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专题第 2 讲 根的判别式与根与系数的关系（30 题）
1．（2023•南岗区校级开学）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣3＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【分析】根据一元二次方程根的判别式b2﹣4ac与0的大小，即可得出方程根的情况．
【解答】解：∵b2﹣4ac＝（m﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝（m﹣2）2+12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（2023•朝阳）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是（ ）
A．k＞ 且k≠1 B．k＞ C．k≥ 且k≠1 D．k≥
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的
取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得：k＞ 且k≠1，
∴k的取值范围是k＞ 且k≠1．
故选：A．
3．（2023春•永兴县校级期末）已知关于x的方程（k﹣1）x2 有两个实数解，求k的取值范围
（ ）
A．k≤ B．k≤ 且k≠1
C．0≤k≤ D．0≤ 且k≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，以及二次根式有意义的条件，即可得出关于 k的一
元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2 有两个实数解，
∴Δ＝（﹣ ）2﹣4（k﹣1）×2≥0且k﹣1≠0，k≥0，
解得：0≤k≤ 且k≠1，
故选：D．4．（2022秋•信都区校级期末）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数
值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据判别式Δ＝b2﹣4ac用含有m的式子将Δ表示出来，再根据有实数根，则可知Δ≥0，列出
不等式即可解决问题．
【解答】解：∵4x2+（4m+1）x+m2＝0，
∴Δ＝（4m+1）2﹣16m2＝16m2+8m+1﹣16m2＝8m+1，
∵有实数根，
∴8m+1≥0，
∴ ，
∴最小整数值为0．
故选：B．
5．（2023春•承德县月考）已知关于x的方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）的一个解为x＝﹣3，则关于x的方
程2mx2+nx+2＝0（m≠0）根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不确定
【分析】把 x＝﹣3 代入到方程 2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）中求出 ，再推出关于 x 的方程
2mx2+nx+2＝0（m≠0）的 即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程2mx2﹣nx+2＝0（m≠0）的一个解为x＝﹣3，
∴2m•（﹣3）2+3n+2＝0，
∴18m+3n+2＝0，
∴ ，
在关于x的方程2mx2+nx+2＝0（m≠0）中，Δ＝n2﹣4×2⋅2m，
∴Δ＝n2﹣16m＝ ＝ ＝ ，
∵两个方程的判别式Δ化简后是一致的，第一个方程有解可得Δ1≥0，
所以第二个方程的Δ2≥0，
故选：B．
6．（2023•广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则
的化简结果是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
【分析】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对 进行化简．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，
∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，
整理得：﹣8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，
∴
＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）
＝﹣1．
故选：A．
7．（2023•雁塔区校级开学）已知m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则 ＝ ．
【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，
∴m+n＝1，mn＝﹣2，
∵ ，
故答案为：﹣ ．
8．（2023春•巴东县期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则（a+2）2+b
的值为（ ）
A． B．5 C．2 D．﹣2
【分析】先由根与系数的关系得出a2+3a＝1，a+b＝﹣3，再代入（a+2）2+b变形后的式子计算可得．
【解答】解：根据题意知a2+3a﹣1＝0，a+b＝﹣3，
∴a2+3a＝1，
则（a+2）2+b
＝a2+4a+4+b
＝a2+3a+4+a+b
＝1+4﹣3
＝2．
故选：C．
9．（2023春•江岸区校级月考）设 、 是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（ 2+2022 ﹣1）（ 2+2022 ﹣
1）的值为（ ）
α β α α β βA．6076 B．﹣6074 C．6040 D．﹣6040
【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出 2+2019 ﹣2＝0， 2+2019 ﹣2＝0， +
＝﹣2019， ＝﹣2，进而得出 2＝2﹣2019 ， 2＝2﹣2019 ，
α
然后代
α
入（ 2+20β22 ﹣1β ）（ 2+20α22β
﹣1）计算即可．
αβ α α β β α α β β
【解答】解：∵ 、 是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，
∴ 2+2019 ﹣2＝ α0， β 2+2019 ﹣2＝0， + ＝﹣2019， ＝﹣2，
∴
α
2＝2﹣2α019 ， 2＝ β2﹣201β9 ，
α β αβ
∴
α
（ 2+2022 ﹣ α1）
β
（ 2+2022
β
﹣1）
＝（2﹣2019 +2022 ﹣1）（2﹣2019 +2022 ﹣1）
α α β β
＝（1+3 ）（1+3 ）
α α β β
＝1+3（ + ）+9
α β
＝1+3×（﹣2019）+9×（﹣2）
α β αβ
＝﹣6074．
故选：B．
10．（2022秋•迁安市期末）关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x ，x ，则x +x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即 ， ，即可解答．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴ ，
故选：B．
11．（2023•丹徒区二模）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，可得 m+n＝﹣4，m2+4m＝9，再
代入，即可求解．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，
∴m2+4m﹣9＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝9，
∴m2+5m+n＝m2+4m+m+n＝9﹣4＝5．
故选：B．
12．（2023•东胜区模拟）已知x ，x 是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则 的值为
1 2
（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣5 D．3【分析】根据根与系数的关系可得出x +x ＝3，x x ＝﹣4，再根据方程根的意义得 ﹣3x ﹣4＝0，即
1 2 1 2 1
可得出结论．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝3，x x ＝﹣4， ﹣3x ﹣4＝0，
1 2 1 2 1
∴ ＝3x +4，
1
∴
＝3x +4﹣4x ﹣x ﹣8
1 1 2
＝﹣（x +x ）﹣4
1 2
＝﹣3﹣4
＝﹣7．
故选：B．
13．（2023•崇川区校级开学）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0．
（1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2053的值．
【分析】（1）计算出Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣2）＝8＞0即可得出答案；
（2）由方程的解的概念得出m2+6m＝﹣7，代入到2m2+12m+2053＝2（m2+6m）+2053计算即可．
【解答】解：（1）∵Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣2）
＝4m2﹣4m2+8
＝8＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为3，
∴32+6m+m2﹣2＝0，
整理，得：m2+6m＝﹣7，
∴2m2+12m+2053
＝2（m2+6m）+2053
＝2×（﹣7）+2053
＝﹣14+2053
＝2039．
14．（2023•海淀区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝15m2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）先根据一元二次方程根的定义得到m2﹣4m＝1，再把（m﹣2）2+3展开得到m2﹣4m+7，然后利用
整体代入的方法计算．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4m）2﹣4m2
＝15m2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：把x＝1代入方程x2﹣4mx+m2＝0得1﹣4m+m2＝0，
即m2﹣4m＝1，
∴（m﹣2）2+3＝m2﹣4m+4+3＝1+4+3＝8．
15．（2023•南岗区校级开学）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ；
1 2
则x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ；
1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n；
∴m+n＝1，mn＝﹣1；
则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ，x •x ＝ ；
1 2 1 2 1 2
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 + 的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x +x 及x x 的值；
1 2 1 2
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n＝ ，mn＝﹣ ，将其代入中 ，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣ ＝ ，x x ＝ ＝﹣ ，
1 2 1 2
故答案为： ，﹣ ；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝ ，mn＝﹣ ，
∴ + ＝ ＝ ＝﹣3．
16．（2023•晋江市校级开学）已知a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的实根，求下列各式的值：①a2+b2； ② ； ③a3+3a2+2b．
【分析】由根与系数的关系得出a+b＝﹣3、ab＝﹣2，由一元二次方程的解的定义得到a2+3a＝2，
①将a+b、ab的值代入a2+b2＝（a+b）2﹣2ab计算可得；
②将a+b、ab的值代入 ＝ 计算可得；
③将a2+3a，a+b的值代入a3+3a2+2b计算可得．
【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的实根，
∴a+b＝﹣3、ab＝﹣2，a2+3a＝2，
①a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝9+4
＝13；
②
＝
＝
＝ ；
③a3+3a2+2b
＝2a+2b
＝2（a+b）
＝2×（﹣3）
＝﹣6．
17．（2022秋•玉泉区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝1时，方程的根为x ，x ，求代数式 的值．
1 2
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
整理得：﹣4m+9≥0，
解得：m≤ ．故实数m的取值范围是m≤ ；
（2）当m＝1时，方程为x2+x﹣1＝0，
∵该方程的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣1，x x ＝﹣1， +x ＝1， +x ＝1，
1 2 1 2 1 2
∴
＝（x +1）（3x +3）
1 2
＝3[x x +（x +x ）+1]
1 2 1 2
＝3×（﹣1﹣1+1）
＝3×（﹣1）
＝﹣3．
18．（2023春•招远市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3的两个实数根为x ，x ，且x
1 2 1
＞x ．
2
（1）求m的取值范围；
（2）若m取负整数，求x ﹣3x 的值；
1 2
（3）若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得 Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣3）＞0，进
行计算即可得到答案；
（2）由（1）可得m＞﹣3且m取负整数，即可得到m＝﹣2或m＝﹣1，分两种情况：当m＝﹣2时，
当m＝﹣1时，分别解方程，进行计算即可得到答案；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得x +x ＝2m，x •x ＝m2﹣m﹣3再根据完全平方公式的变形
1 2 1 2
进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得：
关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m＝3有两个不相等实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣3）＞0，
解得：m＞﹣3；
（2）∵m＞﹣3且m取负整数，
∴m＝﹣2或m＝﹣1，
当m＝﹣2时，原方程可化为：x2+4x+3＝0且x ＞x ，
1 2
解得：x ＝﹣1，x ＝﹣3，
1 2
∴x ﹣3x ＝﹣1﹣3×﹣3＝8，
1 2
当m＝﹣1时，原方程可化为：x2+2x﹣1＝0且x ＞x ，
1 2
解得： ，
∴ ，综上所述：x ﹣3x 的值为8或 ；
1 2
（3）由根与系数的关系得：
x +x ＝2m，x •x ＝m2﹣m﹣3，
1 2 1 2
∵该方程的两个实数根的平方和为18，
∴ ，
∴m ＝2，m ＝﹣3，
1 2
由（1）可知：m＞﹣3，
∴m＝2．
19．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x ，x 两实数根．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，满足（x ﹣1）（x ﹣1）＝﹣ ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请
1 2
说明理由．
【分析】（1）利用根的判别式解不等式即可；
（2）先由根与系数的关系得x +x ＝6，x •x ＝2m﹣1，所以2m﹣1﹣6+1＝﹣ ，接着解分式得到m
1 2 1 2 1
＝4，m ＝6，然后利用m的取值范围得到满足条件的m的值．
2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x ，x 两实数根，
1 2
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（2m﹣1）＝40﹣8m≥0，
解得m≤5；
（2）存在．
理由如下：
由根与系数的关系得x +x ＝6，x •x ＝2m﹣1，
1 2 1 2
∵ ，
即x x ﹣（x +x ）+1＝﹣ ，
1 2 1 2
即2m﹣1﹣6+1＝﹣ ，
方程化为m2﹣10m+24＝0，
解得m ＝4，m ＝6，
1 2
经检验m ＝4，m ＝6都是原方程的解，
1 2
∵m≤5，
∴m＝4．
20．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；（2）若x ，x 是该方程的两个根，且满足x x +x +x ＝m2+6，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案；
（2）先将足x x +x +x ＝m2+6转化成﹣2m+5+4＝m2+6，再运用根与系数的关系即可求出答案．
1 2 1 2
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，
∴m≥ ；
（2）∵x ，x 是该方程的两个根，
1 2
∴x +x ＝4，x x ＝﹣2m+5，
1 2 1 2
∵x x +x +x ＝m2+6，
1 2 1 2
∴﹣2m+5+4＝m2+6，
∴m＝﹣3或1．
∵m≥ ；
∴m＝1．
21．（2022秋•惠安县期末）关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0．
（1）不解方程，判断该方程的根的情况；
（2）设x ，x 是方程的两根，其中有一根不大于0，若y＝x •x ﹣m+2，求y的最大值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可判定；
（2）首先可求得x ＝1，x ＝﹣m，再根据其中有一根不大于0，可得﹣m≤0，据此即可求解．
1 2
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝m﹣1，c＝﹣m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4（﹣m）＝m2+2m+1＝（m+1）2，
∵（m+1）2≥0，
∴该方程一定有实数根；
（2）由原方程可得：（x+m）（x﹣1）＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣m．
1 2
∵方程其中一根不大于0，
∴﹣m≤0．
又∵x 1⋅x
2
＝﹣m，
∴y＝﹣m﹣m+2＝﹣2m+2，
∴y≤2，
∴y的最大值为2．
22．（2023春•镇海区期末）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟
龙”方程．（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．
（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，请解出此方程．
【分析】（1）根据“蛟龙”方程的定义得b＝ac，故Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4），当b＜0时，Δ
＞0，根据判别式的意义即可得出结论；
（2）根据“蛟龙”方程的定义得m＝2n，根据判别式的意义得Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，求出n，进
而得到方程的解．
【解答】解：（1）“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，理由如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“蛟龙”方程，
∴b＝ac，
∵b＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4）＞0，
∴“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
（2）∵方程2x2+mx+n＝0为“蛟龙”方程，
∴m＝2n，
∵方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，
∴n＝0或2，
当n＝0时，方程为2x2＝0，解得 x ＝x ＝0；
1 2
当n＝2时，方程为2x2+4x+2＝0，解得 x ＝x ＝﹣1．
1 2
故此方程的解为0或﹣1．
23．（2023•汝南县一模）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则 ， ；
1 2
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，则x +x ＝ ，x x ＝ ；
1 2 1 2 1 2
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求 的值；
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求 的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x +x 及x x 的值；
1 2 1 2（2）利用根与系数的关系，可得出m+n＝ ，mn＝﹣ ，将其代入 + ＝ 中，即可求
出结论；
（3）由实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1
＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出 s+t＝ ，st＝﹣ ，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，
可求出s﹣t的值，再将其代入 ＝ 中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x ，x ，x +x ＝﹣ ＝ ，x x ＝ ＝
1 2 1 2 1 2
﹣ ，
故答案为： ，﹣ ；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝ ，mn＝﹣ ．
∴ + ＝ ＝ ＝﹣ ；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝ ，st＝﹣ ，
∴ ＝ ＝ ＝﹣3．
24．（2023春•文登区期中）已知x ，x 是方程 的两个根．
1 2
求：（1） ； （2） ．
【分析】先根据x ，x 是方程 的两个根，得出x +x ＝ +1，x x ＝ ﹣
1 2 1 2 1 2
1，
（1）利用完全平方公式把 + 化成有关x +x 与x x 的形式，利用整体代入法求解；
1 2 1 2
（2） 化成 ，利用整体代入法求解．【解答】解：∵x ，x 是方程 的两个根，
1 2
∴x +x ＝ +1，x x ＝ ﹣1，
1 2 1 2
（1） +
＝（x +x ）2﹣2x x
1 2 1 2
＝（ ）2﹣2×（ ）
＝6；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝2+ ．
25．（2023•枣阳市二模）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等实数根x 和x ．
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x •x ﹣x ﹣x ＝0时，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根可得Δ＝b2﹣4ac＞0，可得关于m的不等式，求
解即可；
（2）利用根与系数的关系可得x +x ＝ ＝1﹣2m，x x ＝ ＝m2，由x •x ﹣x ﹣x ＝0变形为x x ﹣
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
（x +x ）＝0，再整体代入求解即可．
1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2＞0，
解得：m ；
（2）∵x 和x 是一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝ ＝1﹣2m，x x ＝ ＝m2，
1 2 1 2
∵x •x ﹣x ﹣x ＝0，
1 2 1 2
∴x x ﹣（x +x ）＝0，
1 2 1 2∴m2+2m﹣1＝0，
解得：m ＝ ，m ＝ ，
1 2
∵m ，
∴m＝ ．
26．（2023春•绍兴期中）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0．
（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；
（2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根；
（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得k的取值范围，再计算△可判断方程根的情况；
（2）把x＝﹣2代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案；
（3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0，
∴k+1≠0，
∴k≠﹣1；
而Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×2k（k+1）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为﹣2，
∴4（k+1）+2（3k+1）+2k＝0，
解得： ，
∴方程为： ，
∴x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝1，
1 2
∴方程的另一个解为1．
（3）∵（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0，
∴[（k+1）x﹣2k]（x﹣1）＝0，
∴（k+1）x﹣2k＝0，x﹣1＝0，
解得： ，x ＝1，
2
∵方程的一个根是另一个根3倍，当 时，解得：k＝﹣3，经检验符合题意；
当 时，解得： ，经检验符合题意；
综上：k＝﹣3或 ．
27．（2023春•青冈县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x 、x ，且x +x ﹣4x x ＝2，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x +x ＝﹣（2k﹣1），x x ＝﹣k﹣1，代入x +x ﹣4x x ＝2得出关于k的
1 2 1 2 1 2 1 2
方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）
＝4k2+1﹣4k+4k+4
＝4k2+5＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x +x ＝﹣（2k﹣1），x x ＝﹣k﹣1，
1 2 1 2
由x +x ﹣4x x ＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，
1 2 1 2
解得：k＝﹣1.5．
28．（2022秋•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝ ，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，
求矩形ABCD的周长．
【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式
的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到 AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到
AB2+BC2＝AC2＝（ ）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k ＝3，k ＝﹣2，利用AB、BC为正
1 2
数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）
＝4k2+4k+1﹣16k+12
＝4k2﹣12k+13
＝（2k﹣3）2+4，
∵（2k﹣3）2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，而AB2+BC2＝AC2＝（ ）2，
∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，
整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k ＝3，k ＝﹣2，
1 2
而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0，
∴k的值为3，
∴AB+BC＝7，
∴矩形ABCD的周长为14．
29．（2023春•肇源县月考）已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）若两个实数根分别是x ，x ，且（x x ﹣1）2+2（x +x ）＝0，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，继而求得实数m的取值范围；
（2）由方程的两个实数根为x 、x ，且 ，可得方程m2+2m﹣3＝0，解关于m的
1 2
方程求得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×m＞0，
即m＜1；
（2）由根与系数的关系可知：x +x ＝﹣2，x •x ＝m，
1 2 1 2
∵ ，
∴（m﹣1）2﹣4＝0
∴m﹣1＝±2，
解得m＝3或m＝﹣1，
而m＜1，
∴m的值为﹣1．
30．（2023春•萧山区月考）已知关于x的方程（m2﹣4m+5）x2﹣4x+n＝0．
（1）圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由．
（2）当m＝2时；
①若该方程有实数解，求n的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为x 和x ，满足 ，求n的值．
1 2
【分析】（1）利用配方法求出m2﹣4m+5＝m2﹣4m+4+1＝（m﹣2）2+1即可得出这个方程一定是一元
二次方程．
（2）①根据判别式即可求出答案；
②利用根与系数的关系表示出x +x 和x x 的值，根据条件可得到关于n的方程，解方程可求得n的值，
1 2 1 2
注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）圆圆的结论正确，理由如下：
∵m2﹣4m+5＝m2﹣4m+4+1＝（m﹣2）2+1≠0，
∴该方程一定为一元二次方程，
故圆圆的结论正确．
（2）当m＝2时，则方程为x2﹣4x+n＝0，
①若该方程有实数解，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1•n≥0，
解得n≤4，
∴若该方程有实数解，n的取值范围是n≤4；
②若该方程的两个实数解分别为x 和x ，则x +x ＝4，x x ＝n，
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∵ ，
∴（ + ）﹣4（x +x ）+8+n2＝23，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ﹣4（x +x ）+8+n2＝23，
1 2 1 2 1 2
∴16﹣2n﹣16+8+n2＝23，
整理得n2﹣2n﹣15＝0，
解得n＝5或n＝﹣3，
∵n≤4，
∴n的值为﹣3．
