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九年级上学期期中考试 11 大压轴考法 48 题专练（第 21~24 章）
一．根的判别式
1．（2023春•余杭区校级期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
⑤存在实数 、 ，使得 ；
其中正确的
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求
根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若 ，则 是方程 的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△ ，故①正确；
② 方程 有两个不相等的实根，
△ ，
，
则方程 的判别式△ ，
方程 必有两个不相等的实根，故②正确；
③ 是方程 的一个根，
则 ，
，
若 ，等式仍然成立，
但 不一定成立，故③不正确；
④若 是一元二次方程 的根，
则由求根公式可得：
或
或
故④正确．
⑤存在实数 、 ，使得 成立；由 ，
，
，
即 ，
，
，
当 时，存在实数 、 ，使得 成立；
故⑤正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解
题的关键．
二．根与系数的关系
2．（2023秋•肇源县期中）关于 的一元二次方程 的实数解是 和 ．
（1）求 的取值范围；
（2）如果 且 为整数，求 的值．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△ ，从而求出实数 的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得 ， ．再代入不等式 ，
即可求得 的取值范围，然后根据 为整数，求出 的值．
【解答】解：（1） 方程有实数根，
△ ，
解得 ．
故 的取值范围是 ．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得 ， ，
．
由已知，得 ，解得 ．
又由（1） ，
．
为整数，
的值为 或0．
【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一
定要注意其前提是此方程的判别式△ ．三．一元二次方程的应用
3．（2023秋•海州区校级期中）已知： 的两边 ， 的长是关于 的方程
的两个实数根．
（1）当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若 的长为2，那么 的周长是多少？
【分析】（1）让根的判别式为0即可求得 ，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得 的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1） 四边形 是菱形，
，
△ ，即 ，
整理得： ，
解得 ，
当 时，原方程为 ，
解得： ，
故当 时，四边形 是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把 代入原方程得， ，
把 代入原方程得 ，解得 ， ，
．
【点评】综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题
的关键．
4．（2023秋•绥棱县校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件 恤，第一个月以单价80元销售，
售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根
据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商
将对剩余的 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低 元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
80 7 0 40
单价（元
200
销售量（件
（2）如果批发商希望通过销售这批 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【分析】（1）根据题意直接用含 的代数式表示即可；（2）利用“获利9000元”，即销售额 进价 利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问
题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
【解答】解：（1）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
80 40
单价（元
200
销售量（件
（2）根据题意，得
整理得 ，
即 ，
解得
当 时，
答：第二个月的单价应是70元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
有关销售问题中的等量关系一般为：利润 售价 进价．
5．（2023秋•平川区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出
500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少20千克．现该
商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克水果应涨价 元，得出日销售量将减少 千克，再由盈利额 每千克盈利 日销售量，
依题意得方程求解即可．
【解答】解：设每千克水果应涨价 元，
依题意得方程： ，
整理，得 ，
解这个方程，得 ， ．
要使顾客得到实惠，应取 ．
答：每千克水果应涨价5元．
【点评】解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额 每千克盈利 日销售量．
6．（2023秋•青白江区校级期中）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形， ， ， 是
和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程称
为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求面积．
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 的值，根据完全平方公式求得 的值，从而可求得
面积．
【解答】（1）解：当 ， ， 时
勾系一元二次方程为 ；
（2）证明：根据题意，得
△
即△
勾系一元二次方程 必有实数根；
（3）解：当 时，有 ，即
，即
，
．
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
四．二次函数图象与系数的关系
7．（2023秋•天门校级期中）如图，抛物线 与 轴交于点 ，顶点坐标 ，与 轴
的交点在 ， 之间（包含端点），则下列结论：① ；② ；③对于任意实数 ，总成立；④关于 的方程 有两个不相等的实数根．其中结论正确的
个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向判断 与0的关系，由抛物线与 轴交点坐标判断 、 、 的关系，由顶点坐
标及顶点坐标公式推断 、 的关系及 与 、 、 的关系，由抛物线与 轴的交点坐标判断 的取值范
围，进而对所得结论进行推断．
【解答】解： 抛物线 的顶点坐标为 ，
，
，
，
，
故①正确．
抛物线与 轴交于点 ，
，
，
由①知： ，即 ，
，
又 抛物线与 轴的交点 在 ， 之间（含端点），
，
，
，
故②正确．
抛物线 开口向下，
，
又 ，
令 ，关于 的二次函数 开口向下，
若对于任意实数 ， 总成立，
故需判断△ 与0的数量关系，
由以上分析知： ，
△ ，
故③正确．
，
，
△ ，
关于 的方程 无实数根．
故④错误．
故选： ．
【点评】主要考查二次函数图象与系数的关系、顶点坐标以及根的判别式的熟练使用．
五．待定系数法求二次函数解析式
8．（2023秋•拱墅区校级期中）已知二次函数的图象以 为顶点，且过点
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时， 、 两点随图象移至 、 ，求△ 的面积．
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将 点坐标代入，即
可求出二次函数的解析式．
（2）根据的函数解析式，令 ，可求得抛物线与 轴的交点坐标；令 ，可求得抛物线与 轴交点
坐标．
（3）由（2）可知：抛物线与 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与 轴负半轴的交点平移
到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出 、 的坐标．由于△ 不规则，可用面积割补法求出△
的面积．
【解答】解：（1）设抛物线顶点式
将 代入得：
该函数的解析式为：
（2）令 ，得 ，因此抛物线与 轴的交点为：
令 ， ，解得： ， ，即抛物线与 轴的交点为： ，（3）设抛物线与 轴的交点为 、 在 的左侧），由（2）知： ，
当函数图象向右平移经过原点时， 与 重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故 ，
．
【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形
的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
六．二次函数综合题
9．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，抛物线 为常数）交 轴于点 ，与 轴的一
个交点在2和3之间，顶点为 ．
①抛物线 与直线 有且只有一个交点；
②若点 、点 ， 、点 在该函数图象上，则 ；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 ；
④点 关于直线 的对称点为 ，点 、 分别在 轴和 轴上，当 时，四边形 周长的最
小值为 ．
其中正确的判断有
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
【分析】①把 代入 中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；
②根据二次函数的性质进行判断；
③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；④因 边一定，只要其他三边和最小便可，作点 关于 轴的对称点 ，作 点关于 轴的对称点 ，
连接 ，与 轴、 轴分别交于 、 点，求出 便是其他三边和的最小值．
【解答】解：①把 代入 中，得 ，
△ ，
此方程两个相等的实数根，则抛物线 与直线 有且只有一个交点，故①结论正
确；
② 抛物线的对称轴为 ，
点 关于 的对称点为 ，
，
当 时， 随 增大而增大，
又 ，点 、点 ， 、点 在该函数图象上，
，故②结论错误；
③ 将 该 抛 物 线 向 左 平 移 2 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 2 个 单 位 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ：
，即 ，故③结论正确；
④当 时，抛物线的解析式为： ，
， ， ，作点 关于 轴的对称点 ，作 点关于 轴的对称点 ，连
接 ，与 轴、 轴分别交于 、 点，如图，
则 ，根据两点之间线段最短，知 最短，而
的长度一定，
此 时 ， 四 边 形 周 长 最 小 ， 为 ：
，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①③④．故选： ．
【点评】本题是二次函数的应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和
的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．（2023 秋•济宁校级期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ，形状相同的抛物线
，2，3，4， 的顶点在直线 上，其对称轴与 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，
，根据上述规律，抛物线 的顶点坐标为 5 5 ， ．
【分析】根据 ， 的坐标求直线 的解析式为 ，根据横坐标的变化规律可知，
的横坐标为55，代入直线 的解析式 中，可求纵坐标．
【解答】解：设直线 的解析式为 ， ，
， ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
对称轴与 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13， ，
观察发现：每个数都是前两个数的和，
抛物线 的顶点坐标的横坐标为55，
抛物线 的顶点坐标为 ．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分
析归纳能力．
11．（2023秋•文峰区校级期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，经过 、 两
点的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ．
（1）求 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求
出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在 轴上方的部分沿 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象
轴下方的部分组成一个“ ”形状的新图象，若直线 与该“ ”形状的图象部分恰好有三个公
共点，求 的值．
【分析】（1）求出 、 的坐标，将点 、 的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分 、 、 ，分别求解即可；
（3）分两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）直线 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，
将点 、 的坐标分别代入抛物线表达式得： ，解得： ，
则抛物线的表达式为： ，则点 坐标为 ，顶点 的坐标为 ，
；
（2）①当 时， 点纵坐标与 中点的纵坐标相同，
故此时 点坐标为 ；
②当 时，
可得：点 的坐标为 或 ；
③当 时，
可得：过该中点与 垂直的直线方程为： ，
当 时， ，即点 的坐标为 ；
故：点 的坐标为 或 或 或 ；
（3）图象翻折后的点 对应点 的坐标为 ，①在如图所示的位置时，直线 与该“ ”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时直线 和抛物线的交点有3个， ；
②当直线 与 轴上方的部分沿 轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线 与该“ ”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即： ，△ ，解得： ．
即： 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，难点在于（3），关键是通过数形变换，确定变换后图形与直
线的位置关系，难度不大．
12．（2023秋•江汉区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， 在
的左侧），与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图（1），已知点 为第二象限抛物线上一点，连接 ，若 ，求点 的坐标；
（3） 和 分别是直线 和抛物线上的动点，且点 的横坐标比点 的横坐标大4个单位
长度，分别过 ， 作坐标轴的平行线，得到矩形 ．设该抛物线在矩形 内部（包括边界）
的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为 ．
①如图（2），当 时，请直接写出 的值；
②请直接写出 关于 的函数关系式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设 交 轴于 ，可证得 ，得出 ，可得 ，运用待定系数法
可得直线 解析式为 ，联立方程组即可求得点 的坐标；
（3）①当 时， ， ， ， ，即可求得答案；
②由题意得： ， ，由 ，可得
， ，分三种情况：当 时，当 时，当
时，分别画出图象，即可求得答案．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ，
，
解得 ，
抛物线的函数解析式为 ；
（2）点 为第二象限抛物线上一点，设 交 轴于 ，如图在 中，令 得 ；
解得 或 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
又 ，
，即 ，
，
，
，
，
由 ， 得直线 解析式为 ，
联立 ，解得 （舍去）或 ，
， ；
（3）①当 时， ， ， ， ，
；②根据 ，可得抛物线的顶点为 ，
当 时， ，
由题意得： ， ，
，
当 时， ，
解得： ， ，
当 时，如图2，
，此时抛物线在矩形内只有一个点 ，不合题意；
当 时，如图3，
；
当 时，如图4，；
当 时，如图5，
；
当 时，如图6，；
综上所述， 关于 的函数关系式为 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和一次函数解析式，相似三角
形的判定与性质，矩形的性质等知识．利用了数形结合与方程思想．属于中考数学压轴题．
13．（2023秋•右玉县期中）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴的交点为
， 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ，其对称轴与 轴交于点 ．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接 ， ， ，试判断 的形状，并说明理由；
（3）点 为第三象限内抛物线上一点， 的面积记为 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（4）在线段 上，是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．【分析】（1）二次函数表达式为： ，则 ，解得： ，即可求
解；
（2）由 ，故 为直角三角形；
（3） ，即可求解；
（4）分 、 、 三种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）二次函数表达式为： ，
则 ，解得： ，
函数的表达式为： ；
（2）由（1）知，点 ，
， ， ，
，
故 为直角三角形；
（3）过点 作 轴交 于点 ，
将点 、 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
，
当 时， 最大值为 ，此时点 ， ；
（4） ， ，
①当 时，如图，为等腰直角三角形， ，
点 ；
②当 时，
同理可得：点 ， ；
③当 时，
同理可得：点 ；
故点 的坐标为： 或 ， 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，
其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
14．（2023秋•博山区校级期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设
计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 处，对称轴 与
水平线 垂直， ，点 在抛物线上，且点 到对称轴的距离 ，点 在抛物线上，点 到对
称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在 上找一点 ，加装拉杆 ， ，同时使拉杆的长度之和最短，
请你帮小星找到点 的位置并求出坐标；（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 ，当 时，函
数 的值总大于等于9．求 的取值范围．
【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为 ，待定系数法求解即可；
（2）作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 于点 ，则 点即为所求；
（3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得 的取值范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ，
把点 代入，得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 于点 ，则 点即为所求；
把 代入 ，得：
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
，
令 ，得 ，
点的坐标为 ；
（3） ，
抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当 时，得：
，
解得： ，
，
当 时，
由 ，得：
，
，
解得： ，
；
由 ，得：
，
，
；
当 时，都成立；
当 时，得：
，
解得： ，
都成立；
综上所述， 的取值范围为 ．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的
思想解答问题．
15．（2023秋•河东区期中）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在 △ 中， ， 为 上一点， ，动点 以每秒
1个单位的速度从 点出发，在三角形边上沿 匀速运动，到达点 时停止，以 为边作正方
形 ．设点 的运动时间为 ，正方形 的面积为 ，探究 与 的关系．
初步感知
（1）如图1，当点 由点 运动到点 时，
①当 时， ；② 关于 的函数解析式为 ．
（2）当点 由点 运动到点 时，经探究发现 是关于 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根
据图象信息，求 关于 的函数解析式及线段 的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻 ， ， 对应的正方形 的面积均相等．
① ；
②当 时，求正方形 的面积．
【分析】（1）①当 时， ，运用勾股定理即可求得答案；
②由题意得 ，运用勾股定理可得 ；
（2）观察图象可得当点 运动到点 处时， ，当点 运动到点 处时， ，
抛物线的顶点坐标为 ，由勾股定理可得 ， ，即 ，设
，将 代入，即可求得 ，再利用勾股定理即可求得线段 的长；
（3）①方法一：根据抛物线的对称性可得当 时，点 与 关于直线 对称，点 与 关于直
线 对称，可得答案；方法二：过点 作 于点 ，可证得△ △ ，得出
，可求得 ， ，根据存在 3 个时刻 ， ， 对应的正方形
的面积均相等，可得 ，再证得 △ △ ，可得 ，列出
等式即可；
②方法一：由 ， ，可得 ，与 联立即可求得答案；方法二：证明 △
△ ，得出 ，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）①当 时， ，
又 ， ，．
故答案为：3；
②当点 由点 运动到点 时， ，
， ，
．
故答案为： ；
（2）由图2可得：当点 运动到点 处时， ，当点 运动到点 处时， ，
抛物线的顶点坐标为 ，
， ，
，
设 ，将 代入，得 ，
解得： ，
，
，
在 △ 中， ，
抛物线的解析式为 ；
（3）①由（1）（2）可得 ，图象如图所示：存在3个时刻 ， ， 对应的正方形 的面积均相等，
，
点 与 关于直线 对称，点 与 关于直线 对称，
， ，
， ．
故答案为：4；
②由①知： ， ，
，
，
，
．
方法二： ， ， ，
△ △ ，
，
，
，
，
，
．16．（2023秋•东莞市校级期中）已知二次函数 ，图象记为 ．
（1）如图， 时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，将二次函数 的图象向右平移2个单位，与二次函数
的图象组成一个新的函数图象，记为 ．设 上的一点 的坐标为 ．
①当 满足 时， 随 的增大而增大；
②当 时，过点 作 轴垂线，分别交 、 于点 、 ．若 将 的面积分成 两部分，
求点 坐标；
（3）若点 ， ， ， 在二次函数 图象上，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）把 代入即可求得抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）①运用二次函数性质即可解答；
②根据题意可得 的解析式为 ，可得 ， ，
，分两种情况：当 时， ，当 时， ，分别建
立方程求解即可得出答案；
（3）由 ，可得抛物线的顶点坐标为 ，当 时，顶点为最
高点，当 时，顶点为最低点，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）当 时， ．
该二次函数图象的顶点坐标为 ．
（2）① 的图象是将二次函数 的图象向右平移 2 个单位，与二次函数
的图象组成一个新的函数图象，
的图象开口向上，对称轴直线为 ，顶点坐标为 ，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 随 的增大而增大．
故答案为： ．② 的解析式为 ，
设 ， ，则 ，
，
由 ，得 或 ，
， ，如图，
， ，
当 时， ，
，即 ，
解得： ，
；
当 时， ，
，即 ，
解得： ，
， ；
综上所述，点 坐标为 或 ， ；
（3） ，
抛物线的顶点坐标为 ，
当 时， ，
解得： ，
当 时， ，解得： ；
的取值范围为 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、通过解
方程组求函数图象的交点坐标、一元二次方程的解法、定义新函数问题的求解等知识与方法，第（2）
②问运用分类讨论思想是解题关键，本题综合性强，难度较大，属于压轴题．
17．（2023秋•西市区校级期中）如图，抛物线 经过 ， 两点，并交 轴于另
一点 ，点 是抛物线的顶点，直线 与 轴交于点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点 是 轴上一动点，分别连接 ， ，求 的最小值；
（3）若点 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，进而可得 ，作点 关于 轴的对称点
，连接 ， ， ，即 的最小值为 ，利用两点
间距离公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当 、 为对角线时，当 、 为对角线时，当 、 为对角线时，根据
平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线 经过 ， 两点，
，
解得： ，
该抛物线的表达式为 ；
（2） ，顶点 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， ，如图，
则 ，
，即 的最小值为 ，
，
的最小值为 ；
（3）对称轴上存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得： ， ，
点 是抛物线上一动点，
设 ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
设 ，
当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
，
解得： ，；
当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
，
解得： ，
；
当 、 为对角线时， 、 的中点重合，
，
解得： ，
；
综上所述，对称轴上存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为
或 或 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，
勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．
18．（2023秋•江夏区校级期中）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左
边），与 轴交于点 ，点 和点 关于抛物线的对称轴对称．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值；
（3）点 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以 ， ， ， 为顶点的
四边形是以 为边的矩形，求点 的坐标．
【分析】（1）先求解 ， ， 的坐标，再求解 的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）记 于 轴的交点为 ，证明 为等腰直角三角形，过 作 轴交 于 ， 为
等腰直角三角形，则 ，设 ，则 ，再建立二次函数，利用二次函数
的性质解题即可；
（3）如图，当 在 的右边，记直线 交 轴于 ， ，则 ，求
解直线 的解析式为 ，可得 ，设 ，而四边形 为矩形，可得
再利用勾股定理建立方程求解 ，结合平移的性质可得： ；如图，当 在 的左边，同
理可得： ，结合平移的性质可得： ．
【解答】（1）解：当 时， ，则 ，
当 时， ，
解得 ， ，则 ， ，
，
抛物线对称轴为直线 ，而点 和点 关于直线 对称，
，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 分别代入得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）记 于 轴的交点为 ，
当 时， ，则 ，
，
为等腰直角三角形，
，
过 作 轴交 于 ，
，
为等腰直角三角形，，
设 ，则 ，
，
当 时， 有最大值 ，
的最大值为： ；
（3）如图，当 在 的右边，
记直线 交 轴于 ， ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
把 、 分别代入得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，则 ，
设 ，而四边形 为矩形，，
，
解得： ，即 ，
由平移的性质可得： ；
如图，当 在 的左边，
同理可得： ，
解得： ，即 ，
由平移的性质可得： ；
综上： 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的
判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练地建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题
是解本题的关键．
19．（2023 秋•龙沙区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点
， ．点 是直线 下方抛物线上的一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，求 的最大值及
此时点 的坐标；
（3）连接 、 ，是否存在点 ，使得线段 把 的面积分成 两部分，如果存在，请求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设 ，则 ， ，利用等腰直角三角形性质可得
进而可得 ，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）延长 交 轴于点 ，设 ，则 ，分两种情况：当
时，当 时，分别得出 或3，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1） 抛物线 与直线 交于点 ， ，
，
解得： ，
该抛物线的函数表达式为 ；
（2）设 ，设 交 于点 ，如图，
则 ， ，， ，
是等腰直角三角形，
，
轴， 轴，
， ，
、 均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
当 时， 取得最大值 ，此时点 的坐标为 ， ；
（3）存在点 ，使得线段 把 的面积分成 两部分．
如图，延长 交 轴于点 ，设 ，则 ，
当 时，，
四边形 是矩形，
，
，
，
，即 ，
，
，
即 ，
解得： 或 （舍去），
， ；
当 时，同理可得 ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
， ；
综上所述，存在点 ，使得线段 把 的面积分成 两部分，点 的坐标为 ， 或
， ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面
积，等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用分类讨论思想，方程思想是
解题的关键．
20．（2023秋•姑苏区校级期中）如图1，已知抛物线 的顶点 的纵坐标是4，与 轴交于 、
两点，经过点 的直线 经过点 ，点 为直线 上的一个动点．
（1） ； ；
（2）连接 ，当线段 与直线的 夹角为 时，求点 的坐标；
（3）如图2，连接 ，线段 上是否存在点 ，连接 ，当 时，线段 被 轴截得
线段比为 的两部分？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的顶点纵坐标可得 ，即 ，再求得 ，利用待定系数法即可
求得 ；
（2）当 时，利用直角三角形的性质可得点 是 的中点，即 ；当
时，过点 作 于 ，推出 ，即 ，利用勾股定理建
立方程求解即可得出答案；
（3）设 ，且 ，抛物线对称轴交直线 于 ，交 轴于点 ，在 轴负半轴上取点
， 使 ， 连 接 ， 过 点 作 ， 交 于 ， 交 轴 于 ， 由
，可求得： ， ， ，利用勾股定理建立方程求解
即可得出 ， ，运用待定系数法可得直线 的解析式为 ，进而可得直线 的解析
式为 ，联立方程组求解可得 ， ，由线段 被 轴截得线段比为
的两部分，得出 或 ，即 或 ，解
方程即可求得答案．
【解答】解：（1） ，
，
解得： ，
，
令 ，得 ，
解得： ， ，
，
把 ， 代入 ，得： ，解得： ，
直线 的解析式为 ，
故答案为： ； ；
（2） 线段 与直线的 夹角为 ，
或 ，
当 时，如图1，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 是 的中点，
；
当 时，如图1，过点 作 于 ，
，，
，
，
，
点 为直线 上的一个动点，
设 ，
，
解得： （舍去）， ，
， ；
综上所述，点 的坐标为 或 ， ；
（3）存在点 ，使得当 时，线段 被 轴截得线段比为 的两部分．
理由如下：
，
直线 的解析式为 ，
点 是线段 上一点，
设 ，且 ，
如图2，设抛物线对称轴交直线 于 ，交 轴于点 ，在 轴负半轴上取点 ，使 ，
连接 ，过点 作 ，交 于 ，交 轴于 ，是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
， ， ，
在 中， ，
，
，
， ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
， ，且 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立方程组得 ，解得： ，
， ，
线段 被 轴截得线段比为 的两部分，
或 ，
或 ，
即 或 ，
或 ，
点 的坐标为 ， 或 ， ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，直角三
角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，动点问题等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关
键．
21．（2023秋•双流区校级期中）如图1，经过原点 的抛物线 、 为常数， 与 轴相
交于另一点 ．在第一象限内与直线 交于点 ，抛物线的顶点为 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）如图2，点 是点 关于抛物线对称轴的对称点，点 是直线 下方的抛物线上的动点， 与直
线 交于点 ．设 和 的面积分别为 和 ，求 的最大值．【分析】（1）先求出点 的坐标，运用待定系数法可求得抛物线的解析式为 ；
（2）存在点 ，使得 ．分两种情况：当点 在直线 的上方时，当点 在直线 的
下方时，分别运用待定系数法求出直线 的解析式，再联立方程组求解即可；
（ 3 ） 如 图 ， 过 点 作 轴 交 直 线 于 点 ， 设 ， 则 ， ，
，再由点 是点 关于抛物线对称轴直线 的对称点，可得： 轴，
，根据相似三角形性质和等高三角形面积比可表达 ，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1） 直线 经过点 ，
，
，
把 ， 分别代入 ，
得： ，
解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
（2）存在点 ，使得 ．
，
抛物线的顶点为 ，
如图1，当点 在直线 的上方时，
，，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
联立，得： ，
解得： （舍去）， ，
当 时， ，
；
当点 在直线 的下方时，如图1，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 于
点 ，连接 交抛物线于点 ，
则 ， ，
点 是 的中点，即 ， ，
是线段 的垂直平分线，
，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立，得 ，
解得： ，
， ，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
直线 的解析式为 ，
与 联立，得 ，
解得： （舍去）， ，
当 时， ，
， ；
综上所述，存在点 ，使得 ，点 的坐标为 或 ， ；
（3）如图2，过点 作 轴交直线 于点 ，
设 ，则 的纵坐标为 ，
直线 的解析式为 ，
， ，
，
，点 是点 关于抛物线对称轴直线 的对称点，
轴， ，
，
，
，
，当 时， 的最大值为 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和
全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
22．（2023秋•滨海新区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于
， 两点，与 轴交于点 ．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及点 的坐标；
（Ⅱ）直线 与该抛物线交于点 、 两点，求线段 的长度；
（Ⅲ）直线 与该抛物线的交点为 ， （点 在点 的左侧），点 关于 轴的对称点为
点 ，点 的坐标为 ．若四边形 的面积为 ，求点 到 的距离 的值．
【分析】（Ⅰ）根据抛物线 与 轴交于 ， 两点，可得抛物线的解析式；
（Ⅱ）联立抛物线和一次函数解析式，解得 、 的坐标，根据两点距离公式求解即可；
（Ⅲ）根据轴对称的性质得出 ，进而判定四边形 是平行四边形，再根据四边形
的面积为 ，求得 ，再根据点 的坐标为 ， ，得到 ， 中，运用
勾股定理可得 ，最后根据 ，即可得到 ．
【解答】解：（Ⅰ） 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
，
解得 ，
该抛物线的解析式 ．令 ，则 ，
；
（Ⅱ）解：
解得 ， ，
点 的坐标为 或 ， ，
点 的坐标为 或 ， ，
；
（Ⅲ） 抛物线的对称轴为直线 ，直线 与该抛物线的交点为 ， ，
点 、 关于直线 对称，
设 ，则 ，
点 关于 轴的对称点为点 ，
，
点 在直线 上，
轴，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
设直线 与 轴交于点 ，
四边形 的面积为 ，
，即 ，
，
当 时，解得 ， ，
点 的坐标为 ， ，
， ，即 ，
中， ，
四边形 的面积为 ，
，
．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、轴对称的性质、全等三角
形的判定以及平行四边形的判定与性质的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，
善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
23．（2023秋•福州期中）已知二次函数图象的顶点在原点，且点 在此二次函数的图象上．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图 1，直线 与二次函数的图象交于 、 两点（点 在直线 下方），若
，求 的值；
（3）如图2，直线 与二次函数的图象交于 、 两点，过点 的直线 交二次函数的图
象于点 ，求证：直线 过定点．
【分析】（1）利用待定系数法将点 代入即可 求得答案；
（2）联立方程组整理得 ，利用根与系数关系可得： ， ，
由 ， 可 得 ， 作 轴 交 于 点 ， 可 得 ：， ，利用三角形面积建立方程求解即可；
（3）联立方程组可得 ，进而可得 ①， ，同理可得： ②，
由① ②得： ③，设直线 的解析式为 ，可得 ，即
④ ， ⑤ ， 可 推 出 ， 即 直 线 的 解 析 式 为
，即可证得结论．
【解答】（1）解： 二次函数图象的顶点在原点，
设 ，
点 在此二次函数的图象上，
，
，
二次函数的表达式为： ；
（2）解： 与 交于 、 两点，
，
即： ，
， ，
，
，（注 ，
，作 轴交 于 点，如图1，
，
，，
，
，
解得： 或 ，
或 ．
（3）证明：如图2，
与二次函数 的图象交于 、 两点，
，
，
①， ，
过点 的直线 交二次函数 的图象于点 ，
，
，
②， ，
① ②得： ③，
设直线 的解析式为 ，
联立得： ，
即 ，④， ⑤，
由②得： ，代入④⑤，得： ，
即 ⑥， ，
⑦，
① ⑥，得： ，即 ⑧，
⑦代入⑧，得： ，
，
直线 的解析式为 ，
直线 一定经过定点 ．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，
待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根与系数的关系，抛物线
与直线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
24．（2023秋•思明区校级期中）已知抛物线 的顶点为 ，与 轴交于 ， 两点
在 左边）．
（1）若该抛物线的顶点 坐标为 ，求其解析式；
（2）如图（1），已知抛物线的顶点 在直线 上滑动，且与直线 交于另一点 ，若 的
面积为 ，求抛物线顶点 的坐标；
（3）如图（2），在（1）的条件下， ， 为 轴上的两个关于原点对称的动点，射线 ， 分别与
抛物线交于 ， 两点，求 与 满足的数量关系．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设点 、 的坐标分别为 ， 、 ， ，则 ，将抛物线与直线 解析式联立并整理得：
，可得 ，设直线 与 轴的交点为 ，则 ，利用三角形面积可
得 ， ， ，进而可得 ，通过联立方程组求解即可得出答案；（3）如图 2，设 ，则 ， ，运用待定系数法求得：直线 的解析式为
，联立方程组可求得 ， ，同理可得： ， ，运用两点
间距离公式可得 ，即可求得答案．
【解答】解：（1） 抛物线顶点坐标为 ，二次项系数 ，
，
该抛物线的解析式为 ；
（2）设点 、 的坐标分别为 ， 、 ， ，
则 ，将抛物线与直线 解析式联立得： ，
整理得： ，
， ，
，
，
，
设直线 与 轴的交点为 ，则 ，
，
，
，
，
， ，
将 ， 代入 ，
得： ，联立方程组，得 ，
解得： ， （舍去），
，
， ；
（3）如图2，设 ，
， 为 轴上的两个关于原点对称的动点，
，
，
由（1）知： ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
，
设直线 的解析式为 ，
则： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立方程组，得： ，
解得： （舍去）， ，
， ，
同理可得： ， ，，
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象
和性质，三角形面积，一元二次方程解法，根与系数关系，两点间距离公式，解题关键是熟练运用一元二
次方程根与系数关系等相关知识．
25．（2023秋•大武口区校级期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线
经过点 、 ，与 轴另一交点为 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求 的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，
请说明理由．【分析】（1）直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，则点 、 的坐标分别为 、 ，
将点 、 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则此时 为最小，即可求解；
（3）分点 在 轴上方、点 在 轴下方两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，则点 、 的坐标分别为 、
，
将点 、 的坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，
故函数的表达式为： ，
令 ，则 或3，故点 ；
（2）如图1中，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则此时 为最小，
函数顶点 坐标为 ，点 ，
将 、 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 的表达式为： ，
当 时， ，故点 ， ，
则 的最小值为 ；
（3）①当点 在 轴上方时，如图2中，
，则 ，
过点 作 于点 ，设 ，
则 ，
由勾股定理得： ，
，解得： ，
则
则 ；
②当点 在 轴下方时，
则 ；
故点 的坐标为 ， 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中
（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．（2023秋•凉州区校级期中）如图，已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于点
，对称轴为直线 ，点 是线段 的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点 的坐标并求直线 的表达式；
（3）设动点 ， 分别在抛物线和对称轴 上，当以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，
求 ， 两点的坐标．【分析】（1）函数表达式为： ，将点 坐标代入上式，即可求解；
（2） 、 ，则点 ，设直线 的表达式为： ，将点 坐标代入上式，即可
求解；
（3）分当 是平行四边形的一条边、 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）函数表达式为： ，
将点 坐标代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2） 、 ，则点 ，
设直线 的表达式为： ，
将点 坐标代入上式得： ，解得： ，
故直线 的表达式为： ；
（3）设点 、点 ，
①当 是平行四边形的一条边时，
当点 在 的下方时，
点 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到 ，
同样点 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到 ，
即： ， ，
解得： ， ，
即点 的坐标为 、点 的坐标为 ，
故当点 在点 上方时， ，
同理可得点 的坐标为 、点 的坐标为 ，
②当 是平行四边形的对角线时，
由中点定理得： ， ，解得： ， ，
故点 、 的坐标分别为 、 ；
综上， 、 的坐标分别为 或 ， 或 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形的性质等，其中（3），要主要
分类求解，避免遗漏．
27．（2023秋•铁岭县期中）如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点 的坐标为 ，点 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 面积的最大值．
（3）点 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 ，使 为等腰直角三角形，且
为直角？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线的表达式为： ，即 ，即可求
解；
（2） ，即可求解；
（3）分点 在 轴上方、点 在 轴下方两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为： ，
即 ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ，
（2）连接 ，设点 ，则
，
，故 有最大值，当 时， 的最大值为 ；
（3）存在，理由：
为等腰直角三角形，且 为直角时，点 的位置如图所示：
①当点 在 轴上方时，点 的位置为 、 ，
的情况 △
设点 的坐标为 ，则 ，
过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，
， ， ，
， ，
△ △ ， ，
即： ，解得： （舍去负值），则点 ， ；
的情况 △
同理可得：点 ， ；
②当点 在 轴下方时，点 的位置为 、 ，
同理可得：点 、 的坐标分别为： ， 、 ， ．
综上，点 的坐标为： ， 或 ， 或 ， 或
， ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，
其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
28．（2023秋•恩施市校级期中）如图1，抛物线 交 轴于点 、 ，（点 在点 的
左侧），交 轴于点 ，其对称轴为直线 ，抛物线 经过点 ，与 轴的另一个交点为 ，交
轴于点 ．
（1）求抛物线 的函数表达式；
（2） 为直线 上一动点，连接 、 ，当 时，求点 的坐标；
（3） 为抛物线 上一动点，过点 作直线 轴（如图2所示），交抛物线 于点 ，求点 自
点 运动至点 的过程中，线段 长度的最大值．
【分析】（1）先根据抛物线 的对称轴可计算 的值，令 可得点 的坐标，根据交点式设抛物线
的函数表达式； ，把 代入可得 的值，从而得结论；
（2）设 点坐标为 ，由勾股定理可表示出 和 ，由条件可得到关于 的方程可求得 ，可求得 点坐标；
（3）可分别设出 、 的坐标，可表示出 ，再根据函数的性质分情况可求得 的最大值．
【解答】解：（1） 抛物线 对称轴为直线 ，
， ，
抛物线 的函数表达式为： ，
当 时， ，
解得： ， ，
， ，
设抛物线 的函数表达式； ，
把 代入得： ， ，
抛物线 的函数表达式； ；
（2）设 点坐标为 ，由（1）可得 点坐标为 ，
， ，
，
，解得 ，
点坐标为 ；
（3）由题意可设 ，
轴，
，
令 ，可解得 或 ，
①当 时， ，
显然 ，
当 时， 有最大值 ；
②当 时， ，
显然当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 有最大值， ；综上可知：在点 自点 运动至点 的过程中，线段 长度的最大值为12.5．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在
（1）中求得 点的坐标是解题的关键，在（2）中用 点的坐标分别表示出 、 是解题的关键，在
（3）中用 、 的坐标分别表示出 的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较为基础，
难度适中．
29．（2023秋•梁山县期中）已知抛物线 经过 、 、 三点，直线 是抛
物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点 是直线 上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；
（3）在直线 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）直接将 、 、 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
（2）由图知： 、 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：
若连接 ，那么 与直线 的交点即为符合条件的 点．
（3）由于 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：① 、② 、③
；可先设出 点的坐标，然后用 点纵坐标表示 的三边长，再按上面的三种情况列式求
解．
方法二：
（1）略．
（2）找出 点的对称点点 ，根据 ， ， 三点共线求出 与对称轴的交点 ．
（3）用参数表示的点 坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解．
（4）先求出 的直线方程，利用斜率垂直公式求出 ’斜率及其直线方程，并求出 点坐标，进而求
出 ’坐标，求出 ’直线方程后再与 的直线方程联立，求出 点坐标．
【解答】方法一：
解：（1）将 、 、 代入抛物线 中，得：，
解得：
抛物线的解析式： ．
（2）连接 ，直线 与直线 的交点为 ；
点 、 关于直线 对称，
，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入上式，得：
，解得：
直线 的函数关系式 ；
当 时， ，即 的坐标 ．
（3）抛物线的对称轴为： ，设 ，已知 、 ，则：
， ， ；
①若 ，则 ，得：
，得： ；
②若 ，则 ，得：
，得： ；
③若 ，则 ，得：
，得： ， ；
当 时， 、 、 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的 点，且坐标为 ， ， ， ， ．
方法二：
（1） 、 、 ，
，即 ．（2）连接 ，
为对称轴，
，
， ， 三点共线时， 周长最小，把 代入 ，得 ．
（3）设 ， ， ，
为等腰三角形，
， ， ，
， ，
， ，
， ， ，
经检验， 时， 、 、 三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有4个， ， ， ， ．
追加第（4）问：若抛物线顶点为 ，点 为直线 上一动点，当 的周长最小时，求点 的坐标．
（4）作点 关于直线 的对称点 交 于 ，
作 ，垂足为 ，
， ，
，
，
，
， ，
， ， ，
为 的中点，
， ，
，
， ，
， ，
， ．【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰
三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
30．（2023秋•新会区校级期中）如图， 的两直角边 、 分别在 轴的负半轴和 轴的正半
轴上， 为坐标原点， 、 两点的坐标分别为 、 ，抛物线 经过 点，且顶
点在直线 上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若 是由 沿 轴向右平移得到的，当四边形 是菱形时，试判断点 和点 是否在
该抛物线上，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若 点是 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 作 平行于 轴交于点 ．设点 的横坐标为 ， 的长度为 ，求 与 之间的函数关系式，写出自变量 的取值范
围，并求 取大值时，点 的坐标．
【分析】（1）已知抛物线上 、 点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解
析式；
（2）首先求出 的长，将 、 的坐标向右平移 个单位，即可得出 、 的坐标，再代入抛物线的
解析式中进行验证即可；
（3）根据 、 的坐标，易求得直线 的解析式；那么线段 的长实际是直线 与抛物线的函数值
的差，可将 代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为 的表达式，由此可求出 、 的函
数关系式，根据所得函数的性质即可求出 取最大值时，点 的坐标．
【解答】解：（1） 的顶点在直线 上，
可设所求抛物线对应的函数关系式为 ，
点 在此抛物线上，
，
，
所求函数关系式为： ；
（2）在 中， ， ，
．
四边形 是菱形，
，
、 两点的坐标分别为 、 ，
、 两点的坐标分别是 、 ；当 时， ，
当 时， ，
点 和点 在所求抛物线上；
（3）设直线 对应的函数关系式为 ，
则 ，
解得： ；
．
轴， 点的横坐标为 ，
点的横坐标也为 ，且 ；
则 ， ，
，
，
当 时， ，此时 ．
此时点 的坐标为 ， ．
【点评】此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数
形结合是解题的关键．
31．（2023秋•惠城区校级期中）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线
经过 、 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点 是直线 上方抛物线上的一动点，当四边形 面积最大时，请求出点 的坐标和
四边形 面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，连接 ，点 是抛物线对称轴上的
动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先根据直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，求出点 的坐标是 ，点
的坐标是 ；然后根据抛物线 经过 、 两点，求出 、 的值是多少，即可求出抛
物线的解析式；
（2）首先过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ， 交 轴于点 ，然后设点 的坐标是
，则点 的坐标是 ，求出 的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，
求出 ，进而判断出当△ 面积最大时，点 的坐标和△ 面积的最大值以及四边形 面积
最大各是多少即可；
（3）在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，
根据平行四边形的特征，求出使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形的点 的坐标是多少
即可．
【解答】解：（1） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，抛物线 经过 、 两点，
解得
．
（2）如图1，
过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ， 交 轴于点 ，
点 是直线 上方抛物线上的一动点，
设点 的坐标是 ，
则点 的坐标是 ，
，，
当 时，即点 的坐标是 时，△ 的面积最大，最大面积是3；
此时，四边形 的面积最大，最大面积为： ；
（3）在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，
由（2），可得点 的横坐标是2，
点 在直线 上，
点 的坐标是 ，
又 点 的坐标是 ，
，
所在的直线的斜率是： ；
的对称轴是直线 ，
设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，则
解得 或 ，
，
点 的坐标是 ，
则 的解析式为， ，
的解析式为
当 时， ，
则 ；
②如图3，
由（2），可得点 的横坐标是2，点 在直线 上，
点 的坐标是 ，
又 点 的坐标是 ，
，
所在的直线的斜率是： ；
的对称轴是直线 ，
设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
则
解得 或 ，
，
点 的坐标是 ．
的解析式为： ， ，
的解析式为： ，
当 时， ，
则 ；
③如图4，由（2），可得点 的横坐标是2，
点 在直线 上，
点 的坐标是 ，
又 点 的坐标是 ，
，
的对称轴是直线 ，
设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
则
解得 ，
点 的坐标是 ，
的解析式为： ， ，的解析式为： ，
当 时， ，
则 ；
综上，可得在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
点 的坐标是 ， ， ．
【点评】此题考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结
合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力，待定系
数法函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，三角形的面积的求法，要熟练掌握，灵活运用．
32．（2023秋•丰泽区校级期中）阅读下面材料，回答问题
材料一：若三个非零实数 ， ， 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三
个实数 ， ， 构成“和谐三数组”；
材料二：一元二次方程 两根 ， 有如下关系： ， ．
（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．
（2）若直线 与 轴交于点 ， ，与抛物线 交于 ， ，
， 两点．
①求证： ， ， 三点的横坐标 ， ， 构成“和谐三组数”；
②若 ， ，求点 ， 与原点 的距离 的取值范围．
【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）①由直线解析式可求得 ，联立直线和抛物线解析式消去 ，利用一元二次方程根与系数的关
系可求得 ， ，再利用和谐三数组的定义证明即可；
②由条件可得到 ，可得 ，由 可求得 的取值范围，令 ，利用两点
间距离公式可得到 关于 的二次函数，利用二次函数的性质可求得 的取值范围，从而可求得
的取值范围．
【解答】解：（1）不能，理由如下：
、2、3的倒数分别为1、 、 ，
， ， ．实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；
（2）① 、 、 均不为0，
， ， 都不为0，
直线 与 轴交于点 ， ，
，解得 ，
联立直线与抛物线解析式，消去 可得 ，即 ，
直线与抛物线交与 ， ， ， 两点，
、 是方程 的两根，
， ，
，
， ， 构成“和谐三组数”；
② ，
，
，
，
，且 ，整理可得 ，
解得 ，
， ．
，
，
当 时， 随 的增大而减小，当 时， 有最大临界值 ，当 时，
有最小临界值 ，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 有最小临界值 ，当 时， 有最大临界值 ，
且 ，
到原点的距离为非负数，
且 ．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾
股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在
（2）①中用 、 、 分别表示出 ， ， 是解题的关键，在（2）②中把 表示成二次函数的形式
是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
33．（2023秋•宣恩县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为 ，与
轴交于点 ，与 交于点 ， ．
（1）求二次函数 的表达式；
（2）过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，点 为抛物线上的一点（点 在 上方），作 平
行于 轴交 于点 ，当点 在何位置时，四边形 的面积最大？求出最大面积；
（3）若点 在抛物线上，点 在其对称轴上，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，且
为其一边，求点 的坐标．
【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线 解析式，设出点 坐标 ，建立函数关系式 ，根
据二次函数表达式求出极值；
（3）先判断出 ，求出 点的横坐标，从而求出点 的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ，
抛物线与 轴交于点 ，，
，
，即二次函数 的表达式是 ；
（2）当 时， ，
， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
， ，
由点 、 的坐标得，直线 的解析式为 ；
设 ，
，
，
，
，
当 时，
即点 ， 时， ；
（3）如图，过 作 垂直于对称轴，垂足为 ，
， ，（两角的两边相互平行，这两角相等）．
又 ， ，
，
，
点的横坐标为 或 ，
当 时， 点纵坐标为8，
当 时， 点纵坐标为8，
点的坐标为 或 ．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值的确定方法，平行四边
形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．
34．（2023秋•齐齐哈尔期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ，连接 ， ，点 是直线 下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ， ，设 点的横坐标为 ， 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）试探究：过点 作 的平行线1，交线段 于点 ，在直线 上是否存在点 ，使得以点 ， ，
， 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将 ， 代入 即可得到答案；
（2）过点 作 轴交直线 于点 ，则 的坐标是 ，利用待定系数法求 的解
析式，表示 的坐标，用 的代数式表示 的长度，根据三角形面积公式即可得到答案；
（3）分两种情况：①如图2，四边形 是菱形，②如图3，四边形 是菱形，根据两点的距离公
式和菱形的边长相等列方程可解答．
【解答】解：（1）将 ， 代入 得： ，
解得： ，；
（2）如图1，过点 作 轴交直线 于点 ，
， ，
设直线 的解析式为： ，
，
，
的解析式为： ，
点的横坐标为 ，
的坐标是 ，则 的坐标是 ，
，
点 是直线 下方抛物线上的一个动点，
，
；
（3）分两种情况：
①如图2，四边形 是菱形，
设 ，则 ，四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
， ；
②如图3，四边形 是菱形，
设 ，则 ，
四边形 是菱形，
，
，
（舍 或 ，
；
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的性质，
菱形的性质和判定，两点的距离公式等综合知识，解题的关键是设相关点的坐标，表示线段长度列方程．
35．（2023秋•金安区校级期中）定义：如果二次函数 ， ， ， 是常数）与
， ， ， 是常数）满足 ， ， ，则这两个函数互为
“ ”函数．
（1）写出 的“ ”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“ ”函数与正比例函数 的图象只有两个交点，求 的值；
（3）如图，二次函数 与 互为“ ”函数， 、 分别是“ ”函数 与 图象的顶点， 是“
”函数 与 轴正半轴的交点，连接 、 、 ，若点 且 为直角三角形，求点 的坐标．
【分析】（1）利用“ ”函数的定义，求出 ， ， 的值，即可求出表达式；
（2）将 与二次函数联立，得出关于 的一元二次方程，根据交点个数确定△的取值即可求出 的值；
（3）先由“ ”函数的中心对称性确定点 的坐标，根据直角位置分情况讨论，然后利用勾股定理求出
的坐标．
【解答】解：（1）设 “ ”函数的表达式为 ．
则 ， ， ．
， ， ．
．
（2）根据题意得：
，即 ．
判别式 ．
，即 ．
判别式 ．
△ △ ．
设△ △ △ ．
若△ ，则“ ”函数与 有四个交点；
若△ ，则“ ”函数与 有两个交点；
若△ ，则“ ”函数与 有没有交点；
△ ，即 ，解得 ； ．
故 或3．
（3）由题意得“ “函数关于原点成中心对称；
点 的坐标为 ．
是直角三角形，下面分情况讨论：若 ，
则 ，
即 ，
解得 ．
，
．
的坐标为 ．
若 ，
则 ．
即 ，
解得： ．
的坐标为 ．
若 ，
则 在 的负半轴，故舍去．
或 ．
【点评】本题主要考查二次函数与直角三角形的综合应用，只有熟记二次函数的图形的性质，中心对称的
特点以及勾股定理，才能快速解出此类问题．
36．（2023秋•宁阳县期中）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，
， ，直线 是抛物线的对称轴，在直线 右侧的抛物线上有一动点 ，连接 ， ， ，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 在 轴的下方，当 的面积是 时，求 的面积；
（3）在（2）的条件下，点 是 轴上一点，点 是抛物线上一动点，是否存在点 ，使得以点 ， ，
， 为顶点，以 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据 ， 确定点 和 的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可；
（2）如图 1，过 作 轴于 ，交 于 ，利用待定系数法求直线 的解析式，设
，则 ，表示 的长，根据 的面积是 ，列方程可得 的值，因为
在对称轴的右侧，所以 不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论；
（3）分两种情况： 在 轴的上方和下方，根据 确定 的坐标，并正确画图．
【解答】解：（1） ， ，
， ，
把 ， 代入抛物线 中得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2）如图1，过 作 轴于 ，交 于 ，当 时， ，
，
设 的解析式为： ，
则 ，解得： ，
的解析式为： ，
设 ，则 ，
，
的面积是 ，
，
，
解得： 或3，
点 在直线 右侧的抛物线上，
，
的面积 ；
（3）分两种情况：
①如图2， 在 轴的上方时，四边形 是平行四边形，， ，且 在 轴上，
的纵坐标为 ，
当 时，即 ，
解得： 或 ，
， 或 ， ；
②如图3，点 在 轴的下方时，四边形 是平行四边形，此时 与 重合，
；
综上，点 的坐标为： ， 或 ， 或 ．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，
会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．37．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，抛物线 与 轴分别交于 ， 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点 ，作 垂直 轴于点 ，连接 ，且 ， ，将 沿 轴
向右平移 个单位，当点 落在抛物线上时，求 的值；
（3）在（2）的条件下，当点 第一次落在抛物线上记为点 ，点 是抛物线对称轴上一点．试探究：在
抛物线上是否存在点 ，使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由 、 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得 点坐标，设平移后的点 的对应点为 ，则 点的纵坐标为8，代入抛物线解析式
可求得 点的坐标，则可求得平移的单位，可求得 的值；
（3）由（2）可求得 点坐标，连接 交对称轴于点 ，过 作 轴于点 ，当 为平行四边
形的边时，过 作对称轴的垂线，垂足为 ，则可证得 ，可求得 ，即可求得 到对称
轴的距离，则可求得 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得 点坐标；当 为对角线时，由 、 的
坐标可求得线段 的中点坐标，设 ，由 点的横坐标则可求得 点的横坐标，代入抛物线解析式
可求得 点的坐标．
【解答】解：
（1） 抛物线 与 轴分别交于 ， 两点，
，解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2） ，且 ，
，且 ，
，设平移后的点 的对应点为 ，则 点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
点的坐标为 或 ，
，
当点 落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
的值为7或9；
（3） ，
抛物线对称轴为 ，
可设 ，
由（2）可知 点坐标为 ，
①当 为平行四边形的边时，连接 交对称轴于点 ，过 作 轴于点 ，过 作对称轴的垂
线，垂足为 ，如图，
则 ，
在 和 中
，
，
设 ，则 ，
，解得 或 ，
当 或 时，代入抛物线解析式可求得 ，点坐标为 或 ；
②当 为对角线时，
， ，
线段 的中点坐标为 ，则线段 的中点坐标为 ，
设 ，且 ，
，解得 ，把 代入抛物线解析式可求得 ，
；
综上可知 点的坐标为 或 或 ．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四
边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后
点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出 点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综
合性较强，难度适中．
38．（2023秋•驿城区校级期中）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交
于点
（1）求点 ， ， 的坐标；
（2）点 是此抛物线上的点，点 是其对称轴上的点，求以 ， ， ， 为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别令 ， ，即可解决问题．
（2）由图象可知 只能为平行四边形的边，分 点为抛物线上的普通点和顶点2种情况讨论，即可求出
平行四边形的面积．
（3）分 、 、 为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）令 得 ，
，
或2，
点 坐标 ，点 坐标 ，令 ，得 ， 点 坐标 ．
（2）由图象① 为平行四边形的边时，
，对称轴 ，
点 的横坐标为 或5，
点 坐标 或 ，此时点 ，
以 ， ， ， 为顶点的平行四边形的面积 ．
②当点 在抛物线顶点时，点 ，设对称轴与 轴交点为 ，令 与 相等，则四边形
是菱形，此时以 ， ， ， 为顶点的平行四边形的面积 ．
（3）如图所示，①当 为等腰三角形的顶角的顶点时， ， ，作 于 ，
在 △ 中， ，
点 坐标 ，点 坐标 ．
②当 为等腰三角形的顶角的顶点时， 直线 解析式为 ，
线段 的垂直平分线为 与对称轴的交点为 ． ，
点 坐标为 ．
③当点 为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在．
综上所述点 坐标为 或 或 ．
【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握
抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．
39．（2023秋•庄浪县期中）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 ， ， ，其对称轴
与 轴相交于点 ．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）连接 ，在直线 的下方的抛物线上，是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线经过点 ， ， ，可利用两点式法设抛物线的解析式为
，代入 即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）点 关于对称轴的对称点 的坐标为 ，连接 交对称轴于点 ，连接 ，此时 的周
长最小，可求出直线 的解析式，即可得出点 的坐标．
（3）在直线 的下方的抛物线上存在点 ，使 面积最大．设 点的横坐标为 ，此时点 ，
，再求得直线 的解析式，即可求得 的长与 的面积，由二次函数最大
值的问题即可求得答案．
【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 ，
把点 代入上式得： ，
，
抛物线的对称轴是：直线 ；
（2）存在， 点坐标为 ．
理由如下：
点 ，抛物线的对称轴是直线 ，
点 关于对称轴的对称点 的坐标为
如图1，连接 交对称轴于点 ，连接 ，此时 的周长最小．
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得 ，
解得 ，
，
点 的横坐标为3，
，
．
（3）在直线 的下方的抛物线上存在点 ，使 面积最大．
设 点的横坐标为 ，此时点 ， ，
如图2，过点 作 轴交 于 ；作 于 ，
由点 和点 可求出直线 的解析式为： ，
把 代入得： ，则 ，
此时： ，
，
，
当 时， 面积的最大值为 ，
由 ，得： ，， ．
【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想
的灵活应用．
40．（2023秋•钟祥市期中）如图，在矩形 中， ， ，点 为边 上一点，将
沿直线 折叠，使点 恰好落在边 上的点 处，分别以 ， 所在的直线为 轴， 轴建立平面
直角坐标系．
（1）求 的长及经过 ， ， 三点抛物线的解析式；
（2）一动点 从点 出发，沿 以每秒2个单位长度的速度向点 运动，同时动点 从 点出发，沿
以每秒1个单位长度的速度向点 运动，当点 到达点 时，两点同时停止运动，设运动时间为 秒，
当 为何值时， ；
（3）若点 在（1）中抛物线的对称轴上，点 在抛物线上，是否存在这样的点 与点 ，使 ， ，
， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由折叠的性质可求得 、 ，在 中，由勾股定理可求得 ，设 ，在
中，由勾股定理可求得 的值，可求得 点坐标，结合 、 两点，利用待定系数法可求得抛
物线解析式；
（2）用 表示出 、 的长，可证明 ，可得到 ，可求得 的值；
（3）可设出 点坐标，分三种情况① 为对角线，② 为对角线，③ 为对角线，根据平行四边形
的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得 点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得 点的坐标．
【解答】解：（1） ， ，
在 中， ，
设 ，则 ，
，
，
在 中，由勾股定理可得 ，即 ，解得 ，， ，
， ，
设过 、 、 三点的抛物线为 ，
，解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2） ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3） 抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，
又由题意可知 ， ，
设 ，
①当 为对角线，即四边形 是平行四边形时，
则线段 的中点横坐标为 ，线段 中点横坐标为 ，
， 互相平分，
，解得 ，
又 点在抛物线上，
，
；②当 为对角线，即四边形 是平行四边形时，
则线段 的中点横坐标为 ，线段 中点横坐标为 ，
， 互相平分，
，解得 ，
又 点在抛物线上，
，
；
③当 为对角线，即四边形 是平行四边形时，
则 为抛物线的顶点，即 ．
综上可知，存在满足条件的点 ，其坐标为 或 或 ．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、
平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得 点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于 的
方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
七．圆内接四边形的性质
41．（2023秋•旌阳区校级期中）如图， 、 、 、 是 上四点， ．
（1）判断 的形状并证明你的结论；
（2）当点 位于什么位置时，四边形 是菱形？并说明理由．
（3）求证： ．【分析】（1）利用圆周角定理可得 ， ，而 ，所以
，从而可判断 的形状；
（2）当点 位于 中点时，四边形 是菱形，通过证明 和 均为等边三角形，知
， 四边形 是菱形；
（3）在 上截取 ，则 是等边三角形，然后证明 ，证明 ，即可证
得．
【解答】解：（1）证明：（1） 是等边三角形．
证明如下：在 中，
与 是 所对的圆周角， 与 是 所对的圆周角，
， ，
又 ，
，
为等边三角形；
（2）当点 位于 中点时，四边形 是菱形，
连接 ，
， 是 的中点，
又 ，
和 均为等边三角形，
，
四边形 是菱形；
（3）如图2，在 上截取 ，
又 ，
是等边三角形，
， ，即 ．
又 ，
，
在 和 中，，
，
，
又 ，
．
【点评】本题考查的是圆内接多边形的性质、菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质、全等三角形的判定
定理和性质定理是解题的关键．
八．三角形的外接圆与外心
42．（2023秋•椒江区校级期中）如图，在 中， 在边 上，圆 为锐角 的外接圆，连结
并延长交 于点 ．
（1）若 ，请用含 的代数式表示 ；
（2）如图2，作 ，垂足为 ， 与 交于点 ，已知 ．
①求证： ；
②若 ， ，求 的值．【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；
（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；
②作 ， ，证明四边形 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，连结 ，
，
又 ，
；
（2）①证明： ，
，
设 ，
由（1）得： ，
，
，
，
；
②解：如图，作 于点 ， 于点 ，
由①得： ， ，
，
，
， ，
，
，
， ， ，四边形 为矩形，
，
， ，
，
．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解决
本题的关键是掌握三角形外接圆与外心．
九．切线的判定
43．（2023秋•洪泽区校级期中）如图， 是 的弦， 交 于点 ，过 的直线交 的延
长线于点 ，当 时，直线 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
【分析】连接 ，根据角与角之间的相互关系可得 ，则 ，故 与 相切．
【解答】解： 与 相切；（1分）
理由：连接 ；（2分）
，
，（3分）
，
；（5分）
又 ，
，
，
即 ；（7分）
与 相切．（8分）
【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为
半径），再证垂直即可．
44．（2023秋•常州期中）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作于点 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）当 ， 时，求 的长．
【分析】（1）连接 ，由 ，根据等边对等角得到一对角相等，再由 ，根据等边对等
角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得 与 平行，
又 垂直于 ，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到 与 也垂直，可得 为
圆 的切线；
（2）连接 ，由 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得 ，即 与 垂直，
又 ，根据三线合一得到 为 中点，由 求出 的长，再由 的长，利用勾股定理求出
的长，三角形 的面积有两种求法， 乘以 除以2，或 乘以 除以2，列出两个关系式，
两关系式相等可求出 的长．
【解答】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，且 为圆 的半径，
是 的切线；
（2）连接 ，
为 的直径，
，
又 ，且 ，
，在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
又 ，
即 ，
．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以
及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段
长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．
十．圆的综合题
45．（2023秋•东台市期中）如图， 为 的外接圆， ， 为 与 的交点， 为线
段 延长线上一点，且 ．
（1）求证：直线 是 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）在（2）的基础上，点 在 上，且 ， 的内心点 在 边上，求 的长．
【分析】（1）连接 ， ，可证得 ，由等腰三角形的“三线合一”可得 ，进
而可得 ，由 ，进而得出 ，进一步命题得
证；（2）由（1）可得 ，故可得 ，在 中，由勾股定理列出关于 的方程，进
而求得结果；
（3）连接 ，证明 ，进而得出 ．
【解答】（1）证明：如图1，
连接 ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
半径 ，
是 的切线；
（2）解：如图1，
由（1）得： ，
，
在 中， ， ，
，
，，
即 的半径是 ；
（3）解：如图2，
连接 ，
在 中， ，
，
点 是 的内心，
，
，
又 ，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定，圆中的“弧、弦、圆心角之间的关系”，垂径定理，等腰三角形的判定
和性质等知识，解决问题的关键是注意题目条件的特殊性，发现图形的特殊性．
十一．旋转的性质
46．（2023秋•西峰区校级期中）如图1，在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转，若点 ，
在直线 的异侧， 直线 于点 ． 直线 于点 ，连接 ， ．
（1）延长 交 于点 （如图 ．
①求证： ；
②求证： ；
（2）若直线 绕点 旋转到图3的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时 还
成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线 绕点 旋转到与 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形 的形状及此
时 还成立吗？不必说明理由．【分析】（1）①根据平行线的性质证得 再根据 ， 即可得到；
②由 ，得到 则 ，而在 中， ，即可得到 ；
（2）证明方法与②相同；
（3）四边形 是矩形，只要证明三个角是直角即可；
【解答】（1）证明：①如图
直线 于点 ， 直线 于点 ，
，
，
，
又 为 边中点，
，
又 ，
，
② ，
，
在 中， ，
．
（2）解：成立，如图3．
证明：延长 与 的延长线相交于点 ，
直线 于点 ， 直线 于点 ，
，
，
又 为 中点，，
又 ，
在 和 中，
，
，
，
，
则 中，
．
（3）解：如图4，四边形 是矩形，
理由： ， ， ，
， ，
，
四边形 是矩形．
， ， ，
．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
47．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，等腰直角 中， ，点 在 上，将 绕
顶点 沿顺时针方向旋转 后得到 ．
（1）求 的度数；
（2）当 ， 时，求 的大小；
（3）当点 在线段 上运动时 不与 重合），请写出一个反映 ， ， 之间关系的等式，
并加以证明．
【分析】（1）由于 ，故有 ．
（2）由等腰直角三角形的性质知， ，根据已知条件，可求得 ， 的值，再由勾股定理求
得 的值．
（3）由于 也是等腰直角三角形，故有 ．
【解答】解：（1）由题意知， ，
， ， ， ，
， ，
是等腰直角三角形， 是直角三角形．
（2）当 ， 时，有 ， ， ，
．（3）存在 ，
由于 是等腰直角三角形，
，
，
，
故有 ．
【点评】本题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．
48．（2023春•乌鲁木齐期中）在正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转 得到线段
， 与 延长线相交于点 ，过 作 交 于点 ，连接 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）当 时，依题意补全图2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据 ，得到 ，由 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，得到
， ，由正方形性质得到 ，得到 ；
（2）按照题意补全图形即可，在 上取 ，连接 交 于 ，交 于 ，连接 ，
，利用 、 、 证明 、 、 、 共圆，从而可得
， ，再证明 ，即可得到 ．
【解答】解：（1）证明： 边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
，
正方形 ，
，
，
，
，
，
，
正方形 ，，
，
；
（2）补全图2如下：
线段 ， ， 之间的数量关系为： ，理由如下：
在 上取 ，连接 交 于 ，交 于 ，连接 ， ，如图：
正方形 ，
， ，
又 ，
，
， ，
，
，
，
，
由（1）知 ，
且 ，
，
，
而 ， ，
，
，
、 、 、 共圆，，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将
转化为 ．
