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第三课时——公式法、根与系数的关系（答案卷）
知识点一：根的判别式：
1. 根的判别式：
一般地，在一元二次方程 中，我们把 叫做一元二次方
程的跟的判别式。用符号“ ”表示，即 。一元二次方程
根的情况与 的具体关系如下：
① 方程有两个不相等的实数根。
② 方程有两个相等的实数根。
③ 方程没有实数根。
【类型一：判断根的情况】
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣x+ ＝0 B．x2+2x+4＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣3x＝0
【分析】分别计算出四个方程的根的判别式的值，然后利用判别式的意义判断各方程的根的情况即可．
【解答】解：A、因为Δ＝（﹣1）2﹣4× ＝0，则方程有两个相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B、因为Δ＝22﹣4×4＝﹣12＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、因为Δ＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；
D、因为Δ＝（﹣3）2﹣4×0＝9＞0，则方程有两个不相等的实数解，所以D选项符合题意．
故选：D．
2．一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）
＝49+8
＝57＞0，
即该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．定义运算：m n＝mn2﹣m n+1．例如：1 2＝1×22﹣1×2+1＝3．则方程 1 x＝0 的根的情况为
（ ）
⊕ ⊕ ⊕
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新运算得到x2﹣x+1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
4．关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0的根的情况（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等
实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【解答】解：关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0中，a＝1，b＝﹣2m，c＝﹣m﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×（﹣m﹣1）＝（2m+1）2+3＞0．
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
【类型一：根据根的情况求字母的取值范围】
5．关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1且a≠0 B．a＜1且a≠0 C．a＜1 D．a＞﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义，由方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程根的判别式大于
0，求出a的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞﹣1且a≠0．
故选：A．
6．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞3 B．k＜3 C．k＞﹣3且k≠2 D．k＜3且k≠2
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4（k﹣2）＞0，且k﹣2≠0，
解得：k＜3且k≠2．
故选：D．
7．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＞ 且m≠1 D．m≠1
【分析】由方程无实数根得出Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，解之可得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，
解得m＜ ，
故选：A．
8．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥ 且k≠2
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣
6）≥0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0，
解得k≥ 且k≠2，
故选：D．
知识点一：求根公式：
1. 求根公式：
当 时，一元二次方程方程 的实数很可写为
，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
①当 时，一元二次方程 的两个跟可以分别写为：
， 。
②当 时，一元二次方程 的两个跟可以写为：
。2. 利用公式法解一元二次方程的过程：
步骤一：将一元二次方程化成 一般形式 。并确定出 的值。
步骤二：计算 的值确定根的情况。
步骤三：若方程有根，利用求根公式求解。
【类型一： 系数判断】
9．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（ ）
A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8
【分析】整理为一般式即可得出答案．
【解答】解：∵3x2﹣4x＝8，
∴3x2﹣4x﹣8＝0，
则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，
故选：B．
10．用公式法解方程x2+x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
C．a＝1，b＝1，c＝﹣2 D．a＝1，b＝﹣1，c＝2
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．
【解答】解：将方程整理得：x2+x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣2，
故选：C．
【类型二：求根公式的熟悉】
11．以x＝ 为根的一元二次方程可能是（ ）A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0
【分析】根据公式法即可求出答案；
【解答】解：由题意可知：二次项系数为1，一次项系数为﹣b，常数项为c，
故选：C．
12．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用求根公式求出解即可．
【解答】解：这里a＝3，b＝5，c＝1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0，
∴x＝ ＝ ，
故选：A．
13．用公式法解一元二次方程，得：x＝ ，则该一元二次方程是 ．
【分析】根据求根公式确定出方程即可．
【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，
则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，
故答案为：3x2+5x+1＝0
【类型三：利用公式法解方程】
14．用公式法解下列方程：
（1）x2﹣5x＝6； （2）3x2﹣11x﹣4＝0；
（3）3x2+10x+3＝0； （4）6t2﹣13t+5＝0．
【分析】（1）先把方程整理为x2﹣5x﹣6＝0，然后利用求根公式法解方程；（2）利用求根公式法解方程；
（3）利用求根公式法解方程；
（4）利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，
△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）＝49，
x＝ ，
所以x ＝﹣1，x ＝6；
1 2
（2）△＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣4）＝169，
x＝ ＝ ，
所以x ＝4，x ＝﹣ ；
1 2
（3）△＝102﹣4×3×3＝64，
x＝ ，
所以x ＝﹣3，x ＝﹣ ；
1 2
（4）△＝（﹣13）2﹣4×6×5＝49，
t＝ ，
所以t ＝ ，t ＝ ．
1 2
知识点一：根与系数的关系：
从公式法可知，一元二次方程若有解，则求根公式分别为： 和。分别把两个式子相加和相乘即可得出根与系数的关系。
1. 根与系数的关系：若一元二次方程 的两根分别是 ，则
， 。
特别提醒：一元二次方程 的两根分别是 ，则满足：
，
2. 变形公式：① ；（利用完全平方式转换）
② ；（提公因式）
③ ；（分式通分运算）
④ ；（分式通分运算与完全平方公
式）
⑤ ；（整式乘法运算）
⑥ 。
【类型一：求根与系数的基本式子】
15．方程x2﹣4x+3＝0的两根为x 、x ，则x +x 等于（ ）
1 2 1 2
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出x +x 的值．
1 2
【解答】解：∵方程x2﹣4x+3＝0的两根为x 、x ，
1 2
∴x +x ＝4．
1 2故选：A．
16．设x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x x ＝（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
【分析】利用根与系数的关系，可求出x x 的值．
1 2
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，
1 2
∴x x ＝﹣3．
1 2
故选：D．
17．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x ，x ，则x +x ﹣x x ＝ ．
1 2 1 2 1 2
【分析】利用根与系数的关系得到x +x ＝3，x x ＝2，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2
【解答】解：根据题意得：x +x ＝3，x x ＝2，
1 2 1 2
所以x +x ﹣x x ＝3﹣2＝1．
1 2 1 2
故答案为：1．
18．已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a+b＝ ．
【分析】已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，则a，b就是方程x2+3x＝7的两根，根据一元二次方程的
根与系数的关系即可求解．
【解答】解：根据题意得：a，b就是方程x2+3x＝7的两根
则a+b＝﹣3
故本题的答案为﹣3．
【类型二：求根与系数的推广式子】
19．已知x ，x 是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x 2+x 2的值为（ ）
1 2 1 2
A．5 B．10 C．11 D．13
【分析】利用根与系数的关系得到x +x ＝3，x x ＝﹣2，再利用完全平方公式得到x 2+x 2＝（x +x ）2
1 2 1 2 1 2 1 2
﹣2x x ，然后利用整体代入的方法计算．
1 2
【解答】解：根据题意得x +x ＝3，x x ＝﹣2，
1 2 1 2所以x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝32﹣2×（﹣2）＝13．
1 2 1 2 1 2
故选：D．
20．若x 和x 为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x 2x +x x 2值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．4 B．2 C．4 D．3
【分析】先根据方程求出两根之和与两根之积的值，然后再根据x 2x +x x 2＝x x （x +x ），代入求值．
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝﹣2，x x ＝﹣1，
1 2 1 2
x 2x +x x 2＝x x （x +x ）＝2．
1 2 1 2 1 2 1 2
故选：B．
21．已知x ，x 是一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的两根，则 ＝ ．
1 2
【分析】先利用根与系数的关系得到x +x ＝ ，x x ＝﹣2，再利用通分得到原式＝ ，然后
1 2 1 2
利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x +x ＝ ，x x ＝﹣2，
1 2 1 2
所以＝
＝
＝
＝﹣ ．
故答案为﹣ ．22．已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则 的值是 ．
【分析】根据题意可知a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可
得a+b＝6，ab＝4，再将 + 变形为 ，代入计算即可．
【解答】解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴ + ＝ ＝ ＝7．
故答案为7．
23．设x 、x 是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
1 2
（1）x 2x +x x 2； （2）（x ﹣x ）2．
1 2 1 2 1 2
【分析】根据根与系数的关系得到x +x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
（1）利用因式分解法把x 2x +x x 2变形为x x （x +x ），然后利用整体代入的方法计算；
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）利用完全平方公式得到（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x x ，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：根据题意得x +x ＝ ，x x ＝ ，
1 2 1 2
（1）x 2x +x x 2＝x x （x +x ）＝ × ＝ ；
1 2 1 2 1 2 1 2
（2）（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x x ＝ ﹣4× ＝ ．
1 2 1 2 1 2
【类型三：利用两个根满足的方程转化求式子】
24．设a，b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 ．【分析】根据题意得a2+b﹣2022＝0，即a2+a＝2022，利用根与系数的关系得到a+b＝﹣1，代入整理后
的代数式求值．
【解答】解：a，b分别是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2022＝0，
∴a2+a＝2022，
故a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2022﹣1＝2021，
故答案为2021．
25．设 ， 是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则 2+5 +2 ＝ ．
α β α α β
【分析】由 ， 是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，得出 + ＝﹣3， 2+3 ＝7，再把 2+5 +2
变形为 2+3α+2（ β + ），即可求出答案． α β α α α α β
α α α β
【解答】解：∵ ， 是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
α β
∴ + ＝﹣3， 2+3 ﹣7＝0，
α β α α
∴ 2+3 ＝7，
α α
∴ 2+5 +2 ＝ 2+3 +2（ + ）＝7+2×（﹣3）＝1，
α α β α α α β
故答案为：1．
26．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝
（a+b）2﹣2ab+2016即可求解；
【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab＝﹣3，
∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；
故选：A．方法2：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴a2＝3﹣a，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2019＝3﹣
a﹣b+2019＝3+1+2019＝2023，故选：A．27．设x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x 3﹣4x 2+20等于（ ）
1 2 1 2
A．1 B．5 C．11 D．13
【分析】先利用一元二次方程解的定义和降次的方法得到x 2＝﹣x +3，x 3＝4x ﹣3，则x 3﹣4x 2+20化
2 2 1 1 1 2
为4（x +x ）+5，再根据根与系数的关系得到x +x ＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
1 2 1 2
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
1 2
∴x 2+x ﹣3＝0，x 2+x ﹣3＝0，
1 1 2 2
∴x 2＝﹣x +3，x 2＝﹣x +3，
1 1 2 2
∴x 3＝x （﹣x +3）＝﹣x 2+3x ＝﹣（﹣x +3）+3x ＝4x ﹣3，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴x 3﹣4x 2+20＝4x ﹣3﹣4（﹣x +3）+20＝4（x +x ）+5，
1 2 1 2 1 2
∵x ，x 是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝﹣1，
1 2
∴x 3﹣4x 2+20＝4×（﹣1）+5＝1．
1 2
故选：A．
28．设m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，则m3+2020n﹣2019＝ ．
【分析】先利用一元二次方程的定义得到 m2＝m+2019，m3＝2020m+2019，所以m3+2020n﹣2019＝
2020（m+n），然后利用根与系数的关系得到m+n＝1，最后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2019＝0的根，
∴m2﹣m﹣2019＝0，
∴m2＝m+2019，
m3＝m2+2019m＝m+2019+2019m＝2020m+2019，
∴m3+2020n﹣2019＝2020m+2019+2020n﹣2019＝2020（m+n），
∵m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，
∴m+n＝1，
∴m3+2020n﹣2019＝2020．故答案为2020．
【类型二：利用根与系数的关系求字母的值】
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个实数根，且满足 ，则m的值是
．
【分析】根据根与系数的关系得出 x +x ＝2m+3，得出方程m2＝2m+3，求出m的值，再根据根的判别
1 2
式判断即可．
【解答】解：根据根与系数的关系得：x +x ＝2m+3，
1 2
∵ ，
∴m2＝2m+3，
解得：m＝3或﹣1，
当m＝3时，方程为x2﹣9x+9＝0，此时方程有解；
当m＝﹣1时，方程为x2﹣x+1＝0，此时Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，此时方程无解；
故答案为：3．
30．若关于x的一元二次方程x2+m x+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【分析】根据方程的两根互为倒数结合根的判别式以及根与系数的关系，即可得出关于 m的一元二次
不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，
∴ ，
解得：m＝2．
故选：B．
31．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和是7，则k＝ ．
【分析】由方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和为7，利用根与系数的关系列出方程，求出
方程的即即可得到k的值．【解答】解：∵方程x2+（2k+1）x+k2＝0的两个实数根的平方和是7，
∴x +x ＝﹣2k﹣1，x x ＝k2，（2k+1）2﹣4k2≥0，即k≥﹣ ，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝7，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x x ＝（2k+1）2﹣2k2＝7，
1 2 1 2
整理得：2k2+4k﹣6＝0，
分解因式得：（2k+6）（k﹣1）＝0，
解得：k＝﹣3（不符合题意，舍去）或k＝1，
故答案为：1
32．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．k＝±2 B．k＝2 C．k≥﹣1 D．k＝﹣2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可．
【解答】解：设x ，x 是关于x的一元二次方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个实数根，且两个实数根互
1 2
为相反数，则
x +x ＝﹣ ＝﹣（k2﹣4）＝0，即k＝±2，
1 2
当k＝2时，方程无解，故舍去．
故选：D．
33．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x 、x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若x +x ＝1﹣x x ，求k的值．
1 2 1 2
【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可求得两根之和与两根之积，代入所给等式，则可得到关于 k的方程，可求
得k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x 、x ，
1 2
∴△≥0，即[﹣2（k﹣1）]2﹣4k2≥0，解得k≤ ；
（2）由根与系数关系可得x +x ＝2（k﹣1），x x ＝k2，
1 2 1 2
∵x +x ＝1﹣x x ，
1 2 1 2
∴2（k﹣1）＝1﹣k2，解得k＝1或k＝﹣3，
∵k≤ ，
∴k＝﹣3．
一．选择题（共10小题）
1．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+3＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【分析】分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：A．方程x2+x+3＝0中Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，此方程无实数根；
B．方程x2+2x+1＝0中Δ＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根；C．方程x2﹣2＝0中Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D．方程x2﹣2x﹣3＝0中Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
2．关于x的一元二次方程x2+m x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】计算出方程的判别式为Δ＝m2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况．
【解答】解：
方程x2+mx﹣1＝0的判别式为Δ＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，然后求
出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0．
故选：C．
4．一元二次方程3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式x＝ 求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣1
【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【解答】解：∵3x﹣1﹣2x2＝0，
∴﹣2x2+3x﹣1＝0，
则a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，故选：D．
5．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（ ）
A．x＝1﹣ B．x＝ C．x＝﹣1+ D．x＝
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根，
即x＝ ．
故选：D．
6．用公式法解方程（x+2）2＝6（x+2）﹣4时，b2﹣4ac的值为（ ）
A．52 B．32 C．20 D．﹣12
【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先把方程化简为一般形式，然后找a、b、c，
最后求出判别式的值．
【解答】解：∵（x+2）2＝6（x+2）﹣4
∴x2﹣2x﹣4＝0
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
∴b2﹣4ac＝4+16＝20．
故选：C．
7．已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x＝2的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
1 2
A．x ≠x B．x 2﹣2x ＝2 C．x +x ＝2 D．x •x ＝2
1 2 1 1 1 2 1 2
【分析】根据判别式的意义对A进行判断；根据一元二次方程根的定义对B进行判断；根据根与系数的
关系对C、D进行判断．
【解答】解：x2﹣2x﹣2＝0，
A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以A选项的结论正确；B、因为x 是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，则x 2﹣2x ＝2，所以B选项的结论正确；
1 1 1
C、x +x ＝2，所以C选项的结论正确；
1 2
D、x x ＝﹣2，所以D选项的结论错误．
1 2
故选：D．
8．关于x的方程（a﹣1）x2+2ax+a﹣1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．一定是一个一元二次方程
B．a＝﹣1时，方程的两根x 和x 满足x +x ＝﹣1
1 2 1 2
C．a＝3时，方程的两根x 和x 满足x •x ＝1
1 2 1 2
D．a＝1时，方程无实数根
【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系逐一判断可得答案．
【解答】解：A．当a＝1时，此方程为2x＝0，是一元一次方程，此选项错误，不符合题意；
B．当a＝﹣1时，﹣2x2﹣2x﹣2＝0，即x2+x+1＝0，此时Δ＝﹣3＜0，此方程无解，故此选项错误，不
符合题意；
C．a＝3时，方程为2x2+6x+2＝0，即x2+3x+1＝0，方程的两根x 和x 满足x •x ＝1，故此选项正确，
1 2 1 2
符合题意；
D．a＝1时，方程为2x＝0，此方程有一个实数根，为x＝0，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
9．若x ，x 是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x x ﹣x ﹣x ＝﹣7且，则b的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
【分析】根据根与系数的关系求出x +x ＝﹣b，x x ＝﹣4，代入x x ﹣x ﹣x ＝﹣7即可求出b的值．
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：由题意得，x +x ＝﹣b，x x ＝﹣4，
1 2 1 2
∴x x ﹣x ﹣x ＝x x ﹣（x +x ）＝﹣4+b＝﹣7，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴b＝﹣3，
故选：A．10．已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+k x+7＝0的两个根，且这个直角三角形的斜边长是
3，则k的值是（ ）
A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．4或﹣4
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之
间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计
算．
【解答】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2+kx+7＝0的两个根，
∴a+b＝﹣ ，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ﹣7＝9，
∴k＝±8，
∵a+b＝﹣ ＞0，
∴k＜0，
∴k＝﹣8，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式 的值为 ．
【分析】先把a、b、c的值代入，再化简二次根式，然后约分即可；
【解答】解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．
∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，
∴ ＝ ＝ ＝﹣5+2 ，故答案为﹣5+2 ．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是 ．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1≥0且m﹣2≠0，解
之可得答案．
【解答】解：根据题意，得：Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1≥0且m﹣2≠0，
解得m≤3且m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2．
13．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x ，x ，且以x ，x ，6为三边的三角形恰
1 2 1 2
好是等腰三角形，则m的值为 ．
【分析】分6为底边和6为腰两种情况分类讨论即可确定m的值．
【解答】解：当6为底边时，则x ＝x ，
1 2
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x ＝x ＝5，
1 2
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x ＝6，
1
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x ＝6，x ＝4，
1 2
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
14．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x＝ ．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9＝0，
整理得：7x2+44x+1＝0，
这里a＝7，b＝44，c＝1，
∵△＝442﹣28＝1908，
∴x＝ ＝ ．
故答案为： ．
15．已知x ，x 是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则 的值为 ．
1 2
【分析】先根据根与匇的关系得到x +x ＝﹣6，x x ＝3，再运用通分和完全平方公式变形得到 +
1 2 1 2
＝ ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x +x ＝﹣6，x x ＝3，
1 2 1 2
所以 + ＝ ＝ ＝ ＝10．
故答案为10．
16．已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x 2﹣x 2＝10，则a＝ ．
1 2 1 2
【分析】由两根关系，得根x +x ＝5，x •x ＝a，解方程得到x +x ＝5，即x ﹣x ＝2，即可得到结论．
1 2 1 2 1 2 1 2
【解答】解：由两根关系，得根x +x ＝5，x •x ＝a，
1 2 1 2由x 2﹣x 2＝10得（x +x ）（x ﹣x ）＝10，
1 2 1 2 1 2
若x +x ＝5，即x ﹣x ＝2，
1 2 1 2
∴（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x •x ＝25﹣4a＝4，
1 2 1 2 1 2
∴a＝ ，
故答案为： ．
三．解答题（共4小题）
17．用公式法解一元二次方程
（1） x2﹣x﹣4＝0； （2）（2x+3）（x﹣6）＝16．
【分析】（1）先二次项系数化为1，再利用公式法求解即可；
（2）先整理为一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）整理，得：x2﹣4x﹣16＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣16，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣16）＝80＞0，
则x＝ ＝ ＝2±2 ，
∴x ＝2+2 ，x ＝2﹣2 ；
1 2
（2）整理为一般式，得：2x2﹣9x﹣34＝0，
∵a＝2，b＝﹣9，c＝﹣34，
∴Δ＝（﹣9）2﹣4×2×（﹣34）＝353＞0，
则x＝ ＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 218．已知关于x的一元二次方程x2﹣m x+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
【分析】（1）证明Δ≥0即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2．
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，
可得（x﹣2）（x﹣m+2）＝0，
解得x ＝2，x ＝m﹣2，
1 2
若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，
故m＜2，
∴正整数m＝1．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x ，x ，且（x ﹣x ）2+m2＝21，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，求出不等式的解集即可；
（2）将（x ﹣x ）2+m2＝21转化为（x +x ）2﹣4x x +m2＝2115，再代入计算即可解答．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）＝4m+9≥0，解得：m≥﹣ ，
即m的取值范围是m≥﹣ ；
（2）∵x +x ＝﹣（2m+1），x x ＝m2﹣2，
1 2 1 2
∴（x ﹣x ）2＝（x +x ）2﹣4x x ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2﹣2）＝4m+9，
1 2 1 2 1 2
∵（x ﹣x ）2+m2＝21，
1 2
∴4m+9+m2＝21，即m2+4m﹣12＝0，
解得m＝﹣6或m＝2．
∵m≥﹣ ，
∴m＝2．
故m的值为2．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案；
（2）直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴a2＝b2+c2，
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k＝ ，由b+c＝2+k＝2+ （不可能取负数），
故△ABC的周长C＝5+ ．
