文档内容
第 49 讲 直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理
知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂
直．
知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线
与一个平面内
的两条相交直
判断定理
线都垂直，则
该直线与此平
面垂直
两个平面
垂直，则在一 _
面⊥面⇒ 个平面内垂直
线⊥面 于交线的直线 _a
与另一个平面
垂直
_
一条直线
与两平行平面
平行与垂 中的一个平面
直的关系 垂直，则该直
线与另一个平
面也垂直
_a _b
两平行直
线中有一条与
平行与垂
平面垂直，则
直的关系
另一条直线与
该平面也垂直
知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
_a _b
垂直于同一
性质定理 平面的两条直线
平行
文字语
图形语言 符号语言
言_
垂 直 于
垂直与平 同一直线的
行的关系 两个平面平
行
如 果 一
条直线垂直
于 一 个 平
线垂直于
面，则该直
面的性质
线与平面内
所有直线都
垂直
知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的
两 条 交 线 互 相 垂 直 ． （ 如 图 所 示 ， 若 ， 且
，则 ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂
直．
知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过
另一个平面的垂
_
线，则这两个平
面垂直
知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言性质定理 两 个 平 面 垂
直，则一个平面内
垂直于交线的直线 _
与另一个平面垂直
_a
【解题方法总结】
判定定理 判定定理
线线 性质定理 线面 性质定理 面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质 ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ ）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（ ）；
③面面垂直的性质（ ）；
平行线垂直平面的传递性（ ）；
⑤面面垂直的性质（ ）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（ ）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关
系中处于核心位置．线∥面
判定 判定
性质 判定 性质
线∥线 面∥面
性质
判定 判定
线⊥线 线⊥面 面⊥面
性质 性质
必考题型全归纳
题型一：垂直性质的简单判定
例1．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，
则下列说法正确的是（）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
例2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线， ， ， 表示不同的
平面，则下列四个命题正确的是（）
A．若 ，且 ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ， ， ，则
例3．（2024·陕西咸阳·统考二模）已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平
面，有以下四个命题：
①若 ∥ ， ，则 ∥ ， ②若 ， ，则 ，③若 ， ，则 ∥ ， ④若 ， ， ，则
其中正确的命题是（）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
变式1．（2024·河南·校联考模拟预测）已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直
线，则下列命题中正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
变式2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形 中，
对角线 交于点 ，将 沿 折到 位置，使平面 平面 .以
下命题:
① ；
②平面 平面 ；
③平面 平面 ；
④三棱锥 体积为 .
其中正确命题序号为（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④
变式3．（2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线， ，
是不同的平面，则下列条件中能推出 的是（）
A． ， ，且B． ， ， ，且 ，
C． ， ， ，且
D． ， ，且
【解题方法总结】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
题型二：证明线线垂直
例4．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，
， ．
(1) 证明： ；
例5．（2024·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 ，点 是 的中点.(1) 证明： ；
例6．（2024·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱 中，
是 的中点， 是线段 上一点.
(1) 求证： ；
变式4．（2024·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆
组成的平面图形， ， ， ．E是半圆上的一个动点，
当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面 平面ABCD，此时的点E到达
点P的位置，如图2．(1) 求证： ；
变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱 中， ，
， ， 是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求棱锥 的体
积.
变式6．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形 中， ， ，
， ，如图1.沿对角线 将 折起，使点 到达点 的位置，
为 的中点，如图2.
(1) 证明： .【解题方法总结】
题型三：证明线面垂直
(1)求证： 平面 ；
(2)求四棱锥 的体积.
例7．（2024·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，已知
， .(1)证明： 平面 ；
例8．（2024·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面ABD，
E为AB的中点， ， .
(1)证明： 平面CED；
例9．（2024·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形 中，四边形
为正方形， ， ，如图2，将 沿 折起，使得A至 处，且
．(1)证明： 平面 ；
变式7．（2024·重庆巴南·统考一模）如图所示，在三棱锥 中，已知 平面
，平面 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
变式8．（2024·广东广州·统考三模）如图，在几何体 中，矩形 所在平面
与平面 互相垂直，且 ， ， ．(1)求证： 平面 ；
变式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱
中，平面 平面 ， 是 的中点，且
.
(1)证明： 平面 ；
【解题方法总结】
垂直关系中线面垂直是重点．①垂直两条相交线；
②垂直里面作垂线；
线垂面哪里找 ③直（正）棱柱的侧棱是垂线；
④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.
①垂直面里所有线（证线线垂直）；
线垂面有何用
②过垂线作垂面（证面面垂直）.
证明线面垂直常用两种方法．
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么
．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ．
题型四：证明面面垂直
例10．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱 中，
侧面 为菱形， ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
例11．（2024·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， .
(1)求证：平面 平面 ；
例12．（2024·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形 与 ，
， ， ，AD⊥AB， ，G是线段
上一点.
(1)平面 ⊥平面ABF
变式10．（2024·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体 中， 平面 ，
点 在平面 的投影在线段 上 ， ， ， ，
平面 .(1)证明：平面 平面 .
变式11．（2024·河北张家口·统考三模）如图，在三棱柱 中，侧面 为
菱形， .
(1)证明：平面 平面 ；
变式12．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体
中， 为棱 的中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)画出平面 与平面 的交线，并说明理由；
(3)求过 三点的平面 将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．
变式13．（2024·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图， 为圆锥的顶点，A， 为底面
圆 上两点， ， 为 中点，点 在线段 上，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
变式14．（2024·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中，与 均是等边三角形，直线 平面 ，直线 平面 ， .
(1)求证：平面 平面 ；
【解题方法总结】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现
有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
题型五：垂直关系的综合应用
例13．（2024·贵州铜仁·统考二模）如图，在直三棱柱 中， ，
．
(1)试在平面 内确定一点H，使得 平面 ，并写出证明过程；例14．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正三棱柱 （侧棱垂直于底面，
且底面三角形 是等边三角形）中， ， 、 、 分别是 ， ， 的
中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 使 平面 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，
也请说明理由．
例15．（2024·天津·耀华中学校考二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD
上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝ ，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．
（1）求证：AD⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．
变式15．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正方体 中，
， .
（1）求证： ；
（2）在线段 上，是否存在点 ，使得 平面 ？并说明理由.
变式16．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面
是矩形，侧面 是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线
段 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的位置，
并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
变式17．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥 的底面是平行四边形，
侧面PAB是等边三角形， ， ， ．
(1)求证：面 面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且 平面BEQF，是
否存在点Q，使得平面 平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理
由．变式18．（2024·河北邯郸·统考二模）如图，直三棱柱ABCABC 中，D，E分别是棱
1 1 1
BC，AB的中点，点F在棱CC 上，已知AB＝AC，AA＝3，BC＝CF＝2．
1 1
（1）求证：C E 平面ADF；
1
（2）设点M在棱BB 上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF．
1
【解题方法总结】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系
的相关定理、性质进行推理论证
