文档内容
第 48 讲 直线、平面平行的判定与性质
知识梳理
知识点一：直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线 与平面 平行，记作 ∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这
个平面内的一条直线平行，那么
线∥线
这条直线和这个平面平行（简记
线∥面 为“线线平行 线面平行
如果两个平面平行，那么在
一个平面内的所有直线都平行于
面∥面
另一个平面
线∥面
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线
和一个平面平行，
经过这条直线的平
线∥面 线∥线 面和这个平面相
交，那么这条直线
就和交线平行
知识点二：两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面 和 ，若
，则 ∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言判 定 定 如果一个平面内
理 线 ∥ 有两条相交的直线都
面 平行于另一个平面，
面
那么这两个平面平行
∥面
（简记为“线面平行
面面平行
线 面 如果两个平面同
垂直于一条直线，那
面 ∥
么这两个平面平行 ∥
面
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平面
面//面
平行，那么在一个
线//面 平面中的所有直线
都平行于另外一个
平面
如果两个平行
平面同时和第三个
平面相交，那么他
性质定理
们的交线平行（简
记为“面面平行
线面平行”）
如果两个平面
面//面 中有一个垂直于一
条直线，那么另一
线 面 个平面也垂直于这
条直线
【解题方法总结】
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
线∥面
判定
判定
性质
性质
判定
线∥线 面∥面
性质（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线 与平面 没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行 线面平行．辅助线的作法为：平面外直线
的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第
三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
必考题型全归纳
题型一：平行的判定
例1．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）若 、 是两个不重合
的平面，
①若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ；
②设 、 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 ；
③若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 ；
以上说法中成立的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①，设 平面 ，且 ，
由直线与平面平行的判定定理可知 ， ，
再由平面与平面平行的判定定理可知 ，则①正确；
对于②，设 、 交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 、 可能垂直也可能不垂直，则②错误；
对于③，由直线与平面平行的判定定理可知 ，则③正确，
故选： ．
例2．（2024·全国·高三对口高考）过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面（
）
A．不存在 B．只有一个 C．有无数个 D．不能确定
【答案】D
【解析】过直线l外两点作与l平行的平面，
如果两点所在的直线与已知直线相交，则这样的平面不存在；
如果两点所在的直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个；
如果两点所在的直线与已知直线异面，则这样的平面只有一个．
因此只有D正确．
故选：D．
例3．（2024·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所
在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 平面ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由正方体的性质可得 ， 平面ABC， 平面ABC，
所以直线 平面ABC，能满足；
对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得 ， 平面ABC，
平面ABC，所以直线 平面ABC，能满足；
对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得 ， 平面ABC，
平面ABC，
所以直线 平面ABC，能满足；
对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不
能满足．故选：D．
变式1．（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a，b，c为三条不重
合的直线， ， ， 为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
① ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③ ， ，则 ；④若 ， ，则 ；
⑤若 ， ，则 ；⑥若 ， ，则 ．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】 ， ， 为三条不重合的直线， ， ， 为三个不重合的平面，
① ， ，则 ，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；
② ， ，则 ， 可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；
③ ， ，则 ， 可能平行，也可能相交，所以③不正确；
④ ， ，则 ，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；
⑤ ， ，则 或 ，所以⑤不正确；
⑥ ， ，则 或 ，所以⑥不正确；
故选：C．变式2．（2024·全国·高三专题练习）设 ， 为两个不同的平面，则 ∥ 的一个充分条
件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． ， 垂直于同一个平面
C． ， 平行于同一条直线 D． ， 垂直于同一条直线
【答案】D
【解析】对于A： 内有无数条直线与 平行推不出 ∥ ，只有 内所有直线与 平行
才能推出，故A错误；
对于B： ， 垂直于同一平面，得到 ∥ 或 与 相交，故B错误；
对于C： ， 平行于同一条直线，得到 ∥ 或 与 相交，故C错误；
对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故 ， 垂直于同一条直线可得 ∥ ，
故：D正确．
故选：D
【解题方法总结】
排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
例4．（2024·广东河源·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥 中， 分别为
的中点，连接 ．（1）当 为 上不与点 重合的一点时，证明： 平面 ；
【解析】（1）因为 分别为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
例5．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是
矩形， ， ， 分别为棱 的中点，
为线段 的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）若三棱锥 的体积为1，求 ．
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
由题意，四边形 为平行四边形，所以 ，
因为E为 中点，∴ ，
∴ 与 相似，且相似比为 ，
∴ ，又∵ ， 为 ， 中点，∴ ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．（2）由
由（1） 平面 ， 则点 与 到平面 的距离相等．
所以 ，
由侧面 是矩形，则 ，又 ，且 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 是 的中点，
所以 到平面 的距离为 ，
又 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
例6．（2024·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥 中，底面ABCD的
中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F， ．（1）证明： //平面PBC；
【解析】（1）证明：如图，延长FO至点M，使 ，连接MD，
∵底面ABCD的中心为O，∴ 平面ABCD，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴
而 ，∴ ，∴ ，
∵ 平面PBC， 平面PBC，∴ 平面PBC；
变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，四边形ABCD为梯形，
， ， ， ， ，M，N分别是
PD，PB的中点．
（1）求证：直线 平面ABCD；
【解析】（1）连接BD， M，N分别是PD，PB的中点．
，
又 平面 ， 平面
直线 平面
变式4．（2024·陕西汉中·高三统考期末）如图，在三棱柱 中， 平面，且 ，点 是棱 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）过 作 于 ，
平面 ， 平面 ，
，
又 平面 ，平面 ，
在等边 中， 是 的中点， ，
．
所以三棱锥 的体积为 ．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方
形， ， 平面 ，点 是棱 的中点，点 是棱 上的一点，且
．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
【解析】（1）连接 交 于 ，连接 ，如图所示．
因为四边形 是正方形，所以 是 的中点，又点 是棱 的中点，
所以 是 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 平面 ， ， 平面 ，所以 ， ，又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，所以 ， ．
在 中， ， ， 是 的中点，所以 ，
，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 是三棱锥 的高．
在 中， ， ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
得 ， ， ，
．
在 中， ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
设点 到平面 的距离为 ，所以 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 ．
变式6．（2024·新疆昌吉·高三校考学业考试）如图，在正方体 中， 是
棱 的中点．（1）证明： 平面 ；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）连接 交 于 ，连接 ，如图，
因为在正方体 中，底面 是正方形，则 是 的中点，
又 是 的中点，则 是 的中位线，故 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 ．
（2）因为正方体 中， 平面 ，
所以 ．
【解题方法总结】
（1）初学者可以拿一把直尺放在 位置（与 平齐），如图一；
（2）然后把直尺平行往平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，
如图二；
（3）此时刚好经过点 （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点 ），此时直尺所
在的位置就是我们要找的平行线，直尺与 相交于点 ，连接 ，如图三；（4）此时 长度有长有短，连接 并延长刚好交于一点 ，刚好构成
型模型（ 为 中点，则 也为 中点，若 为等分点，则 也为 对应等分点），
，如图四．
P P P P
0
E E 0 E E
1
1
2
2
3A D A 3 D A D A D
4
F 4
F F
B C B C
B C B C
图一 图二 图三 图
四
题型三：线面平行构造之平行四边形法
例7．（2024·天津滨海新·高三校考期中）如图，四棱锥 的底面是菱形，平面
底面 ， ， 分别是 ， 的中点， ， ，
．
（1）求证： 平面 ；
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ，因为 分别是 的中点，所以
，
又因为底面 是菱形， 是 的中点，所以 ，
所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
例8．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱台 的底面是菱形，且， 平面 ， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
几何体 为四棱台， 四点共面，且 平面 ， 平
面 ，
平面 平面 ， ；
四边形 和 均为菱形， ， ， ，
， 四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）连接 交 于 ，
平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ，
， ， 平面 ， 平面 ；
四边形 为菱形， ， ， ，
．
例9．（2024·全国·高三专题练习）如图，在正三棱柱 中， 分别是 ，， 的中点， ， 的边长为2．
（1）求证：： 平面 ；
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，
根据题意可得 ，且 ， ，
由三棱柱得性质知 ，所以 ，则四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 面 ， 面 ，
所以 面 ．
变式7．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，在三棱柱
中， 底面 ， ， ， ， 、 分别为
棱 、 的中点， ， ．（1）求证： 平面 ；
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 、 ．
因为 是 的中点，且 ，故 为 的重心，
所以 、 、 共线，且 ，
又 ，故 ，所以 ，
因为 且 ，则四边形 为平行四边形，故 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，
则四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 面 ．
变式8．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥
中， 平面 ， ，E是PD的中点．（1）求证： ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若M是线段 上一动点，则线段 上是否存在点N，使 平面 ？说明理
由．
【解析】（1）在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， 平面
，
平面 平面 ，所以 ；
（2）如下图，取 为 中点，连接 ，由E是PD的中点，
所以 且 ，由（1）知 ，又 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，故 ，
而 平面 ， 平面 ，则 平面 ．
（3）取 中点N，连接 ， ，
因为E，N分别为 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，线段 存在点N，使得 平面 ，理由如下：
由（2）知： 平面 ，又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又M是 上的动点， 平面 ，
所以 平面 ，所以线段 存在点N，使得 平面 ．
【解题方法总结】
（1）初学者可以拿一把直尺放在 位置，如图一；
（2）然后把直尺平行往平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，
如图二；
（3）此时刚好经过点 （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点 ），此时直尺所在
的位置就是我们要找的平行线，直尺与 相交于点O，连接 ， 如图三；
（4）此时 长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平
行），连接 ，刚好构成平行四边形 型模型（ 为 中点，O也为 中点，
为三角形 中位线）， ，如图四．
P P P P
E O 0 E O E O E
0 1
A 1 D A2 D A D A D
2 3
3 4
B F 4 C B F C B F C B F C
图一 图二 图三 图四
题型四：线面平行转化为面面平行
例10．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，且
四边形 是正方形， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点．（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
【解析】（1）连接 ，
∵ 是正方形， ， 分别是棱 ， 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ 是 的中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
∵ ，直线 在平面 内，
∴平面 平面 ，∵ 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）∵ 平面 ， ，
∴ 平面 ，
过C在平面 内，作 ，垂足为 ，则 ，
∵ ，又直线FG，BF在平面 内，
∴ 平面 ，
∴ 的长是点C到平面 的距离，
∵ 中， ，
∴由等面积可得 ，
∴点C到平面 的距离为 ．例11．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 是菱形，且有
， ， ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
【解析】（1）因为四边形 是菱形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 ．
例12．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是
矩形，侧面 是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段
的中点．（1）证明： 平面 ；
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 、 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， 且 ，
因为 为 的中点，则 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，故 平面 ．
变式9．（2024·上海·模拟预测）直四棱柱 ， ，AB⊥AD，AB＝
2，AD＝3，DC＝4（1）求证： ；
【解析】（1）由题意得 ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面
而 ， 平面 平面 ，
又 平面 平面
变式10．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体 中，
四边形 为矩形，二面角 的大小为 ， ， ， ，
．
（1）求证： 平面 ；
【解析】（1）证明：因为四边形 是矩形，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，则平面 平面 ，
因为 平面 ，所以， 平面 ．变式11．（2024·全国·高三对口高考）已知正方形 和正方形 ，如图所示， 、
分别是对角线 、 上的点，且 ．求证： 平面 ．
【解析】证明：过点 作 交 于点 ，连接 ，
因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，所以， ，
因为四边形 为矩形，则 ，所以， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，所以， 平面 ．
【解题方法总结】
本法原理：已知平面 平面 ，则平面 里的任意直线均与平面 平行
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
例13．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥 ，底面为菱形
平面 ， 为 上一点．（1）平面 平面 ，证明： ；
【解析】（1）证明：因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，
又因为平面 平面 ，所以 ．
例14．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四棱锥 ，底面 为菱形，
平面 ， ， ， 为 上一点．
（1）平面 平面 ，证明： ．
（2）当直线 与平面 的夹角为 时，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）因为 平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又因为平面 平面 ，所以 ．
（2）过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
若点 为 中点，则点 为 的中点，
此时 ，所以直线 与平面 的夹角为 ，
即点 为 中点时满足题意，
因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为 ，
故
例15．（2024·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形 中， ，
为 上一点， ， ，将四边形 沿 折起，使得
，得到如图2所示的四棱锥．
（1）若平面 平面 ，证明： ；
【解析】（1）在图1中，因为 ， ， ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，故 ，
在图2中，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ；
变式12．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱
中， ， ，点 、 分别为棱 、 的中点，
点 是线段 上的点（不包括两个端点）．
（1）设平面 与平面 相交于直线 ，求证： ；
【解析】（1）证明：因为点 、 分别为棱 、 的中点，则 ，
在三棱柱 中，四边形 为平行四边形，所以， ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，因为 平面 ，平面 平面 ，所以， ，故 ．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面边长为8的正方形，
四条侧棱长均为 ．点 分别是棱 上共面的四点，平面
平面 ， 平面 ．证明： ．
【解析】因为 ∥平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，所
以 ∥ ，
因为 ∥平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ∥ ，所以 ∥ ．
变式14．（2024·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）如图，三棱台 中，
， 是 的中点，点 在线段 上， ，平面 平面
．
（1）证明： ；
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，因为 是 的中点，所以 ， ，
因为三棱台 中， ， ， ，
所以 ， ，即四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ．
【解题方法总结】
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
就和交线平行
题型六：面面平行的证明
例16．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，
平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分
别为AD，PA的中点．
（1）证明：平面BMN∥平面PCD；
【解析】（1）证明：连接BD，如图
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD，
∵AD⊥CD，
又CD，BM 平面ABCD，
BM∥CD，⊂
又BM 平面PCD，CD 平面PCD，
∴BM∥平面PCD， ⊂
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN∥PD，
又MN 平面PCD，PD 平面PCD，
∴MN∥平面PCD． ⊂
又BM，MN 平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN⊂∥平面PCD．
例17．（2024·山东临沂·高三校考阶段练习）如图，在多面体 中， 是正方
形， ， ， ， 为棱 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
【解析】（1）连 交 于 ，则 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，所以平面 平面 ．32．（2024·河北·统考模拟预测）在圆柱 中，等腰梯形 为底面圆 的内接四边
形，且 ，矩形 是该圆柱的轴截面， 为圆柱的一条母线，
．
（1）求证：平面 平面 ；
【解析】（1）在圆柱 中， ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
连接 ，因为等腰梯形 为底面圆 的内接四边形， ，
故 ，则 为正三角形，故 ，则 ，
平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
又 平面 ，
故平面 平面 ．
例18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长
为2的菱形， ，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分
别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
（1）求证：平面 平面PCD；
（2）求三棱锥 的体积．
【解析】（1）因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O
所以O为AC中点，
点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，
所以OE为三角形 的中位线，OF为三角形 的中位线，
所以 ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
而 ， 平面 ， 平面 ，
平面 平面PCD．
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形， ，
所以 为等边三角形，所以 ，
因为 底面ABCD，
底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ， ，
所以 和 均为直角三角形，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
根据体积相等法可知 ，
所以 ，
所以 ．
，
故三棱锥 的体积为 ．
变式15．（2024·四川南充·统考三模）如图所示，已知 是圆锥 底面的两条直径，
为劣弧 的中点．（1）证明： ；
（2）若 ， 为线段 上的一点，且 ，求证：平面 平面
．
【解析】（1）连接 并延长交 于 ，如图所示，
为劣弧 的中点，
是 的角平分线，
平分 ，
，
，
又 在圆锥 中， 平面 ， 平面 ，
，
， 平面 ，且 ，
平面 ，
又 平面 ，
．
（2）设 交 于 ，显然 平分 ，且 ，
又 ，
，
在 中， ，
为 的中点，
同理 ，
，又 ，
，
，
平面 ，且 平面 ，
平面 ，
又 在平面 中， ，
，
又 平面 ，且 平面 ，
平面 ，
又 ， 平面 ，且 ，
平面 平面 ．
【解题方法总结】
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或
找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
题型七：面面平行的性质
例19．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱 中，底面 为梯
形， ，平面 与 交于点 ．求证： ．【解析】由四棱柱 可知， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
又 ， 平面 ， 平面 ；
所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．
例20．（2024·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）如图，直四棱柱 被
平面 所截，截面为CDEF，且 ， ， ，平面
EFCD与平面ABCD所成角的正切值为 ．
（1）证明： ；
A B C D
【解析】（1）在直四棱柱 中，平面 平面 1 1 1 1，
平面 ，平面 ，则 ，
而 ，又 ，因此 ，
则四边形 是平行四边形， ，所以 ．
例21．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）如图，在三棱柱 中，四
边形 是边长为4的菱形． ，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），
平面BBD与棱AC 交于点E．
1 1 1
（1）求证： ；
【解析】（1） ，
且 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，且平面 平面 ，
；
变式16．（2024·北京·高三专题练习）如图，在多面体 中，面 是正方形，
平面 ，平面 平面 ， ， ， ， 四点共面， ，
．
（1）求证： ；【解析】（1）因为平面 平面 ， ， ， ， 四点共面，
且平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．
变式17．（2024·全国·高三专题练习）在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆
O，上底面圆 的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且
平面BCE．
（1）求证： ；
【解析】（1）如图，连接 ， ，
因为 为母线，
所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为 是 的中点，
所以 是 的中点，
即 ．
【解题方法总结】
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行
线面平行”）
题型八：平行关系的综合应用
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体 中， ､ 分别为对角线
､ 上的点，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 是 上的点， 的值为多少时，能使平面 平面 ？请给出证明．
【解析】（1）连结 并延长与 的延长线交于 点，因为四边形 为正方形，
所以 ，
故 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ．
（2）当 的值为 时，能使平面 平面 ．
证明：因为 ，
即有 ，故 ．
所以 ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， 平面 ．
所以平面 平面 ．
例23．（2024·全国·高三专题练习）如图、三棱柱 的侧棱 垂直于底面
， 是边长为2的正三角形， ，点 在线段 上且 ，点 是
线段 上的动点．当 为多少时，直线 平面 ？
【解析】当点 是线段 上靠近点 的三等分点，即 时， 平面 ．
过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连接 ，平面 ， 平面 ，
平面 ，
， 面 ， 平面 ，
平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 ，
平面 ，
平面 ．
∴ ，
当 时， 平面 ．
例24．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）如图，在直三棱柱 中，
，且 ，点 在线段 （含端点）上运动，设 ．（1）当 平面 时，求实数 的值；
【解析】（1）如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，
为 的中点，且平面 平面 ，
平面 平面 ， ，
为 的中点，即实数 的值为 ．
变式18．（2024·湖南长沙·高一长沙市实验中学校考期中）如图所示，四边形EFGH为空
间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
【解析】（1）∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG．
∵HG 平面ABD，EF⊄平面ABD，
⊂∴EF∥平面ABD．
又∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥⊂AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH． ⊂
（2）设 ，
∵EF∥AB，FG∥CD，∴ ，
则 ＝ ＝ ＝1－ ，∴ ．
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l＝2 ＝12－x．
又∵0
