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专题 21.17 一元二次方程（中考真题 11 大考点分类专题）（考点梳
理与题型分类讲解）
第一部分【考点目录】
中考真题有着很多其他复习资料不能比拟的特点,历年真题充分体现该题命
题思路和意图,通过分析题目的关键要点,了解相关内容的意义,学会从命题者
的角度分析问题,寻找切入点,培养题感。运用好真题可以获得事半功倍的效
果,本专题汇集了近三年来本章节的考点，供大家参考使用.
一、选择题与填空题
【考点1】求代数式的值（3个题）...........................................1;
【考点2】配方法及其应用（3个题）.........................................2;
【考点3】因式分解法及其应用（4个题）.....................................2;
【考点4】直接开平方法及其应用（4个题）...................................3;
【考点5】根的判别式及应用（3个题）.......................................3;
【考点6】根与系数关系（3个题）...........................................4;
【考点7】一元二次方程的实际应用（4个题）.................................4;
二、解答题
【考点8】解一元二次方程（4个题）.........................................5;
【考点9】利用根的判断式求值或证明（4个题）...............................5;
【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题）..........................5;
【考点11】一元二次方程的实际应用（4个题）................................6.
第二部分【考点展示与方法点拨】
一、选择题与填空题
【考点1】求代数式的值【1-1】（2024·四川成都·中考真题）若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则
的值为 ．
【1-2】（2023·山东枣庄·中考真题）若 是关x的方程 的解，则 的值为
．
【1-3】（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程 的根，那么
的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【考点2】配方法及其应用
【2-1】（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【2-2】（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【2-3】（2022·山东德州·中考真题）已知 ， （a 为任意实数），则 的值
（ ）
A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定
【考点3】因式分解法及其应用
【3-1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程 的解为 ．
【3-2】（2024·四川南充·中考真题）当 时，一次函数 有最大值6，则实数m
的值为（ ）
A． 或0 B．0或1 C． 或 D． 或1【3-3】（2023·四川凉山·中考真题）分式 的值为0，则 的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【3-4】（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形 的边长为1，点E、F分别在边 上，
将正方形沿着 翻折，点B恰好落在 边上的点 处，如果四边形 与四边形 的面积比为
3∶5，那么线段 的长为 ．
【考点4】直接开平方法及其应用（4个题）
【4-1】（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【4-2】（2024·四川凉山·中考真题）若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，
则 的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【4-3】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算： 例如： ，
．若 ，则 的值为 ．
【4-4】（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书
中记载的图表给出了 展开式的系数规律．
11 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式 的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
【考点5】根的判别式
【5-1】（2024·山东泰安·中考真题）关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【5-2】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ，其中 满足
，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【5-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有 ，其中等式右
面是通常的乘法和加法运算，如 ．若关于x的方程 有两个不相
等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【考点6】根与系数关系
【6-1】（2024·四川巴中·中考真题）已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为
．
【6-2】（2023·湖北鄂州·中考真题）若实数 、 分别满足 ， ，且 ，则．
【6-3】（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于 的一元二次方程
的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【考点7】一元二次方程的实际应用
【7-1】（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”
让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村
水稻亩产量年平均增长率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【7-2】（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为 ，为贯彻落实“绿水青山就是金
山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到 ．如果这两年森林
覆盖率的年平均增长率为 ，则符合题意得方程是（ ）
A． B．
C． D．
【7-3】（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：
“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，
其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【7-4】（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．【考点8】解一元二次方程
【8-1】（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程： ；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【8-2】（2023·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：
（2）解不等式组：
【8-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【考点9】利用根的判别式求值或证明
【9-1】（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等
的实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，用配方法解方程．
【9-2】（2023·四川遂宁·中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 ，其
中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： ．
(1)求 的值；
(2)已知关于x的方程 有两个实数根，求m的取值范围．
【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题）
【10-1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．(1)求 的取值范围；
(2)若方程的两个根为 ， ，且 ，求 的值．
【10-2】（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程 ，当 时，该方程的正根
称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩
形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足： ，且 ，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足： ，求 的值．
【10-3】（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
【考点11】一元二次方程的实际应用
【11-1】（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够
长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【11-2】（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端
午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单
位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈
20 30 270
妈小乐妈
30 20 230
妈
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成
本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，
m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别
为 包， 包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【11-3】（2023·湖南郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为
1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5
月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
