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专题 21.3 根的判别式【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】.........................................................................................1
【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】.............................................................................................3
【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】.........................................................................................5
【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】.....................................................................................................8
【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】...............................................................................................10
【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】...........................................................................13
【题型7 根的判别式与三角形的综合】................................................................................................................16
【题型8 根的判别式与四边形的综合】................................................................................................................20
【题型9 关于根的判别式的多结论问题】...........................................................................................................23
【题型10 关于根的判别式的新定义问题】...........................................................................................................27
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2-4ac．
①当∆=b2-4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2-4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】
【例1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． x2-2x+1=0 B． x2+1=0 C． x2-2x-3=0 D． x2-2x=0
【答案】A
【分析】根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式Δ=b2-4ac可求出各方程的根的判别式Δ的值，根
据当Δ=0时，方程有两个相等的实数根即可得出结论．
【详解】解：A．∵a=1，b=-2，c=1，
∴Δ=b2-4ac=(-2) 2-4×1×1=0，
∴方程有两个相等实数根，故选项符合题意；
B．∵a=1，b=0，c=1，∴Δ=b2-4ac=02-4×1×1=0-4<0，
∴方程无实数根，故选项不符合题意；
C．∵a=1，b=-2，c=-3，
∴Δ=b2-4ac=(-2) 2-4×1×(-3)=16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，故选项不符合题意；
D．∵a=1，b=-2，c=0，
∴Δ=b2-4ac=(-2) 2-4×1×0=4>0，
∴方程有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当
Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）一元二次方程 x2-2√2x+2=0 的实数根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法判断1
【答案】B
【详解】试题解析：∵Δ=b2-4ac=8-8=0，
∴方程有两个相等的实数根；
故选B.
【变式1-2】（2023春·江西·九年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2=4 D．x2+x-2=0
【分析】根据一元二次方程的系数及根的判别式，逐一求出选项中一元二次方程的根的判别式△的值，△
＜0的选项即为答案.
【详解】解：A选项：∵△=02－4×1×1=－4＜0，
∴方程x2+1=0没有实数根，
∴A选项符合题意.
B选项：∵△=22－4×1×1=0，
∴方程x2+2x+1=0有两个相等实数根，
∴B选项不符合题意.
C选项：∵△=02－4×1×（－4）=16＞0，
∴方程x2=4有两个不相等实数根，
∴C选项不符合题意.D选项：∵△=12－4×1×（－2）=9＞0，
∴方程x2+x-2=0有两个不相等实数根，
∴D选项不符合题意.
故答案选：A
【点睛】本题考查了根的判别式，熟记“当△＜0，一元二次方程没有实数根”是解题的关键.
【变式1-3】（2023春·上海长宁·九年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（
）
A．x2+2x+3=0 B．√4x+1+1=0
x 1
C． = D．x3+8=0
x-1 x-1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可判断A；根据二次根式有意义的条件，即可判断B；根据分
式有意义的条件，即可判断C；根据立方根的定义，即可判断D．
【详解】解：A、∵Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0，∴该方程无实数根，不符合题意；
B、移项，得：√4x+1=-1，∵√4x+1≥0，∴该方程无实数根，不符合题意；
C、去分母，得：x=1，当x=1时，x-1=0，∴该方程无实数根，不符合题意；
D、移项，得：x3=-8，解得：x=-2，∴该方程有实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；立方根
的定义；解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用．
【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】
【例2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）已知关于x的方程ax2-(1-a)x-1=0，下列说法正确的
是（ ）
A．当a=0时，方程无实数解 B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解
C．当a=-1时，方程有两个不相等的实数解 D．当a=-1时，方程有两个相等的实数解
【答案】D
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式分析求出即可．
【详解】解：A、当a=0时，方程为x-1=0，
解得x=1，
故当a=0时，方程有一个实数根，故A不符合题意；B、当a≠0时，关于x的方程ax2-(1-a)x-1=0为一元二次方程，
∴ Δ=(1-a) 2+4a=(1+a) 2≥0，
∴当a≠0时，方程有相等的实数根，故B不符合题意，
CD、当a=-1时，关于x的方程为-x2+2x-1=0为一元二次方程，
∵ Δ=4-4=0，
∴当a=-1时，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键．
【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根
的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为5
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的判别式即可得到答案．
【详解】解：关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的判别式为25-4ac，
∵a、c互为相反数
∴ac<0
∴25-4ac>0．
故选：A．
【点睛】本题考查从根的判别式判断方程根的情况，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式2-2】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x
的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
【答案】方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根，理由见解析
【分析】首先根据已知方程无实根可得Δ<0，可求出m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的
1
取值范围确定新方程判别式Δ 的情况，进而得出新方程根的情况即可.
2
【详解】∵x2－2x－m＝0没有实数根，
∴Δ＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.
1
对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，
Δ＝(2m)2－4m(m＋1)＝－4m>4，
2
∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相
等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【变式2-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2-5x+c=0，
当c=t 时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t 的基础上增大，则此时方程根的情况是（ ）
0 0
A．没有实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．一个实数根
【答案】A
25 25
【分析】先求解t = ，再判断当c=t>t = ，方程x2-5x+t=0的根的判别式的值的情况，从而可得
0 4 0 4
答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-5x+c=0，当c=t 时，方程有两个相等的实数根，
0
∴x2-5x+t =0有两个相等的实数根，
0
∴△=(-5) 2-4t =0，
0
25
解得：t = ，
0 4
25
当c=t>t = ，方程化为x2-5x+t=0，
0 4
∴△=(-5) 2-4t=25-4t，
25
由t> ，则4t>25，
4
∴25-4t<0，
∴此时方程没有实数根．
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式的含义是解本题的关键．
【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（2023春·浙江舟山·九年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式
x2-3x+c与代数式x+2值相等，则c的取值范围是 ．
【答案】c<6
【分析】根据题意可得方程x2-3x+c=x+2有两个不相等的根，即判别式Δ>0，即可求解．
【详解】解：由题意得，方程x2-3x+c=x+2有两个不相等的根，x2-3x+c=x+2整理得x2-4x+c-2=0，
∴Δ=(-4) 2-4×1×(c-2)>0，
解得：c<6，
故答案为：c<6．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系是解
题的关键．
【变式3-1】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2-3x+1=0
无实数解，则m取到的最小正整数值是 ．
【答案】3
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程mx2-3x+1=0无实数解，
当m=0时，原方程为一元一次方程，有解，
当m≠0时，原方程为一元二次方程，
∴Δ=b2-4ac=9-4m<0，
9
解得：m> ，
4
∴则m取到的最小正整数值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式
的意义是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0．
(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．
【答案】(1)m<1
(2)x=3或x=1
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）首先根据m<1且m为非负整数，可求得m=0，再解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=[2(m-2)] 2 -4×1×(m2-3m+3)>0，解得m<1，
故m的取值范围为m<1；
（2）解：∵关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有实数根，
∴Δ=[2(m-2)] 2 -4×1×(m2-3m+3)≥0，
解得m≤1，
∵m为非负整数，
∴m=0或m=1，
当m=0时，原方程化为x2-4x+3=0，
解得x =3，x =1；
1 2
当m=1时，原方程化为x2-2x+1=0，
解得x =x =1，
3 4
所以，原方程的解为x=3或x=1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是
解决本题的关键．
【变式3-3】（2023春·北京平谷·九年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2-2ax+b+1=0（ab≠0）有
两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（ ）
k k k k
A．若﹣1＜a＜0，则 > B．若 > ，则0＜a＜1
a b a b
k k k k
C．若0＜a＜1，则 < D．若 < ，则-1＜a＜0
a b a b
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结
合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，
∴ Δ=(-2a) 2-4a(b+1)=0，
4a2-4ab-4a=0，
又∵ab≠0，
∴a-b-1=0，即a=b+1，
∴ax2-2ax+a=0，
解得：x=x=1，
1 2∴k=1，
k k 1 1 1
- = - =-
a b a a-1 a(a-1)
k k k k
当 > 时，即 - >0，
a b a b
1
即- >0，
a(a-1)
∴a（a-1）<0，
即¿或¿
解得00，
即¿或¿
解得：a>1或a<0．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是
解题关键．
【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】
【例4】（2023春·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)10
∴方程总有两个实数根；（2）解：方程x2-2mx+m2-1=0
由（1）得Δ=4
-(-2m)±√4
∴x= =m±1，∴x =m+1，x =m-1，
2×1 1 2
∵方程的一根大于2，一根小于1，m+1>m-1
∴¿
∴10，即 >0，
△
∴不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方
程无实数根．
【变式4-2】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2-3x+2=m(x-1)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．
【答案】(1)见详解
(2)1或-3
【分析】（1）将方程化为一般形式，计算判别式即可；
（2）由因式分解法求出方程的解，根据两个根的差是2方程即可求出m．（1）证明：x2-(m+3)x+m+2=0，∵ =(m+3) 2-4(m+2)=(m+1) 2≥0，∴方程总有两个实数根；
∆
（2）解：x2-(m+3)x+m+2=0，∴（x-1）（x-m-2）=0，∴x=1，x=m+2，∵方程两个根的差是2，∴
1 2
若m+2-1=2，则m=1；若1-(m+2)=2，则m=-3．∴实数m的值为1或-3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式得到方程的根的情况，解一元二次方程，正确掌握一元二次
方程的知识是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
【答案】(1)见解析
(2)1或2或3
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ=（m-6）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到x=m-4，x=2，则m-4＜0，从而得到正整数m的值．
1 2
【详解】（1）解：证明：∵Δ=（m-2）2-4（2m-8）
=m2-12m+36
=（m-6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
-b±√b2-4ac m-2±|m-6|
（2）x= = ，
2a 2
∴x=m-4，x=2，
1 2
∵方程有一个根是负整数，
∴m-4＜0，
∴正整数m的值为1或2或3．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2-2x+3m=0有实数根，设此
方程的一个实数根为t，令y=t2-2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【答案】y≤4
【分析】由一元二次方程根的判别式先求解m≤3，根据一元二次方程的解的定义得出t2-2t=3m代入代数式，进而即可求解．
【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程x2-2x+3m=0有实数根，
∴△=b2-4ac=4-12m≥0，
解得：m≤3，
设此方程的一个实数根为t，
∴t2-2t=-3m
∴ y=t2-2t+4m+1
=-3m+4m+1
=m+1
∵m≤3
∴m+1≤4 即y≤4
故答案为：y≤4．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用
一元二次方程根的判别式是解本题的关键．
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相
等的实数根x，则下列关于2ax +b的值判断正确的是（ ）
0 0
A．2ax +b>0 B．2ax +b=0 C．2ax +b<0 D．2ax +b≤0
0 0 0 0
【答案】B
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出这个根，即可得到结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x ，
0
-b
∴b2-4ac=0，且x = ，
0 2a
-b
则2ax +b=2a⋅ +b=-b+b=0．
0 2a
故选：B．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知实数m,n满足m2-mn+n2=3，设P=m2+mn-n2，
则P的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由原式得，P=2m2-3．将m2-mn+n2=3看成关于n的一元二次方程，根据方程有实数解，所以，可得 ，进而得出结论．
Δ=m2-4(m2-3)≥0 m2≤4
【详解】解：将两个等式相加得：P+3=2m2，则P=2m2-3．
要求P的最大值，只需求出m2的最大值．
将m2-mn+n2=3看成关于n的一元二次方程，整理得：n2-mn+m2-3=0．
根据方程有实数解，所以Δ=m2-4(m2-3)≥0．
可得m2≤4，即m2的最大值为4．
所以当m2=4时，P的最大值为5．
故选：C
【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次
方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相
等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2-8b+3m+2，则（ ）
A．y>1 B．y≥1 C．y≤1 D．y<1
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到m<1，再根据一元二次方程解的定义求出4b2-8b=-4m，
进而推出y=-m+2，由此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2) 2-4m>0，
∴m<1，
∵此方程的一个实数根为b，
∴b2-2b+m=0，
∴b2-2b=-m，
∴4b2-8b=-4m，
∴y=4b2-8b+3m+2=-4m+3m+2=-m+2，
∵m<1，即-m>-1
∴y=-m+2>1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程解的定义，对于一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2-4ac<0，则方程没有实数根．
【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例6】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x≤4，
关于x的一元二次方程(a-1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】5
【分析】先求出不等式组中不等式的解集，根据不等式组的解集求出a的范围，再根据根的判别式得出
Δ>0，求出a的范围，最后取符合条件的整数a即可．
3x+8
【详解】解：解不等式 ≤x+6得：x≤4，
2
解不等式3x+a>4x-5得：x4，解得a>-1，
∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+3x+1=0有实数根，
∴Δ=32-4(a-1)≥0，a-1≠0，
13
解得a≤ 且a≠1，
4
1
综上所述，-10，则kb<0，然后根据一次函数的性质对各选项进行判
断．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22-4(kb+1)>0，
∴kb<0，
当k>0，b<0时，一次函数经过第一、三、四象限；
当k<0，b>0时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数根的判别式，一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握
Δ=b2-4ac>0，则方程有两根不相等的实数根；Δ=b2-4ac=0，则方程有两根相等的实数根；
Δ=b2-4ac<0，则方程有没有实数根．
【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个实数根，且使
x a+2
关于x的分式方程 + =2的解为非负数的所有整数a的个数为（ ）
x-4 4-x
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的情况得到a≠0且Δ=22-4a·(-1)≥0解得：a≥-1且a≠0，再把分式方程
化简求值得：x=-a+6，因为解为非负数，-a+6≥0且-a+6≠4即a≤6且a≠2，所以-1≤a≤6且
a≠0,a≠2，即可得出满足题意的整数解．
【详解】解：关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个实数根
则¿
∴a≥-1且a≠0
x a+2
关于x的分式方程 + =2
x-4 4-x
去分母得：x-(a+2)=2(x-4)解得：x=-a+6
∵分式方程的解为非负数
∴-a+6≥0且-a+6≠4即a≤6且a≠2
∴-1≤a≤6且a≠0,a≠2
∴满足题意的整数a的值为-1,1,3,4,5,6
故答案为：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意
义，这是此题的易错点．
a+b 4
【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足 = ，则a+b的
a2+ab+b2 49
值为（ ）
A．4 B．10 C．12 D．16
【答案】D
【分析】将已知方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出k的取值范围，再代入方程即可求解．
a+b 4
【详解】解： = 变形得，49(a+b)=4(a2+ab+b2 )，
a2+ab+b2 49
∵a，b为正整数，
∴存在正整数k，使得a+b=4k①，
∴a2+ab+b2=49k，即(a+b) 2-ab=49k，
∴ab=(a+b) 2-49k=16k2-49k②，
设a，b关于x的方程为x2-4kx+(16k2-49k)=0③，方程有两个正整数解，
∴Δ=16k2-4(16k2-49k)≥0，
49
∴0≤k≤ ，
12
∵k为正整数，
∴k的值为1,2,3,4，可证k为1,2,3时方程③无正整数根，
∴当k=4时，方程x2-4kx+(16k2-49k)=0得，x2-16x+60=0，解得，x =10，x =6，
1 2
∴a+b=4k=4×4=16，
故选：D．【点睛】本题主要考查将分式转化为一元二次方程方程，根据根的情况解一元二次方程的参数，再代入计
算，掌握以上相关知识的运用是解题的关键．
【题型7 根的判别式与三角形的综合】
【例7】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-2bx+(a-c)=0，其
中分别a、b、c是△ABC的边长．
(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；
(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．
【答案】(1)△ABC是直角三角形
(2)x =0，x =1
1 2
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，可得Δ=0，代入化简即可；
（2）根据△ABC是等边三角形，可得a=b=c，将原方程化简求解即可．
【详解】（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴(-2b) 2-4(a+c)(a-c)=0，
∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）当△ABC是等边三角形，
∴(a+c)x2-2bx+(a-c)=0，
可整理为：2ax2-2ax=0，
∴x2-x=0，
∴x(x-1)=0，
解得：x =0，x =1．
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元一次方程，勾股定理，熟知关于x的一元二次方
程ax2+bx+c=0(a≠0)：若Δ>0，方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，方程有两个相等的实数根；若
Δ<0，方程没有实数根；是解本题的关键．
【变式7-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；
②若△ABC是等腰三角形，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)①△ABC是直角三角形，理由见解析；②k的值为4或5
【分析】（1）先计算出Δ=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）①k=3代入方程，解方程求得AB=3,AC=4，然后利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角
三角形；②把x=5代入方程，求得k的值，然后判断即可．
【详解】（1）证明：∵Δ=[-(2k+1)] 2 -4(k2+k)=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：①k=3时，方程为x2-7x+12=0，
解得x =3,x =4，
1 2
∴AB=3,AC=4，
∵BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵Δ=1>0，
∴AB≠AC，
∴AB,AC中有一个数为5．
当x=5时，原方程为：25-5(2k+1)+k2+k=0，
即k2-9k+20=0，
解得：k =4,k =5．
1 2
当k=4时，原方程为x2-9x+20=0．
∴x =4,x =5．
1 2
由三角形的三边关系，得4、5、5能围成等腰三角形，
∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为x2-11x+30=0，
解得：x =5,x =6．
1 2
由三角形的三边关系，得5、5、6能围成等腰三角形，
∴k=5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当
Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当
Δ=b2-4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．也考查了三角形三边的关系以及直角三角形和等腰三
角形．
【变式7-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0．
(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．
【答案】(1)m=4
(2)见解析
(3)√35
【分析】（1）把x=3代入求解即可；
（2）求出判别式的符号，即可得证；
（3）根据等腰三角形两腰相等，得到方程有一个根为6，代入方程，求出m的值，进而求出另外一个根，
据此即可得解．
【详解】（1）解：当x=3时，方程为9-3(m+1)+2(m-1)=0，
整理得-m+4=0，
解得m=4；
2
（2）证明：∵Δ=[-(m+1)] -4×2(m-1)
=m2-6m+9
=(m-3) 2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（3）解：∵等腰△ABC的一腰长a=6，
∴方程有一个根为6，
将x=6代入原方程，得：36-6(m+1)+2(m-1)=0，
解得：m=7，
∴原方程为x2-8x+12=0，
解得：x =2，x =6．
1 2
∵2、6、6能组成三角形，不妨设AB=AC=6，则BC=2，
1
作AD⊥BC于D，则BD=DC= BC=1，
2
∴AD=√62-12=√35，
1
∴该三角形的面积为 ×2×√35=√35．
2
故答案为：√35．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及等腰三角形的定义，一元二次方程的解，
解一元二次方程．熟练掌握相关知识，是解题的关键．
【变式7-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程
x2-(m+5)x+5m=0．
(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)m的值为：√61或√11．
【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac≥0；
（2）把原方程因式分解，求出方程的两个根，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题．
【详解】（1）解：∵x2-(m+5)x+5m=0，
∴b2-4ac=[-(m+5)] 2 -4×5m=m2-10m+25=(m-5) 2≥0，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）原方程可变为(x-5)(x-m)=0，
则方程的两根为x =a=m，x =b=5，
1 2∴直角三角形三边为6，5，m；
∴10时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当
b2-4ac<0时，方程没有实数根．
1
【变式8-3】（2023春·广东佛山·九年级校考期中）关于x的一元二次方程
x2-mx+2m-1=0的两个根
4
是平行四边形ABCD的两邻边长．
(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．
(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．
【答案】(1)2√10
(2)8
【分析】（1）由m=2可以求出方程的两个根，再由矩形性质即可求值；
（2）由菱形邻边相等得到方程有两等根，再由判别式求值即可．
1
【详解】（1）解：当m=2时， x2-2x+3=0
4
整理得：(x-2)(x-6)=0
∴x =2,x =6
1 2
∵四边形ABCD为矩形
∴矩形的对角线长为√x 2+x 2=√22+62=2√10．
1 2
（2）解：∵四边形ABCD为菱形
1
∴关于x的一元二次方程
x2-mx+2m-1=0有两相等的根
4
1
∴Δ=m2-4× (2m-1)=0
4
解得：m=1
1
此时原方程为
x2-x+1=0
4
∴x =x =2
1 2
∴菱形周长为2×4=8．
【点睛】本题考查一元二次方程与四边形综合，解题的关键是熟练解方程并理解矩形和菱形的性质．
【题型9 关于根的判别式的多结论问题】
【例9】（2023春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程
kx2-(2k-3)x+k-2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②k=0时，方程只有一个实数根；③9
k≤ 且k≠0时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是
4
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用根的判别式，可得出Δ=9-4k，进而根据各选项的情况得出结论．
【详解】解：关于x的方程kx2-(2k-3)x+k-2=0，
2
Δ=[-(2k-3)] -4k(k-2)=9-4k，
2
当k=0时，关于x的方程为3x-2=0，则x= ，
3
方程只有一个实数根，故②说法正确；
9 9
当9-4k≥0，解得k≤ ，则k≤ 且k≠0时，方程有两个实数根，故③说法正确，①④说法错误；
4 4
综上，上述说法正确的是②③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2-bx+b-a=0的实数根．
下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t-1；③b是此方程的根；④此
方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的定义求出b=a，以及根的判别式判断根的情况，进一步可得结论．
【详解】解：∵a(a>1)是关于x的方程x2-bx+b-a=0的实数根，
∴a2-ab+b-a=0，
整理得，(a-1)(a-b)=0
∵a>1，
∴a-1>0，
∴a-b=0，即b=a；
①Δ=b2-4×1×(b-a)=a2-4×1×(a-a)=a2>1，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；
②∵b=a，∴当a=t+1时，一定有b=t+1，故②说法错误；
③∵a(a>1)是关于x的方程x2-bx+b-a=0的实数根．且b=a，
∴b也是关于x的方程x2-bx+b-a=0的实数根．故③说法正确；
④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误；
所以，正确的结论是①③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式
判断根的情况是解答本题的关键．
【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若
b2-4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得
am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程(x+2)(x-3)=0的解相同，则
4a-2b+c=-2，以上说法正确的是 ．
【答案】 /③①
【分析】①根据③根的判别式判断①；根据一元二次方程ax2+bx+c=k (k为常数)最多有两个解判断②；将方
程(x+2)(x-3)=0的解代入ax2+bx+c+2=0即可判断③．
【详解】解：①∵Δ=b2-4ac=0
∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．
∴①正确：
②∵一元二次方程ax2+bx+c=k(k为常数)最多有两个解，
∴②错误；
③方程(x+2)(x-3)=0的解为x =-2，x =3，
1 2
将x=-2代入ax2+bx+c+2=0得a⋅(-2) 2+b⋅(-2)+c+2=0，
∴4a-2b+c=-2，
∴③正确．
综上，正确的有①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个
不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程
的解．
【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，
①若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解；
②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；
③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；
④若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1．
以上说法中正确的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】A
【分析】若x=1是方程甲的解，则可得出a=-b，根据判别式的意义可对①进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于4a2-4b2=0，根据判别式的意义可对②进行判断；
由方程甲有两个不相等的实数解可知于4a2-4b2<0，根据判别式的意义可对③进行判断；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，则解方程组求得n =n =1，可对④进行判断．
1 2
【详解】解：若x=1是方程甲的解，所以a+2b+a=0，即a=-b，
则方程乙：bx2+2ax+b=0变为bx2-2bx+b=0，
解得x =x =1，
1 2
所以x=1也是方程乙的解，故①正确；
若方程甲有两个相等的实数解，则Δ=(2b) 2-4a⋅a=0，
解得4b2=4a2，
所以4a2-4b2=0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，Δ=(2a) 2-4b⋅b=4a2-4b2=0，
所以方程乙有两相等实数解，故②正确；
若方程甲有两个不相等的实数解，则Δ=(2b) 2-4a⋅a>0，
解得4b2>4a2，
所以4a2-4b2<0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，Δ=(2a) 2-4b⋅b=4a2-4b2<0，
所以方程乙没有实数解，故③不正确；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以¿，
①-②得(a-b)n2-2(a-b)n+(a-b)=0，∵a≠b，
∴n2-2n+1=0，
解得n =n =1，故④不正确；
1 2
综上分析可知，正确的是①②，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个
不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程
解的定义．
【题型10 关于根的判别式的新定义问题】
【例10】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”； a*b=¿，关于x的方
程(2x)*(x-1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【答案】-3t>-3
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于x的一元二次方程，再由关于x的方程
(2x)*(x-1)=t+3恰好有三个实数根，得到关于x的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确
定t的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：
当2x≤x-1时，即x≤-1时，有(2x) 2-2x(x-1)=t+3，
-1±√2t+7
即：2x2+2x-t-3=0(x≤-1)，其根为：x= 是负数，
2
当2x>x-1时，即x>-1，时，有(x-1) 2-2x(x-1)=t+3，
即：x2=-t-2(x>-1)，
要使关于x的方程(2x)*(x-1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则x2=-t-2(x>-1)和
2x2+2x-t-3=0(x≤-1)都必须有解，
∴¿，
7
∴- ≤t≤-2，
2
（1）当-t-2=0时，即t=-2时，方程x2=-t-2(x>-1)只有一个根x=0，
∵当t=-2时，√2t+7=√3，
-1+√3 -1-√3
∴ >0， <-1，
2 2∴此时方程2x2+2x-t-3=0(x≤-1)只有一个根符合题意，
∴t=-2不符合题意；
（2）当-3-1)的两个根-10， <-1，
2 2
∴方程2x2+2x-t-3=0(x≤-1)只有一个根符合题意，
∴当-3-1)的一个根≥1，另外一个根≤-1，
t
∴此时方程x2=-t-2(x>-1)只有一个根符合题意，
1 -1+√2t+7 -1-√2t+7 1
∵- ≤ ≤0，-1≤ <- ，
2 2 2 2
7
∴当- ≤t≤-3时，方程2x2+2x-t-3=0(x≤-1)最多有一个根符合题意，
t
7
∴当- ≤t≤-3时(2x)*(x-1)=t+3不可能有三个不相等的实根；
t
综上分析可知，t的取值范围是-30，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=b2-4ac=0，则方程有
两个相等的实数根；若Δ=b2-4ac<0，则方程没有实数根．
【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·九年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知
ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=b-c B．a=b C．b=c D．a=c
【答案】D
【分析】已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，则有a+b+c=0，方程有两个相等的实数根，则有
Δ=b2-4ac=0，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，a+b+c=0，且b2-4ac=0，
∴b=-a-c，b2-4ac=(-a-c) 2-4ac=(a-c) 2=0，
∴a=c，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根，根据“凤凰”方程的定义和方程有两个相等的实根可找出系数间
的关系是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有
[m，p]※[q，n]=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：
[2，3]※[4，5]=2×5+3×4=22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5-2k，k]=0：有两个实数根，则
k的取值范围是 ．
5
【答案】k≤ 且k≠0
4
【分析】由新定义的运算法则可得出关于x的方程为kx2+(5-2k)x+k=0，由该方程有两个实数根得出其为一元二次方程，且Δ=b2-4ac≥0，即(5-2k) 2-4k2≥0且k≠0，解出k的解集即可．
【详解】由新定义的运算法则可得出：
[x2+1，x]※[5-2k，k]=k(x2+1)+(5-2k)x=kx2+(5-2k)x+k．
∵[x2+1，x]※[5-2k，k]=0，
∴kx2+(5-2k)x+k=0．
∵该方程有两个实数根，
∴Δ=b2-4ac=(5-2k) 2-4k2≥0且k≠0，
5
∴k≤ 且k≠0．
4
5
故答案为：k≤ 且k≠0．
4
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握
一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数
根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
