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专题 17.4 勾股定理逆定理的应用
◆ 典例分析
【典例1】如图，某公园有一块四边形草坪ABCD，计划修一条A到C的小路，经测量，∠D=90°，
AD=14m，DC=48m，AB=40m，CB=30m．
（1）求小路AC的长；
（2）萌萌带着小狗在草坪上玩耍，萌萌站在点B处，小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿
B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑多少秒与萌萌的
距离最近？
【思路点拨】
此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先证明∠ABC=90°，再运用面积法，得出BH=24，根据勾股定理列式计算得出
HC=❑√BC2−HB2=18m，最后结合运动速度，即可作答．
【解题过程】
（1）解：∵∠D=90°，AD=14m，DC=48m，
∴在Rt△ADC中，AC=❑√AD2+DC2=50(m)，
∴小路AC的长为50m；
（2）解：如图所示：过B作BH⊥AC，
依题意，当小狗在小路CA上奔跑，且跑到点H的位置时，小狗与萌萌的距离最近．∵AB=40m，CB=30m．AC=50m，
∴AC2=2500,AB2+BC2=2500，
即AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°，
1 1
则S = AB×BC= AC×BH，
△ABC 2 2
AB×BC 40×30
即BH= = =24(m)，
AC 50
∴HC=❑√BC2−HB2=18m
∵小狗从点B开始以2m/s的速度在小路上沿B→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，
∴HC+BC=18+30=48(m)，
则48÷2=24(s)
∴当小狗在小路CA上奔跑时，小狗需要跑24秒与萌萌的距离最近．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30
海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东44° B．北偏西44° C．南偏东44°或北偏西44° D．无法确定
【思路点拨】
本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出
∠AOC=∠AOB=90°即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【解题过程】
解：由题意得，OA=40×2=80海里，OB=OC=30×2=60海里，AB=AC=100，
∵OA2+OC2=AC2=100，OA2+OB2=AB2=100，∴∠AOC=∠AOB=90°，
∴点B、O、C三点共线，
∵∠1=46°，
∴∠5=90°−46°=44°，
∵∠2=∠5，
∴∠2=44°，
∴乙船的航向为南偏东44°或北偏西44°，
故选：C．
2．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边
形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB=25m，
BC=9m，CD=12m，DA=20m，∠C=90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶
需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元
【思路点拨】
本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接BD，先由勾股定理求出BD长，再由勾股定理的逆定理判定
△ABD是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形ABCD面积，然后用面积乘以单价即
可．
【解题过程】
解：连接BD，如图2，
∵∠C=90°，BC=9m，CD=12m，
∴BD=❑√BC2+CD2=❑√92+122=15(m)
∵AD2+BD2=202+152=252，AB2=252，
∴AD2+BD2=AB2，∴∠ADB=90°
1 1 1 1
∴S =S +S = AD⋅BD+ BC⋅CD= ×20×15+ ×9×12=204(m2)，
四边形ABCD Rt△ABD Rt△BCD 2 2 2 2
∴铺满该区域需要的费用为：204×200=40800（元），
故选：A．
3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得
AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是（ ）
A．48m2 B．114m2 C．12m2 D．158m2
【思路点拨】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接AC，利用勾股定理得到AC=15m，进而
利用勾股定理的逆定理证明∠ACD=90°，最后根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积
进行求解即可．
【解题过程】
解：如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√92+122=15(m)．
∵CD=8m，AD=17m，
∴AC2+CD2=152+82=289，AD2=172=289，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积1 1 1 1
= AB⋅BC+ AC⋅CD= ×9×12+ ×15×8=54+60=114(m2)
2 2 2 2
故选：B．
4．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东38°方
向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上．
【思路点拨】
此题考查了勾股定理的逆定理和方位角的表示，首先根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，然后利用
方位角求解即可．
【解题过程】
解：根据题意得，∠ACD=38°
∵AC=5，BC=12，AB=13
∴AC2+BC2=52+122=169=AB2
∴∠ACB=90°
如图所示，当点B在AC下方时，
∴∠BCE=180°−∠ACB−∠ACD=52°
∴岛B在岛C的南偏东52°方向上；
如图所示，当点B在AC上方时，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90°−38°=52°
∴岛B在岛C的北偏西52°方向上；
综上所述，岛B在岛C的南偏东52°或北偏西52°方向上．故答案为：南偏东52°或北偏西52°．
5．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中
AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，
H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线
AC＝ 千米．
【思路点拨】
先根据勾股定理的逆定理说明△HBC是直角三角形且∠CHB=90°，设AC=AB=x千米，则
AH=AB−BH=(x−3)千米，最后在Rt△ACH运用勾股定理即可解答．
【解题过程】
解：∵在△CHB中，CH2+BH2=42+32=25，BC2=25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
设AC=AB=x千米，则AH=AB−BH=(x−3)千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x−3，CH=4，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
25
∴x2=(x−3) 2+42，解得x= ．
6
25
故答案为 ．
6
6．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固
定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架．如图1所示，AB=29cm，AD=13cm，
BC=20cm，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中PB=13cm，CQ=20cm．当伸缩杆PQ
打开最大时，如图2所示，∠ADC成180°，此时PQ=❑√449cm，则可变定长钢架CD的长度为 cm
．当伸缩杆完全收拢时，CD∥AB，则此时床高（CD与AB之间的距离）为 cm．【思路点拨】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的
关键．
当伸缩杆PQ打开最大时，先证明△ACB是直角三角形，由勾股定理，得AC=21cm，即可由
CD=AC−AD求得CD长；当伸缩杆完全收拢时，CD∥AB，过点C作CH⊥AB于H，过点D作
DF⊥AB于F，由平行线间的距离，可得DF=CH，FH=CD=8cm，DF=CH，再由勾股定理，得
AD2−AF2=DF2=CH2=BC2−BH2，即132−AF2=202−(21−AF) 2，即可求得AF=5cm，即可由
DF=❑√AD2−AF2求解．
【解题过程】
解：如图2，
∵BC=20cm，PB=13cm，
∴PC=BC−PB=7cm，
∵CQ=20cm，PQ=❑√449cm，
∴CQ2+CP2=449cm2，PQ2=449cm2，
∴CQ2+CP2=PQ2，
∴∠PCQ=90°，
∴∠PCD=90°，∴∠ACB=90°，
∵∠ADC成180°，
∴△ACB是直角三角形，由勾股定理，得
AC=❑√AB2−BC❑=❑√292−202=21(cm)
∴CD=AC−AD=21−13=8(cm)；
当伸缩杆完全收拢时，CD∥AB，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，如图，
∵CD∥AB，CH⊥AB于H，过点D作DF⊥AB于F，
∴DF=CH，∠CDF=90°，
∴FH=CD=8cm，
∴AF+BF=AB−FH=29−8=21(cm)
由勾股定理，得AD2−AF2=DF2=CH2=BC2−BH2
∴132−AF2=202−(21−AF) 2
∴AF=5(cm)
∴DF=❑√AD2−AF2=❑√132−52=12(cm)
故答案为：8；12．
7．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）如图，某学校在美化校园施工过程中留下了一块空地，现计划在空
地上铺草坪，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，已知草坪每平方米100
元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
【思路点拨】
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出区域的面积，即可求出答案．
【解题过程】
解：如图，连接AC，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，
由勾股定理得AC=❑√CD2+AD2=❑√32+42=5米，
∵AB=13米，BC=12米，
AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
1 1
该区域面积S=S −S = ×5×12− ×3×4=24 (平方米)，
△ACB △ADC 2 2
用该草坪铺满这块空地共需花费=24×100=2400元．
8．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成
四边形ABDE和三角形EDC，分别摆放两种不同的花卉．经测量，
∠EDC＝90°,DC=3,DE=4,DB=7,AB=8,AE=1，求四边形ABDE的面积．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的
逆定理是解题的关键．
由勾股定理得CE=5，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠A=90°，然后由三角形面
积公式列式计算即可．【解题过程】
解：∵∠EDC=90°,DC=3,DE=5，
∴CE=❑√CD2+DE2=❑√32+42=5，
∴AC=AE+CE=6，
∵BC=BD+CD=3+7=10，AB=8，
∴AB2+AC2=100=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°，
∴S =S −S
四边形ABDE △ABC △CDE
1 1
= AB⋅AC− DC⋅DE
2 2
1 1
= ×6×8− ×3×4=24−6=18
2 2
答：四边形ABDE的面积为18．
9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一块四边形空地，如图，经测量，CD=CB=13米，BD=10米，
AB=6米，AD=8米．求这块四边形空地ABCD的面积．
【思路点拨】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理，作CE⊥BD于E，由等腰三角形的性质可得
1
BE=DE= BD=5米，由勾股定理可得CE=❑√CD2−DE2=12米，再由勾股定理逆定理得出
2
∠DAB=90°，最后由S =S +S 计算即可得解．
四边形ABCD △BCD △ABD
【解题过程】
解：如图，作CE⊥BD于E，
，∵CD=CB=13米，BD=10米，
1
∴BE=DE= BD=5米，
2
∴CE=❑√CD2−DE2=12米，
∵82+62=102，即AD2+AB2=BD2，
∴△ABD为直角三角形，即∠DAB=90°，
1 1 1 1
∴S =S +S = BD⋅CE+ AB⋅AD= ×10×12+ ×6×8=60+24=84（平方
四边形ABCD △BCD △ABD 2 2 2 2
米）．
10．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从A点
到D点有两条路线，分别是A−B−D和A−C−D．已知AB=90米，AC=150米，点C在点B的正东方
120米处，点D在点C的正北方60米处．
（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由：
（2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：❑√5≈2.2）
【思路点拨】
此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求出BD=❑√BC2+CD2=❑√1202+602=60❑√5，分别计算两条路线的长度，即可得到
结论．
【解题过程】
（1）解：AB⊥BC，理由如下：
由题意可知，AB=90米，AC=150米，点C在点B的正东方120米处，即BC=120米
∵AB2+BC2=902+1202=1502=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
即AB⊥BC；
（2）由题意可知，BC⊥CD，
∴BD=❑√BC2+CD2=❑√1202+602=60❑√5（米），
∴AB+BD=90+60❑√5≈222（米）
而AC+CD=150+60=210（米）
∵AB+BD>AC+CD，
∴路线A−C−D更短
11．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB=15m，CD=8m，
AD=17m．从点A修了一条垂直于BC的小路AE，垂足为E．点E恰好是BC的中点，且AE=12m．
（1）求BC的长；
（2）连接AC，判断△ADC的形状并说明理由．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理和垂直平分线的性质是解题关键．
（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可．
（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状．
【解题过程】
（1）解：∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，
∵ AB=15m，AE=12m，
∴ BE=❑√AB2−AE2=❑√152−122=9m．
∵ E是BC的中点，
∴ BC=2BE=18m．
（2）解：如图，∵ AE⊥BC，E是BC的中点，
∴ AC=AB=15m．
∵ AD=17m，CD=8m，
∴ CD2+AC2=AD2，
∴ ∠ACD=90°，
∴ △ADC是直角三角形．
12．（24-25八年级上·四川巴中·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B
，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个
取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得BD=240米，CD=320米，BC=400
米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【思路点拨】
此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）根据勾股定理逆定理判断△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，即可得到结论；
280
（2）设AD=x米，则AC=AB=(x+240)米，根据勾股定理得到(x+240) 2=x2+3202，解得x= ，则
3
280
AD= 米，即可求出原来的路线AC的长．
3
【解题过程】
（1）由题知：BD=240米，CD=320米，BC=400米，
∵2402+3202=4002，∴在△BCD中：BD2+CD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
则CD⊥AB，
即CD是最近的路．
（2）设AD=x米，则AC=AB=(x+240)米，
在△ACD中，根据勾股定理AC2=AD2+CD2，
即(x+240) 2=x2+3202，
280
解得x= ，
3
280 1000
则AD= 米，得：AC=AB=AD+BD= 米．
3 3
13．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，小区有一块三角形空地ABC，计划将这块空地种上三种不
同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB=15米，AC=13米，AD=12米，
BD=9米．
（1）求DC的长；
（2）若小路的修建费用为每米100元，求修建小路共需多少元．
【思路点拨】
本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法．
（1）首先利用勾股定理逆定理得出∠CDA=90°，再用勾股定理求出CD的长；
（2）利用等积法求DE，根据铺设小路AD、DE每米100元，列式计算即可解答．
【解题过程】
（1）解：∵AB=15米，AD=12米，BD=9米，
∴152=122+92，则AB2=AD2+BD2，
∴△ABD是以∠ADB为直角的直角三角形，
∴∠CDA=90°，
在Rt△CDA中，由勾股定理得：CD=❑√AC2−AD2=❑√132−122=5（米）；
（2）解：∵DE⊥AB，
1 1
∴S = ×AB×DE= ×BD×AD，
△ABD 2 2
1 1
即 ×15×DE= ×9×12，
2 2
36
∴DE= （米），
5
(36 )
∴需花费 +12 ×100=1920（元）
5
答：修建小路共需1920元．
14．（24-25八年级上·海南海口·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政
策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八
（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5m,12m,13m时,小明很快就给出这块试验基地
的面积．请你写出完整的求解过程；
（2）如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m,AC=13m,请帮助他们求
出该实验基地的面积．
【思路点拨】
本题考查勾股定理及其逆定理：
（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形,根据直角三角形的面积公式计算即可；
（2）过点A作AD⊥BC于D,根据勾股定理列出方程,解方程求出BD,再根据勾股定理求出AD,根据三角形
面积公式计算,得到答案．
【解题过程】
（1）解：∵52+122=25+144=169,132=169,
∴52+122=132,
∴这个三角形是直角三角形,1
∴三角形的面积为：
×5×12=30m2
；
2
（2）如图,过点A作AD⊥BC于D,
设BD=xm,则CD=(14−x)m,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,
∴AB2−BD2=AC2−CD2,即152−x2=132−(14−x) 2 ,
解得：x=9,
由勾股定理得：AD=❑√AB2−BD2=12（m）,
1
∴S = ×14×12=84m2 ,
△ABC 2
∴该实验基地的面积为84m2．
15．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，某居民小区有一块四边形空地ABCD，小道AC和
CE把这块空地分成了△ABC、△ACE和△CDE三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知
∠B=90°,AB=12米，BC=16米，AE=15米，CE=25米．
（1）求四边形ABCE的面积；
（2）小明和小林同时以相同的速度同时从点E出发，分别沿E→A→C和E→D→C两条不同的路径散
步，结果两人同时到达点C，求线段DE的长度．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；
（1）根据勾股定理求得AC2，进而根据勾股定理的逆定理证明△ACE是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）根据题意得出ED+DC=35米，设DE=x米，则CD=(35−x)米，在Rt△ACD中，根据勾股定理建
立方程，解方程，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵∠B=90°,AB=12米，BC=16米
∴AC=❑√AB2+BC2=20米
∵AC2+AE2=202+152=625=252=CE2
∴△ACE是直角三角形，且∠CAE=90°
∴四边形ABCE的面积为
1 1 1 1
S +S = AB×BC+ AC×AE= ×12×16+ ×20×15=96+150=246平方米
△ABC △AEC 2 2 2 2
（2）解：由（1）可得△ACE是直角三角形，∠CAE=90°
依题意，ED+DC=EA+AC=15+20=35米，
设DE=x米，则CD=(35−x)米
在Rt△ACD中，CD2=AC2+AD2
∴(35−x) 2=202+(15+x) 2
解得：x=6，即线段DE的长度为6米．
16．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中AC=BC=26，AB=20，点E
为AB的中点．现需要开辟一块△AEF的空地用于堆肥，已知AF=8，EF=6．
（1）你能确定△AEF的形状吗，请说明理由．
（2）计算阴影部分的面积．
【思路点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
1
（1）由题意得AE= AB=10，由勾股定理逆定理即可判断△AEF的形状是直角三角形；
2（2）连接CE，则CE⊥AB，利用勾股定理可计算出CE的长，利用S −S 即可计算出阴影部分面
△ABC △AEF
积．
【解题过程】
（1）解：△AEF的形状是直角三角形；
理由如下：
∵点E为AB的中点，
1
∴AE= AB=10；
2
∵AF2+EF2=82+62=100=AE2，
∴△AEF的形状是直角三角形，且∠AFE=90°；
（2）连接CE，如图，
1
∵AC=BC，AE= AB=10，
2
∴CE⊥AB，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
CE2=AC2−AE2=262−102=242，
∵CE>0，
∴CE=24，
∴S =S −S
阴影 △ABC △AEF
1 1
= AB⋅CE− AF⋅EF
2 2
1 1
= ×20×24− ×8×6
2 2
=216．
17．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，小区有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，小区计
划将这块四边形空地进行规划整理．过点A作了垂直于BC的小路AE．经测量，AB=CD=4m，BC=9m
，AD=7m．（1）求这块空地ABCD的面积；
（2）求小路AE的长．（答案可含根号）
【思路点拨】
本题考查了勾股定理及其逆定理，用勾股定理求出直角三角形第三边长，用逆定理判定三角形为直角三角
形是解题的关键，同时会利用三角形面积算法求直角三角形斜边上的高．
（1）根据AB和BC算出AC的长，再由AD和CD 的长得出△ACD是直角三角形，分别算出△ABC和
△ACD的面积即可；
1 1
（2）利用三角形面积的两种不同表示方法，即 AB⋅AC= BC⋅AE可得AE的长．
2 2
【解题过程】
（1）解：∵AB⊥AC，AB=CD=4m，BC=9m，
∴在△ABC中，AC=❑√BC2−AB2 =❑√92−42=❑√65(m)，
∵CD=4m，AD=7m，
∴42+72=(❑√65) 2 ，即：AD2+CD2=AC2，
∴∠D=90°，
∵空地ABCD的面积=S +S
△ABC △ADC
1 1
∴空地ABCD的面积= ×AB×AC+ ×AD×CD
2 2
1 1
= ×4×❑√65+ ×7×4
2 2
=(2❑√65+14)(m2
)
答：这块空地ABCD的面积为(2❑√65+14)m2．
1 1
（2）在△ABC中，S = AB⋅AC= BC⋅AE
△ABC 2 21 1
即4× ×4×❑√65= ×9AE
2 2
4❑√65
AE= ．
9
4❑√65
答：小路AE的长为 m．
9
18．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造
更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科
学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部
分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°
．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地
中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
【思路点拨】
此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识．
（1）连接AC，求出AB+BC−AC的长即可；
（2）由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，然后由三角形面积公式即可得出结
论．
【解题过程】
（1）解：如图，连接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√92+122=15(m)，
∴AB+BC−AC=9+12−15=6(m)，
答：居民从点A到点C将少走6m路程；
（2）解：∵CD=17m，AD=8m，AC=15m，
:AD2+AC2=DC2
∴ △ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
1 1 1 1
∴S = AD⋅AC= ×8×15=60(m2 )，S = AB⋅BC= ×9×12=54(m2 )，
△DAC 2 2 △ACB 2 2
∴S =60+54=114(m2)，
四边形ABCD
答：这片绿地的面积是114m2．
19．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展
的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示是该校开垦的一块作为学生劳
动实践基地的四边形荒地．经测量∠B=90°，AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这片荒地的面积．
【思路点拨】
此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC即可；
（2）用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，根据四边形纸片ABCD的面积
=S +S 即可求出答案．
△ABC △ACD
【解题过程】
（1）解：连接AC，如图
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9m，BC=12m∴AC=❑√AB2+BC2 =❑√92+122 =15(m)
即A、C两点之间的距离为15m；
（2）在△ACD中，∵CD2+AC2=82+152=172，AD2=172，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴四边形纸片ABCD的面积=S +S
△ABC △ACD
1 1
= AB⋅BC+ AC⋅CD
2 2
1 1
= ×9×12+ ×15×8
2 2
=54+60
=114(m2)．
因此该四边形荒地的面积为114m2．
20．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展
的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实
践基地的四边形荒地．经测量，AB=AD=13m，BC=8m，CD=6m，且BD=10m．该校计划在此空地
（阴影部分）上种植花卉，
（1）求证：△BCD是直角三角形．
（2）若每种植1m2花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
【思路点拨】
本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由BC=8m，CD=6m，且BD=10m．得BC2+CD2=BD2，结合勾股逆定理即可作答．
1
（2）过A作AE⊥BD于点E，结合等腰三角形的性质得BE=DE= BD=5m，运用勾股定理计算
2
AE=❑√AB2−BE2=12m，再运用割补法进行求面积，即可作答．【解题过程】
（1）解：∵BC=8m，CD=6m，且BD=10m．
∴BC2+CD2=100m2,BD2=100m2，
即BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD是直角三角形．
（2）解：如图，过A作AE⊥BD于点E，
∵AB=AD=13m，BD=10m，过A作AE⊥BD于点E
1
∴ BE=DE= BD=5m，
2
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE=❑√AB2−BE2=❑√132−52=12(m)，
由（1）得∠BCD=90°，△BCD是直角三角形，
∴ S =S −S
阴影 △ABD △BCD
1 1
= BD⋅AE− BC⋅CD
2 2
1 1
= ×10×12− ×8×6
2 2
=60−24
=36(m2)，
∴100×36=3600（元）．
答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元．
21．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定
性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，
且点C到点A和点B的距离分别为60m和80m，且AB=100m，信号源中心周围50m及以内可以接收到5G信号．
（1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？
（2）若汽车的速度为10m/s，请问有多长时间可以接收到5G信号？
【思路点拨】
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积．
（1）过点C作CD⊥AB于点D，根据AC，BC，AB的长，可得出AC2+BC2=AB2，进而可得出
∠ACB=90°，再结合三角形的面积公式，即可求出CD的长，再和50m相比即可得出答案．
（2）设点E，F在直线AB上，且AE=AF=50m利用勾股定理，可求出DE长，进而可得出DF，EF的
长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论
【解题过程】
（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号，理由如下∶
过点C作CD⊥AB于点D，如下图1所示：
∵AC=60cm，BC=80m，AB=100m，602+802=1002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
1 1
∵ AC⋅BC= AB⋅CD
2 2
AC⋅BC 60×80
∴CD= = =48m
AB 100
∵48m<50m，
∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号
（2）解：设点E，F在直线AB上，且CE=CF=50m，如图2所示．在Rt△CDE中，CD=48m，CE=50m，
∴DE=❑√CE2−CD2=❑√502−482=14(m)，
同理∶DF=DE=14m，
∴EF=DE+DF=14+14=28(m)，
∴28÷10=2.8(秒)．
答∶有2.8秒可以接收到5G信号
22．（24-25九年级上·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，
现已测得支架AC=64cm，BC=48cm，两轮轮轴的距离AB=80cm（购物车车轮半径忽略不计），DG
、EH均与地面平行．
（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由：
（2）若FG的长度为72cm，∠EHG=60°，求购物车把手F到AB的距离（结果保留一位小数）．（参考
数据：❑√2≈1.41,❑√3≈1.73）
【思路点拨】
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含30度角的直角三角形的性质；
（1）根据题意可得AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理即可得出∠ACE=90°，即可求解；
（2）过点F作AB的垂线，交DG，AB的延长线于点P，Q，根据平行线的可得出∠FGP=60°，在
Rt△FGP中，FG=80勾股定求得FP≈62.28cm，根据等面积法，即可求解．
【解题过程】
（1）解：两支架AC与BC为垂直的位置关系，理由如下：
在△ABC中．∵AC=64cm，BC=48cm，AB=80cm，且642+482=802，
∴AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°，
答：两支架AC与BC为垂直的位置关系；
（2）解：如图所所示，过点F作AB的垂线，分别交DG，AB的延长线于点P，Q，设点C到AB的距离
为h，
∴PQ=
ℎ
∵EH∥DG∥AB，∠EHG=60°，
∴∠FGP=∠EHG=60°，
在Rt△FGP中，FG=72cm，
❑√3
∴FP= FG=36❑√3≈62.28cm，
2
64×48
在Rt△ABC中，PQ=
ℎ
= =38.4cm，
80
∴FQ=62.28+38.4≈100.7(cm)，
答：购物车把手F到AB的距离为100.7cm．
