第49讲直线、平面垂直的判定与性质_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第49讲 直线、平面垂直的判定与性质 知识梳理 知识点1：直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂 直． 知识点2：判定定理(文字语言、图形语言、符号语言) 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与一 a,b⊂α 个平面内的两条相 a⊥l 判断定理 交直线都垂直，则 b⊥l 该直线与此平面垂 a∩b=P 直  ⇒l⊥α 两个平面垂 直，则在一个平面 α⊥β 面 ⊥ 面 ⇒ 线 α∩β=a 内垂直于交线的直 ⊥面 b⊂β 线与另一个平面垂 b⊥a 直  ⇒b⊥α 一条直线与两 平行平面中的一个 平行与垂直的 α⎳β 平面垂直，则该直 关系 a⊥α 线与另一个平面也 垂直  ⇒a⊥β 两平行直线中 平行与垂直的 有一条与平面垂 a⎳b 关系 直，则另一条直线 a⊥α 与该平面也垂直  ⇒b⊥α知识点4：平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两 条交线互相垂直．(如图所示，若α∩β=CD,CD⊥γ，且α∩γ=AB,β∩γ=BE,AB⊥ BE，则α⊥β) 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 知识点5：判定定理(文字语言、图形语言、符号语言) 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过 b⊥α b⊂β 另一个平面的垂 线，则这两个平面 垂直  ⇒α⊥β 知识点6：性质定理(文字语言、图形语言、符号语言) 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直， α⊥β α∩β=a 则一个平面内垂直 b⊂β 于交线的直线与另 b⊥a 一个平面垂直  ⇒b⊥α 【解题方法总结】 判定定理 判定定理 线⊥线 线⊥面 面⊥面 性质定理 性质定理 (1)证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； 第 页 共 页 428 1043④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质(a⊥α,b⊂α⇒a⊥b)； ⑦平行线垂直直线的传递性(a⊥c,a⎳b⇒b⊥c)． (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定(a⊥b,a⊥c,c⊂α,b⊂α,b∩c=P⇒a⊥α)； ③面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=b,a⊥b,a⊂α⇒a⊥β)； 平行线垂直平面的传递性(a⊥α,b⎳a⇒b⊥α)； ⑤面面垂直的性质(α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l⇒l⊥γ)． (3)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)． 空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中 处于核心位置． 必考题型全归纳 1 题型一：垂直性质的简单判定 2360 (2024·甘肃兰州·校考模拟预测)设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则 下列说法正确的是 ( ) A.若m⊥n,n∥α，则m⊥α B.若m∥β,β⊥α，则m⊥α C.若m⊥n,n⊥β,β⊥α，则m⊥α D.若m⊥β,n⊥β,n⊥α，则m⊥α 2361 (2024·重庆·统考模拟预测)已知l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则 下列四个命题正确的是 ( ) A.若l⎳α，且m⎳α，则l⊥m B.若α⊥β，m⎳α，n⊥β，则m⎳n C.若m⎳l，且m⊥α，则l⊥α D.若m⊥n，m⊥α，n⎳β，则α⊥β 2362 (2024·陕西咸阳·统考二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以 下四个命题： ①若m∥n，n⊂α，则m∥α，②若m⊂α，m⊥β，则α⊥β， ③若m⊥α，m⊥β，则α∥β，④若α⊥β，m⊂α，n⊂α，则m⊥n 其中正确的命题是 ( ) A.②③ B.②④ C.①③ D.①② 2363 (2024·河南·校联考模拟预测)已知α,β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则 下列命题中正确的是 ( ) A.若α⊥β,m⊥α,m⊥n，则n⊥β B.若α∥β,m⊂α,n⊂β，则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β，则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β，则α⊥β 2364 (2024·陕西咸阳·统考模拟预测)如图所示的菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°,对角 第 页 共 页 429 1043线AC,BD交于点O，将△ABD沿BD折到△ABD位置，使平面ABD⊥平面BCD.以 下命题: ①BD⊥AC； ②平面AOC⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面ACD； ④三棱锥A-BCD体积为1. 其中正确命题序号为 ( ) A.①②③ B.②③ C.③④ D.①②④ 2365 (2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不 同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是 ( ) A.l⊂α，m⊂β，且l⊥m B.l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n C.m⊂α，n⊂β，m⎳n，且l⊥m D.l⊂α，l⎳m，且m⊥β 2 题型二：证明线线垂直 2366 (2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，AB= 1 1 1 BC，AB =BC． 1 1 (1)证明：AC⊥BB； 1 2367 (2024·广东深圳·统考二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥ 平面ABCD,PA=AD= 2AB，点M是PD的中点. (1)证明：AM⊥PC； 第 页 共 页 430 10432368 (2024·河南·校联考模拟预测)已知三棱柱ABC-ABC 中，AB=AC=2,AA=AB 1 1 1 1 1 =AC=2,∠BAC=90°,E是BC的中点，F是线段AC 上一点. 1 1 1 (1)求证：AB⊥EF； 2369 (2024·福建宁德·校考模拟预测)图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成 1 的平面图形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB= BC=1．E是半圆上的一个动点，当 2 △CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此时的点E到达 点P的位置，如图2． (1)求证：BD⊥PD； 2370 (2024·河南·校联考模拟预测)如图，已知三棱柱ABC-ABC 中，AB=AC=2，AA 1 1 1 1 =AB=AC=2 2，∠BAC=90°，E是BC的中点，F是线段AC 上一点. 1 1 1 1 (1)求证：AB⊥EF； (2)设P是棱AA 上的动点(不包括边界)，当△PBC的面积最小时，求棱锥P-ABC的 1 体积. 2371 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)在梯形ABCD中，AB⎳DC，∠DAB=90°，CD=2， AC=AB=4，如图1.沿对角线AC将△DAC折起，使点D到达点P的位置，E为BC的 中点，如图2. 第 页 共 页 431 1043(1)证明：PE⊥AC. 3 题型三：证明线面垂直 13．(2024·陕西榆林·陕西省神木中学校考三模)如图，在四棱柱ABCD-ABCD 中， 1 1 1 1 AA ⊥底面ABCD，底面ABCD满足AD⎳BC，且AB=AD=AA =2，BD=DC=2 2. 1 1 (1)求证：AB⊥平面ADDA ； 1 1 (2)求四棱锥C-BDDB 的体积. 1 1 【解析】(1)由AA ⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， 1 所以AB⊥AA ， 1 又因为AB=AD=2，BD=2 2. 满足AB2+AD2=BD2，可得AB⊥AD， 又AA ∩AD=A，AA,AD⊂平面ADDA ， 1 1 1 1 所以AB⊥平面ADDA. 1 1 (2)由(1)中AB⊥AD，且AD⎳BC，BD=DC=2 2，可得BC=4， 因此BD2+DC2=BC2，即BD⊥DC， 又AA ⊥平面ABCD，AA ⎳DD ， 1 1 1 可得DD ⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， 1 即DD ⊥DC， 1 又DD ∩BD=D，DD,BD⊂平面BDDB ， 1 1 1 1 所以DC⊥平面BDDB ，即DC为四棱锥C-BDDB 的高， 1 1 1 1 1 1 16 即四棱锥C-BDDB 的体积.V = BB ⋅BD⋅DC= ×2×2 2×2 2= . 1 1 C-BDD1B1 3 1 3 3 2372 (2024·云南·校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-OABC中，已知OA=OP=1,CP= π π π 2,AB=4,∠CPO= ,∠ABC= ，∠AOC= . 3 6 2 (1)证明：CO⊥平面AOP； 2373 (2024·云南昭通·校联考模拟预测)如图，在三棱锥C-ABD中，CD⊥平面ABD，E 为AB的中点，AB=BC=AC=2，CG=2EG. 第 页 共 页 432 1043(1)证明：AB⊥平面CED； 2374 (2024·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测)如图1，在五边形ABCDE中，四边形 ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE，如图2，将△ABE沿BE折起，使得A至A 处， 1 且AB⊥AD． 1 1 (1)证明：DE⊥平面ABE； 1 2375 (2024·重庆巴南·统考一模)如图所示，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，平 面PAB⊥平面PBC． (1)证明：BC⊥平面PAB； 2376 (2024·广东广州·统考三模)如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与平面 ABCD互相垂直，且AB=BC=BF=1，AD=CD= 3，EF=2． (1)求证：BC⊥平面CDE； 第 页 共 页 433 10432377 (2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-ABC 1 1 1 中，平面ACCA ⊥平面ABC，AC=BC=CC =2,D是AA 的中点，且∠ACB=90°, 1 1 1 1 ∠DAC=60°. (1)证明：AA ⊥平面CBD； 1 4 题型四：证明面面垂直 2378 (2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模)如图，在三棱柱ABC-ABC 中，侧面 1 1 1 BBCC为菱形，∠CBB =60°，AB=BC=2，AC=AB = 2. 1 1 1 1 (1)证明：平面ACB ⊥平面BBCC； 1 1 1 2379 (2024·贵州贵阳·校联考三模)如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯 1 形，AB⎳CD，AB= CD，CD⊥CE，∠ADC=∠EDC=45°，AD= 2，BE= 3. 2 (1)求证：平面ABE⊥平面ABCD； 2380 (2024·西藏日喀则·统考一模)如图，已知直角梯形ABCD与ADEF，2DE=2BC=AD =AB=AF=2，AD⊥AF，ED⎳AF，AD⊥AB，BC⎳AD，G是线段BF上一点. (1)平面ABCD⊥平面ABF 第 页 共 页 434 10432381 (2024·广东梅州·统考三模)如图所示，在几何体PABCD中，AD⊥平面PAB，点C在 平面PAB的投影在线段PB上BC