac=[-(2k+1)) 2 −4×1×2k=4k2−4k+1=(2k−1) 2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）将方程因式分解得(x−2k)(x−1)=0，
解得x =2k，x =1，
1 2
∵以2k，1，3为三边长的三角形是直角三角形，
∴当2k＜3时，则12+(2k) 2=32，解得k=❑√2，k=−❑√2(舍去)；
❑√10 ❑√10
当2k＞3时，则12+32=(2k) 2，解得k= ，k=− (舍去)；
2 2
❑√10
以1，2k，3为三边长的三角形是直角三角形，k的值为❑√2或 ．
2
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，掌
握一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理是解题关键．
【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】
【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−(k−3)x+k−5=0．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当k=11时，该方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线的长，求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)S =3
菱形ABCD
【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明；
（2）求出一元二次方程的两个根，根据菱形的面积公式进行解答即可；
此题考查菱形的性质、一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式和
一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）证明：Δ=[−(k−3)) 2 −4×1×(k−5)=k2−10k+29=(k−5) 2+4，
∴Δ>0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）当k=11时，原方程为x2−8x+6=0，
a=1,b=−8,c=6，
Δ=(−8) 2−4×1×6=40，
8±❑√40
∴x= =4±❑√10，
2
∴x =4+❑√10,x =4−❑√10,
1 2
1
∴S = ×(4+❑√10)×(4−❑√10)=3
菱形ABCD 2
【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）已知▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程
m 1
x2−mx+ − =0的两个实数根．
2 4
(1)若AC的长为1，求m的值；
(2)当m为何值时，▱ABCD是矩形．
3
【答案】(1)m=
2
(2)1
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定．
（1）将x=1代入方程，求出m的值即可；
（2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到Δ=0，进行求解即可．
m 1
【详解】（1）解：∵▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程x2−mx+ − =0的两个实数
2 4
根，
m 1
∴当AC的长为1时，12−m+ − =0，
2 4
3
解得：m= ；
2
（2）∵▱ABCD的两对角线AC，BD，∴当AC=BD时，▱ABCD是矩形，
m 1
∴方程x2−mx+ − =0有两个相等的实数根，
2 4
∴Δ=m2−4
(m
−
1)
=0，
2 4
解得m =m =1，即m的值为1．
1 2
【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程
m
x2−mx+ =0的两个实数根．
2
（1）求m的值；
（2）求正方形的面积．
1
【答案】（1）2；（2） ．
2
【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC=BD，再利用一元二次方程根的判别式即可得；
（2）先解一元二次方程可得AC=BD=1，再利用正方形的面积公式即可得．
【详解】解：（1）在正方形ABCD中，AC=BD，
m
由题意得：关于x的方程x2−mx+ =0的根的判别式等于0，
2
即m2−2m=0，
解得m =2,m =0，
1 2
∵AC=BD>0，
∴m =0舍去，
2
故m的值为2；
（2）由（1）得：方程为x2−2x+1=0，
解得x =x =1，
1 2
∴AC=BD=1，
1 1 1
则正方形的面积为 AC⋅BD= ×1×1= ．
2 2 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别
式是解题关键．
【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长
和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 ．
【答案】a2+b2≥10ab【分析】因为矩形的长和宽分别为a、b，所以其周长和面积分别为2(a+b)和ab，设所求矩形的长为x，则
1 1 1 1
宽为 (a+b)-x，其面积为x[ (a+b)-x]，根据题意得：x[ (a+b)-x]= ab，因为存在另外一个矩形，使它的周
3 3 3 3
长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．
1 1
【详解】解：设所求矩形的长为x，则宽为 (a+b)-x，其面积为x[ (a+b)-x]，
3 3
1 1
根据题意得：x[ (a+b)-x]= ab，
3 3
1 1
即x2- (a+b)x+ ab=0 ，
3 3
∵存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一
∴方程有解，
2
[1 ) 1
∴△= (a+b) −4× ab
3 3
1 2 1 4
= a2+ ab+ b2- ab
9 9 9 3
1 10 1
= a2- ab+ b2 ≥0
9 9 9
∴a2-10ab+b2≥0
∴a2+b2≥10ab
故答案为：a2+b2≥10ab．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的
问题．
【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）若整数a使得关于x的一元二次方程(a−2)x2+❑√2a+3x+1=0有
3−ay 2y
两个实数根，并且使得关于y的分式 方程 +1= 有整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
3−y y−3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】对于关于x的一元二次方程(a−2)x2+❑√2a+3x+1=0有两个实数根，利用判别式的意义得到
a-2≠0且2a+3≥0且 =（❑√2a+3）2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a为：-1，0，1，3，4，5；接着解
△6 6
分式方程得到y= ，而y≠3，则 ≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，
a−1 a−1
然后求符合条件的所有a的个数．
【详解】解：∵整数a使得关于x的一元二次方程(a−2)x2+❑√2a+3x+1=0有两个实数根，
∴a-2≠0且2a+3≥0且 =（❑√2a+3）2-4（a-2）≥0，
3 11 △
∴− ≤a≤ 且a≠2，
2 2
∴整数a为：-1，0，1，3，4，5；
去分母得3-ay+3-y=-2y，
6
解得y= ，
a−1
6
而y≠3，则 ≠3，解得a≠3，
a−1
当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，
∴符合条件的所有a的个数是3．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞
0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个实数根a，b，那么一次函数
y=(1−ab)x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：a+b=2，ab=−4，
∴1−ab=5
∴一次函数解析式为：y=5x+2，
故一次函数的图象一定不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．
{
x−a>0
)
【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知不等式组 1 有且仅有4个整数解，则关于
x−3<1
2x的方程ax2+(2a−1)x+a=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
【答案】C
【分析】本题考查解含参数的一元一次不等式组、不等式的性质及利用判别式确定一元二次方程根的情况
等知识，先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到3≤a<4，再结合一元二次方程的判别式，由
不等式的性质确定Δ<0即可得到答案，熟练掌握含参数的一元一次不等式组的解法及判别式与一元二次方
程根的情况是解决问题的关键．
{
x−a>0①
)
【详解】解： 1
x−3<1②
2
由①得x>a；
由②得x<8；
{
x−a>0
)
∵不等式组 1 有且仅有4个整数解，
x−3<1
2
∴ 3≤a<4；
∵关于x的方程ax2+(2a−1)x+a=0中，Δ=(2a−1) 2−4a2=−4a+1，
∴−15<Δ≤−11，即Δ<0，
∴关于x的方程ax2+(2a−1)x+a=0无实数根，
故选：C．
{ x−2y=3m−n, )
【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）已知关于x、y的方程组 对每一个实数
xy=n2−2m2+3n+4
n都有实数解，那么正整数m的值为 ．
【答案】1，2
【分析】本题考查了整体思路解一元二次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想．先将二元二次方程组
整理成一元二次方程，由于方程存在实根得到(3n−m+4) 2−(8m2−8m−16)≥0，−1≤m≤2，即可解
答．
【详解】解：由题意可知，得2y2+(3m−n)y−(n2−2m2+3n+4)=0，Δ=(3m−n) 2+8(n2−2m2+3n+4)≥0，
即(3n−m+4) 2−(8m2−8m−16)≥0，
∵对每一个实数n都有实数解，
∴m2−m−2≤0，
解得：−1≤m≤2，
其中m的正整数解为1，2．
故答案为：1，2．
【题型9 一元二次方程中的新定义问题】
【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c=0(其中
a≠0,a,b,c为实数)的“共同体数”，如：x2+2x−1=0的“共同体数”为《1，2，−1》，以下“共同
体数”中能让一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根的是( )
A．《3，2，1》 B．《3，4，5》
1
C．《n+1，2n，n−1》 D．《m,m,m+ 》
m
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求
解．
【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为3x2+2x+1=0
∵Δ=b2−4ac=22−4×3×1=−8<0，
∴3x2+2x+1=0没有实数根，故该选项不符合题意；
B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为3x2+4x+5=0
∵Δ=b2−4ac=42−4×3×5=−44<0，
∴3x2+4x+5=0没有实数根，故该选项不符合题意；
C.当“共同体数”为《n+1，2n，n−1》时，一元二次方程为(n+1)x2+2nx+n−1=0
∵Δ=b2−4ac=4n2−4×(n+1)(n−1)=4>0，
∴(n+1)x2+2nx+n−1=0 3x2+2x+1=0有两个不相等实数根，故该选项符合题意；
1 1
D.当“共同体数”为《m,m,m+ 》时，一元二次方程为mx2+mx+m+ =0
m m
∵Δ=b2−4ac=m2−4×m× ( m+ 1) =−3m2−4<0，
m1
∴mx2+mx+m+ =0没有实数根，故该选项不符合题意；
m
故选：C．
【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：a△b=b2−ab，若关于x的方程
6△x=k有两个相等实数根，则k的值为 .
【答案】−9
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数有如下关系：当
b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当
b2−4ac<0时，方程无实数根．
【详解】解：由题可得：x2−6x−k=0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=36+4k=0，
解得k=−9，
故答案为：−9．
【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，
a△b=ba2+3a−1，如3△4=4×32+3×3−1，若x△k=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，并且
该方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
9 9
A．k≤− B．k≤− 且k≠0
4 4
9 9
C．k≥− D．k≥− 且k≠0
4 4
【答案】D
【分析】利用新定义得到kx2+3x−1=0，然后利用Δ≥0且k≠0可判断方程根的情况．
【详解】解：由新定义得kx2+3x−1=0，
∵该方程是关于x的一元二次方程，
∴ k≠0，
∵方程有实数根．
∵ Δ=32−4k×(−1)=9+4k≥0，
9
解得：k≥− ，
4
9
∴该方程有实数根时，k≥− 且k≠0
4故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数
根．
【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)，如果Δ=b2−4ac的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，
但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
4ac−b2
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”，代数式 的值为
4a
4ac−b2
该“全整根方程”的“最值码”，用Q(a,b,c)表示，即Q(a,b,c)= ；若另一关于x的一元二次
4a
方程px2+qx+r=0(p≠0)也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q(p,q,r)，当满足
Q(a,b,c)−Q(p,q,r)=c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程
px2+qx+r=0(p≠0)的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”x2−3x+2=0的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m为整数、且40，
∴m−n−2=0，
∴m−n=2．
【题型10 一元二次方程中的多结论问题】
【例10】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说
法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有
两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的定义求出b=a，以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论．
【详解】解：∵a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根，
∴a2−ab+b−a=0，
整理得，(a−1)(a−b)=0
∵a>1，
∴a−1>0，
∴a−b=0，即b=a；
①Δ=b2−4×1×(b−a)=a2−4×1×(a−a)=a2>1，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；
②∵b=a，
∴当a=t+1时，一定有b=t+1，故②说法错误；
③∵a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．且b=a，
∴b也是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．故③说法正确；
④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误；
所以，正确的结论是①③，
故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式
判断根的情况是解答本题的关键．
【变式10-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0） ，
下列说法：
①若4a−2b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有一个根为x=2；
②当（a+c）2≤b2 （时，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有实数根；
③若b2−6ac>0，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若ax2+bx+c=0（a≠0）和cx2+bx+a=0（c≠0）有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中
正确的是 （填序号）
【答案】②③④
【分析】根据x=−2时，得到4a−2b+c=0即可判断①；根据当(（a+c）2≤b2时，将b2=(a+c) 2 代入
得出判别式的符号，即判断②；根据若b2−5ac>0，即可得出Δ=b2−4ac>0，即可判断③；当x=1时，
代入方程即可判断④．
【详解】①当x=−2时，则4a−2b+c=0，关于x的方程ac2+bc+c=0必有一个根为c=−2；故此选项
错误；
②(a+c) 2≤b2，当b2=(a+c) 2时，Δ=b2−4ac=(a+c) 2−4ac=(a−c)2≥0，∴当(a+c) 2≤b2时，关于x
的方程ax2+bx+c=0必有实根；故此选项正确；
③当b2−6ac>0时，b2≥0，b2>6ac ，Δ=b2−4ac>0，则方程ac2+bx+c=0一定有两个不相等实根，
故此选项正确；
④当x=1时，代入ax2+bx+c=0(a≠0)得a+b+c=0，代入cx2+bx+a=0(c≠0)得c+b+a=0，
ax2+bx+c=0（a≠0）和cx2+bx+a=0（c≠0）)有一个相同的根，那么这个根一定1．故此选项正
确；
综上分析可得，正确的有：②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】此题综合考查了根的判别式与一元二次方程，试题在求解的过程中可以利用方程解的定义以及恒
等变形求解．
【变式10-2】（23-24九年级·河北石家庄·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
下列说法正确的有（ ）①若ac＞0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
②若a+b+c=0，则b2 −4ac≥0；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2 −4ac=(2ax +b) 2 ．
0 0
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4 个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的解，一元二次方程的根的判别式等式的性质对各项进行判断即可．
【详解】解：①ac＞0时，b2 −4ac的值不确定正负，所以无法确定方程ax2+bx+c=0根的情况，故①不
正确；
②当x=1时，a+b+c=0，即方程有两个相等的实数根或者两个不相等的实数根，此时b2 −4ac≥0，故②
正确；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=c(ac+b+1)=0，当c≠0时，ac+b+1=0，当c=0
时，ac+b+1不一定等于0，故③不正确；
④由b2 −4ac=(2ax +b) 2=4a2x 2+4abx +b2 ，得ax 2+bx +c=0，由于x 是一元二次方程
0 0 0 0 0 0
ax2+bx+c=0的根，则ax 2+bx +c=0成立，故④正确，
0 0
综上所述，正确的有②④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的综合运用，熟练掌握根的判别式，等式的性质进行判定是解题
的关键．
【变式10-3】（23-24九年级·浙江舟山·期中）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：
①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则b2−4ac=(2ax −b) 2
0 0
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A
【分析】①根据根的判别式直接求解即可；
②根据一元二次方程的定义直接判断即可，需使二次项系数不为零才有两个实根；
③将根代入方程中，直接解方程即可；
④根据一元二次方程根的定义，将根直接代入方程求解即可．
【详解】①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则Δ=b2−4ac=−4ac>0，
则方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b2−4ac>0，因此必有两个不相等的实数根；故正确；
②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则Δ=b2−4ac>0，
则方程cx2+bx+a=0中，若c=0，则不是一元二次方程；故错误；
③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根，则ac2+bc+c=0，
c(ac+b+1)=0，则c=0或ac+b+1=0；故错误；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则ax 2+bx +c=0，
0 0 0
将b2−4ac=(2ax −b) 2 化简为：ax 2−bx +c=0；故错误；
0 0 0
故选：A
【点睛】此题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式，解题关键是出现方程的根时，直接代入方程即
可．
