第49讲直线、平面垂直的判定与性质_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第49讲 直线、平面垂直的判定与性质 知识梳理 知识点1：直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂 直． 知识点2：判定定理(文字语言、图形语言、符号语言) 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一 a,b⊂α 个平面内的两条相 a⊥l 判断定理 交直线都垂直，则 b⊥l 该直线与此平面垂 a∩b=P 直  ⇒l⊥α 两个平面垂 直，则在一个平面 α⊥β 面 ⊥ 面 ⇒ 线 α∩β=a 内垂直于交线的直 ⊥面 b⊂β 线与另一个平面垂 b⊥a 直  ⇒b⊥α 一条直线与两 平行平面中的一个 平行与垂直的 α⎳β 平面垂直，则该直 关系 a⊥α 线与另一个平面也 垂直  ⇒a⊥β 两平行直线中 平行与垂直的 有一条与平面垂 a⎳b 关系 直，则另一条直线 a⊥α 与该平面也垂直  ⇒b⊥α 知识点3：性质定理(文字语言、图形语言、符号语言) 文字语言 图形语言 符号语言 a⎳α 垂直于同一平面的两条 性质定理 a⊂β 直线平行 α∩β=b  ⇒a⎳b 文字语言 图形语言 符号语言 垂直与平行的 垂直于同一直线的 a⊥α 关系 两个平面平行 a⊥β  ⇒α⎳β 线垂直于面的 如果一条直线垂直 l⊥α,a⊂α⇒l⊥a 性质 于一个平面，则该直线与 第 页 共 页 1369 3427平面内所有直线都垂直 知识点4：平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两 条交线互相垂直．(如图所示，若α∩β=CD,CD⊥γ，且α∩γ=AB,β∩γ=BE,AB⊥ BE，则α⊥β) 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 知识点5：判定定理(文字语言、图形语言、符号语言) 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过 b⊥α b⊂β 另一个平面的垂 线，则这两个平面 垂直  ⇒α⊥β 知识点6：性质定理(文字语言、图形语言、符号语言) 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直， α⊥β α∩β=a 则一个平面内垂直 b⊂β 于交线的直线与另 b⊥a 一个平面垂直  ⇒b⊥α 【解题方法总结】 判定定理 判定定理 线⊥线 线⊥面 面⊥面 性质定理 性质定理 (1)证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； 第 页 共 页 1370 3427④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质(a⊥α,b⊂α⇒a⊥b)； ⑦平行线垂直直线的传递性(a⊥c,a⎳b⇒b⊥c)． (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定(a⊥b,a⊥c,c⊂α,b⊂α,b∩c=P⇒a⊥α)； ③面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=b,a⊥b,a⊂α⇒a⊥β)； 平行线垂直平面的传递性(a⊥α,b⎳a⇒b⊥α)； ⑤面面垂直的性质(α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l⇒l⊥γ)． (3)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)． 空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中 处于核心位置． 必考题型全归纳 1 题型一：垂直性质的简单判定 2360 (2024·甘肃兰州·校考模拟预测)设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则 下列说法正确的是 ( ) A.若m⊥n,n∥α，则m⊥α B.若m∥β,β⊥α，则m⊥α C.若m⊥n,n⊥β,β⊥α，则m⊥α D.若m⊥β,n⊥β,n⊥α，则m⊥α 【答案】D 【解析】当m⊥n，n⎳α时，可能有m⊥α，但也有可能m⎳α或m⊂α，故A选项错误； 当m⎳β，β⊥α时，可能有m⊥α，但也有可能m⎳α或m⊂α，故选项B错误； 在如图所示的正方体ABCD-ABCD 中， 1 1 1 1 取m为BC ，n为CC ，β为平面ABCD，α为平面ADDA ，这时满足m⊥n，n⊥β， 1 1 1 1 1 β⊥α，但m⊥α不成立，故选项C错误； 当m⊥β，n⊥β，n⊥α时，必有α⎳β，从而m⊥α，故选项D正确； 故选：D. 2361 (2024·重庆·统考模拟预测)已知l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则 下列四个命题正确的是 ( ) 第 页 共 页 1371 3427A.若l⎳α，且m⎳α，则l⊥m B.若α⊥β，m⎳α，n⊥β，则m⎳n C.若m⎳l，且m⊥α，则l⊥α D.若m⊥n，m⊥α，n⎳β，则α⊥β 【答案】C 【解析】对于选项A：若l⎳α，且m⎳α，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故 A错误； 对于选项B：若α⊥β，m⎳α，n⊥β，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故 B错误； 对于选项C：若m⎳l，且m⊥α，根据线面垂直可得：l⊥α，故C正确； 对于选项D：若m⊥n，m⊥α，但不能得到n⊥α， 所以虽然n⎳β，不能得到α⊥β，故D错误； 故选：C. 2362 (2024·陕西咸阳·统考二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以 下四个命题： ①若m∥n，n⊂α，则m∥α，②若m⊂α，m⊥β，则α⊥β， ③若m⊥α，m⊥β，则α∥β，④若α⊥β，m⊂α，n⊂α，则m⊥n 其中正确的命题是 ( ) A.②③ B.②④ C.①③ D.①② 【答案】A 【解析】对于①，当m∥n，n⊂α时，m∥α或m⊂α，所以①错误， 对于②，当m⊂α，m⊥β时，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，所以②正确， 对于③，当m⊥α，m⊥β时，有α∥β，所以③正确， 对于④，当α⊥β，m⊂α，n⊂α时，如图所示，m∥n，所以④错误， 故选：A 2363 (2024·河南·校联考模拟预测)已知α,β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则 下列命题中正确的是 ( ) A.若α⊥β,m⊥α,m⊥n，则n⊥β B.若α∥β,m⊂α,n⊂β，则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β，则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β，则α⊥β 【答案】D 【解析】对于A，可能会出现n∥β,n⊂β，或n与β相交但不垂直的情况，所以A不正确； 对于B，m,n可能平行、可能异面，所以B不正确； 对于C，若α∥β，仍然满足m⊂α,n⊂β且m⊥n，所以C不正确； 对于D，m⊥α,m⎳n，则n⊥α，再由n⎳β，可得α⊥β,可知D正确. 故选：D. 2364 (2024·陕西咸阳·统考模拟预测)如图所示的菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°,对角 线AC,BD交于点O，将△ABD沿BD折到△ABD位置，使平面ABD⊥平面BCD.以 第 页 共 页 1372 3427下命题: ①BD⊥AC； ②平面AOC⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面ACD； ④三棱锥A-BCD体积为1. 其中正确命题序号为 ( ) A.①②③ B.②③ C.③④ D.①②④ 【答案】D 【解析】如图： 因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， 所以AB=AD=BC=CD=BD，O为BD的中点， 所以BD⊥AO，BD⊥CO，AO∩CO=O，AO,CO⊂面AOC， 所以BD⊥面AOC，又AC⊂面AOC，所以BD⊥AC，即①正确； 由①知BD⊥面AOC，又BD⊂面BCD，所以平面AOC⊥平面BCD，即②正确； 如图： 取AC的中点为E，连接BE，DE，依题意，AB=BC=AD=CD， 所BE⊥AE，DE⊥AC，所以∠BED是二面角B-AC-D的平面角， 又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BD⊥AO 所以AO⊥面BCD，△ABD和△BCD是边长为2的正三角形， 所以AO=OC= 22-12= 3，且有AO⊥OC， 所以在Rt△AOC中，AC= 6， 又△ABC和△ADC是两全等的等腰三角形，AB=BC=AD=CD=2， 6 AC的中点为E，所以BE=DE= 22- 2  2 10 = ， 2 第 页 共 页 1373 3427由已知可得△BCD是边长为2的正三角形，得BD=2， 10 则在△BDE中，容易算得BD=2，BE=DE= ，BD2≠BE2+DE2， 2 所以∠BED≠90°，所以二面角B-AC-D不是直二面角，故③错误； 由已知可得△BCD是边长为2的正三角形，又由上得AO⊥面BCD， 所以三棱锥A-BCD的高即为AO，AO= 3，△BCD是边长为2的正三角形， 1 1 1 3 所以三棱锥A-BCD的体积为 S ⋅AO= × ×2×2× × 3=1，故④正 3 △BCD 3 2 2 确. 故选：D. 2365 (2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不 同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是 ( ) A.l⊂α，m⊂β，且l⊥m B.l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n C.m⊂α，n⊂β，m⎳n，且l⊥m D.l⊂α，l⎳m，且m⊥β 【答案】D 【解析】对于A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，α，β可以平行、相交不垂直、垂直，A不正确； 对于B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，当m,n不相交时，l不一定与β垂直，则α 不一定与β垂直，B不正确； 对于C，m⊂α，n⊂β，m⎳n，且l⊥m，显然直线l与α,β无关系，α，β可以平行、相交不 垂直、垂直，C不正确； 对于D，由l⎳m，m⊥β，得l⊥β，又l⊂α，根据面面垂直的判定知α⊥β，D正确． 故选：D 【解题方法总结】 此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除． 2 题型二：证明线线垂直 2366 (2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，AB= 1 1 1 BC，AB =BC． 1 1 (1)证明：AC⊥BB； 1 【解析】(1)取AC的中点D，连接BD，BD， 1 ∵AB=BC，AB =BC，∴AC⊥BD，AC⊥BD， 1 1 1 又BD∩BD=D，BD,BD⊂平面BBD，∴AC⊥平面BBD， 1 1 1 1 而BB ⊂平面BBD， 1 1 ∴AC⊥BB； 1 2367 (2024·广东深圳·统考二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥ 第 页 共 页 1374 3427平面ABCD,PA=AD= 2AB，点M是PD的中点. (1)证明：AM⊥PC； 【解析】(1)证明：因为PA=AD，点M是PD的中点，所以AM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD， 因为平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM， 因为PD∩CD=D，PD,CD⊂平面PCD， 所以AM⊥平面PCD， 因为PC⊂平面PCD，所以AM⊥PC. 2368 (2024·河南·校联考模拟预测)已知三棱柱ABC-ABC 中，AB=AC=2,AA=AB 1 1 1 1 1 =AC=2,∠BAC=90°,E是BC的中点，F是线段AC 上一点. 1 1 1 (1)求证：AB⊥EF； 【解析】(1)证明：连接AE,AE,EC 1 1 ∵∠BAC=90°，AB=AC=2，E是BC的中点 ∴AE⊥BC 1 ∴BC= 2AB=2 2,AE=BE=EC= BC= 2 2 ∵AA=AB=AC=2，E是BC的中点 1 1 1 ∴AE⊥BC，∴AE= AB2-BE2= 4-2= 2 1 1 1 ∴AA2=AE2+AE2，∴AE⊥AE 1 1 1 ∵AE∩BC=E,AE,BC⊂平面ABC ∴AE⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，AE⊥AB， 1 1 ∵在三棱柱ABC-ABC 中，AC ⎳AC， 1 1 1 1 1 第 页 共 页 1375 3427∵AB⊥AC，∴AB⊥AC ， 1 1 ∵AE∩AC =A ，AE,AC ⊂ACE 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴AB⊥平面ACE， 1 1 ∵EF⊂平面ACE，∴AB⊥EF． 1 1 2369 (2024·福建宁德·校考模拟预测)图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成 1 的平面图形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB= BC=1．E是半圆上的一个动点，当 2 △CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此时的点E到达 点P的位置，如图2． (1)求证：BD⊥PD； 【解析】(1)如下图，过点D作DF⊥BC交BC于点F，连结BD， 1 因为AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB= BC=1． 2 所以BF=FC=1，BD= 2，DC= 2，由BD2+DC2=BC2, 所以BD⊥CD， 因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BD⊂平面ABCD, 所以BD⊥平面PCD，又PD⊂平面PCD， 所以BD⊥PD. 2370 (2024·河南·校联考模拟预测)如图，已知三棱柱ABC-ABC 中，AB=AC=2，AA 1 1 1 1 =AB=AC=2 2，∠BAC=90°，E是BC的中点，F是线段AC 上一点. 1 1 1 1 (1)求证：AB⊥EF； (2)设P是棱AA 上的动点(不包括边界)，当△PBC的面积最小时，求棱锥P-ABC的 1 体积. 【解析】(1)连接AE，AE 1 ∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC. 1 1 1 又AB=AC，∠BAC=90°，∴AE⊥BC，且AE=BE=EC. ∵AA=AB=AC， 1 1 1 第 页 共 页 1376 3427∴△AAE≌△ABE，∴AE⊥AE， 1 1 1 又AE⊥BC，BC∩AE=E，BC,AE⊂平面ABC， 1 ∴AE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴AE⊥AB. 1 1 由已知AB⊥AC，AC∥AC ，∴AB⊥AC ， 1 1 1 1 又AC ∩AE=A ，AC,AE⊂平面ACE，∴AB⊥平面ACE. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 而F∈AC ，EF⊂平面ACE，∴AB⊥EF. 1 1 1 1 (2)由(1)可知AE⊥BC，AE⊥BC. 1 又AE∩AE=E，AE,AE⊂平面AAE，∴BC⊥平面AAE， 1 1 1 1 又P∈AA ，PE⊂平面AAE，∴BC⊥PE. 1 1 1 所以S = BC⋅PE，又∵P在棱AA上移动， △PBC 2 1 ∴当PE⊥AA 时，PE最小，此时△PBC面积最小. 1 π 2 在Rt△AEA中，AA=2 2，AE= 2，则AE= 6，∠EAA= ，∴AP= . 1 1 1 1 6 2 在△AAE中，过P做PM⊥AE于M，则PM∥AE， 1 1 PM AP 6 ∴ = ，PM⊥平面ABC，于是可得PM= . AE AA 4 1 1 1 1 6 6 ∴V = × ×2×2× = . P-ABC 3 2 4 6 2371 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)在梯形ABCD中，AB⎳DC，∠DAB=90°，CD=2， AC=AB=4，如图1.沿对角线AC将△DAC折起，使点D到达点P的位置，E为BC的 中点，如图2. (1)证明：PE⊥AC. 【解析】(1)因为AB⎳DC，∠DAB=90°，所以∠ADC=90°， DC 1 所以cos∠ACD= = ，所以∠ACD=60°，则∠CAB=∠ACD=60°， AC 2 又AC=AB=4，所以△ABC为等边三角形，所以BC=4，又E为BC的中点， 连接DE交AC于点O，则DC=CE=2，∠DCO=∠ECO=60°， 所以△DCO≌△ECO，所以∠COD=∠COE=90°，即CO⊥DE， 则折起后AC⊥OP，AC⊥OE，OE∩OP=O，OE,OP⊂平面POE， 所以AC⊥平面POE，PE⊂平面POE，所以PE⊥AC. 第 页 共 页 1377 3427【解题方法总结】 证 明 l ⊥ 1 l 先看两直线位置关系 2    三线合一(有等腰三角形就必用) 共面⇒勾股定理(题目中线段数据多)  其他(初中平面几何学习的其他垂直证明方法)   异面⇒考虑用线面垂直推导异面垂直⇒找重垂线⇒在重垂线对应平面内找垂直 3 题型三：证明线面垂直 13．(2024·陕西榆林·陕西省神木中学校考三模)如图，在四棱柱ABCD-ABCD 中， 1 1 1 1 AA ⊥底面ABCD，底面ABCD满足AD⎳BC，且AB=AD=AA =2，BD=DC=2 2. 1 1 (1)求证：AB⊥平面ADDA ； 1 1 (2)求四棱锥C-BDDB 的体积. 1 1 【解析】(1)由AA ⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， 1 所以AB⊥AA ， 1 又因为AB=AD=2，BD=2 2. 满足AB2+AD2=BD2，可得AB⊥AD， 又AA ∩AD=A，AA,AD⊂平面ADDA ， 1 1 1 1 所以AB⊥平面ADDA. 1 1 (2)由(1)中AB⊥AD，且AD⎳BC，BD=DC=2 2，可得BC=4， 因此BD2+DC2=BC2，即BD⊥DC， 又AA ⊥平面ABCD，AA ⎳DD ， 1 1 1 可得DD ⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， 1 即DD ⊥DC， 1 又DD ∩BD=D，DD,BD⊂平面BDDB ， 1 1 1 1 所以DC⊥平面BDDB ，即DC为四棱锥C-BDDB 的高， 1 1 1 1 1 1 16 即四棱锥C-BDDB 的体积.V = BB ⋅BD⋅DC= ×2×2 2×2 2= . 1 1 C-BDD1B1 3 1 3 3 2372 (2024·云南·校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-OABC中，已知OA=OP=1,CP= 第 页 共 页 1378 3427π π π 2,AB=4,∠CPO= ,∠ABC= ，∠AOC= . 3 6 2 (1)证明：CO⊥平面AOP； π 【解析】(1)在△POC中，∠CPO= ,CP=2,OP=1， 3 1 所以CO2=CP2+OP2-2CP⋅OP⋅cos∠CPO=4+1-2×2×1× =3. 2 所以CO= 3，故CO2+OP2=CP2，则CO⊥OP. π 又∠AOC= ，即CO⊥OA. 2 OP∩OA=O,OP,OA⊂平面AOP， 所以CO⊥平面AOP. 2373 (2024·云南昭通·校联考模拟预测)如图，在三棱锥C-ABD中，CD⊥平面ABD，E 为AB的中点，AB=BC=AC=2，CG=2EG. (1)证明：AB⊥平面CED； 【解析】(1)因为CD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB， 又因为AB=BC=AC,E为AB的中点，所以CE是△ABC的中线， 所以CE⊥AB，且CE∩CD=C，CE,CD⊂平面CED， 所以AB⊥平面CED. 2374 (2024·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测)如图1，在五边形ABCDE中，四边形 ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE，如图2，将△ABE沿BE折起，使得A至A 处， 1 且AB⊥AD． 1 1 (1)证明：DE⊥平面ABE； 1 π π 【解析】(1)由题意得∠BEC=∠CED= ，∠BED= ，DE⊥BE， 4 2 因为AB⊥AE，则AB⊥AE， 1 1 第 页 共 页 1379 3427又AB⊥AD，AE∩AD=A,AE,AD⊂面AED，所以AB⊥面AED， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又DE⊂面AED，则DE⊥AB， 1 1 又DE⊥BE，AB∩BE=B，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE， 1 1 1 1 所以DE⊥平面ABE． 1 2375 (2024·重庆巴南·统考一模)如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，平 面PAB⊥平面PBC． (1)证明：BC⊥平面PAB； 【解析】(1)过点A作AE⊥PB于点E， 因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AE⊂平面PAB， 所以AE⊥平面PBC， 又BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC， 又PA⊥平面ABC，BC⊂平面PBC， 所以PA⊥BC， 又因为AE∩PA=A，AE，PA⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB． 2376 (2024·广东广州·统考三模)如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面 ABCD互相垂直，且AB=BC=BF=1，AD=CD= 3，EF=2． 第 页 共 页 1380 3427(1)求证：BC⊥平面CDE； 【解析】(1)在矩形BDEF中，DE⊥BD， 又平面BDEF⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面BDEF=BD，DE⊂平面BDEF， 所以DE⊥平面ABCD， 又BC⊂平面ABCD， 所以DE⊥BC， 在矩形BDEF中，BD=EF=2, 又BC=1,CD= 3，所以BD2=4=BC2+CD2, 所以BC⊥CD. 又DE∩CD=D，DE,CD⊂平面CDE， 所以BC⊥平面CDE； 2377 (2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-ABC 1 1 1 中，平面ACCA ⊥平面ABC，AC=BC=CC =2,D是AA 的中点，且∠ACB=90°, 1 1 1 1 ∠DAC=60°. (1)证明：AA ⊥平面CBD； 1 【解析】(1)连接CA ， 1 由题意可知：△ACA 为等边三角形，且D是AA 的中点， 1 1 所以CD⊥AA ， 1 因为平面ACCA ⊥平面ABC，平面ACCA ∩平面ABC=AC，AC⊥BC， 1 1 1 1 所以BC⊥平面ACCA ， 1 1 且AA ⊂平面ACCA ，可得BC⊥AA ， 1 1 1 1 CD∩BC=C，CD,BC⊂平面CBD， 所以AA ⊥平面CBD. 1 【解题方法总结】 垂直关系中线面垂直是重点． 第 页 共 页 1381 3427①垂直两条相交线；  ②垂直里面作垂线； 线垂面哪里找 ③直(正)棱柱的侧棱是垂线；   ④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.  ①垂直面里所有线(证线线垂直)； 线垂面有何用  ②过垂线作垂面(证面面垂直). 证明线面垂直常用两种方法． 方法一：线面垂直的判定． 线线垂直⇒线面垂直，符号表示为：a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c=P，那么a⊥α． 方法二：面面垂直的性质． 面面垂直⇒线面垂直，符号表示为：α⊥β,α∩β=b,a⊂α,a⊥b，那么a⊥β． 4 题型四：证明面面垂直 2378 (2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，侧面 1 1 1 BBCC为菱形，∠CBB =60°，AB=BC=2，AC=AB = 2. 1 1 1 1 (1)证明：平面ACB ⊥平面BBCC； 1 1 1 【解析】(1)如图，连接BC ，交BC于O，连接AO. 1 1 因为侧面BBCC为菱形，所以BC⊥BC ，且O为BC 的中点.又AC=AB = 2，故 1 1 1 1 1 1 AO⊥BC. 1 又AB=BC=2，且∠CBB =60°，所以CO=1,BO= 3，所以AO= AC2-CO2=1. 1 又AB=2，所以AB2=BO2+AO2，所以AO⊥BO. 因为BO,CB ⊂平面BBCC，BO∩CB =O，所以AO⊥平面BBCC. 1 1 1 1 1 1 又AO⊂平面ACB ，所以平面ACB ⊥平面BBCC. 1 1 1 1 2379 (2024·贵州贵阳·校联考三模)如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯 1 形，AB⎳CD，AB= CD，CD⊥CE，∠ADC=∠EDC=45°，AD= 2，BE= 3. 2 第 页 共 页 1382 3427(1)求证：平面ABE⊥平面ABCD； 【解析】(1)∵四边形ABCD为直角梯形，AB⎳CD，∴CD⊥BC， 又CD⊥CE，BC∩CE=C，BC,CE⊂平面BCE，∴CD⊥平面BCE， 又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE； 作AF⊥CD， ∵∠ADC=45°，AD= 2，∴AF=1，∴BC=1， 又∠EDC=45°，∴CD=CE=2， ∵BE= 3，∴BC2+BE2=CE2，∴BE⊥BC， ∵BC∩CD=C，BC,CD⊂平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD， ∵BE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABCD. 2380 (2024·西藏日喀则·统考一模)如图，已知直角梯形ABCD与ADEF，2DE=2BC=AD =AB=AF=2，AD⊥AF，ED⎳AF，AD⊥AB，BC⎳AD，G是线段BF上一点. (1)平面ABCD⊥平面ABF 【解析】(1)因为AD⊥AF，AD⊥AB，AF∩AB=A，AF、AB⊂平面ABF， 所以AD⊥平面ABF，又AD⊂平面ABCD， 所以平面ABCD⊥平面ABF. 2381 (2024·广东梅州·统考三模)如图所示，在几何体PABCD中，AD⊥平面PAB，点C在 平面PAB的投影在线段PB上BC