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专题 21.3 根的判别式【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】.........................................................................................1
【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】.............................................................................................2
【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】.....................................................................2
【题型4 证明一元二次方程的根的情况】..............................................................................................................3
【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】.....................................................................................................3
【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】.........................................................................................................3
【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】.........................................................................................................4
【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】.............................................................................4
【题型9 一元二次方程中的新定义问题】..............................................................................................................5
【题型10 一元二次方程中的多结论问题】..............................................................................................................6
知识点1：一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】
【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）关于一元二次方程x2+3x−2=0根的情况，下列说法正确的是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）方程x2−4=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的三组条件中选择其
中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b=2，c=1；②b=5，c=6；③b=4，c=−2．
【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
x2−2x=0 x2+4x−4=0 (x−2) 2−3=0 3x2+2=0
【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】
【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的
x2+(k−2)x−k=0
是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知一元二次方程x2+bx+c=0．
(1)当b=2时，若方程的一个根为−3，求c的值以及方程的另一个根；
1
(2)当c+1= b2时，请判别方程根的情况．
4
【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）对于一元二次方程 ，下列说法不正确的
ax2+bx+c=0(a≠0)
是（ ）
A．若x=−1是方程的解，则a−b+c=0
B．若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
C．若ac<0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根
D．若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（23-24·四川广安·中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
x (m+1)x2−2x+1=0
根，则m的取值范围是（ ）
A．m<0且m≠−1 B．m≥0
C．m≤0且m≠−1 D．m<0
【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）若方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是
（ ）A．2 B．3 C．4 D．8
【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为
24，则m= ．
1
【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）关于x的方程(k−1)x2−x+ =0有两个不相等的实根，则k
4
的取值范围是（ ）
A．k≥2 B．k≤2且k≠1 C．k>2 D．k<2且k≠1
【题型4 证明一元二次方程的根的情况】
【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）已知：关于x的一元二次方程(x−1)(x−2)−m2=0．求证：无论
m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根小于−2，求m的取值范围．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−3mx+2m2+m−1=0．
(1)当m=2时，解这个方程；
(2)试判断方程根的情况，并说明理由．
【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若m>0，且该方程的两个实数根的积为12，求m的值．
【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（23-24九年级·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a的取值范围是
．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则
P的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此
方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）设实数x,y,z满足x2+ y2+z2−xy−yz−zx=27，则
|y−z)的最大值为 .
【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】
【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−(3m+2)x+2m2+2m=0．(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形
时，求m的值．
【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若
a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）已知关于x的方程，x2−(k+2)x+2k=0．
(1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长．
【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x 和x 若以x，x，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．
1 2 1 2
【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】
【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）已知关于x的一元二次方程x2−(k−3)x+k−5=0．
(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当k=11时，该方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线的长，求菱形ABCD的面积．
【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）已知 ▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程
m 1
x2−mx+ − =0的两个实数根．
2 4
(1)若AC的长为1，求m的值；
(2)当m为何值时， ▱ABCD是矩形．
【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程
m
x2−mx+ =0的两个实数根．
2
（1）求m的值；
（2）求正方形的面积．
【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长
和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 ．
【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）若整数a使得关于x的一元二次方程(a−2)x2+❑√2a+3x+1=0有3−ay 2y
两个实数根，并且使得关于y的分式 方程 +1= 有整数解，则符合条件的整数a的个数为（ ）
3−y y−3
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个实数根a，b，那么一次函数
y=(1−ab)x+a+b的图象一定不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
{
x−a>0
)
【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知不等式组 1 有且仅有4个整数解，则关于
x−3<1
2
x的方程ax2+(2a−1)x+a=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）已知关于 的方程组{ x−2y=3m−n, )对每一个实数
x、y
xy=n2−2m2+3n+4
n都有实数解，那么正整数m的值为 ．
【题型9 一元二次方程中的新定义问题】
【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c=0(其中
a≠0,a,b,c为实数)的“共同体数”，如：x2+2x−1=0的“共同体数”为《1，2，−1》，以下“共同
体数”中能让一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根的是( )
A．《3，2，1》 B．《3，4，5》
1
C．《n+1，2n，n−1》 D．《m,m,m+ 》
m
【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：a△b=b2−ab，若关于x的方程
6△x=k有两个相等实数根，则k的值为 .
【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，
a△b=ba2+3a−1，如3△4=4×32+3×3−1，若x△k=0（k为实数）是关于x的一元二次方程，并且
该方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
9 9
A．k≤− B．k≤− 且k≠0
4 4
9 9
C．k≥− D．k≥− 且k≠0
4 4【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)，如果Δ=b2−4ac的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，
但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．
4ac−b2
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”，代数式 的值为
4a
4ac−b2
该“全整根方程”的“最值码”，用Q(a,b,c)表示，即Q(a,b,c)= ；若另一关于x的一元二次
4a
方程px2+qx+r=0(p≠0)也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q(p,q,r)，当满足
Q(a,b,c)−Q(p,q,r)=c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程
px2+qx+r=0(p≠0)的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”x2−3x+2=0的“最值码”是______；
(2)关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m−3=0（m为整数、且41)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说
法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有
两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【变式10-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0） ，
下列说法：
①若4a−2b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有一个根为x=2；
②当（a+c）2≤b2 （时，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有实数根；
③若b2−6ac>0，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若ax2+bx+c=0（a≠0）和cx2+bx+a=0（c≠0）有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中
正确的是 （填序号）
【变式10-2】（23-24九年级·河北石家庄·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
下列说法正确的有（ ）
①若ac＞0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
②若a+b+c=0，则b2 −4ac≥0；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ．
x ax2+bx+c=0 b2 −4ac=(2ax +b) 2
0 0
A．1个 B．2 个 C．3个 D．4 个
【变式10-3】（23-24九年级·浙江舟山·期中）对于一元二次方程 ，有下列说法：
ax2+bx+c=0(a≠0)
①若方程 有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根；
ax2+c=0 ax2+bx+c=0(a≠0)
②若方程 有两个实数根，则方程 一定有两个实数根；
ax2+bx+c=0(a≠0) cx2+bx+a=0
③若c是方程 的一个根，则一定有 成立；
ax2+bx+c=0(a≠0) ac+b+1=0
④若 是一元二次方程 的根，则
x ax2+bx+c=0(a≠0) b2−4ac=(2ax −b) 2
0 0
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
