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2022-2023 学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 03 根的判别式和韦达定理
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022八下·济南期末）已知关于x的一元二次方程x2−2x−k−1=0有两个实数根，则k的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−k−1=0有两个实数根，
∴Δ=（-2）2-4×（-k-1）≥0，
解得k≥-2．
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出Δ=（-2）2-4×（-k-1）≥0，再求解即可。
2．（2分）（2022八下·蜀山期末）有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下
列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根
B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等
D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
【答案】B
【完整解答】解：方程 根的判别式为 ，
方程 根的判别式为 ，
所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A不符合题意；
若两个方程都有实数根，
设方程 的一个实数根为m，则 ，即 ，
，
，，
将 代入方程 的左边得： ，
即 是方程 的根，
所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B符合题意；
将 代入方程 的左边得： ，
即 不是方程 的根，选项C不符合题意；
将 代入方程 的左边得：
，
则只有当 时， 才是方程 的根，
所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根的判别式对每个选项一一判断即可。
3．（2分）（2022八下·乳山期末）若关于x的一元二次方程 的两个实数根互为
倒数，则k=（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【完整解答】解： 关于x的一元二次方程 有两个实数根，
此方程根的判别式 ，且 ，解得 且 ，
又 关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，
，
解得 或 （舍去），
经检验， 是所列分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可。
4．（2分）（2022八下·乐清期末）关于x的一元二次方程x2+4x+（1-m）（m-3）=0，下列选项正确的是
（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关
【答案】C
【完整解答】解： x2+4x+（1-m）（m-3）=0
b2-4ac=16-4（1-m）（m-3）=4（m2-4m+7）=4（m-2）2+12
无论m取何值时4（m-2）2+12＞0即b2-4ac＞0
∴此方程有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】先求出b2-4ac的值，根据其值可得到方程根的情况.
5．（2分）（2022·呼和浩特）已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式
的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A【完整解答】解：解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得 ， ， ，则
。
6．（2分）（2022八下·高青期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
②若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【完整解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等
的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个
不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等
于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax+b）2＝4a2x2+b2+4abx，由b2-4ac=4a2x2+b2+4abx，得ax2+bx+c＝0．由x 是一元二次方程
0 0 0 0 0 0 0 0
ax2+bx+c=0的根，则ax2+bx+c＝0成立，那么④符合题意．
0 0
综上：正确的有①②④，共3个．故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；
②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）
必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入 中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则
ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x2+b2+4abx，得ax2+bx+c＝0，即得x 是一元二次方程
0 0 0 0 0
ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
7．（2分）（2022八下·杭州月考）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相
等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x 是一元二次方程
0
ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax+b）2.
0
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【完整解答】解：①∵当x＝1时，a+b+c＝0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac≥0成立，
∴①正确，符合题意；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，
∴②正确，符合题意；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
∴当c≠0时，ac+b+1＝0，
当c＝0时，ac+b+1不一定等于0，
∴③不一定正确，不符合题意；
④∵（2ax+b）2＝4a2x2+4abx+b2，
0 0 0∴b2﹣4ac＝4a2x2+4abx+b2，
0 0
∵a≠0，
∴ax2+bx+c＝0，
0 0
∵x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
0
∴ax2+bx+c＝0成立，
0 0
∴④正确，符合题意，
综上所述，说法正确的有①②④．
故答案为：A.
【分析】①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等
的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等
的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，可推断出
②正确；③由c是方程ax2+bx+c＝0得一个根，得ac2+bc+c＝0，因此当c≠0，则ac+b+1＝0，当c＝0，则
ac+b+1不一定等于0，③不一定正确；④由2ax+b）2＝4a2x2+4abx+ b2，得b2﹣4ac＝4a2x2+4abx+b2，从
0 0 0 0 0
而得ax2+bx+c＝0，结合x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可判断④正确，据此得出正确选项即可.
0 0 0
8．（2分）（2021·荆门）抛物线 （a，b，c为常数）开口向下且过点 ，
（ ），下列结论：① ；② ；③ ；④
若方程 有两个不相等的实数根，则 .其中正确结论的个数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【完整解答】解： 抛物线开口向下
把 ， 代入 得① ，故①正确；
② ，故②正确；
③ ，故③正确；；
④若方程 有两个不相等的实数根，
即，故④正确，即正确结论的个数是4，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的开口方向，可得 ，把 ， 代入 得
，结合已知可求出 ， ，c=-a-b， ，从而求出
，将c=-a-b分别代入①②中，可得 ，据此判断①②；
将 代入③得 ，据此判断③； 由方程
有两个不相等的实数根 ，可得△＞0，先将方程化为一般式，由△＞0求出结论，
然后判断④即可.
9．（2分）（2021·南湖模拟）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，若抛物线
与线段 有两个不同的交点，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 且 D． 或
【答案】A
【完整解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则
∵点 ， ，
∴ ，解得： ；∴AB的解析式为 ，
由 整理得4ax2-7x-2=0，
由△=（-7）2+4×4a×2＞0得 ，
①当a＞0时，
当抛物线经过B（2，1）时，则4a-4+1=1，解得a=1
②当a＜0时，
当抛物线经过点 时，则4a+4+1=2，解得
综上，a的取值范围为 或
故答案为：A
【分析】利用待定系数法先求出直线AB的解析式，然后抛物线和直线的解析式联立化为一元二次方程的
一般形式，利用判别式△>0列式求出a的范围，然后分两种情况讨论，即①当- 0时，再根据数形结合得不等式 ， 然后分别解不等式组，
即可解答.
10．（2分）（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等
于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A【完整解答】解：由题意得：此方程的根的判别式 ，
解得 ，
是一元二次方程 的一个根，
，即 ，
对于任意实数m， 均成立，
令 ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为 ，
即 的最大值等于 ，
故答案为：A.
【分析】由 x=m是方程的根和一元二次方程根的判别式可得m，n的范围和 ，根据二次
函数的性质可得最大值.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022八下·乳山期末）若 是方程 的两个实数根，则 =
．
【答案】7
【完整解答】解：∵x 为一元二次方程 的根，
1
∴ ，
∴ ，
根据题意得：x+x=3，
1 2∴ ．
故答案是：7．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x+x=3，再将其代入 计算即可。
1 2
12．（2分）（2022·长春）若关于x的方程 有两个相等的实数根，则实数c的值为
．
【答案】 或0.25
【完整解答】 关于x的方程 有两个相等的实数根，
，
解得 ，
故答案为： ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出方程求解即可。
13．（2分）（2022·盘锦）若关于x的方程 有两个不相等的实数根，且 ，则从满
足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ．
【答案】
【完整解答】解：根据题意，关于x的方程 有两个不相等的实数根，
故该一元二次方程的根的判别式 ，即 ，解得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个，
∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求概率即可。
14．（2分）（2022八下·镇海区期末）若菱形ABCD的两条对角线的长分别为一元二次方程x2-7x+12=0
的实数根，则菱形ABCD的面积为
【答案】6
【完整解答】解：∵AC、BD的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个实数根，
∴AC•BD=12，
∴菱形的面积= AC•BD=6.
故答案为：6.
【分析】根据根与系数的关系可得AC•BD=12，然后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行计算.
15．（2分）（2022·内江）已知x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 ＝x2+2x
1 2 1 2
﹣1，则k的值为 .
【答案】2
【完整解答】解：∵x、x 是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
1 2
∴x+x＝2，x•x＝k﹣1，x2﹣2x+k﹣1＝0，
1 2 1 2 1 1
∴x2＝2x﹣k+1，
1 1∵ ＝x2+2x﹣1，
1 2
∴ ＝2（x+x）﹣k，
1 2
∴ ＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x+x＝2，x•x＝k-1，根据方程解的概念可得x2＝2x-k+1，对已知中
1 2 1 2 1 1
的等式进行变形可得 ＝2(x+x)-k，代入求解可得k的值，然后代入原方程中可得关于x
1 2
的一元二次方程，求出判别式的值，进而可得k的值.
16．（2分）（2021·怀化模拟）已知抛物线 开口向上且经过点 ，双曲线
经过点 .给出下列结论：① ；② ；③ ， 是关于 的一元二
次方程 的两个实数根.其中正确的结论是 （填写序号）.
【答案】①③
【完整解答】解：∵抛物线 开口向上且经过点 ，双曲线 经过点
，∴ ，
∴ ，故①正确.
当a > 1时，则b、c均小于0，此时b+c<0，
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当0 0，故②错误.
∴关于 的一元二次方程 可以转化为： ，则 或
，故③正确.
故答案为：①③.
【分析】根据抛物线 开口向上且经过点 ，双曲线 经过点 ，
可得a＞0，从而得出 ，然后再对a、b、c进行讨论，从而判断①②③；
将方程 可以转化为（x-b)(x-c)=0，解出方程即可判断④.
17．（2分）（2021·大庆模拟）若关于x的一元二次方程 各项系数满足
，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 时，有两个相等的实数
根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正
确的个数是 个．
【答案】3
【完整解答】解：因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c，
△＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根，
当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①不符合题意，②符合题意；当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是 ＞0，则方程有两个同号的实数根，
又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣ ＞0．则两根一定都是正数，故③符合题意．
当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是 ＜0，方程有两个异号
实数根．故④符合题意．
故答案为：3．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号以及根与系数的关系即可以。
18．（2分）（2020九上·浙江期末）若方程 的根也是方程 的根，
则 .
【答案】-5
【完整解答】解：∵ x2-3x+1=0, ∴x2=3x-1,
∴x4+ax2+bx+c=(3x-1)2+ax2+bx+c=0,
∴9x2-6x+1+ax2+bx+c=0,
∴(9+a)x2+(b-6)x+c+1=0,
∵ x2-3x+1=0,
∵x+x= , ∴3a+b=-21,
1 2
∵xx= =1, ∴a=c-8,
1 2
∴3a+b=a+b+2a=a+b+2(c-8)=a+b+2c-16=-21,
∴a+b+2c=-21+16=-5.
故答案为：-5.【分析】由x2-3x+1=0得x2=3x-1, 代入x4+ax2+bx+c=0中把x4降次，再根据根与系数的关系列式，求出
a、b、c的关系，再将原式变形即可求值.
19．（2分）（2019九上·龙泉驿月考）若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成
某直角三角形的三边长，则m的值为 ．
【答案】
【完整解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，
a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为 ．
【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
20．（2分）设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝ .
【答案】2016
【完整解答】解：由题意得：m+n=-2, m2＋2m－2018＝0 ,即m2＋2m=2018
则 m2＋3m＋n＝m2+2m+m+n =2018-2=2016.故答案为：2016.
【分析】 因为m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根， 则m、n代入方程满足方程，
由根与系数的关系求得m+n的值，则原式经过简单变形值可求.
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（5分）（2022·昌平模拟）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，写
出一个满足条件 的值，并求此时方程的根．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=42-4×k＞0，
即k＜4．
当k=0时，x2+4x=0，
解得x=0，x=-4．
1 2
【思路引导】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求出k的取值范围，再将k=0代入方程求解一元二
次方程即可。
22．（5分）（2020九上·浙江期末）设a,b为实数，关于x的方程 无实数根，求
代数式 的值.
【答案】解： ，
去分母：x(x-1)( )= ,
x2+(x-1)2=a+bx,
2x2-(b+2)x+1-a=0,
∵方程无实根，
∴①当△=b2-4ac=(b+2)2-8(1-a)=b2+4b-4+8a＜0，
∴8a+4b＜4-b2＜4∴8a+4b+ =8a+4b-(8a+4b-5)=5.
②当△≥0，有x(x-1)=0,
∴x=0，x=1,
∴当x=0, 2×0-(b-2)×0+1-a=0,
解得a=1,
∴x=1, 2×1-(b+2)×1+1-a=0,
解得b=1,
∴
=12+7
=19.
【思路引导】把原分式方程去分母，合并同类项化为整式方程，因为分式方程无解，得到x=1或x=0, 据
此求出a,b, 代入原式求值即可.
23．（6分）（2022八下·拱墅月考）已知关于 的一元二次方程 的一个解是
，另一个解是正数，而且也是方程 的解，请求出 的值.
【答案】解：方程 ，
整理得： ，即 ，
解得： 或 舍去 ，
与 都为方程 的解，
， ，
解得： ， ，
则 .
【思路引导】利用因式分解法求出方程(x+4)2-22=9x的解，结合题意得出x2+mx+n=0的解，然后根据根与系数的关系可求出m、n的值，接下来根据有理数的加法法则进行计算.
24．（6分）（2022八下·金华月考）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，
求这个三角形的周长.
【答案】解：由题意得：
①当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x=3代入方程x2﹣4x+k＝0得：
，
解得： ，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得： ， ，
∴这个等腰三角形的三边长为3、3、1，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为3+3+1=7；
②当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
∴原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得： ，
∴这个等腰三角形的三边长为3、2、2，符合三角形三边关系，
∴这个三角形的周长为3+2+2=7；
故这个三角形的周长是7.
【思路引导】①当边长3是等腰三角形的腰长时，把x=3代入方程中求出k的值，然后求出方程的解，根
据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长；②当边长3是等腰三
角形的底边时，根据判别式为0求出k的值，然后求出方程的解，根据三角形的三边关系以及等腰三角形
的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长.
25．（6分）（2021九上·揭西期末）等腰三角形的三边长分别为 、 、 ，若 ， 与 是方程
的两根，求此三角形的周长．
【答案】解：①若 是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6，
代入方程得： ，解得 或 ，
∴当 时，
方程可化为 ，
解得 ， ，
∴三角形三边长分别为4、6、6，
周长为： ；
当 时，
方程可化为 ，
解得 ， ；
三角形三边长分别为6、6、10，
周长为： ；
∴三角形的周长为16或22；
②若 是三角形的底边，则b、c为腰，即 ，则方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∴原方程可化为 ，
解得 ，
此时， ， ，不能构成三角形，舍去；
综上所述，三角形的周长为16或22．
【思路引导】分类讨论，利用等腰三角形的性质，列方程求解即可。
26．（8分）（2022八下·龙口期末）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0．
（1）（4分）求证：方程总有两个实数根；
（2）（4分）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；
【答案】（1）证明：根据题意得∶
△＝42﹣4m（4﹣m）＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0，
∴无论m为任何实数，方程总有两个实根；（2）解：∵ ，
∴x＝ ＝ ，x＝ ＝﹣1．
1 2
∵方程有两个互不相等的负整数根，
∴ ＜0．
{ m>0 { m<0
∴ 或 ，
m−4<0 m−4>0
∴0＜m＜4．
∵m为整数，且 ，
∴m＝1或2．
当m＝1时，x＝ ＝﹣3≠x，符合题意；
1 2
当m＝2时，x＝ ＝﹣1＝x，不符合题意；
1 2
∴m＝1．
【思路引导】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先利用公式法求出一元二次方程的根，再根据题意列出不等式组求解即可。
27．（7分）（2022八下·梧州期中）已知关于 的方程 .
（1）（3分）求证： 取任何实数，方程总有实数根；
（2）（4分）若直角三角形 的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求
的值.
【答案】（1）证明：∵
∴无论 取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵ ， ， ∴ ；当斜边长为4时， 即 ，
∴ ，
解得： ，或 （舍去）；
k＞2时方程 的根为： ，
当直角边长为4，斜边为m时， ， ，
即
∴ ，
解得： ，或 （舍去）；
当直角边长为4，斜边为n时， ， ，
同理可得： ，或 （舍去）；
综上， 或 .
【思路引导】（1）此题就是证明根的判别式的值恒不为负数即可；
（2）根据根与系数的关系可得mn=2k，m+n=k+2，根据三角形的三边关系可得m+n>4，求出k的范围，当斜
边长为4时，根据勾股定理可得(m+n)2-2mn=m2+n2=42，代入求解可得k的值；当直角边长为4，斜边为m时，
m-n=k-2，m2-n2=(m+n)(m-n)=16，求解可得k的值；当直角边长为4，斜边为n时，同理可得k的值.
28．（8分）（2018九上·紫金期中）已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+ -
=0的两个实数根．
（1）（4分）当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；
（2）（4分）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少?【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴此方程有两个相等实数根
即b2-4ac=(-m)2-4( - )=0
∴m=1
当m=1时，原方程为x2-x+ =0
∴x=x= ，
1 2
即菱形边长为 .
即当m=1时，四边形ABCD是菱形，此时边长是 .
（2）解：把AB=2代入原方程得：22-2m+ - =0
∴m=
又由根与系数关系得：AB+AD=m=∴AD= -2=
又 ∵平行四边形ABCD
∴AB=CD、BC=AD
∴平行四边形ABCD周长=2(2+ )=5。
【思路引导】（1）根据菱形的四条边相等，可知该方程有两个相等实数根，据此即可解答；
（2）由方程根的意义，把AB=2代入原方程即可求出m，再利用根与系数关系可得另一根，最后根据平行
四边形对边相等即可计算。
29．（9分）（2022八下·嵊州期中）如图所示，在 中， ， ，
，点P从点A出发沿边 向点C以 的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B
以 的速度移动．
（1）（4分）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 的面积为8平方厘米？
（2）（5分）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 的面积等于 的面积
的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：设经过x秒后，则（2）解：
∴不存在
【思路引导】(1) 设经过x秒，分别用含x的代数式表示出PC和CQ的长，结合 的面积为8平方
厘米，建立等式求解即可；
(2)设经过x秒，根据 的面积等于 的面积的一半建立方程，然后将方程化简整理成一元
二次方程的一般式，利用△=b2-4ac，进行判断即可.
